置换群的乘法

置换群的乘法
置换群的乘法指的是将两个置换进行相乘所得到的结果。

对任意两个置换，可以执行以下步骤进行相乘：
1. 将第一个置换中的每个元素都对应到第二个置换中的元素；
2. 然后根据这个对应关系得到一个新的置换，即将第一个置换中的每个元素和其对应的第二个置换中的元素进行组合，得到一个新的置换；
3. 最后，将所有的组合置换进行合并，得到最终的置换。

具体来说，设 $f$ 和 $g$ 是两个置换，其对应的置换对分别为
$(k_1,f(k_1)),$ $(k_2,f(k_2)),$ $\ldots,$ $(k_n,f(k_n))$ 和
$(l_1,g(l_1)),$ $(l_2,g(l_2)),$ $\ldots,$ $(l_m,g(l_m))$，则它们的乘积 $h=f \circ g$ 的对应置换对为 $(k_1,h(k_1)),$ $(k_2,h(k_2)),$ $\ldots,$ $(k_n,h(k_n))$，其中
$h(k_i)=g(f(k_i))$。

需要注意的是，置换群的乘法并不满足交换律，即 $f \circ g \neq g \circ f$。

此外，诸如单位元、逆元等概念在置换群的乘法中同样存在，并且对乘法运算的定义有着重要的作用。