2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(七) Word版含解析
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(七) 含解析
素养提升练(七)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学一模)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 答案 B解析∵复数z＝2i1＋i＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i，∴复数z的共轭复数是1－i，就是复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，故选B.2．(2019·永州三模)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝|x|e x－1＞1}，则A∩B＝() A．{1,2,3,4} B．{2,3,4}C．{3,4} D．{4}答案 B解析因为e x－1＞1＝e0，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中大于1的有{2,3,4}，故A∩B＝{2,3,4}．3．(2019·衡阳联考)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是()A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 答案 C解析 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，因为236＜4，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C.4．(2019·西安中学二模)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.64 答案 A解析 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c ＝a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12，故选A.5．(2019·郑州一中三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x ＜1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 当x ≥1时，f (x )≤1，即log 2x ≤1，解得1≤x ≤2；当x ＜1时，f (x )≤1，即11－x≤1，解得x ≤0，综上可得，原不等式的解集为(－∞，0]∪[1,2]，故选D.6．(2019·河北衡水中学一模)若将函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y 轴对称，则当ω取最小整数时，函数f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 答案 B解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝6k ＋1(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝1，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π－π3(k ∈Z )，易知B 正确．7．(2019·聊城一模)数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍(méng)，下广三丈，袤(mào)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈)( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5 答案 B解析 根据三视图可知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为V ＝V 三棱柱－2V 三棱锥＝12×3×1×4－2×13×12×3×1×1＝5(立方丈)．故选B.8．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.9．(2019·吉林模拟)已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点B (－m ，2m )(m ＞0)，满足|OA |＝|OB |，若∠OAB ＝θ，则sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θ＝( )A.12 B ．2 C ．4 D ．1 答案 D解析 根据题意知α＋2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，所以 tan2θ＝tan(2k π＋π－α)＝－tan α＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2.整理得tan θ＋tan 2θ＝1，所以sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θ＝2sin θcos θ＋2sin 2θ2cos 2θ＝tan θ＋tan 2θ＝1.故选D. 10．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3) 答案 B解析 如图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，∴△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.11．(2019·启东中学一模)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A.212 B ．84 C ．3 D ．21 答案 D解析 依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下图所示：由椭圆的方程x 225＋y216＝1，可得a 21＝25，a 1＝5， 由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1＝10.① 由双曲线的方程x 24－y 25＝1，可得a 22＝4，a 2＝2， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a 2＝4.② 联立方程①②，解得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3， 所以|PF 1|·|PF 2|＝3×7＝21，故选D.12．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－2，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n ＋1(S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＝( )A ．－3B ．－2C ．3D ．2 答案 D解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )．∴f (3＋x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．∵数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1，∴a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n ，∴a 5＝－31，f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝2.故选D.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·衡水二中模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎨⎧sin 2x －tan x ，x ＜0，e －2x ，x ≥0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝________.答案 1e 3解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝12＋1＝32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e -2×32 ＝e －3＝1e 3.14．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E －BCD 的体积是________．答案 10解析 设长方体中BC ＝a ， CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120， ∴V E －BCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝10.15．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE→＝________. 答案 －1解析 ∵AD ∥BC ，且∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.又∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. ∴∠E ＝120°.∴在△AEB 中，AE ＝BE ＝2. ∴BD →·AE →＝(BA →＋AD →)·(AB →＋BE →)＝－BA →2＋BA →·BE →＋AD →·AB →＋AD →·BE→ ＝－12＋23×2×cos30°＋5×23×cos30°＋5×2×cos180° ＝－12＋6＋15－10＝－1.16．(2019·辽南一模)若直线y ＝x ＋1是曲线f (x )＝x ＋1x －a ln x (a ∈R )的切线，则a 的值是________．答案 －1解析 设切点的横坐标为x 0，f ′(x )＝1－1x 2－a x ＝x 2－ax －1x 2＝1⇒x 0＝－1a ⇒－a ＝1x 0，则有f (x 0)＝x 0＋1x 0－a ln x 0＝x 0＋1⇒ln x 0－x 0＋1＝0，令h (x )＝ln x －x ＋1⇒h ′(x )＝1x－1＝0⇒x ＝1，则h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又因为h (1)＝0，所以x 0＝1⇒a ＝－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解 (1)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由△ABC 的面积 S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12.∵sin C ＝3sin A ，∴由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6. 在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27. 即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD→＝12(BC →＋BA →)，∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA→)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos ∠ABC )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD→|≥3，即BD 长的最小值为3.18．(本小题满分12分)(2019·云南师大附中一模)互联网＋时代的今天，移动互联快速发展，智能手机(Smartphone)技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具．中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一．逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机．手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时也会带来一些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图所示的饼图．注：图中i(i＝1,2，…7)(单位：小时)代表分组为[i－1，i)的情况．(1)求饼图中a的值；(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)(3)从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．解(1)由饼图得100%－6%－9%－27%－12%－14%－3%＝29%.(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．(3)∵样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．解(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE ⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3. 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积 V ＝13×3×6×3＝18.20．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．解 (1)因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝p 2，可得y ＝±p .于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 由题意可得直线AB 的方程为y ＝x －1， 所以M (－1，－2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去x ，得y 2－4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4. 若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k P A ＋k PB ， 即2·y 0＋2x 0＋1＝y 0－y 1x 0－x 1＋y 0－y 2x 0－x 2，因为点P ，A ，B 均在抛物线C 上， 所以x 0＝y 204，x 1＝y 214，x 2＝y 224.代入化简可得2(y 0＋2)y 20＋4＝2y 0＋y 1＋y 2y 20＋(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2，将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2. 将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1. 于是点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．21．(本小题满分12分)(2019·汉中二模)已知函数f (x )＝ln xx －kx (k ∈R )． (1)当k ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )＜0恒成立，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝0时，f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴f (1)＝0，f ′(1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(2)若f (x )＜0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即k ＞ln xx 2对x ＞0恒成立， 设g (x )＝ln xx 2，可得g ′(x )＝1－2ln x x 3， 由g ′(x )＝0，可得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ＞e 时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．∴g (x )在x ＝e 处取得极大值，且极大值也是最大值为12e ，∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12e ，＋∞. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郑州二模)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值；(2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解 (1)已知曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，P 的直角坐标为(－2,0)， 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t与曲线C 的标准方程x 212＋y 24＝1联立，得t 2－2t －4＝0，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos θ，2sin θ)，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2. 因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝π6时等号成立． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，g (x )＝x 2－x . (1)当a ＝1时，求不等式g (x )≥f (x )的解集； (2)已知f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1＜x ＜1，2x ，x ≥1，当x ≤－1时，由x 2－x ≥－2x ，得x ≤－1.当－1＜x ＜1时，由x 2－x ≥2，得x ≤－1或x ≥2，舍去． 当x ≥1时，由x 2－x ≥2x ，得x ≥3.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}． (2)f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1＋a ，x ≤－1a ，(a －1)x ＋1＋a ，－1a ＜x ＜a ，(a ＋1)x ＋1－a ，x ≥a ，当0＜a ≤1时，由f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1≥2，得a ＝1；当a ＞1时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝a ＋1a >2，所以a ＞1；综上，a ∈[1，＋∞)．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题11 三视图
解析
8．(2019·潮州二模)某几何体的三视图如图所示，若图中 x＝1，则该几 何体的体积为( )
解析
11．(2019·吉林调研)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为 2，则正视图的面积为( )
A．2 B．1 C. 3 D．2 2
答案 A
答案
解析 由三视图可知，该几何体为四棱锥 P－ABCD，其中底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面 ABCD. ∴13×1＋2 2×2x＝2，解得 x＝2.∴正视图的面积 S＝12×2×2＝2.故选 A.
A．4－π2 B．8－π C．8－43π D．8－2π
答案 B
答案
解析 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体 积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图所示，
正方体的体积为 2×2×2＝8，半圆柱的体积为π2×12×2＝π，从而该几 何体的体积为 8－π.故选 B.
A．2 B．1 C．4 D．6
答案 A
答案
解析 根据三视图知该几何体为四棱锥，且侧棱 PA⊥底面 ABCD，底 面 ABCD 是直角梯形，画出直观图，如图所示，由图中数据，计算该几何体 的体积 V＝13×12×(1＋2)×2×2＝2.故选 A.
