2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(五) 含解析

专题能力提升练(五) 解析几何 一、选择题(每小题5分)
1．过点(5,2)且在y 轴上截距是x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．5x －10y ＋12＝0
C ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0
D ．x －2y －9＝0或2x －5y ＝0
解析：设直线在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距为2a ，若a ＝0，得直线方程是2x －
5y ＝0；若a ≠0，则方程为x a ＋y
2a
＝1，又直线过点(5,2)，得a ＝6，得直线方程是2x ＋y －12
＝0.
答案：C
2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →
的值是( )
A ．－12 B.12 C ．－34 D.34
解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →
＝
1×1×cos120°＝－1
2
.
答案：A
3．已知命题p ：4<r <7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离等于5，所以当圆(x －3)2＋(y ＋5)2
＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.所以p 是q 的必要不充分条件．
答案：B
4．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：由题意知直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，则a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC |＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝2a 2－8a ＋26，当a ＝2时最小，此时b ＝－1，切线长等于4.
答案：C
5．已知点A (－t,0)，B (t,0)，若圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则正数t 的取值范围是( )
A ．[4,6]
B ．[5,6]
C ．[4,5]
D ．[3,6] 解析：圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42
－1≤t ≤32＋42＋1，即4≤t ≤6.
答案：A
6．已知方程x 2|m |－1＋y 2
2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)
C ．(－∞，0)∪(1,2)
D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫1，32 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
|m |－1>02－m >0
2－m >|m |－1，
解得m <－1或1<m <3
2
.
答案：D
7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1
3
，设椭圆与抛物线y 2＝4x 的交点P 到点F (1,0)
的距离为5
2，则椭圆的标准方程为( )
A.x 2
4＋y 23＝1 B.x 25＋y 2
4＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 29＋y 2
8
＝1 解析：设P (x 0，y 0)，根据题意知x 0－(－1)＝52，所以x 0＝3
2
，代入y 2＝4x ，得y 0＝±6，
所以P ⎝⎛⎭⎫32，±6.由椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
94a 2＋6b 2
＝1c a ＝13a 2
＝b 2
＋c
2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3
b ＝22
c ＝1
，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2
8
＝1.
答案：D
8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与
双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率e ＝( )
A.10
B.10
2
C.103
D.52
解析：由题意知，直线l 的方程为y ＝－(x －c )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－(x －c )y ＝b a x ，得
A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc
a ＋
b ，解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－(x －c )y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭
⎫ac a －b ，－bc
a －
b ，因为A 为线段BF 的中点，
所以2ac a ＋b ＝ac a －b
＋c ，即b ＝3a ，所以e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋9＝10，所以e ＝10.
答案：A
9．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一
象限内的交点为P ，且PF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为( )
A.3－ 2
B.2－1
C.12
D.22
解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，结合题意得a 2－b 2＝1 ①，又由题意知P
点的坐标为P (1,2)，则1a 2＋4b 2＝1 ②.由①②得a 2＝3＋22，a ＝1＋2，e ＝c a ＝1
1＋2
＝2
－1，选B.
答案：B
10．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0，a ≥4)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，设抛
物线的准线与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
解析：由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线为x ＝－2， 所以c ＝2，a 2－b 2＝4.
把x ＝－2代入椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
得y 2＝b 2⎝⎛⎭
⎫1－4a 2， 取A ⎝⎛⎭⎫－2，b 1－4a 2，B ⎝
⎛⎭⎫－2，－b 1－4
a 2.
因为△ABF 的面积为
S ＝12×4×2b 1－4
a
2＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2 ＝4(a 2－4)a ＝4a －16a ，
S ′＝4＋16
a
2>0，
所以S 为增函数，因为a ≥4，所以S ≥12. 答案：D
二、填空题(每小题5分)
11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π
2
)．设圆O 上到直线l 的距离
等于1的点的个数为k ，则k ＝__________.
解析：圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又圆O 的半径为5，所以圆上有4个点符合条件． 答案：4
12．直线x －ky ＋1＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，则动弦AB 中点M 的轨迹方程是______________．
解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，易知直线恒过定点P (－1,0)，由垂径定理可得OM →⊥PM →
，
故OM →·PM →
＝x (x ＋1)＋y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14
. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14
13．两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和
点M (－3，2)，且圆心C 在直线y ＝1
2
x 上，则圆C 的标准方程为________________．
解析：由2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线l 的方程为x －y ＋3＝0.设圆C
的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线l 和直线y ＝1
2
x 的交点，联立
⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋3＝0y ＝12x
，解得圆心C 的坐标为(－6，－3)，从而解得r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.
