九年级数学专训2利用概率揭示游戏规则的公平性

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北师大版九年级上册数学第三章概率的进一步认识第一讲用概率判断游戏规则的公平性

解：列出得到的两数字之和的所有可能的结果如下：
转盘摸球 1 3
2 6＋1＝7
2＋3＝5 4＋3＝7 6＋3＝9
5
2＋5＝7 4＋5＝9 6＋5＝11
共有 9 种等可能的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种，“和为 7 的倍数”的有 3 种， ∴P(小杰赢)＝39＝13， P(小玉赢)＝39＝13. ∴游戏是公平的．
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可
能出现的结果．
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
转盘摸球
2
4
6
1
(2，1) (4，1) (6，1)
3
(2，3) (4，3) (6，3)
5
(2，5) (4，5) (6，5)
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
解：所有可能结果如下表：
红1
红2
白1
白2
红1
(红2，红1) (白1，红1) (白2，红1)
红2 (红1，红2)
(白1，红2) (白2，红2)
白1 (红1，白1) (红2，白1)
(白2，白1)
白2 (红1，白2) (红2，白2) (白1，白2)
(2)若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球的颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．解：不公平．理由如下：由(1)知共有 12 种等可能的结果，其中摸到两个小球的颜色相同的有 4 种，摸到两个小球的颜色不同的有 8 种， ∴甲获胜的概率为142＝13，乙获胜的概率为182＝23. ∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
北师版九年级上
第三章概率的进一步认识

北师版初中数学九年级上册精品教案第3章概率的进一步认识第2课时利用概率判断游戏的公平性

第2课时利用概率判断游戏的公平性教师备课素材示例●情景导入如图，小明、小亮和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：由小明和小亮玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小亮中的获胜者．假设小明和小亮每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？【教学与建议】教学：通过做游戏激发了学生学习的兴趣，达到巩固知新作用．建议：学生仿照上节课所学的用树状图或表格求概率的方法尝试解决上面的问题．●复习导入 (1)小颖将一枚质地均匀的硬币掷一次，正面朝上的概率是__12__；连续掷两次，两次都是正面朝上的概率是__14__；连续掷三次，三次都是正面朝上的概率是多少呢？(2)掷一枚硬币一次，这是一步试验，可用直接计算法求概率；掷两枚硬币(或一枚硬币掷两次)，这是两步试验，可用__列表法或画树状图法__求概率；掷三枚硬币(或一枚硬币掷三次)，这是三步试验，那么如何求三步试验的概率呢？带着这个问题进入今天的学习吧！【教学与建议】教学：复习上节课所学的新方法，熟练掌握其操作，为本课时的进一步运用做好准备．建议：用树状图或表格，不容易出错．概率＝事件可能出现的结果数试验所有可能出现的结果数，用列表法或画树状图法列举所有可能的结果．【例1】今年母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为(A)A ．13B ．12C ．23D ．19参加游戏的双方最关心的是游戏规则是否公平、合理，而衡量游戏公平与否的标准就是游戏中胜负的概率大小．【例2】(1)小明和小亮做游戏，先各自在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏(C)A ．对小明有利B ．对小亮有利C ．公平D ．无法确定对谁有利(2)小明与小亮玩掷骰子游戏，有两个均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个数．若掷出的两个骰子的两个数的和为奇数，则小明胜；若掷出的两个骰子的两个数的和为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方__公平__(选填“公平”或“不公平”)．高效课堂教学设计1．进一步经历用树状图和列表法计算事件发生的概率．2．通过具体情境，感受一件事情公平与否在现实生活中广泛存在．▲重点用树状图和列表法计算涉及两步及以上试验的随机事件发生的概率． ▲难点树状图和列表法的运用方法．◆活动1 创设情境导入新课(课件)“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．简单明了的法则，单次玩法比拼运气，多回合玩法比拼心理博弈，使得“石头、剪刀、布”这个古老的游戏同时拥有“意外”与“技术”两种特性，深受世界人民喜爱．那么同学们想一想“石头、剪刀、布”有没有规则漏洞可钻呢？◆活动2 实践探究交流新知小可、子宣、欣怡三人在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，她们约定用“石头、剪刀、布”的方式确定，那么在一个回合中，三个人都出“剪刀”的概率是多少？问题1：这个游戏是几步试验完成？问题2：每种都有几个可能性？问题3：一共有多少种可能性．解：用树状图分析所有可能的结果，如图：总共有27种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，三个人都出“剪刀”的结果只有1种，所以其概率为127.归纳：当一次试验涉及更多的因素时，可采用树状图法把所有可能的结果都列出来．◆活动3 开放训练应用举例例1 (教材P62例1)小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？【方法指导】因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果．解：画树状图如图：总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)，(剪刀，剪刀)，(布，布)，所以小凡获胜的概率为39＝13；小明胜小颖的结果有3种：(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，所以小明获胜的概率为39＝13；小颖胜小明的结果也有3种：(石头，布)，(剪刀，石头)，(布，剪刀)，所以小颖获胜的概率为39＝13.因此，这个游戏对三人是公平的．例2 (教材P 62“做一做”)小明和小军两人一起做游戏．游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果你是游戏者，你会选择哪个数？【方法指导】这个问题看上去复杂，实际上等同于每人各掷一次质地均匀的骰子，将两人掷得的点数相加，看点数之和为几的概率最大．所以掷得的点数之和是哪个数的概率大，选择这个数后获胜的概率就大．理解到这一点之后学生通过列表法完成本题．和为7的结果最多，有6种，其概率为636＝16，所以如果我是游戏者，我会选择数字7.◆活动4 随堂练习1．一个不透明的布袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为(B) A ．16B ．13C ．12D ．232．一只昆虫在如图所示的树枝上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它停留在A 叶面的概率是__16__. 3．某市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000m 跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项从“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是__14__. 4．甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．(1)求甲第一个出场的概率；(2)求甲比乙先出场的概率．解：画树状图如下：总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．(1)由树状图可知，甲第一个出场的结果有2种：(甲、乙、丙)(甲、丙、乙)，所以P(甲第一个出场)＝26＝13； (2)由树状图可知，甲比乙先出场的结果有3种：(甲、乙、丙)(甲、丙、乙)(丙、甲、乙)，所以P(甲比乙先出场)＝36＝12. ◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？教学说明：可以用树状图或表格求两步或两步以上随机试验的概率．作业：课本P 64习题3.2中的T 1、T 2、T 3.本节课在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学的意识，增强学习数学的兴趣和信心．有意识地引导学生进行提炼升华，目的是进一步巩固用树状图或表格求概率．。