解析
9．(2019·梧州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()
11＋ A. 2
2π＋1
B．(6＋ 2)π＋1
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题05 三角函数(教师版)
专题五 三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B.2．(2019·吉林市第一次调研测试)将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.13B.23C.76D.56 答案 D解析 将函数 f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象；再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －πφ＋π3的图象．最后得到图象对应的函数为奇函数，则－πφ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .故当k ＝－1时，φ取得最小值为56.故选D.3．(2019·广东茂名综合测试)函数f (x )＝sin2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )答案 A解析 显然f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，sin2x ＞0，sin x ＞0，即f (x )＞0，∴排除B 和C.故选A.4．(2019·天河区一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32 答案 D解析 由图象可得A ＝1，2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－2π3，k ∈Z ，又|φ|<π2， ∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴f (x )的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，∴x 1＋x 2＝π12×2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.5．(2019·平顶山质量检测)已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin2x －a 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上有最大值2，则a ＝( )A ．23－2 B.3－2 C. 3 D.3－1答案 C解析 f (x )＝23×1＋cos2x2＋sin2x －a ＝3cos2x ＋sin2x ＋3－a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3－a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则当2x ＋π3＝π2时，即x＝π12时，f (x )有最大值2＋3－a ，由2＋3－a ＝2，解得a ＝ 3.故选C. 6．(2019·四川省绵阳市一诊)已知点A ，B ，C 在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω＝( )A ．1B ．π C.12 D.π2 答案 D解析 在Rt △ABC 中，设AO ＝x ，则AC ＝4x ，由射影定理可得AB 2＝AO ·AC ，即AO 2＋OB 2＝AO ·AC ，可得x 2＋(3)2＝x ·4x ，解得x ＝1或－1(舍去)，可得AC ＝4，由函数图象可得T ＝4＝2πω，解得ω＝π2.故选D.7．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( )A.15B.55C.33D.255 答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.故选B.8．(2019·黄冈二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．关于直线x ＝π12对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案 C解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1≠0，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3≠0，故B 错误；又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3≠±1，故D 错误．故选C.9．(2019·拉萨中学月考)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2α－cos 2α2的值等于( )A.425B.254C.2516D.1625 答案 A解析 由sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝45，cos α＝35，则sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝2425－45＝425.故选A.10．(2019·潍坊期末)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－33，则cos2α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－33，得到sin α＝33，所以cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×13＝13.故选C.11．(2019·厦门质检)已知锐角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.1225 B ．±1225 C.2425 D ．±2425 答案 C解析 ∵锐角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴α＋π6也是锐角，由三角函数的基本关系式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425.故选C.12．(2019·曲靖一中质量监测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 具有的性质是( )A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称 B ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称 C ．最大值为3，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称D ．最大值为1，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称答案 C解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴函数的最大值为3，排除B ，D ；令π6－x ＝0，求得x ＝π6，所以函数图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·广西百色调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (4)＝－f (6)＝－1，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (2019)＝________.答案 －1解析 由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，f (4)＝－f (6)＝－1，得周期T ＝2×(6－4)＝4，所以ω＝2π4＝π2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，又f (4)＝－1，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－1，解得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π4，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1.14．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________． 答案 210解析 解法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23， 解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.解法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23， ∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.15．(2019·山西二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3－12.可求得值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.16．(2019·上海二模)已知函数f (x )＝sin[2(x ＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________．答案 π4解析 正余弦函数在对称轴处取得最值，由题意得，f (0)＝sin2φ＝±1，即2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π2＋π4(k ∈Z )，又φ>0，∴φ的最小值是π4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.18．(本小题满分12分)(2019·宜宾二诊)设函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，且图象上最高点与相邻最低点的距离为π24＋12.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为π24＋12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π|ω|2＋12＝12＋π24，∴ω＝2.∵函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴2×π12＋φ＝k π，k ∈Z .∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π12－π6 ＝3sin α＝34， ∴sin α＝14，∵0<α<π2，∴cos α＝154， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22×15－14＝30－28.19．(本小题满分12分)(2019·北京四中调研)函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由题意知，T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π， ω＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－12，故函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.20．(本小题满分12分)(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝43sin x cos x ＋sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的对称中心及最小正周期；(2)△ABC 的外接圆直径为33，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23a ，且a cos B ＋b sin B ＝c ，求sin B 的值．解 (1)f (x )＝43sin x cos x ＋sin 2x －3cos 2x ＋1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，0(k ∈Z )，最小正周期为π.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2＝23a ，∴a ＝3.∵a sin A ＝2R,2R ＝33，∴sin A ＝33，∵a cos B ＋b sin B ＝c ，∴sin A cos B ＋sin 2B ＝sin C ， 又∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A cos B ＋sin 2B ＝sin(A ＋B )，即sin A cos B ＋sin 2B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin 2B ＝cos A sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0.∴sin B ＝cos A ， ∵sin B >0，∴cos A >0，∴cos A ＝63. ∴sin B ＝63.21．(本小题满分12分)(2019·福建惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值． 解 (1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.22．(本小题满分12分)(2019·常州二模)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x)的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由函数f (x )的图象可知A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. (2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 由题意，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。
2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）
2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·濮阳市二模)已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}，则( ) A ．A ∪B ＝(0，＋∞) B ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C ．A ∪B ＝R D ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53答案 A解析 依题意，得B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}＝{x |0＜3x －1＜4}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜53，所以A ∩B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，53，A ∪B ＝(0，＋∞)．故选A. 2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3－i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A.45－35i B ．－45＋35i C ．－45－35i D.45＋35i答案 B解析 ∵复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝3－i ，∴z 2＝－3－i ∴z 1z 2＝3－i－3－i ＝(3－i )(－3＋i )(－3－i )(－3＋i )＝－45＋35i.故选B. 3．(2019·合肥一中模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 答案 D解析 由题意可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55.故选D. 4．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12 答案 D解析 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D.5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D 解析 ∵f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.6．(2019·江南十校联考)已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足BE →＝2EC →，则AE →·BD→的值是( ) A ．－13 B ．－12 C ．－14 D ．－16 答案 D解析 由题意可得大致图象如下：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →；BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·(BC →－AB →)＝AB →·BC →－AB →·AB →＋23BC →·BC →－23AB →·BC →＝13AB →·BC →－|AB →|2＋23|BC →|2，又|AB →|＝|BC →|＝1，AB →·BC→＝|AB →|·|BC →|cos ∠BAD ＝12.∴AE →·BD→＝13×12－1＋23＝－16.故选D.7．(2019·河南九师联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n ＞111111的最小正整数n ，则空白处应填入的是( )A ．输出i ＋2B ．输出iC ．输出i －1D ．输出i －2 答案 D解析 根据程序框图得到循环是：M ＝1，i ＝3；M ＝1×3，i ＝5；M ＝1×3×5，i ＝7；M ＝1×3×5×7，i ＝9；…；M ＝1×3×5×…×(n －2)，i ＝n 之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i －2.故选D.8．(2019·天津高考)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 ∵a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2且b >1，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a .故选A.9．(2019·漳州一模)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )A ．17(87－8)人 B ．17(89－8)人 C ．8＋17(87－8)人 D ．8＋17(89－84)人答案 D解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也为8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋84(1－85)1－8＝8＋17(89－84)，故选D.10．(2019·深圳调研)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P －ABC 的体积为V 1，三棱锥O －ABC 的体积为V 2，若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2 D ．6π 答案 B解析 由题意，设△ABC 的外接圆圆心为O ′，其半径为r ，球O 的半径为R ，且|OO ′|＝d ，依题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫V 1V 2max ＝R ＋d d ＝3，即R ＝2d ，显然R 2＝d 2＋r 2，故R ＝23r ，又由2r ＝AC sin ∠ABC ＝43，故r ＝23，∴球O 的表面积为4πR 2＝163πr 2＝64π9.故选B.11．(2019·西工大附中模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.62 答案 C解析 因为F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，∵a ＜c ，∴|PF 2|＜|F 1F 2|，∴|PF 2|为△PF 1F 2的最小边，∴△PF 1F 2的最小内角∠PF 1F 2＝30°，根据余弦定理，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2||PF 1|·cos ∠PF 1F 2，即4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，∴c 2－23ca ＋3a 2＝0，∴c ＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.故选C.12．(2019·四川诊断)已知定义在R 上的函数f (x )关于y 轴对称，其导函数为f ′(x )．当x ≥0时，不等式xf ′(x )＞1－f (x )．若∀x ∈R ，不等式e x f (e x )－e x ＋ax －ax ·f (ax )＞0恒成立，则正整数a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵xf ′(x )＞1－f (x )，∴xf ′(x )－1＋f (x )＞0，令F (x )＝x [f (x )－1]，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )－1＞0，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴F (x )是定义在R 上的奇函数，∴F (x )是定义在R 上的单调递增函数，又∵e x f (e x )－axf (ax )＞e x －ax ，可化为e x [f (e x )－1]＞ax [f (ax )－1]，即F (e x )＞F (ax )，又∵F (x )是在R 上的单调递增函数，∴e x －ax ＞0恒成立，令g (x )＝e x －ax ，则g ′(x )＝e x －a ，∵a ＞0，∴g (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝a －a ln a ＞0，则1－ln a ＞0，∴0＜a ＜e ， ∴正整数a 的最大值为2.