湖南湘潭市数学高二下期末提高练习(培优专题)

一、选择题
1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+
D ．AB DA AC DB +=+
2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．
6
6
B ．66
±
C ．
62
D ．62
±
3．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）
A ．52,125πωϕ==
B ．5,126πωϕ==
C ．122,55
πωϕ== D ．12,56
πωϕ=
= 4．已知e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是单位向量，且e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =0，向量a ⃑ 与e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 共面，|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1，则数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=（ ） A ．定值－1
B ．定值1
C ．最大值1，最小值－1
D ．最大值0，最小值－1
5．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若
(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线
B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为
(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的
C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形
D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
6．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+
B ．CP a b =-
C ．1
2
CP a b =
- D ．1233
CP a b =
+ 7．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．
1
2
D ．
14
9．已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-= （ ）
A B ． C D ．2
-
10．已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
725
B ．725
-
C ．
2425
D ．2425
-
11．已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．
35
B ．15
-
C ．
15
D ．
35
12．如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
13．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量
OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．
A ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．π5π,
412⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．5ππ,122⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D ．π5π,1212⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ 14．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
15．已知函数()sin(2)3
f x x π
=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数
()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．
512
π C ．
6
π D ．
56
π 二、填空题
16．若34
π
αβ+=
，则()()1tan 1tan αβ--=_____________． 17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）
18．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()
2a b a -⊥，则b =_________．
19．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b 3a 在b 方向上的投影是__________．
20．在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，1
2
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________． 21．已知4tan()5
αβ+=，1
tan 4β=，那么tan α=____．
22．已知1cos()63
π
α+
=，则5sin(2)6π
α+=________．
23．已知(,)P x y 是椭圆22
143
x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．
24．已知3(
,),sin 2
5π
απα∈=
，则tan()4
π
α-=___________ . 25．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 三、解答题
26．
已知sin 5
α=-，且α是第四象限的角．. （1）求tan α；
（2）
2sin()cos(2+)
cos()+sin()
22
παπαππ
αα++-+.
27．已知向量()
1,3a =，(1,3b =-. （1）若a λb +与a b λ-垂直，求实数λ的值；
（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+，求实数n 的取值范围； （3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈，求
x c
的最大值.
28．已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=． （1）求x 与y 的夹角θ；
（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值． 29．
已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且139,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项；
(2)设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和S n .
30．某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
，求θ的最小值．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B 13．D 14．C 15．B
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
18．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影
20．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
21．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果
22．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
24．【解析】∵∴∴∴故答案为
25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证． 【详解】
DC BC BD =-，DC AC AD =-，
∴AC AD BC BD -=-， ∴AC BD BC AD +=+．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，
∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴
cos302λ︒=， ∴
4λ=，则0λ>，
∴λ=
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】 由图可以读取5=
066
T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒= 1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25π
ϕ⇒=选择C. 【点睛】
由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定
ω，最后通过带值定ϕ. 4．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意可设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，a ⃑ =(x,y)，再表示向量的模长与数量积， 【详解】
由题意设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，则向量a ⃑ =xe 1⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑ =(x,y)，且|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1， 所以a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ =(x −1,y −1)， 所以(x −1)2+(y −1)2=1， 又a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ =(x −2,y −2)，
所以数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=x(x −2)+y(y −2)=(x −1)2+(y −1)2−2=1−
2=−1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

5．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由()()
1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 则点
、、A B C 必共线，故A 正确；
由平面向量基本定理可知B 正确；
由 (0)OA OB OC r r ===>可知O 为ABC ∆的外心，由0OA OB OC ++=可知O 为
ABC ∆的重心，故O 为ABC ∆的中心，即ABC ∆是等边三角形，故C 正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误 故选D.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用向量三角形法则得到：1212
++3333
CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】
利用向量三角形法则得到：
221212
++()++333333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】
因为cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上
的角.
α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，
α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，
所以“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】
(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转
化法.
8．B
解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +
π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π
2，k ∈Z ，即ω=–31
–22
k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-，
因为(,0)2απ∈-
，所以cos 3
α==，
又由sin tan(2)tan cos 5
απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-=
⎪⎝⎭，
则2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．A
解析：A 【解析】
44sin cos αα-()()
2222
sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1
α=-3
5
=-，故选A.
点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.
12．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴2
2,,339λ
λμμ
=== 故选B.
13．D
解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O
∵(2,2)OC =
，(2)CA αα
=． ∴(2,2)
C 、(2,2)A αα+
． ∴点A 在以(2,2)的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l
y kx =
∴d r =
≤=
即24
10k k -
+≤，则[22k ∈-+．
又∵π23tan
12-=，5
23tan
π12
+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．
故选D ．
14．C
解析：C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，2
2
2
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选
C.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x π
ϕ-+=±，
从而求min 512
πϕ=. 【详解】
由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x π
π
ϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，
所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13π
ϕ-+=±，
所以2,3
2
k k Z π
π
ϕπ-+
=+
∈，解得：1,22
k k Z ππ
ϕ=-
-∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512
π
ϕ=，故选B. 【点睛】
平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长
度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3
g x x x π
ϕ=+-.