课时2 用概率判断游戏的公平性

新课讲解
解：(1)∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色
外其余都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，
1个白球，∴P(摸出一个白球)＝
1; 6
(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意
可知P(乐乐获胜)＝ 3 1 , 62
＝
P1(亮2亮获1 ,胜)
62
∴他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．
方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在
当堂小练
1.袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个球
除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则
1
P(摸到红球)= 9 ;
1
P(摸到白球)= 3 ;
5
P(摸到黄球)= 9 .
当堂小练
2.规定：在一副去掉大、小王的扑克牌中，牌面从小到大的顺序为：2、3、4、5、6、7、8、9、 10、J、Q、K、A,且牌面的大小与花色无关.小
现小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌， 16
P(小明获胜）= 17 . P(小颖获胜）= 0 .
拓展与延伸
3.用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
1
（1）使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率
也是 1
；
2
2
1
（2）使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球
的概率也是 2
5
.
5
新课讲解
解：这个游戏不公平. 1 2 3 4 5
理由是：如果将每一个球都编上号码，
从盒中任
共有5种等可能的结果：1号球，
意2号摸球出，一3个号球球，，4号球，5号球.
摸出红球可能出现两种等可能的结果：摸出1号球
或2号球.P(摸到红球）= 2 . 5

九年级数学解码专训(1)

九年级数学解码专训一：利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是否公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率；(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？(第3题)解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________． 2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x ，y 确定的点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率； (2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x ，y 满足xy>6，则小明胜；若x ，y 满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训三：几种常见热门考点名师点金：概率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．判断事件类型1．下列事件中，是必然事件的为( ) A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B ．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃ C ．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾 D ．打开电视，正在播放节目《中国好声音》 2．下列事件，是随机事件的是( ) A ．四边形的内角和为180°B ．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C ．2016年巴西举办奥运会D ．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限求事件的概率3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )A .12B .13C .15D .164．有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a(a －3)＝0有两个不相等的实数根的概率是________．5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第5题)用频率估计概率6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．游戏的公平性问题7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．(第7题)答案解码专训一1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因为13＜23，所以这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即去D 地的车票有10张，补全统计图如图所示：(第3题(1))(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.(3)列表如下：(第3题(3))或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58，所以这个规则对双方不公平．解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14. 4．解：(1)方法一：列表如下：4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13. 方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.解码专训三1．C 2.D 3.B4.475．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为1－25%－20%－20%－15%2＝10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第5题)或列表如图：由树状图(况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝26＝13.6．247．解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字2)＝12.(2)画树状图如下：(第7题)从树状图中可以看出所有等可能的结果共有16种，组成的两位数不超过32的有10种，∴P(组成的两位数不超过32)＝1016＝58，∴P(童童胜)≠P(乐乐胜)，∴游戏规则不公平．将游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，则童童胜，反之乐乐胜．(答案不唯一)。