故选B.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·武威十八中一模)学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．答案 B解析 若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B 获得一等奖．14．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.15．(2019·淮北一中模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x －y －1≥0，y ≥1，x ＋y ≤4，则z ＝ln y －ln x 的最小值是________．答案 －ln 3解析 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图中阴影部分所示．又因为z ＝ln y －ln x ＝ln y x ，当y x 取最小值时z 取最小值，根据yx 表示的是点(x ，y )与原点连线的斜率，根据图形可知，在点C 处取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝1，解得C (3,1)，此时z取得最小值ln 13＝－ln 3.16．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6， 所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中， tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.18．(本小题满分12分)(2019·济南市模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，AB ＝2CD ＝4，点E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P －EBCD ，点M 为棱PB 的中点．(1)求证：PD ∥平面MCE ；(2)若平面PDE ⊥平面EBCD ，求三棱锥M －BCE 的体积． 解 (1)在题图1中，因为BE ＝12AB ＝CD 且BE ∥CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形．如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，所以点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，所以PD∥平面MCE.(2)在题图1中，因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝2，所以OM＝12PD＝12AD＝22，S△BCE＝S△ADE＝1，所以V三棱锥M－BCE＝13S△BCE ·OM＝26.19．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值，如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同)，得到如下数据：编号x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 数量y (单位：辆)3495124181216(1)预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方式如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价，根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；③申请阶段截止后，将所有申报的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；④若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交．为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查，统计了他们的拟报竞价，得到如下频率分布直方图：(ⅰ)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；(ⅱ)如果所有符合条件的车主均参加竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？(精确到整数)参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)由表中数据，计算得，x －＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15×(34＋95＋124＋181＋216)＝130，b ^＝(－2)×(－96)＋(－1)×(－35)＋0＋1×51＋2×86(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝45010＝45， a ^＝y －－b ^x －＝130－45×3＝－5，故所求线性回归方程为y ^＝45x －5，令x ＝7，得y ^＝310，所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆．(2)(ⅰ)由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为(0.25＋0.05)×1＝0.3，共抽取40位业主，则40×0.3＝12，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人．(ⅱ)由题意，120216＝59，所以竞价自高到低排列位于前59比例的业主可以竞拍成功，结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为1000－⎝ ⎛⎭⎪⎫59－0.3×100＝87709≈974元． 20．(本小题满分12分)(2019·合肥二模)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．解 (1)∵直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C 相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝2px 消去x 得，y 2－2py ＋2p ＝0，从而Δ＝4p 2－8p ＝0，解得p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x －1，y 2＝4x消去x 得，y 2－4ty －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4t ，从而x 1＋x 2＝4t 2＋2，∴线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2＋1,2t )．设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，则d A ＋d B ＝2d ＝2·|2t 2－2t ＋2|2＝22|t 2－t ＋1|＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34， ∴当t ＝12时，可使A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为322.21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减．(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.当0<a <2时，可知2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫827，2. 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，1. 综上，M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，2. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·黄山二模)设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－ρcos θ＋1＝3m .(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设点P (1，m )，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |＝8|PB |，求m 的值．解 (1)由题可得，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.直线l 的直角坐标方程为3y －x ＋1＝3m ，即x －3y －1＋3m ＝0.由于直线l 过点P (1，m )，倾斜角为30°，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝m ＋12t (t 是参数)．注意：直线l 的参数方程的结果不是唯一的．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12t 2＝1⇒t 2＋mt ＋m 2－1＝0 所以|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝|m 2－1|＝8解得m ＝±3.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春二模)已知f (x )＝|2－x |－|4－x |.(1)关于x 的不等式f (x )≥a 2－3a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若f (m )＋f (n )＝4，且m ＜n ，求m ＋n 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＋4－x ＝2(x ≥4)，x －2－4＋x ＝2x －6(2＜x ＜4)，2－x －4＋x ＝－2(x ≤2)，所以f (x )min ＝－2，∵f (x )≥a 2－3a 恒成立，则a 2－3a ≤f (x )min ＝－2，解得1≤a ≤2.(2)∵f (x )max ＝2，∴f (m )≤2，f (n )≤2，则f (m )＋f (n )≤4，又f (m )＋f (n )＝4，所以f (m )＝f (n )＝2，于是n ＞m ≥4，故m ＋n ＞8.。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(八) 含解析
素养提升练(八)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m ，n ∈R ，集合A ＝{2，log 7m }，集合B ＝{m ，n }，若A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 D解析 因为A ∩B ＝{1}，则log 7m ＝1，m ＝7，B ＝{m ，n }＝{7，n }，n ＝1，则m ＋n ＝8.故选D.2．(2019·无锡一中三模)已知i 为虚数单位，且复数z 满足z (1＋i)＝2＋i 2019，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＋i 的值为( ) A.12 B.52 C.32 D ．2答案 B解析 z (1＋i)＝2＋i 2019，∴z ＝2＋i 20191＋i ＝2－i 1＋i＝(2－i )(1－i )2＝12－32i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12i ＝1＋14＝52，故选B.3．(2019·厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12B.13C.23D.25 答案 B解析 在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×82＝1623，则阴影部分的面积为S ＝82－1623＝823.由测度比为面积比可得，该点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙 答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.5．(2019·梧州一模)函数f (x)＝(e x＋1)ln x2e x－1(e是自然对数的底数)的图象大致为()答案 A解析 f (x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，f (－x)＝(e－x＋1)ln (－x)2e－x－1＝(1＋e x)ln x21－e x ＝－(e x＋1)ln x2e x－1＝－f (x)，则函数f (x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.当x＞1时，f (x)＞0，排除D，故选A.6．(2019·莱阳一中一模)已知△ABC中，sin A＋2sin B cos C＝0，3b＝c，则tan A的值是()A.33 B.233 C. 3 D.433答案 A解析∵sin A＋2sin B cos C＝0，∴sin(B＋C)＋2sin B cos C＝0，∴3sin B cos C＋cos B sin C ＝0，由cos B≠0，cos C≠0，化为3tan B＝－tan C，又3b＝c，∴B为锐角，C为钝角，∴tan A＝－tan(B＋C)＝－tan B＋tan C1－tan B tan C＝2tan B1＋3tan2B＝21tan B＋3tan B≤223＝33，当且仅当tan B＝33时，取等号，∴tan A的最大值是33.7．(2019·莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.154B.133C.173D.112 答案 C解析 根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱，则该几何体的体积为V ＝23－13×12×22×2－2×12×1×1＝173.故选C.8．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n (n －1)2D ．a n ＝n (n ＋1)2答案 D解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.故选D.9．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 答案 B解析 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，故直线l 与圆相切．10．(2019·上饶一模)已知定义在R 上的函数满足 f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－5，0＜x ≤1，ln x －1e 5，1＜x ≤2，若关于x 的不等式f (x )＋a (x －2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－5，0＜x ≤1，ln x －1e 5，1＜x ≤2，可得当0＜x ≤1时，f (x )递增，且f (x )∈(－4，－3]；当1＜x ≤2时，f (x )＝ln (x －1)－5≤－5.由f (x ＋1)＝f (x －1)，可得f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )的最小正周期为2，关于x 的不等式f (x )＋a (x －2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，即f (x )在(2018,2020]上的图象在直线y ＝－a (x －2018)的下方．可得当2018＜x ≤2019时，f (x )＝2x －2018－5∈(－4，－3]；当2019＜x ≤2020时，f (x )＝ln (x －2019)－5≤－5，如上图，直线y ＝－a (x －2018)恒过定点(2018,0)，当直线经过点(2020，－5)时，即－5＝－2a ，解得a ＝52，由图象可得a ≤52时，直线恒在f (x )在(2018,2020]上图象的上方，故选C.11．(2019·徐州一中二模)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长为4，M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且满足AM ＝BN ，当三棱锥B 1－BMN 的体积最大时，三棱锥B 1－BMN 的外接球的表面积为( )A.13π3 B ．4πC.16π3D.64π3 答案 D解析 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长为4，∠ABC ＝60°，设AM ＝BN ＝x (0＜x ＜4)，则V B 1－BMN ＝13×4×12(4－x )x sin π3＝23(4－x )x ×32≤23×32⎝⎛⎭⎪⎫4－x ＋x 22＝433，当且仅当4－x ＝x 即x ＝2时取等号，可知△BMN 为等腰三角形，R ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43＝433，S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＝64π3，故选D.12．(2019·北大附中一模)已知函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，且满足当x ＞0时，ln x ·f ′(x )＜－1x f (x )，则(x －2019)f (x )＞0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1,2019)B ．(－2019，－1)∪(1,2019)C ．(0,2019)D ．(－1,1) 答案 C解析 设g (x )＝ln x ·f (x )，则g ′(x )＝1x ·f (x )＋ln x ·f ′(x )＜0，可知函数g (x )在x ＞0时单调递减，又g (1)＝0，可知函数g (x )＝ln x ·f (x )在(0,1)上大于零，且ln x ＜0，可知f (x )＜0；在(1，＋∞)上，g (x )<0，f (x )＜0；当x ＝1时，f ′(1)ln 1＜－11f (1)，可得f (1)＜0，可知函数f (x )在(0，＋∞)上均有f (x )＜0，而函数f (x )为奇函数，可知f (x )在(－∞，0)上均有f (x )＞0，可知(x －2019)f (x )＞0，即⎩⎨⎧ x －2019＞0，f (x )＞0(无解)或⎩⎨⎧x －2019＜0，f (x )＜0，可知不等式的解集为(0,2019)．第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·南昌二中模拟)已知AB →＝(1,2)，AC →＝(2,3)，向量m ＝(a,2)与BC →垂直，则向量m 的模为________．答案 2 2解析 由已知得BC →＝AC →－AB →＝(1,1)，因为m ＝(a,2)与BC →垂直，所以m ·BC →＝(a,2)·(1,1)＝a ＋2＝0，解得a ＝－2，则m ＝(－2,2)，|m |＝2 2.14．(2019·东北三校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧－1≤x －y ≤1，－2≤2x ＋y ≤2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 3解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z ＝3x ＋y ，可知直线y ＝－3x ＋z 过A (1,0)时，z 有最大值为3×1＋0＝3. 15．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析 解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.解法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.16．(2019·扬州中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线MN 过F 2，且与双曲线右支交于M ，N 两点，若cos ∠F 1MN ＝cos ∠F 1F 2M ，|F 1M ||F 1N |＝12，则双曲线的离心率等于________．答案 2解析如图，由cos∠F1MN＝cos∠F1F2M可得∠F1MN＝∠F1F2M，∴|F1M|＝|F1F2|＝2c，|F1N|＝2|F1M|＝4c，由双曲线的定义可得|MF2|＝2c－2a，|NF2|＝4c－2a，∴|MN|＝6c－4a，在△F1MN中，由余弦定理得cos∠F1MN＝(2c)2＋(6c－4a)2－(4c)22×2c×(6c－4a)＝3c2－6ac＋2a2c(3c－2a)，在△F1F2M中，由余弦定理得cos∠F1F2M＝(2c)2＋(2c－2a)2－(2c)22×2c×(2c－2a)＝c－a2c，∵cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，∴3c2－6ac＋2a2c(3c－2a)＝c－a2c，整理得3c2－7ac＋2a2＝0，∴3e2－7e＋2＝0，解得e＝2或e＝13(舍去)．∴双曲线的离心率等于2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·太原一模)如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝6 2.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解 (1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ， 且a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得：a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0＜B ＜π， ∴B ＝60°.