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式 解析：2 【解析】
试题分析：34
π
αβ+=
，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴
=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，
()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++
1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．
考点：和差角公式．
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
【解析】 【分析】
通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】
因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以2
1cos141cos 722
m
+︒+︒==，
又cos 72
ο==
. 【点睛】
本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．
18．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
【解析】 【分析】
利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b .
【详解】
()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，
故()221,212b b ==+=， 【点睛】
本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.
19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：
1
2
【解析】
分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．
详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是
a b b
⋅=
12
， 故答案为
12
点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．
20．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
【解析】 【分析】
由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由
2
2
2222214144142339
99999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC
⎛⎫
=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】
由题意知1
cos1202
AB AC AB AC ⋅=-
=︒，可得1AB AC =，
则
2
2
2222214
14414444222339
9999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=
⎪⎝⎭，（当且仅当2241
99
AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）
故23AM ≥，即线段AM 长的最小值为3
. 【点睛】
本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．
21．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果 解析：
1124
【解析】 【分析】
根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果. 【详解】 已知()4tan 5αβ+=
,1 tan 4
β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24
αββαββ
+-==
++． 故答案为
1124
. 【点睛】
这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.
22．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
解析：7
9
-
【解析】
分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解． 详解：由题意
25sin(
2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366
ππππππ
ααααα+=++=+=+=+-， 又由1
cos()63
π
α+=， 所以22517sin(
2)2cos ()12()16639
ππαα+=+-=⨯-=-． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
【解析】
P x y （，）是椭圆22
143
x y +=＝1上的一个动点，
设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），
24．【解析】∵∴∴∴故答案为 解析：7-
【解析】 ∵3,,sin 25παπα⎛⎫
∈=
⎪⎝⎭
∴4
cos 5α=-
∴3
tan 4
α=-
∴tan 1tan 741tan πααα-⎛
⎫-=
=- ⎪+⎝
⎭ 故答案为7-
25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7
【解析】
利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，
由平面向量垂直的充要条件可得：()
()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.
三、解答题 26．
（1）2-；（2）5- 【解析】
分析：（1）根据α为第四象限角，利用sin α，可得cos α的值，得到tanα 的值． （2）先用诱导公式对原式化简得：2sin cos sin cos αα
αα
-++，为一个齐次式，然后分子分母同时
除以cosα即可.
详解：（1）由sin α=α是第四象限的角，
所以cos 0α>，则cos 5
α==
sin tan 2cos α
αα
∴=
=- （2）原式2sin cos sin cos αααα-+=
+ 2tan 1
tan 1
αα-+=+ 5=-
点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，齐次式，对公式灵活运用是关键，属于基础题．
27．
（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（3）3
【解析】 【分析】
（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；
（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式
()
22430n n ∆=--≤求解即可；
（3）由向量模的运算可得2
22
2222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭
，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可. 【详解】
解：（1）由向量()
1,3a =，(1,3b =-. 则2a b ==
由a b λ+与a b λ-垂直，得()()
0a b a b λλ+⋅-=， 即2220a b λ-=，从而2440λ-=，解得1λ=±；
（2）由ma nb a b +≥+，将2
2222
2m a mna b n b a b +⋅+≥+，
即2244412m mn n ++≥，
从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立， 于是(
)
2
2
430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥； （3）当0x =时，
0x c
=；
当0x ≠时，2
22
2222
224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭
2
2
11
1444
432y y y x x x =
=
⎛
⎫
⎛⎫
++++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
故当12y x =-时，||||x c 有最大值
综上可得||||x c 有最大值
3
. 【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.
28．
(1) 3
π
θ=
(2) 14
m =
【解析】 【分析】
（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式
1
cos 2
x y
x y
θ=
=
⋅，即可求出夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值． 【详解】 （1）∵(2)
(2)5x y x y --=
∴2
2
25251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x y
θ⋅=
=
⋅
∴3
π
θ=
．
（2）∵()x m y y -⊥
∴()0x m y y -⋅=，即2
0x y m y ⋅-= ∴11404
m m -=⇒=． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．
29．
(1)a n ＝n . (2)S n ＝2n ＋1－2. 【解析】 【分析】 【详解】
(1)由题设知公差d ≠0，
由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得
121d +＝1812d
d
++， 解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2=2n a
n n
b =，由等比数列前n 项和公式得 S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝
()21212
n --＝2n ＋1－2.
点评：掌握等差、等比数列的概念及前n 项和公式是此类问题的关键．
30．
（Ⅰ）π
()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6
． 【解析】
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-
．数据补全如下表：
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6
g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-
=，解得ππ212
k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π
21212
k θ+-=， 解得ππ23k θ=
-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π
6
． 考点：“五点法”画函数π
()sin()(0,)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．。