利用概率解决“游戏是否公平”类问题

是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我
赢．”小红赢的概率是
，据此判断该游
戏（填“公平”或“不公平”）．
【解析】所有可能出现的结果如下表所示：
４５６
＼＼和
＼
４
８９１０
５
９ｌ０ｌｌ
６
１０ｌｌ１２
ｏ
Ａ图ｌ
【解析】根据题意画出树状图．如图２所示，所有出现的等可能结果有２４种，其中积为偶数的有１８种结果，积为奇数的有６种结果．因此积为偶数的概率为尸，＝１８＝，积为奇数的
概率为Ｐ２＝６＝１因为３．
利用概率解决
类问题
杨波
判断游戏公平与否，关键是根据规则用 “树状图 ”或者“列表法 ”算出各自的概率，概率均等，则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．为了帮助同学们更好地理解，本文选取教材中
由表可知，共有９种等可能结果，其中和为偶数有５种结果，和为奇数有４种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为５，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活
动的概率为４，［￣ｙｊ５４，所以这个游戏不

利用概率判断游戏规则的公平性 (共14张PPT)

训练角度 2 利用概率判断转盘游戏的公平性
2.【2016· 营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等
份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后
任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等
(若指针恰好落在分界线上则重转)． (1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心 90 度能与标有“4”的旋转________ 扇形的起始位置重合；
用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．解：画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和
为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，
4 1 = . ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为 12 3
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的
习题课阶段方法技巧训练
专训2
利用概率判断游戏规则的公平性
通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知
识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决
游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游
戏不公平．
训练角度 1 利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
对雾霾天气
了解程度的统计表：
对雾霾天气的了解程度
A.非常了解 B.比较了解
百分比
5% 15%
C.基本了解
D.不了解
45%
n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有________ 400 人， 35% ； n＝________ (2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角 126 度；是________

2024九年级数学下册第4章概率集训课堂练素养1.利用概率判断游戏规则的公平性习题课件新版湘教版

4 2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，北京航空航天大学桂海潮教授成为我国首位载荷专家，从贫困县的普通学生到太空科研第一人，他的事迹激励着每一位立志报国的中学生．我校即将开展“桂海潮事迹宣讲活动”，实力相当的甲、乙两位同学决定通过转盘游戏确定谁成为首位宣讲员，
规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘A，B，A转盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，B转盘被分成面积相等的3个扇形，依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果落在分割线上，则需要重新转动转盘)
1 (1)转动转盘A，指向的数字为1的概率是____4____．
(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，
请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？
【解】将转盘A 4等分，这样才使指向每个区域的可能
性均等，用
1
2
2
Hale Waihona Puke 2列表法表示如下：
3 1＋3＝4 2＋3＝5 2＋3＝5 2＋3＝5 4 1＋4＝5 2＋4＝6 2＋4＝6 2＋4＝6 5 1＋5＝6 2＋5＝7 2＋5＝7 2＋5＝7
0
(－2，0) (－1，0)
—
(1，0) (2，0)
1
(－2，1) (－1，1) (0，1)
—
(2，1)
2
(－2，2) (－1，2) (0，2) (1，2)
—
由表格可知一共有 20 种等可能的结果，其中数字之积为 0
的结果有 8 种，数字之积不为 0 的结果有 12 种， ∴王伟参赛的概率为280＝25，孙莉参赛的概率为1220＝35. ∵25≠35，∴班长设计的这个游戏规则对双方不公平．

公平不公平概率来评评(数学人教版九年级上册)

公平不公平概率来评评在解决等可能事件的概率计算问题时，常常与“游戏公平与否”不期而遇.其实，这类问题实质上就是分别求两者在等可能事件中的概率，再进行比较大小.例1 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A 为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．解析：（1）1 4（2）这个游戏规则不公平．理由：画树状图如图所示：由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果有5种，所以P（甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A）＝5 16.因为14＜516，所以这个游戏规则不公平．例2小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．解析：（1）用表格表示所有可能出现的结果如下：由表格知，总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中“差的绝对值”为0，1，2的结果有24种，“差的绝对值”为3，4，5的结果有12种，所以，P（小伟胜）=2436=23，P（小梅胜）=1236=13.（2）因为23≠13，所以上述游戏不公平.根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，可将游戏规则修改为：两次掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜. （答案不唯一）。