(2)连接CE ，如图，D 是AC 的中点，DE ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DE sin A ＝62sin A ， 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B ＝BC sin ∠BEC＝BCsin2A ，∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0＜A ＜180°， ∴A ＝45°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∴∠BEC ＝90°， ∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1， ∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32.18．(本小题满分12分)(2019·东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示．(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．解(1)甲同学成绩的中位数是116＋1222＝119，乙同学成绩的中位数是128.乙的成绩的频率分布直方图补充后如图．(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高，且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．(3)甲同学不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e.现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共6种．因此事件A发生的概率P(A)＝610＝35.19．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为直角梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝2EF ＝2DE ＝2.(1)求证：平面BFD ⊥平面ABCD ；(2)若三棱锥B －ADF 的体积为13，求BD 与平面BAF 所成角的正弦值． 解 (1)证明：如图，作DH ⊥AF 于H ， ∵AF ⊥FE ，AF ＝2EF ＝2DE ＝2. ∴四边形DEFH 是正方形， ∴HF ＝DH ＝1，∠HDF ＝45°， ∵AF ＝2，∴AH ＝1，∴∠ADH ＝45°. ∴∠ADF ＝90°，即DF ⊥AD ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AD 为两个面的交线， ∴FD ⊥平面ABCD . ∴平面BFD ⊥平面ABCD .(2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，V B －ADF ＝13S △ADF ·AB ＝13×12×2×1·AB ＝13， 所以AB ＝1，又∵AD 2＝AF 2－DF 2＝22－2＝2， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝ 3连接BH ，易知∠DBH 为BD 与平面BAF 所成的角， 在直角△BDH 中，BD ＝3，DH ＝1， ∴sin ∠DBH ＝13＝33， 所以BD 与平面BAF 所成角的正弦值为33.20．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3|OA |＝2|OB |(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率．(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP .求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知有3a ＝2b ，又由a 2＝b 2＋c 2，消去b 得a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋c 2，解得c a ＝12.所以，椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，故椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由题意，F (－c,0)，则直线l 的方程为y ＝34(x ＋c )．点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝34(x ＋c )，消去y 并化简，得到7x 2＋6cx －13c 2＝0， 解得x 1＝c ，x 2＝－13c7.代入到l 的方程，解得y 1＝32c ，y 2＝－914c . 因为点P 在x 轴上方，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，32c .由圆心C 在直线x ＝4上，可设C (4，t )． 因为OC ∥AP ，且由(1)知A (－2c,0)， 故t4＝32c c ＋2c，解得t ＝2.因为圆C 与x 轴相切，所以圆C 的半径为2. 又由圆C 与l 相切，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪34(4＋c )－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2，可得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y212＝1.21．(本小题满分12分)(2019·济宁二模)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 在x ＝x 0处取得极小值－1.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝xf (x )＋b (b ＞0)，讨论函数g (x )的零点个数． 解 (1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1＋a . ∵函数f (x )＝x ln x ＋ax 在x ＝x 0处取得极小值－1， ∴⎩⎨⎧ f ′(x 0)＝ln x 0＋1＋a ＝0，f (x 0)＝x 0ln x 0＋ax 0＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，x 0＝1.当a ＝－1时，f ′(x )＝ln x ，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值－1， ∴a ＝－1.(2)由(1)知函数g (x )＝xf (x )＋b ＝x 2ln x －x 2＋b ，定义域为(0，＋∞)． g ′(x )＝2x ln x ＋x －2x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －12. 令g ′(x )＝0，得x ＝e ，易得g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，函数g (x )取得极小值(也是最小值)b －e 2.当b －e 2＞0，即b ＞e2时，函数g (x )没有零点．当b －e 2＝0，即b ＝e2时，函数g (x )有一个零点． 当b －e 2＜0，即0＜b ＜e2时，g (e)＝b ＞0. ∴g (e)g (e)＜0，故存在x 1∈(e ，e)，使g (x 1)＝0， ∴g (x )在(e ，e)上有一个零点x 1. 设h (x )＝ln x ＋1x －1，x ∈(0,1)， 则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减．∴h (x )＞h (1)＝0，即当x ∈(0,1)时，ln x ＞1－1x .∴当x ∈(0,1)时，g (x )＝x 2ln x －x 2＋b ＞x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －x 2＋b ＝b －x . 取x ′＝{b,1}min ，则g (x ′)＞0， g (e)g (x ′)＜0，∴存在x 2∈(x ′，e)，使函数g (x 2)＝0，∴g (x )在(x ′，e)上有一个零点x 2， ∴g (x )在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2， 综上可得，当b ＞e2时，函数g (x )没有零点，当b ＝e2时，函数g (x )有一个零点， 当0＜b ＜e2时，函数g (x )有两个零点．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求C 1，C 2交点的直角坐标；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，点B 是曲线C 2上的点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，y 1＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－32.∴所求交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)设B (ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，∴△AOB 的面积S ＝12·|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＋3 ∴当θ＝23π12时，S max ＝2＋ 3.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)若f (x )＋2x ＞2，求实数x 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋f (ax )(a ＞1)，若g (x )的最小值为12，求a 的值． 解 (1)∵f (x )＋2x ＞2，即|x ＋1|＞2－2x ，当x ≥－1时，原不等式化为x ＋1>2－2x ，解得x >13； 当x <－1时，原不等式化为x ＋1<2x －2，无解． ∴实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(2)∵a ＞1，∴－1＜－1a ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －2，x ∈(－∞，－1)，(1－a )x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1a ，(a ＋1)x ＋2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，易知函数g (x )在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1a 上单调递减，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－1a .∴1－1a ＝12，解得a ＝2.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(5)(学生版)
素养提升练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}2．(2019·昆明一中二模)设i 是虚数单位，若复数z 满足z ·i ＝4－9i ，则其共轭复数z －＝( )A ．－9－4iB ．－9＋4iC ．9－4iD ．9＋4i3．(2019·成都七中三模)国家统计局统计了我国近10年(2009～2018年)的GDP(GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是( ) A ．这10年中有3年的GDP 增速在9.00%以上 B ．从2010年开始GDP 的增速逐年下滑 C ．这10年GDP 仍保持6.5%以上的中高速增长D ．2013～2018年GDP 的增速相对于2009～2012年，波动性较小4．(2019·南充高中一模))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x ＋a )2＋y 2＝14a 2相切，则双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D.2335．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a ＝( )A ．1B ．0 C.1e D ．－16．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.157．(2019·内江一模)函数f (x )＝ln (x 2＋2)－e x －1的图象可能是( )8．(2019·重庆八中三模))在如图的程序框图中，若n ＝2019，则输出y ＝( )A ．0 B.12 C.22 D.329．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．810．(2019·成都模拟)若函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m ＜n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D. (1，e1e )11．(2019·怀化一模)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ．S 1≤S 2C ．S 1≥S 2D ．先S 1<S 2，再S 1＝S 2，最后S 1>S 212．(2019·武汉二中三模)若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a cos x 在(－∞，＋∞)内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，43D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－43 第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·台州中学二模)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(3,3)．若(a －b )⊥b ，则实数m ＝________.14．(2019·吉林三模)某煤气站对外输送煤气时，用1～5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：(1)若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； (2)若开启2号或4号，则关闭1号；(3)禁止同时关闭5号和1号．现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是________．15．(2019·贵阳一中二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0＜x ＜1，0＜y ＜1，经统计数字x ，y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).18．(本小题满分12分)(2019·四川遂宁三模)已知函数f (x )＝3cosπx －sinπx 在x ∈(0,1)上的零点为等差数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1，且数列{a n }的公差d ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)(2019·湖南怀化模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，E 是棱PC 上的动点，连接DE .(1)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(2)当△BED 面积的最小值是4时，求此时动点E 到底面ABCD 的距离． 20．(本小题满分12分)(2019·长春二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，焦距长为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．设O 为坐标原点，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．21．(本小题满分12分)(2019·石家庄二模)设函数g (x )＝t e 2x ＋(t ＋2)e x －1，其中t ∈R .(1)当t ＝－1时，求g (x )的单调区间与极值；(2)若t 是非负实数，且函数f (x )＝g (x )－4e x －x ＋1在R 上有唯一零点，求t 的值．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·呼和浩特二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝m ＋t(其中t 为参数)．以坐标原点O 为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最小值为22，求实数m的值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春模拟)已知函数f (x)＝|x－2|＋2.(1)解不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)；(2)设g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f (x2)成立，求实数a的取值范围．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题22 数学文化(学生版)
专题二十二 数学文化本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·攀枝花一模)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为( )A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺2．(2019·郴州一模)如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．134B ．67C ．200D ．2503．(2019·全国卷Ⅰ) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例.著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm4．(2019·四川省自贡市第一次诊断)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63,36，则输出的a＝()A．3 B．6 C．9 D．185．(2019·四川省绵阳市一诊)古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少尺布？已知1匹＝40尺，1丈＝10尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为()A.12尺 B.815尺 C.1629尺 D.1631尺6．(2019·榆林模拟)《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则结束程序时，输出的n 为( ) (3≈1.7321，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A ．6B ．12C ．24D ．487．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.18．(2019·百校联盟联考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝09．(2019·南昌二模)在《周易》中，长横“__”表示阳爻，两个短横“__”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有8种不同的情况即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是( )A.18B.14C.38D.1210．(2019·合肥质检)我国古代的《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”．如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该“刍童”的表面积为( )A ．12 5B ．40C ．16＋12 3D ．16＋12 511．(2019·桂林一模)如图所示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2 cm 的圆形铜片，中间有边长为1 cm 的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计)，则水滴正好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π12．(2019·商丘二模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④第Ⅱ卷 (非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·广东茂名综合测试)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．14．(2019·温州市高考适应性测试)我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a ，b ，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，则a ＋b ＝________，其中直角三角形的较小的锐角θ的正切值为________．15．(2019·四川六市联考)中国古代数学著作《九章算术》中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________．16．(2019·邯郸模拟)中国传统文化中有很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f (x)＝ln (x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f (x)是某个圆的“优美函数”的充要条件为函数y＝f (x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题16 圆锥曲线方程(学生版)
