河南省北京大学附属中学河南分校(宇华教育集团)2015-2016学年高二(普通班)上学期期末考试(文)数学试

宇华教育集团2015-2016（上）期末
高二（文科普通）数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合{}23x x A =-≤≤，{}1x x B =<-，则集合A B =（ ）
A ．{}24x x -≤<
B ．{}34x x x ≤≥或
C ．{}21x x -≤<-
D ．{}13x x -≤≤
2.下列各点中，在不等式260x y +-<表示的平面区域内的点是（ ）
A ．()0,7
B ．()5,0
C ．()0,1
D ．()2,3
3.已知等差数列{}n a 中，794a a +=，则8a 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.设R x ∈，则“12
x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.C ∆AB 的三边分别是2，3，4，则C ∆AB 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
7.有下列四个命题：
（1）“若220x y +=，则0xy =”的否命题； （2）“若x y >，则22
x y >”的逆否命题；
（3）“若3x ≤，则260x x -->”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8.设椭圆C:22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212F F F P ⊥，12F F 30∠P =，则C 的离心率为（ ）
A
．13 C ．12
D
9.已知曲线421y x ax =++在点()1,2a -+处切线的斜率为8，则a =（ ）
A ．9
B ．6
C ．9-
D ．6-
10.数列{}n a 中，()11n a n n =+，其前n 项和为910
，则在平面直角坐标系中，直线()10n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）
A ．10-
B ．9-
C ．10
D ．9
11.如图，
已知点()
Q 及抛物线2
4x y =上的动点(),x y P ，则Q y +P 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D
．
12.正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a ，
14a =，且6542a a a =+，则
14m n +的最小值是（ ）
A ．73
B ．2
C ．32
D ．256
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.全称命题：“R x ∀∈，2
54x x +=”的否定是 ． 14.设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．
15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．
16.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，
()()10x f x '-<，设()0a f =，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知命题:p 关于x 的方程240x ax -+=有实根；命题:q 关于x 的函数2
24y x ax =++在[)3,+∞上是增函数．若“p 或q ”是真命题，
“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
（1）求一个焦点为()13,0，且离心率为135
的双曲线的标准方程； （2）已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点()3,m M -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，n *∈N ．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若12n n b -=，n *∈N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．
20.（本小题满分12分）
已知在C ∆AB 中：
（1）若三边a ，b ，c 依次成等差数列，sin :sin 3:5A B =，求三个内角中最大角的度数；
（2）若()2
2C b a c BA⋅B =--，求cos B ．
21.（本小题满分12分）
设函数()32132
a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =． （1）求
b ，
c 的值；
（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间()2,1--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12
，其左焦点到点()2,1P （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
宇华教育集团2015-2016（上）期末
高二（文科普通）数学试卷答案
一、选择题：CCBAC AADDB AC
二、填空题：
13.0R x ∃∈，20054x x +≠
14.3 15.13
16.c a b <<
17.【解】p 真：2
440a ∆=-⨯≥，∴4a ≤-或4a ≥． q 真：34
a -≤，∴12a ≥-． 由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假． 当p 真q 假时，12a <-；当p 假q 真时，44a -<<．
综上，a 的取值范围为()(),124,4-∞--．
18.（1）依题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且13c =，又
135c a =，
所以5a =，12b ==，故其标准方程为22
125144x y -=
因此，抛物线方程为2
8y x =-，
又点()3,m M -在抛物线上，于是224m =，∴m =±
19.（1）由22n S n n =+，得 当1n =时，113a S ==；
当2n ≥时，()()2
21221141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦
，n *∈N ． 所以41n a n =-，n *∈N ．
（2）由（1）知，()1412n n n a b n -⋅=-⋅，n *
∈N ． 所以()21372112412n n n -T =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，
()2323272112412n n n T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，
()()()212412342224525n n n n n n n -⎡⎤T -T =-⋅-+++⋅⋅⋅+=-+⎣⎦
． 故()4525n n n T =-+，n *
∈N ． 20．解：（1）在C ∆A B 中有sin :sin 3:5A B =，
∴:3:5a b =，3a k =（0k >），∴5b k =． a ，b ，c 成等差数列，∴7c k =．
∴最大角为C ，有()()()()()
2223571cos C 2352k k k k k +-==-⋅⋅，C 120=． （2）由()22C b a c BA⋅B =--得()22cos ac b a c B =--，
即()2222cos 2cos 2ac a c ac a c ac B =+-B -+-，2cos 3
B =
． 21.解：（1）()2f x x ax b '=-+， 由题意得()()0100
f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即10c b =⎧⎨=⎩．
（2）由（1）得，()()2
f x x ax x x a '=-=-（0a >）， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '>，
当()0,x a ∈时，()0f x '<，
当(),x a ∈+∞时，()0f x '>．
所以函数()f x 的单调递增区间为(),0-∞，(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．
（3）()2
2g x x ax '=-+， 依题意，存在()2,1x ∈--，使不等式()2
20g x x ax '=-+<成立， 即()2,1x ∈--
时，max 2a x x ⎛⎫<+
=- ⎪⎝⎭ 当且仅当“2x x
=”
，即x =
所以满足要求的a 的取值范围是(,-∞-．
22.解：（1）由题：12
c e a == ①
左焦点(),0c -到点()2,1P 的距离为：d =
= ② 由①②可解得1c =，2a =，2223b a c =-=．
∴所求椭圆C 的方程为22
143
x y +=．………………… 3分 （2）设()1,x y A 、()22,x y B ，将y kx m =+代入椭圆方程得
()2224384120k x kmx m +++-=，
∴122843
km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，且11y kx m =+，22y kx m =+．………………… 5分
AB 为直径的圆过椭圆右顶点()22,0A ，所以220A A⋅A B =．
所以
()()()()()()()()1122121212122,2,2222x y x y x x y y x x kx m kx m -⋅-=-⋅-+=-⋅-++⋅+ ()()()221212124k x x km x x m =++-⋅+++
()()22
222412812404343m km k km m k k -=+⋅--⋅++=++． 整理得2271640m km k ++=． ∴27
m k =-
或2m k =-都满足0∆>．………………… 9分 若2m k =-时，直线l 为()22y kx k k x =-=-，恒过定点()22,0A ，不合题意舍去； 若27m k =-
时，直线l 为2277y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………… 12分。