九年级数学第三章概率的进一步认识1 用树状图或表格求概率第2课时利用概率判断游戏的公平性作业

第八页，共十四页。
解：不公平，理由如下：列表如右，由表可知共有9种等可能的结果，其中和为偶数的有5种结果，
和为奇数的有4种结果，∴按照小明的想法参加(cānjiā)敬老
和
4
5
6
4
8
9
10
5
9
பைடு நூலகம்
10
11
6
10
11
12
服务活动的概率为59 ，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率
为49 ，由59 ≠49 知这个游戏不公平
第十一页，共十四页。
解：(1)列表(liè biǎo)格表示(a，b)对应的值为：
ab 1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
第十二页，共十四页。
(2)游戏不公平．∵符合有理数根的有 2 种，而符合无理数根的只有 1 种， ∴P(小丽赢)＝16 ，P(小兵赢)＝112 .∴P(小丽赢)≠P(小兵赢). ∴这个游戏不公平．设计方案：小冬抽出(a，b)中使关于 x 的一元二次方程 x2－ax＋2b＝0 根为等根时小丽赢，方程的根为无理数时小兵赢
第三章概率(gàilǜ)的进一步认识
3．1 用树状图或表格(biǎogé)求概率
第2课时利用概率判断游戏的公平性
第一页，共十四页。
第二页，共十四页。
1．小明和小亮做游戏，先各自在纸上写一个正整数，
然后都拿给对方看．
他们约定(yuēdìng)：若两人所写的数都是奇数或是偶数，则小明获胜；
若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )

游戏规则的公平性数学教案设计

游戏规则的公平性數學教案設計标题：游戏规则公平性之数学教案设计一、教学目标：1. 让学生理解游戏规则的公平性的概念。

2. 通过实际操作和计算，让学生能够判断一个游戏规则是否公平。

3. 培养学生的逻辑思维能力和批判性思考能力。

二、教学内容：1. 游戏规则的公平性定义2. 判断游戏规则公平性的方法3. 实际案例分析三、教学步骤：（一）引入教师可以以生活中的例子引入公平性的问题，比如抛硬币决定谁先走，抽签决定顺序等。

然后引导学生思考这些方式为什么被认为是公平的。

（二）讲解1. 定义公平性：在概率论中，如果一个游戏中每个玩家获胜的概率是相同的，那么我们就说这个游戏是公平的。

2. 判断公平性的方法：我们可以使用概率来判断一个游戏是否公平。

如果每个玩家获胜的概率相等，那么这个规则就是公平的。

（三）实践1. 分组活动：将学生分成小组，每组选择一个游戏规则进行讨论，并计算出每个玩家获胜的概率。

2. 分享结果：各组分享他们的游戏规则和计算结果，其他同学可以提出自己的看法和疑问。

3. 教师点评：教师对学生的讨论结果进行点评，指出哪些规则是公平的，哪些不是，并解释原因。

（四）应用教师提供一些具体的游戏规则，让学生判断其公平性。

例如，猜拳游戏，扔骰子游戏等。

（五）总结教师带领学生回顾本节课的主要内容，强调公平性的重要性，以及如何用数学工具判断游戏规则的公平性。

四、教学评价：教师可以通过观察学生在分组讨论和分享过程中的表现，以及他们对于公平性问题的理解程度，来进行教学评价。

五、课后作业：1. 设计一个新的游戏规则，并计算每个玩家获胜的概率。

2. 找一个现实生活中的不公平现象，分析其不公平的原因。

六、教学反思：通过这堂课的学习，学生不仅了解了公平性的概念，也学会了如何用数学工具判断游戏规则的公平性。

这种结合实际生活情境的教学方式，有利于提高学生的学习兴趣和参与度。

《游戏规则的公平性》教学设计（通用5篇）

《游戏规则的公平性》教学设计（通用5篇）《游戏规则的公平性》篇1教学内容：教科书第79~81页、“想想做做”和“你知道吗？”教学目标：⒈ 学生在活动中观察、比较，进一步感受事件发生的可能性，进一步体验等可能性和游戏规则的公平性。

⒉ 能在具体的游戏中，通过认真的观察及相应地记录数据，辨别游戏是否公平，初步学会设计简单游戏的公平规则。

⒊ 使学生体会到观察在数学学习中的重要性，学会用数据、图表、描述等方式表达观察的结果。

⒋ 使学生进一步体会统计在日常生活中的应用，增强用统计方法解决实际问题的意识，发展统计观念，培养学习的兴趣和与人合作的态度。

教学准备：教师准备教学和相应的统计表格；一个转盘；每小组桌上有一个袋子，放5个红球和1个黄球；桌面上再放4个黄球；两人一组准备10张扑克牌。

教学过程：一、创设情境，激趣引入谈话：同学们平时都爱玩游戏吧？老师给大家准备了三个游戏：一个是抛硬币，一个是摸球，还有一个是摸牌，你想玩什么游戏呢？（让学生自由说说）那这样，究竟玩哪个游戏，“转盘”说了算。