专题十六 圆锥曲线方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.922．(2019·上饶模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，离心率为12，F 1为圆M ：x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 23＋y 24＝1D.x 26＋y 28＝1∴a ＝2，b ＝ 3.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.故选A.3．(2019·陕西十二校联考)若二次函数f (x )＝k (x ＋1)·(x －2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点或焦点，则k ＝( ) A.32 B ．±32 C. 3 D ．±34．(2019·广西三市联考)设P 为椭圆C ：x 27＋y 23＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝28B ．(x ＋2)2＋y 2＝7C ．(x ＋2)2＋y 2＝28D ．(x －2)2＋y 2＝75．(2019·武邑中学质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A.52 B.52 C.72 D.726．(2019·潮州质量检测)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与直线y＝－1所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为()A.52 B. 2 C.3 D. 57．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 58．(2019·揭阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为()A．2 B.32 C.5－1 D.5＋129．(2019·吉林市调研)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则当△P AF周长取得最小值时，线段PF的长为()A．1 B.134C．5 D.21410．(2019·郑州质量检测)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A．2 B．3 C.32D．411．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝112．(2019·洛阳二模)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 2 C.233 D ．2第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·温州市高考适应性测试)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b a x 交椭圆于A ，B 两点，若cos ∠AFB ＝13，则椭圆C 的离心率是________．14．(2019·沈阳质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．15．(2019·江西九校联考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当点P 在椭圆上运动时，△APF 的周长的最大值为________．16．(2019·北京市海淀区模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0)．经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝________；双曲线C 2的离心率e 2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·江淮十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，以椭圆短轴为直径的圆经过点M (1，2)，椭圆的右顶点为A .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (2，－2)的直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点P ，Q ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1＋k 2是否为定值？并证明你的结论．18．(本小题满分12分)(2019·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．19．(本小题满分12分)(2019·丹东质量测试)已知离心率为2的双曲线C 的一个焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上异于A 1，A 2的一点，直线A 1P 与A 2P 分别交y 轴于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆D 经过两个定点．20．(本小题满分12分)(2019·广东质量检测)已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线C 2：y ＝x 2－1相交于A (－1,0)，B (1,0)两点，C 2的顶点是C 1的一个焦点，过点B 且斜率为k (k ≠0)的直线l 与C 1，C 2分别交于点M ，N (均异于点A ，B )．(1)求C 1的方程；(2)若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．21．(本小题满分12分)(2019·安徽质量检查)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，直线y＝x－1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值；(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．22．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝5 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)基础巩固练(5)(学生版)
基础巩固练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·大同一中二模)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －2＜0}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |x ＞－1}2．(2019·杭州二中一模)在复平面内，复数z ＝－2＋ii 3(i 为虚数单位)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2019·绍兴一中三模)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，则这个几何体的体积为( )A ．32 B.643 C.323 D ．84．(2019·长春市二模)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( )A ．－55 B ．－255 C ．－35D ．－455．(2019·洛阳一高三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x6．(2019·濮阳二模)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM→＝( )A ．18B ．22C ．23D ．247．(2019·全国卷Ⅲ) 执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出ε的值等于( )εA ．2－124B ．2－125C．2－126D．2－1278．(2019·南充高中一模)已知函数f (x)＝m3x－1－52的图象关于(0,2)对称，则f(x)>11的解集为()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞)9．(2019·湖南师大附中三模)设函数f (x)的导函数为f′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为()10．(2019·温州中学一模)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30°，则该长方体的表面积为()A．1211＋16 B．811C．1211 D．122＋1611．(2019·扬州中学二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝1－2ln (－x )x，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( ) A ．3x ＋y －4＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y －2＝0 D ．3x －y －4＝012．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台二中一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是________．14．(2019·贵州联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．15．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．16．(2019·云南省曲靖市质量监测)已知f (x )＝1－|lg x |，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·济南二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上，且AE ＝2EC ，BE ＝433.(1)求AC 的长；(2)若∠ADC ＝60°，AD ＝3，求∠ACD 的大小．18．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽取2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有黄桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案．(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)19．(本小题满分12分)(2019·韶关一模)如图，在几何体ABCDEF 中，DE ＝2，DE ∥BF ，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求点B 到平面ADE 的距离．20．(本小题满分12分)(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点．(1)若直线l 过点F 1，且|AB |＝823，求k 的值；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．(本小题满分12分)(2019·江西联考)已知函数f (x )＝3x －1x ＋b ln x . (1)当b ＝－4时，求函数f (x )的极小值；(2)若∃x ∈[1，e]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x 成立，求b 的取值范围．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·宝鸡二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝π2(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M(2,0)，求△MAB的面积．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·宝鸡二模)设函数f (x)＝x2－x－1.(1)解不等式：|f (x)|＜1；(2)若|x－a|＜1，求证：|f (x)－f (a)|＜2(|a|＋1)．。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(六) 含解析
素养提升练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·正定中学二模)已知集合A ＝{x |y ＝ln (x 2－3x －4)}，B ＝{|x x －2x －1≥0，全集U ＝R ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[1,2]B ．[－1,2)∪(3,4]C ．[－1,3)D ．[－1,1)∪[2,4]答案 D解析 集合A 满足x 2－3x －4＞0，(x －4)(x ＋1)＞0，则A ＝{x |x ＞4或x ＜－1}，∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，集合B 满足x ≥2或x ＜1，则(∁R A )∩B ＝[－1,1)∪[2,4]．故选D.2．(2019·马鞍山二中一模)已知a －3ii ＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 由已知得a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，所以z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应点(－2,3)在第二象限，故选B.3．(2019·江淮十校联考)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 答案 C解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，所以C 错误，故选C.4．(2019·东北三校联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝( ) A ．－79 B.79 C.89 D ．－89 答案 B解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79.故选B. 5．(2019·太原五中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且7S 2＝4S 4，则公比q 的值为( )A ．1B ．1或12 C.32 D ．±32 答案 C解析 若q ＝1，则7S 2＝14a 1,4S 4＝16a 1，∵a 1≠0，∴7S 2≠4S 4，不符合题意；若q ≠1，由7S 2＝4S 4，得7×a 1(1－q 2)1－q ＝4×a 1(1－q 4)1－q，∴q 2＝34，又q ＞0，∴q ＝32.故选C.6．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.12 答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.7．(2019·日照一中三模)已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )A ．4B ．5 C.13 D.26 答案 D解析 三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A －BCD ，如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，连接CE ，AF ，由三视图可得，AE ＝4，BD ＝4，BE ＝3，ED ＝1，BF ＝2，FD ＝2，CF ＝3.所以CE 2＝CF 2＋FE 2＝9＋1＝10，AC 2＝CE 2＋AE 2＝10＋16＝26，AB 2＝BE 2＋AE 2＝9＋16＝25，AD 2＝AE 2＋DE 2＝16＋1＝17，BC 2＝DC 2＝FD 2＋CF 2＝22＋32＝13，所以最长的棱为AC ，其长度为26.故选D.8．(2019·常州高中模拟)已知直线l ：2x ＋y －8＝0上的两点A ，B ，且|AB |＝4，点P 为圆D ：x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则△P AB 的面积的最大值为( )A ．53＋2B ．25＋3C ．43＋2D ．45＋4 答案 D解析 圆D ：x 2＋y 2＋2x －3＝0变形为(x ＋1)2＋y 2＝4，可知圆心D (－1,0)，D 到直线AB 的距离d ＝|－2－8|22＋12＝25，则圆上P 点到直线的距离的最大值为25＋2，可知(S △P AB)max ＝12×(25＋2)×4＝45＋4，故选D.9．(2019·吉林实验中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －34x ＋12，x ＜1，log a x －a ，x ≥1满足∀x 1，x 2∈R 且都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 答案 C解析 由题意知f (x )是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －34＜0，0＜a ＜1，a －34＋12≥－a ，解得18≤a ＜34，故选C.10．(2019·盐城二模)已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3 B ．6π C.22π3 D ．8π 答案 A解析 ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，所以△ABD 与△BDC 均为正三角形．过正三角形BDC 的中心O 1作OO 1⊥平面BDC (O 为四面体ABCD 的外接球的球心)．设M 为BD 的中点，外接球的半径为R ，连接AM ，CM ，OA ，过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，则OO 1＝OG ＝MO 1＝MG .∵MA ＝32×2＝3，∴MG ＝OG ＝13×3＝33，GA ＝233.在直角三角形AGO 中，GA 2＋GO 2＝OA 2，即⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝R 2，R 2＝53，∴四面体ABCD 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝20π3.故选A.11．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40° C.1sin50° D.1cos50° 答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D.12．(2019·安庆一中模拟)已知函数f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx 的导函数f ′(x )是偶函数，若方程f ′(x )－ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1－12e 2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－12e 2，－12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－12e 2，－12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12e 2，－12 答案 A解析 ∵f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝12x 2＋bx ＋c .∵f ′(x )是偶函数，∴b ＝0，∴f ′(x )＝12x 2＋c .∵方程f ′(x )－ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，∴12x 2＋c －ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，即ln x －12x 2＝c 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，可化为φ(x )＝ln x －12x 2(x ＞0)的图象与y ＝c 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点．∵φ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，φ′(x )＞0，φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，当x ∈(1，e ]时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，e ]上单调递减，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，φ(x )max ＝φ(1)＝－12.又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－12e 2，φ(e)＝1－12e 2，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞φ(e)，∴－1－12e 2≤c ＜－12.故选A. 第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·济南一中模拟)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－1，k )，且a ⊥b ，则a ＋4b 与a 的夹角为________．答案 π4解析 由a ⊥b 可知a ·b ＝0，即－3＋4k ＝0，k ＝34，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34，a ＋4b ＝(3,4)＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34＝(－1,7)，cos α＝(a ＋4b )·a |a ＋4b ||a |＝22，所以所成的角为π4. 14．(2019·洛阳一高二模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －m ≤0，且目标函数z ＝3x －2y 的最大值为180，则实数m 的值为________．答案 60解析 当m ≤0时，不符合题意；当m ＞0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝3x －2y 可变形为y ＝32x －z 2，作出直线y ＝32x 并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A (m,0)时，z ＝3x －2y 取得最大值为180，所以3m －0＝180，解得m ＝60.15．