答案：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34 14．过抛物线x 2＝4y 上一点M (x 0，y 0)(x 0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N (x 1，y 1)，则x 0－x 1的最小值为__________．
解析：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝1
2
x ，抛物线的准线方程为y ＝－1.因为点M (x 0，
y 0)是抛物线x 2＝4y 上一点，所以y 0＝14x 20，且过点M 的抛物线的切线的斜率k ＝1
2
x 0，切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y －14x 20＝12x 0(x －x 0)，令y ＝－1，得x 1＝12x 0－2x 0，所以x 0－x 1＝1
2x 0＋2
x 0
≥2，所以x 0－x 1的最小值为2. 答案：2
15．在平面直角坐标系中，点P 为椭圆x 23
＋y 2
＝1上的一个动点，则点P 到直线x －y ＋
6＝0的最大距离为__________．
解析：通解：设直线x －y ＋a ＝0与椭圆相切，则方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋a ＝0x 23
＋y 2＝1有唯一解，消去
x ，得4y 2－2ay ＋a 2－3＝0，Δ＝4a 2－16(a 2－3)＝0，解得a ＝±2，所以直线x －y ±2＝0与椭
圆相切，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为直线x －y －2＝0与直线x －y ＋6＝0间
的距离，最大距离为8
2
＝4 2.
优解：设P (x ，y )，则x 23＋y 2
＝1，且P (x ，y )到直线x －y ＋6＝0的距离为d ＝|x －y ＋6|2
.
设⎩⎨⎧
x ＝3cos α
y ＝sin α
， 则d ＝|3cos α－sin α＋6|2
＝⎪⎪⎪
⎪
2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋62
＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62
＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62≤8
2
＝42，
所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为4 2. 答案：4 2
三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)
16．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；
(2)若|AB |＝314
4
，求动点M 的轨迹方程．
解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．
又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切，所以|－2－5k －1|
k 2＋1
＝2，
解得k ＝－1或－7
23
，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或
7x ＋23y －12＝0.
(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝
314
8
，故|CP |＝2－⎝⎛
⎭⎫31482
＝28
.
由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2，
得|CQ |＝2
28
＝82，
即x 2＋(－y －2)2＝82， 即x 2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．
17．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －2m －2＝0.
(1)证明：m 取任意实数时，l 1和l 2的交点总在一个定圆C 上； (2)直线AB 与(1)中的圆C 相交于A ，B 两点，
①若弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫
12，12平分，求直线AB 的方程．
②若直线AB 经过定点(2,3)，求使△ABC 的面积取得最大值时的直线AB 的方程．
解：(1)设l 1和l 2的交点坐标为(x ，y )，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
mx －y ＝0
x ＋my －2m －2＝0，
消去m 得，x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2，
所以l 1和l 2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为2的圆上．
(2)①当弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫
12，12平分时，CP ⊥AB ，
因为k CP ＝1－12
1－12
＝1，
所以k AB ＝－1，由点斜式方程，得直线AB 的方程为y －1
2
＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0. ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝2，可求得|AB |＝2，S △ABC ＝1
2
×2×1
＝1；
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，
则圆心C 到直线AB 的距离d ＝|k －1＋3－2k |1＋k 2＝|2－k |
1＋k 2
，
又S △ABC ＝1
2
d ×22－d 2
＝2d 2－d 4＝－(d 2－1)2＋1，
当d 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－k |1＋k 22＝1，
即k ＝3
4
时，△ABC 面积取得最大值1，
此时，直线AB 的方程为y －3＝3
4
(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.
综上所求直线AB 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.
18．已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D 的方程；
(2)已知动直线l 过点P (4,0)，交抛物线D 于A ，B 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1)由题意，可设抛物线D 的方程为y 2＝2px (p >0)．
由4－3＝1，得抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x .
(2)设A (x 1，y 1)，假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心M ⎝⎛⎭⎫
x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .
则|EG |2＝|MG |2－|ME |2， 即|EG |2＝|MA |2－|ME |2 ＝(x 1－4)2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2 ＝14y 21＋(x 1－4)2－(x 1＋4)24
＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.
当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意． 19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－
4,0)作斜率为1
4
的直线l ，使得直线l 和双曲线G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P
在线段AB 上，|P A |·|PB |＝|PC |2.
(1)求双曲线G 的方程；
(2)椭圆S 的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．
解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，
则由已知可得|5k |
k 2＋1＝5，
所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±1
2
x .
