知识点03 实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)1

一、选择题 二、填空题
1. （2019山东滨州，13，5分）计算：（－12
）－2
－
2|+
=____________．
【答案】2+
【解析】原式=21
12－骣÷ç÷ç÷
ç桫－
2+
－
=2+ 【知识点】负整数指数幂；绝对值；二次根式的乘除
2. （2019重庆市B 卷，13，4）计算：()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+-211
13=
【答案】3
【解析】解题关键是理解零指数幂和负整数指数幂的意义．思路：利用“任意不为0的数的0次幂都等于1”，“任意不为零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数”，然后求和即可．故答案为3． 【知识点】零指数幂，负整数指数幂.
3. （2019重庆A 卷，13，4）计算：
=+1
-0
2
13-）（）（π ． 【答案】3．
【解析】因为原式＝1＋2＝3，所以答案为3．
【知识点】实数的运算；0指数幂；负整数指数幂．
4. （2019湖北荆门，13，3分）计算2+√3
+|sin30°﹣π0|+√−
27
8
3
= ． 【答案】1−√3
【解析】解：原式＝2−√3+1−12−3
2＝1−√3．故答案为：1−√3． 【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
5. （2019江苏泰州，7，3分）计算：（π﹣1）0＝ ． 【答案】1
【解析】解：原式＝1． 【知识点】零指数幂
6.（2019山东菏泽，9，3分）计算（12
）﹣
1﹣（﹣3）2的结果是_________
【答案】﹣7
【解析】解：原式＝2﹣9＝﹣7．
【知识点】实数运算;有理数的乘方；有理数的减法；负整数指数幂
7.（2019山东菏泽，15，3分）计算：√1
2
×√6−tan45°＝．
【答案】√3−1．
【解析】解：√1
2
×√6−tan45°=√12×6−1=√3−1，
故答案为：√3−1．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
8.（2019山东青岛，9，3分）0=_________
【答案】1．
【解析】0211
-=-=，
故答案为1．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
三、解答题
1. （2019重庆A 卷，19，10）计算：（1）)2(2
y x y y x +-+）（；（2）2
9
2492--÷--+a a a a a ）（．
【思路分析】（1）按完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）按分式的运算法则进
行计算即可． 【解题过程】（1）原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2＝x 2；
（2）原式＝22294229
a a a a a a -+--⋅--＝2(3)2
2(3)(3)a a a a a --⋅-+-＝33a a -+．
【知识点】整式的运算；分式的运算．
2. (2019浙江台州,18题,8分) 先化简,再求值：22332121x x x x x -
-+-+,其中x ＝1
2
. 【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可.
【解题过程】原式＝
()()22313332111x x x x x x --==-+--,当x ＝时,原式＝31
x -＝－6.
【知识点】分式计算,因式分解
3. （2019浙江省衢州市，17，6分）计算，|-3|+（π-3）0+tan45°.
【思路分析】根据绝对值、零次幂、算术平方根的意义，化简代数式，根据特殊三角函数值的概念得到tan45°的值，依据运算法则进行计算。

【解题过程】解：原式=3+1-2+1…4分（每项1分） =3. …6分
【知识点】绝对值；零次幂；算术平方根；特殊三角函数值
4. （2019浙江省金华市，17，6分）计算：|－3|－2tan60°1
13
-（）
【思路分析】本题考查了实数的运算.先分别求出|－3|、tan60°1
13
-（）的值，然后进行实数的运算即可.
【解题过程】解：原式=3－3=6．
【知识点】算术平方根；负整数指数幂的运算；特殊角的三角函数值；绝对值
5. （2019浙江湖州，17，6）计算：(－2)3＋
1
2
×8． 【思路分析】按实数的运算法则进行计算：先算乘方，再算乘法，最后算加减法即可． 【解题过程】原式＝－8＋4＝－4． 【知识点】实数的运算．
6.（2019四川省自贡市，19，8分）计算：|-3|-4sin 450
+√8+(π-3)0
.
【思路分析】根据绝对值、零指数次幂、特殊角三角函数和二次根式化简，先求出每个部分的值，再把所得结果
进行合并.
【解题过程】解：原式=3-4×√2
2+2√2+1
=3-2√2+2√2+1 =4.
【知识点】绝对值、特殊角三角函数、二次根式化简和合并.
7. （2019四川省眉山市，19，6分）计算：(2
146sin 453-⎛⎫
--+︒ ⎪⎝⎭
．
【思路分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简请各项化简，再合并即可.