1、出示“转盘” 说明：指针指向红色区域玩抛硬币，指针指向蓝色区域玩摸球，指针指向白色区域玩摸牌。

你认为玩什么游戏的可能性大？说说你的理由。

2、转动转盘，确定游戏。

二、认识游戏公平性原理⒈ 第一次摸球谈话：那我们就先来玩摸球游戏吧。

（1）师出示一个纸箱子，（里面装着5个红球和1个黄球。

）师：瞧，老师带来一个纸箱子，里面装有一些黄球和一些红球，一共6个。

咱们就用这6个球进行摸球游戏，不过摸球游戏大家三年级时就玩过了，这一次我们加点竞赛的成分，根据这样的游戏规则开始游戏（幻灯片逐步出示）1箱子里有两种不同颜色的球(红球和黄球)共6个，2每次任意摸一个球，摸后放回，3摸到红球的次数多，算女生赢，摸到黄球的次数多，算男生赢，4一共摸20次。

提问：同意这样的游戏规则吗？预设a、不同意的（有学生有疑问）师：（指名）你想说什么吗？（指出球的多少不清楚，如果*球多，那么*球摸到的可能性就大，*生赢的可能性也就大了。

备考2022年中考数学二轮复习-统计与概率_概率_游戏公平性-解答题专训及答案

备考2022年中考数学二轮复习-统计与概率_概率_游戏公平性-解答题专训及答案游戏公平性解答题专训1、(2017通辽.中考真卷) 2017•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．2、(2019鞍山.中考真卷) 妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快.是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形.我就先读，否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由.（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F 表示）3、(2018长春.中考模拟) 甲、乙两人做摸球游戏，在不透明的口袋里放入大小相同的两个黑球和两个白球，甲摸出两个球后放回，乙再摸出两个球，若摸出一黑一白甲赢，若摸出两个相同颜色的乙赢．这个游戏公平吗？为什么？4、(2017吉林.中考模拟) 用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起就配成了紫色，其中A盘中红色和蓝色均为半圆，B盘中红色、蓝色、绿色所在扇形圆心角均为120度）．小亮和小刚同时用力转动两个转盘，当转盘停下时，两枚指针停留的区域颜色刚好配成紫色时小亮获胜，否则小刚获胜．判断这个游戏对双方是否公平，并借助树状图或列表说明理由．5、(2018扬州.中考模拟) 初三年（4）班要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘，由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数．小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解）6、(2017金安.中考模拟) 学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票．班长由王伟和李丽分别转动下图的甲、乙两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动．你认为这个方法公平吗？请画树状图或列表，并说明理由．7、(2018青岛.中考模拟) 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1～4的四个球(除编号外都相同)，从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．8、(2017青岛.中考模拟) 小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的卡片，每组三张，第一组卡片正面分别标有数字1，3，5；第二组卡片正面分别标有数字2，4，6．他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组卡片中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10，则小明获胜；当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10，则小亮获胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．9、(2017青岛.中考模拟) 小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．10、(2017黄岛.中考模拟) 小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．11、(2017北.中考模拟) 甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．12、(2018青岛.中考真卷) 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．13、(2017长沙.中考模拟) 把一副扑克牌中的三张黑桃牌（它们的正面数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字．当两张牌的牌面数字相同时，小王赢；当两张牌的牌面数字不同时，小李赢．现请你分析游戏规则对双方是否公平，并说明理由．14、(2017深圳.中考模拟) 某校初三（1）班名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远9 0.18三级蛙跳12一分钟跳绳8 0.16投掷实心球0.32推铅球 5 0.1合计50 1（1）求的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率.15、(2019宝鸡.中考模拟) 新年游园会中有一款电子飞镖的游戏. 如图，靶被等分成2个区域，分别涂上红色和蓝色，靶被等分成3个区域，分别涂上红色、蓝色、和白色. 小彬向靶、小颖向靶分别投掷一枚电子飞镖，飞镖随机落在靶盘的某一位置，若两枚飞镖命中部分的颜色恰好配成紫色，小彬获得奖品，否则，小颖获得奖品（若飞镖落在边界线上时，重投一次，直到落在某一区域）.这个游戏公平吗？说明理由.游戏公平性解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：9.答案：10.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