设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝14(x ＋4)x 2－4y 2＝m
，得3x 2－8x －16－4m ＝0，
则x A ＋x B ＝8
3，x A x B ＝－16＋4m 3
.(*)
因为|P A |·|PB |＝|PC |2，
P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， 所以(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0， 将(*)代入上式，解得：m ＝28.
所以双曲线G 的方程为x 228－y 2
7
＝1.
(2)由题可设椭圆S 的方程为：x 228＋y 2
a
2＝1(a >27)，
弦的两个端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)，
由⎩⎨⎧
x 2128＋y 21
a 2
＝1x 22
28＋y 22a 2
＝1
，
得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
a 2＝0，
因为y 1－y 2
x 1－x 2
＝－4，
x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，
所以x 028－4y 0
a 2＝0，
所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线x 28－4y
a
2＝0截在椭圆S 内的部分．
又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝1
2
，
所以a 2＝56，椭圆S 的方程为x 228＋y
256
＝1.
20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2
，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12. (1)求椭圆C 的方程；
(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴交于点M ，在第一象限内是否存在A 点，使得AM 与椭圆相切？若存在，求出A 点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由e ＝3
2
，得a ＝2b ，把点⎝⎛⎭⎫－3，12代入椭圆方程可得： (－3)2
4b 2＋⎝⎛⎭
⎫122b
2＝1⇒b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)假设存在A (x 1，y 1)，(x 1>0，y 1>0)，
则B (－x 1，－y 1)，直线AB 的斜率k AB ＝y 1
x 1，
又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1
y 1
，
设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， D (x 2，y 2)，
由题意知k ≠0，m ≠0，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m x 24
＋y 2＝1，
可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.
所以x 1＋x 2＝－8mk
1＋4k 2
，
因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m
1＋4k 2，
由题意知，x 1≠x 2，所以k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2
＝－14k ＝y 1
4x 1，
所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 1
4x 1
(x ＋x 1)，
令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k AM ＝－
y 1
2x 1
. 设过点A 的直线l ：y ＝tx ＋p 与椭圆相切，则把y ＝tx ＋p 代入x 24
＋y 2
＝1，
得(1＋4t 2)x 2＋8ptx ＋4p 2－4＝0有两个相等实根， 所以Δ＝(8pt )2－4×4(p 2－1)(1＋4t 2)＝0， 所以4t 2＝p 2－1.
又方程的解为x 1，即x 1＝－4t p ，y 1＝1p ，所以t ＝－x 1
4y 1.
若AM 是椭圆的切线，则－y 12x 1＝－x 1
4y 1
，即x 21＝2y 2
1， 又因为x 214＋y 21＝1，所以x 2
1＝43，y 21＝23
， 所以x 1＝233，y 1＝63，所以在第一象限内存在点A ⎝⎛⎭⎫
233
，63，使得AM 与椭圆相切． 21．(2016·浙江杭州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝22
3
，且过点⎝⎛⎭⎫22，13. (1)求椭圆方程；
(2)Rt △ABC 以A (0，b )为直角顶点，边AB ，BC 与椭圆交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由e ＝223，即c a ＝22
3
，
又a 2－b 2＝c 2，得a ＝3b ，
把点⎝⎛⎭⎫22，13代入椭圆方程可得(22)29b 2＋⎝⎛⎭⎫132
b
2＝1⇒b ＝1.
所以椭圆方程为x 29
＋y 2
＝1.
(2)由题意知AB ，BC 所在直线的斜率均存在，不妨设AB 的方程为y ＝kx ＋1，
则AC 的方程为y ＝－1
k
x ＋1.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 29
＋y 2＝1，
得(1＋9k 2)x 2＋18kx ＝0⇒x B ＝－18k
1＋9k 2
，
将k 用－1k 代替，可得x C ＝18k
9＋k 2
，
从而有|AB |＝1＋k 2·18k
1＋9k 2
，
|AC |＝1＋1k 2·18k
9＋k
2.
于是S △ABC ＝1
2|AB ||AC |＝162×k (1＋k 2)(1＋9k 2)(9＋k 2)
＝162×k ＋1k
9⎝⎛⎭⎫k 2
＋1k 2＋82.
令t ＝k ＋1
k
≥2，
有S △ABC ＝162t 9t 2＋64
＝1629t ＋
64t
≤27
8，
当且仅当t ＝8
3>2时取等号，
(S △ABC )max ＝27
8.。