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC ， ∴BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. 由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin [π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.16．(2019·潍坊一中三模)直线l ：x ＝my ＋2经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，过原点的直线经过弦AB 的中点D ，并且与抛物线交于点E (异于原点)，则|OE ||OD |的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 因为l ：x ＝my ＋2恒过定点(2,0)，即抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2,0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋2，整理，得y 2－8my －16＝0，Δ＞0恒成立，所以y 1＋y 2＝8m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝8m 2＋4，所以弦AB 的中点D 的坐标为(4m 2＋2,4m )，直线OD 的方程为y ＝4m 4m 2＋2x ，即y ＝2m2m 2＋1x ，由题意可知，m ≠0，与抛物线C ：y 2＝8x 联立可得y E ＝4(2m 2＋1)m ，而|OE ||OD |＝|y E ||y D |＝2m 2＋1m 2＝2＋1m 2＞2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·浙江名校高考联盟二模)已知数列{a n＋1}的前n项和S n 满足S n＝2a n，n∈N*.(1)求证：数列{a n＋1}为等比数列，并求a n关于n的表达式；(2)若b n＝log2(a n＋1)，求数列{(a n＋1)b n}的前n项和T n.解(1)证明：由题可知S n＝(a1＋1)＋(a2＋1)＋(a3＋1)＋…＋(a n＋1)＝2a n，即a1＋a2＋a3＋…＋a n＋n＝2a n.①当n＝1时，a1＋1＝2a1，得a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＋n－1＝2a n－1，②①－②，得a n＋1＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1＋1，所以a n＋1＝2(a n－1＋1)所以数列{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n＋1＝2×2n－1＝2n，故a n＝2n－1.(2)由(1)知b n＝log2(a n＋1)＝log22n＝n，则(a n＋1)b n＝n×2n，T n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n 2T n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1两式相减得－T n＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×(2n－1)2－1－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2所以T n＝2＋(n－1)×2n＋1.18．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：(1)求m，n；(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828K 2＝n (ad －2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)根据分层抽样法，抽样比例为n960＝20＋8560， ∴n ＝48；∴m ＝48－20－8－12＝8.(2)根据题意完善2×2列联表，如下：超过1小时不超过1小时合计 男生 20 8 28 女生 12 8 20 合计321648计算K 2＝48232×16×20×28≈0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．(3)参加社区服务时间超过1小时的频率为3248＝23， 用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6×23＝4(人)． 19．(本小题满分12分)(2019·山东菏泽模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，△BCD ，△P AD 都是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且AD ＝2AB ＝4，CD ＝2 3.(1)求证：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，求三棱锥C －PDE 的体积． 解 (1)证明：因为AD ＝4，AB ＝2，BD ＝23， 所以AD 2＝AB 2＋BD 2，所以AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°.又因为△BCD 是等边三角形，所以∠BDC ＝60°，所以∠ADC ＝90°，所以DC ⊥AD . 因为平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面P AD .因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD . (2)过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，连接GE . 因为BG ∥CD ，BG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BG ∥平面PCD .当BE ∥平面PCD 时，因为BG ∩BE ＝B ， 所以平面BEG ∥平面PCD .因为EG ⊂平面BEG ，所以EG ∥平面PCD .又平面P AD ∩平面PDC ＝PD ，所以EG ∥PD ，所以PE P A ＝DG DA .在直角三角形BGD 中，BD ＝23，∠BDG ＝30°， 所以DG ＝23cos30°＝3， 所以PE P A ＝DG DA ＝34，在平面P AD 内，过点E 作EH ⊥PD 于点H .因为CD ⊥平面P AD ，EH ⊂平面P AD ，所以CD ⊥EH . 因为PD ∩CD ＝D ，所以EH ⊥平面PCD ， 所以EH 是点E 到平面PCD 的距离．过点A 作AM ⊥PD 于点M ，则AM ＝32×4＝2 3.由AM ∥EH ，得EH AM ＝PE P A ＝34，所以EH ＝332. 因为S △PCD ＝12×4×23＝43， 所以V C －PDE ＝V E －PDC ＝13×43×332＝6.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM→|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.21．(本小题满分12分)(2019·开封一模)设函数f (x )＝(x －1)e x －k2x 2. (1)当k ＝e 时，求f (x )的极值；(2)当k ＞0时，讨论函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x e x －kx ＝x (e x －k )，当k ＝e 时，f ′(x )＝x (e x －e)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (1)＝－e 2. (2)①当0＜k ＜1时，令f ′(x )＞0，解得x ＜ln k 或x ＞0， f (x )在(－∞，ln k )和(0，＋∞)上单调递增，在(ln k,0)上单调递减， 当k ＝1时，f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴当0＜k ≤1时，当x ∈(－∞，0)时，f (x )≤f (x )max ＝f (ln k )＝(ln k －1)k －k 2ln 2 k ＝－k2[(ln k －1)2＋1]＜0，此时f (x )无零点，当x ∈[0，＋∞)时，f (0)＝－1＜0，f (2)＝e 2－2k ≥e 2－2＞0，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[0，＋∞)上有唯一的零点， 故函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点． ②当k ＞1时，令f ′(x )＞0，解得x ＜0或x ＞ln k ，f (x )在(－∞，0)和(ln k ，＋∞)上单调递增，在(0，ln k )上单调递减， 当x ∈(－∞，ln k )时，f (x )≤f (x )max ＝f (0)＝－1＜0，此时f (x )无零点， 当x ∈[ln k ，＋∞)时，f (ln k )＜f (0)＝－1＜0， f (k ＋1)＝k ek ＋1－k (k ＋1)22＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤e k ＋1－(k ＋1)22， 令g (t )＝e t －12t 2，t ＝k ＋1＞2，则g ′(t )＝e t －t ，令h (t )＝g ′(t )，h ′(t )＝e t－1，∵t ＞2，h ′(t )＞0，g ′(t )在(2，＋∞)上单调递增， g ′(t )＞g ′(2)＝e 2－2＞0，∴g (t )在(2，＋∞)上单调递增，得g (t )＞g (2)＝e 2－2＞0，即f (k ＋1)＞0，所以f (x )在[ln k ，＋∞)上有唯一的零点， 故函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．综合①②知，当k ＞0时函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有且只有一个零点． (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·山西太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 (1)由⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝1＋3sin α，可得⎩⎨⎧x ＝3cos α，y －1＝3sin α，所以x 2＋(y －1)2＝3cos 2α＋3sin 2α＝3， 所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23，所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. (2)解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0， 所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ＝4，即ρ2＝4，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)， 所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)，由⎩⎨⎧x 2＋(y －1)2＝3，y ＝33x (x ≥0)，解得A (3，1)，由⎩⎨⎧x ＋3y －43＝0，y ＝33x (x ≥0)，解得B (23，2)，所以|AB |＝(23－3)2＋(2－1)2＝2.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围．解 (1)解法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3， 解得x ≥0，即0≤x ≤12， 当12＜x ＜2时，f (x )＝x ＋1≤3， 解得x ≤2，即12＜x ＜2，当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]．解法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，不等式的解集为[0,2]．(2)解法一：由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )＞ax 对任意x ∈R 恒成立，即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2,3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况， 所以－3≤a ＜32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.解法二：不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )＞ax 对任意x ∈R 恒成立， ①当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3＞ax ，即(a ＋3)x －3＜0恒成立， 若a ＋3＜0，显然不符合题意，若a ＋3＝0，即a ＝－3，则－3＜0恒成立，符合题意，若a ＋3＞0，即a ＞－3，只需(a ＋3)×12－3＜0即可，解得a ＜3，又－3＜a ， 所以－3≤a ＜3.②当12＜x ＜2时，f (x )＝x ＋1＞ax ，即(a －1)x －1＜0恒成立， 若a －1＜0，即a ＜1，则(a －1)x －1＜0恒成立，符合题意， 若a －1＝0，即a ＝1，则－1＜0恒成立，符合题意，若a －1＞0，即a ＞1，只需(a －1)×2－1≤0即可，解得a ≤32，故1＜a ≤32 所以a ≤32.③当x ≥2时，f (x )＝3x －3＞ax ，即(a －3)x ＋3＜0恒成立，若a －3＜0，即a ＜3，只需(a －3)×2＋3＜0即可，解得a ＜32，故a ＜32， 若a －3＝0，即a ＝3，显然不符合题意，若a －3＞0，即a ＞3，则(a －3)x ＋3＞0恒成立，不符合题意，所以a ＜32. 综上所述，－3≤a ＜32， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(8)(学生版)
素养提升练(八)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m ，n ∈R ，集合A ＝{2，log 7m }，集合B ＝{m ，n }，若A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．82．(2019·无锡一中三模)已知i 为虚数单位，且复数z 满足z (1＋i)＝2＋i 2019，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＋i 的值为( ) A.12 B.52 C.32D ．23．(2019·厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12B.13C.23D.254．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．(2019·梧州一模)函数f (x )＝(e x ＋1)ln x 2e x －1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )6．(2019·莱阳一中一模)已知△ABC 中，sin A ＋2sin B cos C ＝0，3b ＝c ，则tan A 的值是( )A.33B.233C. 3D.4337．(2019·莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.154B.133C.173D.1128．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n (n －1)2D ．a n ＝n (n ＋1)29．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切10．(2019·上饶一模)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－5，0＜x ≤1，ln x －1e 5，1＜x ≤2，若关于x 的不等式f (x )＋a (x －2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 11．(2019·徐州一中二模)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长为4，M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且满足AM ＝BN ，当三棱锥B 1－BMN 的体积最大时，三棱锥B 1－BMN 的外接球的表面积为( )A.13π3 B ．4π C.16π3 D.64π312．(2019·北大附中一模)已知函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，且满足当x ＞0时，ln x ·f ′(x )＜－1x f (x )，则(x －2019)f (x )＞0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1,2019)B ．(－2019，－1)∪(1,2019)C ．(0,2019)D ．(－1,1)第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·南昌二中模拟)已知AB →＝(1,2)，AC →＝(2,3)，向量m ＝(a,2)与BC →垂直，则向量m 的模为________．14．(2019·东北三校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧－1≤x －y ≤1，－2≤2x ＋y ≤2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．15．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．16．(2019·扬州中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线MN 过F 2，且与双曲线右支交于M ，N 两点，若cos ∠F 1MN ＝cos ∠F 1F 2M ，|F 1M ||F 1N |＝12，则双曲线的离心率等于________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·太原一模)如图，已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝6 2.(1)求B；(2)求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)(2019·东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示．(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．19．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为直角梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝2EF＝2DE＝2.(1)求证：平面BFD ⊥平面ABCD ；(2)若三棱锥B －ADF 的体积为13，求BD 与平面BAF 所成角的正弦值． 20．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3|OA |＝2|OB |(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率．(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP .求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)(2019·济宁二模)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 在x ＝x 0处取得极小值－1.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝xf (x )＋b (b ＞0)，讨论函数g (x )的零点个数．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求C 1，C 2交点的直角坐标；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，点B 是曲线C 2上的点，求△AOB 面积的最大值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|.(1)若f (x)＋2x＞2，求实数x的取值范围；(2)设g(x)＝f (x)＋f (ax)(a＞1)，若g(x)的最小值为12，求a的值．。
2020届全国高考数学（文）刷题11（2019模拟题）基础阶段测试（三）