利用概率判断游戏规则的公平性

结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气
了解程度的统计表：
对雾霾天气的了解程度
百分比
A.非常了解
B.比较了解 C.基本了解 D.不了解
5%
15% 45% n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有________ 400 人， 35% ； n＝________ (2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角 126 度；是________1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
能的结果，
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12种，奇数的有4种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率是
∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．
训练角度 2 利用概率判断转盘游戏的公平性
2.【2016· 营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等
份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后
任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等
(若指针恰好落在分界线上则重转)． (1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心 90 度能与标有“4”的旋转________ 扇形的起始位置重合；
数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．解： ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)， (2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况， ∴P(甲胜)＝
6 12 = 1 2 , 6 12 1 2
P(乙胜)＝

部编人教版九年级数学上册25.2.3利用概率判断游戏规则的公平性(课件)

(2)小胡抽到去A地的概率为
20

20 40 30

10

1 5
(3)列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小王掷得着地一面的数字
比小李掷得着地一面的数字小的有6种，分别为(1，2)，
(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
所以小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数
(2) 在 (1) 的前提下，若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
试用列表法或树状图法分析，这个规则公平吗？
解：(1)设去D地的车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋ 30)×10%，解得x＝10，即去D地的车票有10张，补全统计图如图所示．
(2)认同，理由如下：
∵P(小王去)＝
3 4
，
P(小李去)＝ 1 ，3 ≠ 1 ，
4 44
∴规则不公平．
返回
类型 2 利用概率判断翻牌游戏的公平性
2．(中考•营口)如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B， C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率．
字小的概率为 166＝
3 8
.
则小王掷得着地一面的数字不小于小李掷得着地一
面的数字的概率为 10 ＝ 5 .因为 3 ≠ 5 ，所以这个
16 8
88
规则不公平．
返回
第二十五章概率初步
25.2 用列举法求概率第3课时利用概率判断游戏规则的公平性

3.用概率判断游戏公平性课件

课时2 用概率判断游戏公平性
从第一个人
一共有 9 种等可能结果.
从第二个盒子摸出的结果从第一个盒子摸出的结果
(1) 两人都左拐的结果只有 1 种：( 左，左 )，
所以两人都左拐的概率为：1 ； 9
(2) 恰好有一人直行，另一人左拐的结果有 2 种：( 直，左 ) ( 左，直 )，
所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率为：2 ；
93
小颖胜小明的结果也有 3 种：(剪刀，石头) (布，剪刀) (石头，布)，所以
小颖获胜的概率为 3 = 1 .
93
因此，这个游戏对三人是公平的.
课时2 用概率判断游戏公平性
针对训练 1. 王铮善于球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定. 游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果两次正面朝上一次正面朝下，则王铮加入足球阵营；如果两次反面朝上，一次反面朝下，则王铮加入篮球阵营. (1) 用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；
课时2 用概率判断游戏公平性
解：将第一张画片的上半部分记为“1 上”，下半部分记为“1 下”，以此类推，可列表如下：
从第二个盒子摸出的结果
从第一个盒子摸出的结果
1下
2下
3下
1上
( 1 上，1 下 ) ( 1 上，2 下 ) ( 1 上，3 下 )
2上
( 2 上，1 下 ) ( 2 上，2 下 ) ( 2 上，3 下 )
3上
( 3 上，1 下 ) ( 3 上，2 下 ) ( 3 上，3 下 )
课时2 用概率判断游戏公平性
从第二个盒子摸出的结果
从第一个盒子摸出的结果
1下
2下