【解题过程】解：原式=9-1+6-=8+ 【知识点】负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简
8. （2019四川省凉山市，18，5）计算：tan 45° + （3-2）0
-（-
2
1）-2
+ ︱3-2︱. 【答案】-3
【思路分析】先化简绝对值、求特殊角的三角函数值及实数的零指数幂、负指数幂的运算，把各个结果相加即可
【解题过程】解：原式=1+1-(-2)2
+2-3=2-4+2-3=-3.
【知识点】绝对值；特殊角的三角函数值；实数的零指数幂；实数的负指数幂
9.（2019四川省乐山市，17，9）计算：()︒
-+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛30sin 220192101
π.
【思路分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，特殊角三角函数值，可得答案；
【解题过程】解：原式2
1
212⨯
+-=112+-=2=. 【知识点】实数的运算；负指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值
10. （2019四川达州，题号17，5分） 计算：
8-272
1
-14.3-32
-0
+）（）（π 【答案】22-
【思路分析】利用零指数幂，负整数指数幂立方根，平方根可求解.
【解题过程】
8-272
1
-14.3-32
-0
+）（）（π 解：=1-4+322-
=22-
【知识点】零次幂、负整数指数幂、二次方根、三次方根
11. (2019四川巴中,16,5分)计算(－1
2
)2+(3－π)02|+2sin60【思路分析】按照实数的运算法则进行计算
【解题过程】原式＝14+1+213
4
－【知识点】零指数幂,绝对值,特殊角的三角函数值,二次根式的化简
12. （2019山东省济宁市，题号16，分值6） 计算：0
16sin 6020182⎛⎫
︒+ ⎪⎝⎭
【思路分析】先算乘方，在算乘法和除法，最后再进行加减运算；
【解题过程】解：原式＝6120182
⨯
-+
＝12018+ ＝2019
【知识点】常见角的正弦，二次根式的化简，非零数的零次幂，绝对值．
13. （2019江苏省无锡市，19，6） （1） 01)2009()2
1(3-+-- 【思路分析】本题主要考查了实数运算，先逐一化简各数，再相加. 【解题过程】解：原式=3+2-1=4 .
【知识点】实数运算；零指数幂；负指数幂 （2）3
23
3
)(2a a a -⋅
【思路分析】本题主要考查幂的运算，先做乘方、乘法运算，再进行减法 【解题过程】解：原式=2a 6-a 6=a 6. 【知识点】幂的运算
14. （2019湖南省岳阳市，17，6分）计算：0
12019
11)2sin 30()(1)
3
--︒++-
【思路分析】任何不等于0的数的零次方都等于1，sin30°=12，11()3-表示1
3
的倒数，－1的奇数次方是－1． 【解题过程】
01201911)2sin 30()(1)3--︒++-1
123(1)22
=-⨯++-=
【知识点】实数的运算，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值
15. （2019湖南怀化，17，8分） 计算：()0
20194sin 603π-+︒-.
【思路分析】首先利用特殊角的三角函数值，零指数幂以、绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简，然后将化简后的式子进行加减即可.
【解题过程】解：原式=1+4×
1
2
【知识点】二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的性质
16.（2019四川南充，17，5分）计算：02|2|1)(2)tan 45--+--︒． 【思路分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【解题过程】解：解：原式21414=-+-=．
【知识点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值
17. （2019甘肃天水，19，10分）（1）计算：（﹣2）3+√16−2sin30°+（2019﹣π）0+|√3−4| （2）先化简，再求值：（
x x 2+x
−1）÷
x 2−1
x 2+2x+1
，其中x 的值从不等式组{−x ≤12x −1＜5的整数解中选取．
【思路分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．
【解题过程】解：（1）原式＝﹣8+4﹣2×12
+1+4−√3 ＝﹣8+4﹣1+1+4−√3 =−√3；
（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1
x−1
=−x x+1•x+1x−1
=
x 1−x
， 解不等式组{−x ≤1
2x −1＜5得﹣1≤x ＜3，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2， ∵x ≠±1，x ≠0， ∴x ＝2，
则原式=2
1−2=−2．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值；一元一次不等式组的整数解
18. （2019甘肃武威，19，6分）计算：20(2)2|2cos 45(3)π----︒+-
【思路分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解题过程】解： 20(2)2|2cos 45(3)π---︒+-，
4(2212
=--⨯
+，
421=-+，
3=．
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；绝对值
19.（2019甘肃省，19，4分）计算：201()(2019)60|3|2π--+-︒--．
【思路分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解题过程】解：原式413=+1=． 【知识点】实数的运算
20. （2019贵州黔东南，21，12分）
（1）计算：|−1
2|+（﹣1）2019+2﹣
1﹣（π﹣3）0；
（2）解方程：1−x−32x+2=3x
x+1
【思路分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解题过程】解：（1）原式=
12−1+1
2
−1＝﹣1； （2）去分母得：2x +2﹣x +3＝6x ， 解得：x ＝1，
经检验x ＝1是分式方程的解．
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程
