一个复分析的局部线性化定理的证明

一个复分析的局部线性化定理的证明
作者：铁勇
来源：《青年时代》2016年第29期
摘要：koenige局部线性化定理是复分析动力系统中一个经典而重要的定理。

在复分析教材中利用待定系数法给出了一般的证明。

该文通过两个不同的解析函数展开探讨，结合M判别法给出了一个新的证明方法，并做详细论证。

这对后期研究和推广该定理提供了一定的理论依据。

关键词：复分析;局部线性化定理;证明
一、引言
koenige局部线性定理是复分析动力系统中有关解析函数性质的定理，与之相对应的还有整体线性化定理。

在复分析教材中利用待定系数法对局部线性化定理给出了一般的证明。

本文通过两个不同的解析函数展开探讨，结合M判别法给出了一个新的证明方法，并做详细论证。

二、koenige局部线性化定理的证明
定理1（koenige局部线性化定理）设 f 在原点的邻域内解析，且f（0）=0，f′（0）=0，0<|a|<1，则，以及{z：|z|<r}内唯一的（共形）解析函数，g，g（0）=0，g′（0）=1且g。

f。

g-1（δ）当δ充分靠近原点处成立，其中：
.
证明：先证唯一性.如果有解析函数g与都满足要求，即：
g（0）=0，g′（0）=1，φ（0）=0，φ′（0）=0，
由题设可得到g-1（ag（δ））=φ-1（aφ（δ），φ。

g-1（ag（φ））=aφ（δ），
φ。

g-1（aδ）=aφ（g-1（δ）），不妨设φ。

g-1（δ）=b1δ+b2δ2+…，则有
b1aδ+b2a2δ2+…+bnanδn+…=ab1δ+a2b2δ2+…+anbnδn+…，
因此得到bnan=abn，，故b1=1，从而
.
现证存在性：考虑函数列，其在质点的一个充分小的邻域内有定义且解析;若当n→∞时，在质点邻域内一致收敛于极限函数g（x），则由，可得g（δ）在质点邻域内解析，且
而
下面只须证φn（δ）（n=1，2，…）在质点的某一邻域一致收敛.
为此选取实数C，使C2<|a|<C<1，对于充分小的正数δ，当y∈U0={δ：|δ|<0}时，
有f（δ）|≤C|δ|<|δ|，f（δ）=aδ+a（δ2）（δ→0）
，2（m-1）|a|2+1<m2|a|-（m-1）2|a|2，
最终可得到;当m→∞时，得到
，则对于δ∈U0，R为常数，有，
，
因此，收敛，故由M判别法可知，由在中Un一致收敛可得到φ（δ）（n=1，2，…）于U0中一致收敛.
参考文献：
[1] 谢德曼.多元复分析导论[M].北京：世界图书出版公司，2010：91-92.
[2] 鲁丁.实分析与复分析（英文版·第3版）[M].北京：机械工业出版社，2004： 129-130.。