3.1利用概率判断游戏的公平性（第2课时）同步练习（含答案）

第2课时利用概率判断游戏的公平性关键问答①如何判断游戏的公平性？1．①甲、乙两人用2张红心扑克牌和1张黑桃扑克牌做游戏，规则是：甲、乙各抽取一张，若两张牌是同一花色，则甲胜；若两张牌花色不同，则乙胜．这个游戏公平吗？答：__________．2．把五张大小相同且分别写有1，2，3，4，5的卡片放在一个暗箱中，由甲随机从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和，若两数字之和为偶数，则甲胜；若两数字之和为奇数，则乙胜．甲、乙获胜的概率分别为________．命题点事件公平性的判断[热度：90%]3．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．获胜概率大的是()A．小明B．小亮C．两人一样D．无法确定4．在不透明塑料袋里装有一个白色的乒乓球和两个黄色的乒乓球．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．摸出的两个球都是黄色的获胜．你认为这个游戏()A．不公平，对小明有利B．公平C．不公平，对小刚有利D．不公平，对小华有利5．②·营口如图3－1－2，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．图3－1－2(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D 表示)．解题突破②题干中的“不放回”说明了什么？在分析时应注意什么？6．③·贺州在植树节期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；(2)小李说：“这种规则不公平．”你认同他的说法吗？请说明理由．方法点拨③游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等．7．④小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，他拿了八张扑克牌，将数字分别为2，3，5，9的四张牌给了小敏，将数字分别为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下规则做游戏：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌的数字相加，若和为偶数，则小敏去；若和为奇数，则哥哥去．(1)请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率．(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．方法点拨④修改规则，使游戏变得公平的问题，对于概率不同的问题，可以通过修改事件来达到概率相同的目的，对于得分问题，既可以通过修改事件，又可以通过修改得分规则来达到目的．8．·山西模拟小明一家人春节期间参与了“支付宝集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者可得到“敬业福”，请用适当的方法说明这两个游戏对小明和姐姐是否公平．在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除了标号数字不同外其余都相同，将小球摇匀．游戏1的规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数的小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．游戏2的规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒子中随机摸出一个小球，并记下标号数字，若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．9．⑤甲、乙两人所持口袋中均装有三张除所标数值不同外其他完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为－5，2，7，甲、乙两人均从自己的口袋中任取一张卡片，并将它们的数值分别记为m，n.(1)请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；(2)现制定这样一个游戏规则：若选出的m，n能使得方程x2＋mx＋n＝0有实数根，则称甲胜；否则称乙胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．易错警示⑤(1)不要混淆m，n的取值；(2)当关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根时，b2－4ac≥0.10．⑥在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢毽子”游戏，毽子从一人传到另一人就记为踢一次．(1)若从小丽开始，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是多少(用画树状图或列表的方法说明)?(2)若经过三次踢毽后，毽子踢到小王处的可能性最小，请确定毽子是从谁开始踢的，并说明理由．图3－1－3解题突破⑥从小丽开始，第一次踢毽，毽子能踢给哪些人？第二次踢毽，毽子又能踢给哪些人？11．⑦“手心、手背”是在同学中广为流传的游戏．游戏时，甲、乙、丙三方每次出“手心”“手背”两种手势中的一种，规定：①出现三个相同的手势不分胜负，继续比赛；②出现一个“手心”和两个“手背”或者出现一个“手背”和两个“手心”时，则出一种手势者为胜，两种相同手势者为负．(1)假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地出“手心”或“手背”，请用画树状图或列表的方法求甲、乙、丙三位同学获胜的概率．(2)若甲同学只出“手背”，乙、丙两位同学仍随机地出“手心”或“手背”，则甲同学获胜的可能性会减小吗？为什么？解题突破⑦第(1)小问和第(2)小问的限制条件有什么不一样？用画树状图法简单还是用列表法简单？详解详析【关键问答】①判断游戏的公平性就是要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．1．不公平 [解析] 列表如下：甲乙红1 红2 黑红1 红1，红1 红1，红2 红1，黑红2 红2，红1 红2，红2 红2，黑黑黑，红1黑，红2黑，黑共有94种情况，∴甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为49，59>49，故甲获胜的概率大，即游戏不公平．故答案为：不公平．2.25，35[解析] 根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两数字之和为偶数的结果有8种， ∴两数字之和为偶数的概率为820＝25，两数字之和为奇数的概率为35.∴甲获胜的概率为25，乙获胜的概率为35.3．B [解析] 画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中和为偶数的有5种，所以小亮胜的概率是59，那么小明胜的概率是49，所以获胜概率大的是小亮．4．D [解析] 小明一次从袋里摸出两个球，则摸出的两个球都是黄色的可能性是13；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为13；小华先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为49>13.所以小华获胜的可能性大，这个游戏不公平，对小华有利．故选D.5．解：(1)因为共有4张牌，牌面图形是中心对称图形的情况有3种，所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34.(2)这个游戏公平．理由：列表如下：小亮小明 ABCDA (A ，B)(A ，C) (A ，D) B (B ，A) (B ，C) (B ，D) C (C ，A) (C ，B) (C ，D)D(D ，A)(D ，B)(D ，C)有6种，∴P (两张牌面图形都是轴对称图形)＝12，因此这个游戏公平． 6．解：(1)画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种， ∴P (小王去)＝34.(2)认同．理由如下：∵P (小王去)＝34，P (小李去)＝14，34≠14，∴这种规则不公平．7．解：(1)根据题意，可以画出如下树状图：或者，根据题意也可以列出下表：小敏哥哥 23594 (4，2) (4，3) (4，5) (4，9) 6 (6，2) (6，3) (6，5) (6，9) 7 (7，2) (7，3) (7，5) (7，9) 8(8，2)(8，3)(8，5)(8，9)相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率为616＝38.(2)由(1)知小敏去看比赛的概率为38，哥哥去看比赛的概率为1－38＝58.因为38＜58，所以哥哥设计的游戏规则不公平．公平的游戏规则如下：若数字之和小于或等于10，则小敏(哥哥)去，若数字之和大于或等于11，则哥哥(小敏)去，这样两人去看比赛的概率都为12，那么游戏规则就是公平的．或者：如果将八张牌中的2，3，4，5四张牌给小敏，而余下的6，7，8，9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为12，那么游戏规则也是公平的．(只要满足两人手中数字为偶数或奇数的牌的张数相等即可)8．解：游戏1：∵共有6种等可能的结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的情况各有3种，∴小明获胜的概率为36＝12，姐姐获胜的概率为36＝12，∴游戏1对小明和姐姐是公平的；游戏2：画树状图如下：共有36种等可能的结果，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有18种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也有18种，∴小明获胜的概率为1836＝12，姐姐获胜的概率为1836＝12，∴游戏2对小明和姐姐是公平的．9．解：(1)画树状图如下：∴(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴(m ，n )的取值结果共有9种．(2)∵(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴当m ＝0，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝20＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝0，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－8＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根；当m ＝0，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－28＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根；当m ＝－1，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝21＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝－1，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－7＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根；当m ＝－1，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－27＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根；当m ＝3，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝29＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝1＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－19＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； ∴P (甲获胜)＝49，P (乙获胜)＝59，∴P (甲获胜)≠P (乙获胜)， ∴这样的游戏规则不公平． 10．解：(1)画树状图如下：由树状图可知，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是14.或列表如下：第二次第一次小丽小王小华小王 (小王，小丽) (小王，小华)小华(小华，小丽)(小华，小王)由上表可知，毽子踢到小华处的概率是14.(2)毽子是从小王开始踢的．理由：画树状图如下：11 / 11 若从小王开始踢，三次踢毽后，毽子踢到小王处的概率是14，踢到其他两人处的概率都是38，因此，毽子踢到小王处的可能性最小． 11．解：(1)画树状图如下： ∴一共有8种结果，每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙、丙三位同学获胜的情况各有2种，∴P (甲获胜)＝P (乙获胜)＝P (丙获胜)＝28＝14. (2)甲同学获胜的可能性不会减小．理由：画树状图如下：一共有4种情况，每种情况出现的可能性相等，其中甲获胜的情况有1种，∴甲获胜的概率仍为14，可能性不会减小．。