2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）基础阶段测试（三）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·保定一中二模)已知集合A ＝{1,2}，集合B 满足A ∪B ＝{1,2}，则这样的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 ∵集合A ＝{1,2}，集合B 满足A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅，B ＝{1}，B ＝{2}，B ＝{1,2}．∴满足条件的集合B 有4个．故选D.2．(2019·山东日照一模)设i 为虚数单位，若复数(1＋m i)·(1＋i)是纯虚数，则实数m ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．0或1 答案 C解析 ∵(1＋m i)(1＋i)＝(1－m )＋(1＋m )i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝0，1＋m ≠0，即m ＝1.故选C.3．(2019·四川宜宾二模)一个四棱柱的底面是正方形，且侧棱与底面垂直，其正(主)视图如图所示，则其表面积等于( )A ．16B ．8C ．4 2D ．4＋4 2 答案 D解析 根据几何体的三视图，该几何体是底面边长为2的正方形，高为1的正四棱柱．故S ＝2×2×2＋4×2×1＝4＋4 2.故选D.4．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－ 3 B．－2＋ 3 C．2－ 3 D．2＋ 3答案 D解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D.5．(2019·兰州二模)如图的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析甲的标准差为2.04，乙的标准差为9.63，则甲的标准差小，即股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；股票甲的极差是6.88元，股票乙的极差为27.47元，则购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；由图象知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；甲股票、乙股票均在6～8月份之间出现下跌，故④错误．故选C.6．(2019·沈阳一模)若函数f (x)＝a－a x(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 711＋log a 1114＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1答案 B解析 由指数函数的单调性可得，f (x )＝a －a x (a >0，a ≠1)是单调递增函数或者是单调递减函数，因为f (1)＝0，所以f (x )为[0,1]上的递减函数，所以f (0)＝a －1＝1，解得a ＝2，所以log 2711＋log 21114＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫711×1114＝log 212＝－1.故选B. 7．(2019·广东茂名综合测试)将函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝f (x )的图象，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的一个周期为2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减答案 D解析 由题意得，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以A ，B ，C 正确．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，所以D 错误．故选D.8．(2019·长春实验中学三模)某景区观光车上午从景区入口发车的时间为7：30,8：00,8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为( )A.25B.35C.14D.34 答案 A解析 上午7：40至8：30共50分钟，等待时间不多于10分钟的到达时间为7：50～8：00,8：20～8：30，共20分钟，所以所求的概率P ＝2050＝25.故选A.9．(2019·沈阳质量监测)函数f (x )＝x 2－1e |x |的图象大致为( )答案 C解析 解法一：由定义可知，函数f (x )为偶函数，所以排除A ，B ，f (2)＝3e 2<1，排除D ，故选C.解法二：由定义可知，函数f (x )为偶函数，所以排除A ，B ，当x <0时，f (x )＝(x 2－1)e x ，则f ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x ，所以f (x )在(－∞，0)上有极大值，故选C.10．(2019·四川绵阳二诊)已知F 1，F 2是焦距为8的双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点F 2关于双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若|AF 1|＝4，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 C解析 如图，因为A 为F 2关于渐近线的对称点，所以B 为AF 2的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以OB 为△AF 1F 2的中位线，所以OB ∥AF 1，由AF 2⊥OB ，可得AF 2⊥AF 1，AF 2＝82－42＝43，点F 2(4,0)，渐近线为y ＝ba x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4ba 2＋b 2＝23，a 2＋b 2＝16，解得b ＝23，a ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝42＝2.故选C.11．(2019·大连二模)在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a cos B ＋b cos A＝2cos C，c＝1，则角C＝()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B解析因为c＝1，故a cos B＋b cos A＝2cos C＝2c cos C，由正弦定理可得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，故sin C＝2sin C cos C，由C∈(0，π)，所以sin C>0，故cos C＝12，由C∈(0，π)，故C＝π3，故选B.12．(2019·四川省乐山市一模)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f (x)＝2019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a>c>b>d B．a>b>c>dC．c>d>a>b D．c>a>b>d答案 D解析由题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f (x)＝2019－g(x)，因为g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知f (x)＝0的两根c，d，也就是g(x)＝2019的两根，画出函数g(x)(开口向上)以及直线y＝2019的大致图象，则g(x)与直线y＝2019交点的横坐标就是c，d，g(x)与x轴的交点就是a，b，又a>b，c>d，则c，d在a，b外，由图得，c>a>b>d，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·郑州质量预测)已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________．答案 12解析 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9×1×cos 2π3＋6＝32，即|a ||b |cos θ＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝12.14．(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．答案 π4解析 如图所示，在四棱锥V －ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为2，可得OC ＝1.设M 为VC 的中点，过点M 作MO 1∥OC 交OV 于点O 1，则O 1即为圆柱上底面的圆心． ∴O 1M ＝12OC ＝12，O 1O ＝12VO . ∵VO ＝VC 2－OC 2＝2，∴O 1O ＝1.可得V 圆柱＝π·O 1M 2·O 1O ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4.15．(2019·河南师大附中二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当动直线y ＝－2x ＋z 过点A (2,0)时，z max ＝2×2＋0＝4.16．(2019·漳州二模)已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4的所有x 之积为________．答案 39解析 因为函数y ＝f (x ＋2)是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的对称轴， 从而直线x ＝2就是函数y ＝f (x )图象的对称轴．因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13，所以x 1x 2x 3x 4＝39.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(本小题满分12分)(2019·衡水市三模)《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．解(1)被采访人恰好在第2组或第6组的概率P＝4×0.07＋4×0.01＝0.32.(2)众数为170；设中位数为x，则0.2＋0.28＋(x－168)×0.08＝0.5.可得中位数x＝0.5－0.480.08＋168＝168.25.(3)第4组市民共50×0.12＝6名，其中男性3名，设为a，b，c，女性3名，设为d，e，f，则随机抽取2名，可能为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，其中2名全是男性的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种情况，设事件A为“从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，至少有1名女性”，则所求概率P(A)＝1－3＝1545.19．(本小题满分12分)(2019·福建莆田二模)如图，在多面体ABCC1B1A1中，四边形BB1C1C 为矩形，AB＝BC＝5，CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1,2AA1＝CC1＝AC＝2，E，F分别是A1C1，AC的中点，G是线段BB1上的任一点．(1)求证：AC⊥EG；(2)求三棱锥F－EA1G的体积．解(1)证明：连接BF，B1E.∵E，F分别是A1C1，AC的中点，且AA1∥CC1，∴EF∥CC1，又CC1∥BB1，∴EF∥BB1，∴E，F，B，B1四点共面．∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥AC.∵AB＝BC，F是AC的中点，∴AC⊥BF.又EF∩BF＝F，∴AC⊥平面BB1EF.又∵G∈BB1，∴EG⊂平面BB1EF，∴AC⊥EG.(2)在Rt△BCF中，由BC＝5，CF＝1，得BF＝2.∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BF.又AC⊥BF，CC1∩AC＝C，∴BF⊥平面ACC1A1，∵AA1∥CC1,2AA1＝CC1＝2，E，F分别是A1C1，AC的中点，∴EF＝32.又AF＝1，∴△A1EF的面积S△A1EF ＝12×EF×AF＝12×32×1＝34，∵BB1∥EF，BB1⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BB1∥平面A1EF.三棱锥F－EA1G的体积为V F－EA1G ＝V G－A1EF＝V B－A1EF＝13×S△A1EF×BF＝13×34×2＝12.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，②x 2a 2＋y 2b 2＝1.③由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2. 又由①知y 2＝162c 2，故b ＝4.由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c 2(c 2－b 2)， 所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P .所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2019·东北三省四市一模)已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a >0)．(1)若函数y ＝f (x )图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f (x )的极值点；(2)若关于x 的不等式f (x )<2有解，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝－2x 2＋a x (x >0)．(1)∵a >0，∴当1x ＝a 4时，f ′(x )取最大值a 28，∴a 28＝2，∵a >0，∴a ＝4，∴此时f ′(x )＝－2x 2＋4x ＝4x －2x 2.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值点为x ＝12，无极大值点．(2)∵f ′(x )＝ax －2x 2(x >0且a >0)，∴在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a ＋a ln 2a . ∵关于x 的不等式f (x )<2有解，∴a ＋a ln 2a<2， ∵a >0，∴ln 2a ＋1－2a <0，令g (x )＝ln x ＋1－x ，∴g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，在(0,1)上，g ′(x )>0，g (x )单调递增；在(1，＋∞)上，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，要使ln 2a ＋1－2a <0，则2a >0且2a ≠1.∴a 的取值范围是a >0且a ≠2.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·洛阳市一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 1，C 2的公共点为A ，B .(1)求直线AB 的斜率；(2)若点C ，D 分别为曲线C 1，C 2上的动点，当|CD |取最大值时，求四边形ACBD 的面积． 解 (1)消去参数α，得曲线C 1的普通方程C 1为x 2＋y 2－2y ＝0， ①将曲线C 2：ρ＝4cos θ化为直角坐标方程得x 2＋y 2－4x ＝0， ②由①－②化简得y ＝2x ，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为2.(2)由C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，知曲线C 1是以C 1(0,1)为圆心，1为半径的圆，由C 2：x 2＋y 2－4x ＝0，知曲线C 2是以C 2(2,0)为圆心，2为半径的圆，∵|CD |≤|CC 1|＋|C 1C 2|＋|DC 2|，∴当|CD |取最大值时，圆心C 1，C 2在直线CD 上，此时直线CD (即直线C 1C 2)的方程为x ＋2y ＝2.∵O 到直线CD 的距离为d ＝25＝255，即|AB |＝455， 此时|CD |＝|C 1C 2|＋1＋2＝5＋3.∴四边形ACBD 的面积S ＝12·|CD |·|AB |＝2＋655.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·洛阳市一模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |(m ∈R )．(1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,4]，求m 的取值范围． 解 (1)当m ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|. 当x ≤－12时，f (x )＝－2x －1＋(x －1)＝－x －2，由f (x )≥2，解得x ≤－4，综合得x ≤－4；当－12<x <1时，f (x )＝2x ＋1＋(x －1)＝3x ，由f (x )≥2，解得x ≥23，综合得23≤x <1；当x ≥1时，f (x )＝2x ＋1－(x －1)＝x ＋2，由f (x )≥2，解得x ≥0，综合得x ≥1.∴f (x )≥2的解集是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. (2)∵f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|的解集包含[3,4]，∴当x ∈[3,4]时，|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|恒成立，原式可变为2x ＋1－|x －m |≥x －3，即|x －m |≤x ＋4，∴－x －4≤x －m ≤x ＋4，即－4≤m≤2x＋4在x∈[3,4]上恒成立，显然当x＝3时，2x＋4取得最小值10，即m的取值范围是[－4,10]．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题02 常用逻辑用语(学生版)
专题二常用逻辑用语本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·江西九校联考)下列语句中正确的个数是()①∀φ∈R，函数f (x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；②命题“若x＝y则sin x＝sin y”的否命题是真命题；③若p或q为真，则p，q均为真；④“a·b>0”的充分不必要条件是“a与b夹角为锐角”．A．0 B．1 C．2 D．32．(2019·四川绵阳二诊)“a＝b＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．(2019·沈阳质量监测)设命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，则綈p为() A．∃x∈R，x2－x＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x∈R，x2－x＋1≤0 D．∀x∈R，x2－x＋1<05．(2019·北京高考)设函数f (x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f (x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2019·广州市高三调研)下列命题中，是真命题的为()A．∃x0∈R，e xo≤0B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于17．(2019·浙江高考)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．(2019·合肥质量检测)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为()A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解9．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(綈p)∨q为真命题B．p∨q为真命题C．p∧q为真命题D．p∧(綈q)为假命题10．(2019·滁州一模)下面几个命题中，是假命题的是()A．“若a≤b，则2a≤2b－1”的否命题B．“∀a∈(0，＋∞)，函数y＝a x在定义域内单调递增”的否定C．“π是函数y＝sin x的一个周期”或“2π是函数y＝sin2x的一个周期”D．“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的必要条件11．(2019·深圳调研)设有下面四个命题：p1：∃n∈N，n2>2n；p2：x∈R，“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；p3：命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是“若sin x≠sin y，则x≠y”；p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题．其中为真命题的是()A．p1，p2B．p2，p3C．p2，p4D．p1，p312．(2019·西安质量检测大联考)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1<0的解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞) C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南通二调)命题“∃x ∈R,2x >0”的否定是________．14．(2019·郑州模拟)已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．15．(2019·江西玉山一中月考)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为________．16．(2019·福建闽侯二中模拟)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·山东德州模拟)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分10分)(2019·潍坊联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题03 函数与基本初等函数
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 因为 f (x)是 R 上的偶函数，又函数 f (x)在区间(－∞，0]上为减函 数且 f (2m)>f (2)，所以 2m>2 或 2m<－2，即 m>1 或 m<－1.故选 D.
答案
解析
4．(2019·四川省乐山市高三第一次调查)已知函数 f (x)满足：f (－x)＋f (x)
于是函数 y＝a1x的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递增，函数 y＝logax＋12的 图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递减．因此，选项 D 中的两个图象 符合．
当 a>1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递增，于是函数
＝－f (1)＝－12－1＝12.故选 C.