21. （2019江苏连云港，17，6分）计算11
(1)2()3
--⨯．
【思路分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解． 【解析】解：原式2233=-++=． 【知识点】负整数指数幂；数的运算
22. （2019江苏宿迁，19，8分）计算：（12
）﹣
1﹣（π﹣1）0+|1−√3|．
【思路分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解题过程】解：原式＝2﹣1+√3−1=√3．
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
23. （2019江苏盐城，17，6分）计算：01
|2|(sin36)tan 452
-+︒-︒．
【思路分析】先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，
【解题过程】解：原式21212=+-+=．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；算术平方根
24. （2019江苏扬州，19，8分）计算或化简：
（10(3)4cos 45π---︒；
（2）21
11a a a
+
--． 【思路分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得； （2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得．
【解题过程】解：（1）原式14=-1=-1=-； （2）原式2111a a a =---211a a -=-(1)(1)
1
a a a +-=
-1a =-． 【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；分式的加减法
25. （2019四川成都，15，12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°−√16+|1−√3|． （2）解不等式组：{3(x −2)≤4x −5，①5x−24
＜1+1
2x ．② 【思路分析】（1）本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解题过程】解：（1）原式＝1﹣2×√3
2−4+√3−1， ＝1−√3−4+√3−1， ＝﹣4．
（2）{3(x −2)≤4x −5，①
5x−24＜1+1
2x ．② 由①得，x ≥﹣1， 由②得，x ＜2，
所以，不等式组的解集是﹣1≤x ＜2．
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；解一元一次不等式组
26.（2019四川广安，17，5分）计算：40(1)|16tan 30(3--+︒-． 【思路分析】直接利用特殊角
的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解题过程】解：原式11)61=-+-
111=+
1=
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；零指数幂
27. （2019四川绵阳，19，16分）（1）计算：2√23+|（−12
）﹣
1|﹣2√2tan30°﹣（π﹣2019）0；
（2）先化简，再求值：（
a
a −
b −
1a+b
）÷b
b−a ，其中a =√2，b ＝2−√2．
【思路分析】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解题过程】解：解：（1）2√23+|（−1
2）﹣
1|﹣2√2tan30°﹣（π﹣2019）0
=
2√6
3+2﹣2√2×√33
−1 =2√63+2−2√6
3−1 ＝1； （2）原式=a (a+b)(a−b)×b−a b −1a+b ×b−a
b
=−
a b(a+b)−b−a b(a+b)
=−b
b(a+b) =−1
a+b ，
当a =√2，b ＝2−√2时，原式=2+2−2
=−1
2．
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；分式的化简求值
28. （2019四川南充，17，6分）计算：01(1)
π--+
【思路分析】根据实数的混合计算解答即可．
【解题过程】解：原式1=． 【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；零指数幂
29.（2019四川宜宾，17，10分）（1）计算：012(20192|1|sin 45--+-+︒ （2）化简：
22211
()xy x y x y x y
÷+--+
【思路分析】（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出0(2019、12-、2sin 45︒的值，再加减；
（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．
【解题过程】解：（1）原式21112=-++ 11
222
=-
+ 2=
（2）原式22()()()()
xy x
x y x y x y x y =÷
+-+- 2()()
()()2xy x y x y x y x y x
+-=
⨯
+- y =．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；负整数指数幂；零指数幂；分式的混合运算
30. （2019四川南充，17，8分）（1）计算：021
4sin 60(2)()2
π-︒+----
（2）x 为何值时，两个代数式21x +，41x +的值相等？ 【思路分析】（1）根据实数运算法则解答；
（2）利用题意得到2141x x +=+，利用因式分解法解方程即可．
【解题过程】解：（1）原式4143=---； （2）2141x x +=+， 240x x -=， (4)0x x -=， 10x =，24x =．
【知识点】负整数指数幂；解一元二次方程；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
31. （2019浙江温州，17，10分）计算：
（1）0|6|(1(3)----． （2）
2
2
41
33x x x x x +-++． 【思路分析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【解题过程】解：（1）原式6313=-++7=； （2）原式2413x x x
+-=
+3(3)x x x +=+1x =． 【知识点】实数的运算；分式的加减运算
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.。