第2课时利用概率判断游戏的公平性

( B) A. 是公平的
B. 不公平,偏向先报数者
C. 不公平,偏向后报数者
D. 无法确定
[解析] 因为是第一个人先说,所以主动权在第一个人,他肯定按
2,5,8,11,14,17,20 报数,故第一个人必胜.
❖
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.521.9.5Sunday, September 05, 2021
第2课时利用概率判断游戏的公平性
解：画树状图如下：或列表如下：
小东和小明 3 4 5 7
3
7 8 10
4
7
9 11
5
89
12
7
10 11 12
∵所有等可能的结果共有 12 种,其中数字之和小于 9 的有 4 种,
∴P(小明获胜)＝142＝13. (2)这个游戏不公平.
理由：∵P(小明获胜)＝31,∴P(小东获胜)＝1－13＝23＞13, ∴这个游戏不公平.
B A2
4
6
3
3×2 3×4 3×6
5
5×2 5×4 5×6
由上表可知,共有 6 种等可能结果,其中两数之积为 3 的倍数的结果有 4 种,
∴P(甲获胜)＝64＝32,P(乙获胜)＝26＝13.
∵P(甲获胜)≠P(乙获胜),∴这样的游戏规则对甲、乙双方不公平.
第2课时利用概率判断游戏的公平性
5. 在一只不透明的袋中,装着标有数字 3,4,5,7 的质地、大小均相同的四个小球.小明和小东同时从袋中随机各摸出 1 个球,并计算这两球上的数字之和,当和小于 9 时小明获胜,反之小东获胜. (1)请用画树状图或列表的方法,求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由.

3.1.2 用概率判断游戏的公平性北师大版九年级数学上册课件

小明
石头
开始
剪刀
布
石头
(石头，石头)
剪刀
(石头，剪刀)
布
石头
(石头，布)
剪刀
(剪刀，剪刀)
布
石头
(剪刀，布)
剪刀
(布，剪刀)
布
(布，布)
(剪刀，石头)
(布，石头)
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，
而两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，
剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为
率.
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
第二个盒子
1下
2下
3下
1上
(1上，1下)
(1上，2下)
(1上，3下)
2上
(2上，1下)
(2上，2下)
(2上，3下)
3上
(3上，1下)
(3上，2下)
(3上，3下)
第一个盒子
从中发现9 3
.
选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两
人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数
之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选
择哪个数？
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，
选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可
能出现的结果：
公平
概率分别是_____，_____.这个游戏对双方是否公平？______.
3
3
4．如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上
各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将
这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若
可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)，则甲方赢；