四川省凉山木里中学高二数学下学期第一次月考试题 理

四川省凉山木里中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题
理
第I 卷（选择题 共60分）
一、单选题(本题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．设集合，集合，则
（ ）
A. B.
C.
D.
2．下列函数中与函数
是同一函数的是（ ）．
A. B. C. D.
3．函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.设f (x )为可导函数，且满足0
(1)(12)
lim
1x f f x x
→--=-，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切
线的斜率是( )
A ．2
B ．－2 C.12- D ．1
2
5．“
”是“直线：
与直线：
垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．已知圆C 与直线250x y -+=及250x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆的方程为（ ）
A. ()()22
115x y ++-= B. 2
2
5x y +=
C. ()()22
115x y -+-= D. 22
5x y +=
7．程序框图如图所示,如果程序运行的结果为S=132,那么判断框中可填入( )
A. k ≤10?
B. k ≥10?
C. k ≤11?
D. k ≥11?
8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A. 4
B. 2
C.
D.
9．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
10．函数的极大值与极小值之和为，且
，则（ ）
A. B.
C. D.
11．函数
的图象大致是( )
A. B.
C. D.
12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时， ()()'0f x xf x +<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）
A. {|2002}x x x -<<<<或
B. {|22}x x x -或
C. {|202}x x x -<或
D. {|202}x x x <-<<或
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题(本小题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．
________.
14．若实数满足则的最大值是__________．
15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．
16．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．
三、解答题(本题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分)
17．已知等比数列满足，．
（）求数列的通项公式．
（）若，求数列的前项和．
18．已知向量.
（1）若,求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
19. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，
D 1C 1上，A 1
E ＝D 1
F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
20．在如图所示的几何体中， //PB EC ， 22PB CE ==， PB ⊥平面ABCD ，在平行四边形ABCD 中， 1AB =， 2AD =， 60BAD ∠=︒．
（1）求证： //AC 平面PDE ；
（2）求二面角A PE D --的余弦值．
21．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
（）当时，求曲线在点处切线的方程．
（）求函数的单调区间．
（）当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．B2．B3．C4．C 5．D6．B7．A8．C 9．A10．B11．C12．D
13．
14．1
15．
16．
17．（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，由条件得，解方程求解和，由等比数列通项公式求解即可；
（2），分组和{1}求和即可.
试题解析：
（）设等比数列的公比为，
∵，，
∴，
解得，，
∴数列的通项公式为．
（）由（）可得，
∵数列是首项为，公比为的等比数列，
∴数列的前项和．
18．（1）；（2）时，取到最大值；当时，取到最小值. 【解析】试题分析：由向量根据向量的平行的性质即可得到
，结合可得；（2）根据平面向量的数量积公式和两角和的余弦公式化简，先求出，再利用余弦函数的性质即可求出的最大值和最小值以及对应的的值.
试题解析：(1),若，则与矛盾，故，于是，又. （2）．
因为，所以，从而．
于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值．
19．解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示，
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，所以AH＝10.
以D 为坐标原点，DA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (10，0，0)，H (10，10，0)，E (10，4，8)，F (0，4，8)，FE →＝(10，0，0)，HE →
＝(0，－6，8). 设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·FE →＝0，
n ·HE →＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
10x ＝0，
－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0，4，3).
又AF →＝(－10，4，8)，故|cos 〈n ，AF →
〉|＝|n ·AF →
||n ||AF →|＝4515.
所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为45
15.
20．（1
）见解析（2）
4
【解析】【试题分析】（1）连接BD 交AC 于O ，取PD 中点F ，连接OF ， EF ，利用中位线证明,//OF CE OF CE =，四边形EFOC 为平行四边形，从而//AC EF ，由此证得
//AC 平面PDE .（2）以B 为原点， BA u u u v ， BD u u u v ， BP u u u v
的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正
方向建立空间直角坐标系，通过计算平面APE 和平面DPE 的法向量来求二面角的余弦值. 【试题解析】
（1）证明：连接BD 交AC 于O ，取PD 中点F ，连接OF ， EF ，
因为//OF PB ， 12OF PB =
，又//PB CE ， 1
2
CE PB = 所以//OF CE ， OF CE =，从而//AC EF ， AC ⊄平面PDE ， EF ⊂平面PDE ， 所以//AC 平面PDE ．
（2）在平行四边形ABCD 中，由于2AD =， 1AB =， 60BAD ∠=︒，则AB BD ⊥，又
PB ⊥平面ABCD ，则以B
为原点， BA u u u v ， BD u u u v ， BP u u u v
的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ， ()1,0,0A
， ()
D ， ()0,0,2P
，
()
E -，
则()1,0,2AP =-u u u
v ， ()
1PE =--u u u v ， ()1,0,1DE =-u u u v
，
设平面PAE 的一个法向量为()111,,m x y z =v
，
则由0,
{ 0,m AP m PE ⋅=⋅=u u u v v u u
u v v 1111120,{
0,
x z x z -+=-+-=
令13y =，得12x =， 11z =
，所以()
2,3,1m =v
，
22m =v
，设平面PDE 的一个法向量为()222,,n x y z =v ， 则由0,
{ 0,n DE n PE ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 即222220,{
30,
x z x y z -+=-+-= 令223y =，得23x =， 23z =，所以()
3,23,3n =v
，
30n =v
，所以15cos ,4m n m n m n
⋅==⋅v v
v v v v ， 所以所求二面角的余弦值为
15
．
21．（1）
（2）
，定值为1.
【解析】试题分析： （Ⅰ）由
可得
，再根据离心率求得
，由此可得
，故可得椭圆
的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线
与直线
的斜率，结合根与系数的关系可得
，根据此式的特点可得当
时，为定值．
试题解析： （Ⅰ）依题意得、
，
， ∴，
解得
．
∵，
∴，
∴，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在满足条件的点.
当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.
因此直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去整理得
，
设、，
则，，
∵
，
∴要使对任意实数，为定值，则只有，
此时．
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．
点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．
22．（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】试题分析：（1）求导得，及，利用点斜式即可得切线方程；
（2）由，结合定义域，讨论和即可；
（3）恒成立等价于在时恒成立，设，求导，根据
函数的单调性得最值，只需即可.
试题解析：
（）由，
得：，，
当时，，，
∴，，
∴曲线在点处切线的方程为．
（）函数的定义域为，．
①若，
当时，，函数为增函数；
和时，
，函数为减函数；
②若，
当和时，，
函数为增函数；
当时，，函数为减函数，
综上所述，当时，函数的单调增区间为，
单调减区间为和，
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为．
（）当时，恒成立等价于在时恒成立，
设，则．
可知，当时，，为增函数；
时，，为减函数，
所以，
故．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立
；
（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。