答案
解析
5．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝a1x，y＝logax＋12(a>0， 且 a≠1)的图象可能是( )
答案 D
答案
解析 当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递减，
解析
8．(2019·泉州市普通高中毕业班质检)定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x
＋2)＝f (－x)，且当 x∈[0,1]时，f (x)＝2x－cosx，则下列结论正确的是( )
A．f 20320<f 20219<f (2018)
B．f (2018)<f
函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f (－3)<f (－log313)<f (20.6) C．f (20.6)<f (－log313)<f (－3)
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题01 集合(教师版)
专题一集合本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·长春质量监测)已知集合M＝{0,1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析由M∪N＝M得N⊆M.故选D.2．(2019·深圳高三第一次调研)已知集合A＝{x|y＝lg (2－x)}，B＝{x|x2－3x≤0}，则A∩B＝()A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2}C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}答案B解析A＝{x|x<2}，B＝{x|0≤x≤3}，所以A∩B＝{x|0≤x＜2}．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．故选C.4．(2019·开封一模)已知集合A＝{x|x－1>0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩(∁B)＝()RA．[0,1) B．(1,2)C．(1,2] D．[2，＋∞)答案C解析 由x －1>0解得x >1.由x －2>0解得x >2，故∁R B ＝(－∞，2]，故A ∩(∁R B )＝(1,2]．故选C.5．(2019·浙江高考)已知全集U ＝{－1,0,1,2,3}，集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1，0,1}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{0,1}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,3}答案 A解析 ∵U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{0,1,2}，∴∁U A ＝{－1，3}．又∵B ＝{－1,0,1}，∴(∁U A )∩B ＝{－1}．故选A.6．(2019·湖北省部分重点中学期中)已知集合A ＝(－2,5]，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3) 答案 C解析 ∵集合A ＝(－2,5]，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，∴当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2，成立；当B ≠∅时，⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围是(－∞，3]．故选C.7．(2019·合肥一检)已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x <12且y ≥－4D ．∅ 答案 B解析 由题意得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12.故选B.8．(2019·广东汕头模拟)已知集合A ＝{0,1,2}，若A ∩∁Z B ＝∅(Z 是整数集合)，则集合B 可以为( )A ．{x |x ＝2a ，a ∈A }B ．{x |x ＝2a ，a ∈A }C ．{x |x ＝a －1，a ∈N }D ．{x |x ＝a 2，a ∈N }答案 C解析 由题意知，集合A ＝{0,1,2}，可知{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0,2,4}，此时A ∩∁Z B ＝{1}≠∅，A 不满足题意；{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{1,2,4}，则A ∩∁Z B ＝{0}≠∅，B 不满足题意；{x |x ＝a －1，a ∈N }＝{－1,0,1,2,3，…}，则A ∩∁Z B ＝∅，C 满足题意；{x |x ＝a 2，a ∈N }＝{0,1,4,9,16，…}，则A ∩∁Z B ＝{2}≠∅，D 不满足题意．故选C.9．(2019·广西南宁联考)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∩N ＝N答案 D解析 由题意可得N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，N ⊆M .故选D.10．(2019·保定二模)已知集合A ＝{4，a }，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩(∁Z B )≠∅，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．2或6D ．2或3答案 D解析 因为B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，所以∁Z B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{x ∈Z |1<x <4}＝{2,3}．若A ∩(∁Z B )≠∅，则a ＝2或a ＝3.故选D.11．(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－1,2) D ．∅答案 C解析 A ∩B ＝{x |x >－1}∩{x |x <2}＝{x |－1<x <2}．故选C.12．(2019·东北三省四市模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 答案 D解析 由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·江苏省南通市模拟)已知集合M ＝{x |－1<x <1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，则M ∩N ＝________.答案 {x |0≤x <1}解析 由题意得N ＝{x |0≤x <1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <1}．14．(2019·江苏省泰州市高三上学期期末)已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1,16}，若A ∩B ≠∅，则a ＝________.答案 ±4解析 ∵集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1,16}，A ∩B ≠∅，∴a 2＝16，解得a ＝±4.15．(2019·南宁联考)若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2019＋b 2019的值为________．答案 －1解析因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2019＋b 2019＝－1.16．(2019·西安一模)某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有________人．答案 26解析 设只爱好音乐的人数为x ，两者都爱好的人数为y ，只爱好体育的人数为z ，作Venn 图如图所示，则x ＋y ＋z ＝55－4＝51，x ＋y ＝34，y ＋z ＝43，故y ＝(34＋43)－51＝26.三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·广西五市联合模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m ＜－3}．18．(本小题满分10分)(2019·南阳第一中学质量检测)若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}，当A ∩B ≠∅时，求实数m 的取值范围．解 ∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎨⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0,2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0,2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0,2]上有解．又∵当x ∈(0,2]时，1x ＋x ≥2当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”，∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．。
2020高考数学(文)必刷套题(含2019高考真题及模拟题)
2020高考数学（文）必刷套题（含2019高考真题及模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·安徽第二次联考)已知集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |－3<2x <6}，则A ∩B ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <3 B ．{x |－2<x <2} C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <2 D ．{x |－2<x <3} 答案 C解析 ∵A ＝{x |x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <3，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <2.故选C. 2．(2019·哈尔滨三中二模)若i 为虚数单位，则2－3i1＋i ＝( )A.12－52i B ．－12－52i C.12＋52i D ．－12＋52i 答案 B 解析2－3i1＋i＝－－＋－＝－12－52i.故选B.3．(2019·合肥二模)如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 答案 B解析 根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为－0.48%，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选B.4．(2019·株洲一模)在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为( )A.16B.12C.13D.14 答案 D解析 由x 2－x <0，得0<x <1.所以在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为1－02－－＝14.故选D. 5．(2019·青岛一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B 两点，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N 两点，若△OAB 与△OMN 的面积比为1∶9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±23xD ．y ＝±8x答案 B解析 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，则19＝a 2c 2，∴a 2＋b 2a 2＝9⇒b 2＝8a 2，∴b a ＝22，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故选B.6．(2019·江西南康中学二模)偶函数f (x )＝x (e x－a e －x)的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A ．2eB ．eC ．2e D ．e ＋1e答案 A解析 偶函数f (x )＝x (e x －a e －x )，可得f (－x )＝f (x )，即－x (e －x －a e x )＝x (e x－a e－x)，可得(a －1)x ·(e x ＋e －x )＝0，对x ∈R 恒成立，则a ＝1，函数f (x )＝x (e x －e －x)，f ′(x )＝x (e x＋e －x)＋e x －e －x，则f ′(1)＝2e.故选A.7．(2019·长沙一模)在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，CA ＝8，且O 是△ABC 的外心，则CA →·AO →＝( )A ．16B ．32C ．－16D ．－32 答案 D解析 ∵AB 2＝BC 2＋CA 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，∴外心O 是AB 的中点，CA →·AO →＝CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＝12CA →·(CB →－CA →)＝12CA →·CB →－12CA →2＝－12×82＝－32，故选D.8．(2019·郑州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(4＋45)π＋4 2B ．(4＋45)π＋4＋4 2C ．12π＋12D ．12π＋4＋4 2答案 A解析 由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱(如图)，可得几何体的表面积为4π＋12×4π×20＋1×42＝(4＋45)π＋4 2.故选A.9．(2019·深圳一模)在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点P (2，－1)，则sin(π－2α)的值为( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45答案 A解析 ∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (2，－1)，∴x ＝2，y ＝－1，|OP |＝5，∴sin α＝y |OP |＝－15，cos α＝x |OP |＝25，则sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－15×25＝－45，∴sin(π－2α)＝sin2α＝－45.故选A. 10．(2019·宜宾二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝60°，△ABC 的面积为3，则a ＋c ＝( )A ．4 B.14 C ．2 D ．4＋2 3 答案 A解析 △ABC 中，b ＝2，B ＝60°，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12ac ·32＝3，解得ac ＝4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝(a ＋c )2－12，所以(a ＋c )2＝16，解得a ＋c ＝4.故选A.11．(2019·荆州中学一模)已知log 12(x ＋y ＋4)<log 12(3x ＋y －2)，若x －y <λ＋9λ恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(9，＋∞)B ．(1,9)C ．(0,1)∪(9，＋∞)D ．(0,1]∪[9，＋∞)答案 D解析 由题意得x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，3x ＋y －2>0，x ＋y ＋4>3x ＋y －2.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，3x ＋y －2>0，x <3表示的可行域如图中阴影部分所示，在可行域内平移直线z ＝x －y ，当直线在可行域内无限接近经过3x ＋y －2＝0与x ＝3的交点A (3，－7)时，目标函数z ＝x －y 的最大值无限接近3＋7＝10.由x －y <λ＋9λ恒成立，即λ＋9λ≥10，即亦λ2－10λ＋9λ≥0.解得λ∈(0,1]∪[9，＋∞)．故选D.12．(2019·山东潍坊二模)已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a cos x ＋2，x ≥0，x 2＋2a ，x <0(a ∈R )，若对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在x 2∈R ，使f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2 答案 C解析 对任意x 1∈[1，＋∞)，则f (x 1)＝2x 1－1≥20＝1，即函数f (x 1)的值域为[1，＋∞)，若对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在x 2∈R ，使f (x 1)＝g (x 2)，设函数g (x )的值域为A ，则满足[1，＋∞)⊆A 即可．当x ＜0时，函数g (x )＝x 2＋2a 为减函数，则此时g (x )＞2a .当x ≥0时，g (x )＝a cos x ＋2∈[2－|a |,2＋|a |]，①当2a ＜1(如图中①曲线)，即a ＜12时，满足条件[1，＋∞)⊆A ，②当a ≥12时，2a ≥1，要使[1，＋∞)⊆A 成立，则此时当x ≥0时，g (x )＝a cos x ＋2∈[2－a,2＋a ]，此时满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤1，2a ≤2＋a (如图中②曲线)，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≤2，得1≤a ≤2，综上a ＜12或1≤a ≤2，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·内江一模)若函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，且f (0)＝2，则f (15)＝________.答案－2解析根据题意，函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，则有f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，即函数是周期为2的周期函数，则f (15)＝f (1＋14)＝f (1)，又由f (1)＝－f (0)＝－2，故f (15)＝－2.14．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．答案①130 ②15解析①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，达到120元，又∵x＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元)．②解法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为a－xa＝0.8⎝⎛⎭⎪⎫1－xa，∴当a越小时，此比值越小．又a最小为120元(即买两盒草莓)，∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题18 统计、统计案例(学生版)
专题十八统计、统计案例本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·昆明市高三质检)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高，如图是2018年9月到2019年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是()A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从该关键词的搜索指数来看，2018年10月的方差小于11月的方差D．从该关键词的搜索指数来看，2018年12月的平均值大于2019年1月的平均值2．(2019·四川省乐山市高中第一次调研)胡萝卜中含有大量的β-胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素A，现从a，b两个品种的胡萝卜所含的β-胡萝卜素(单位：mg)得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是()A．x－a<x－b B．a的方差大于b的方差C．b品种的众数为3.31 D．a品种的中位数为3.273．(2019·安徽省江淮十校第一次联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间[30,40)内的有2500人，在区间[20,30)内的有1200人，则m 的值为()A．0.013 B．0.13C．0.012 D．0.124．(2019·驻马店市高三期末)在一组样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，x3，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－13x＋2上，则这组样本数据的相关系数为()A．－13 B.13C．1 D．－15．(2019·柳州市模拟)如图记录了一种叫万年松的树生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是()A．y＝2t B．y＝log2tC．y＝t3D．y＝2t26．(2019·山东省高三第一次大联考)下图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y ＝b1x＋a1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：y＝b2x＋a2，相关系数为r2.则()A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<07．(2019·合肥市高三第一次教学质检)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8．(2019·汕尾市教学质量监测)如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A．这15天日平均温度的极差为15 ℃B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C．由折线图能预测16日温度要低于19 ℃D．由折线图能预测本月温度小于25 ℃的天数少于温度大于25 ℃的天数9．(2019·安徽重点中学模拟)某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是()A．12 B．15C．20 D．2110．(2019·东北三省四市二模)利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是() A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生12．(2019·河北邯郸二模)观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·宿迁二调)某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．14．(2019·抚州模拟)已知一组数据分别是x,10,2,5,2,4,2，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x的所有可能取值为________．15．(2019·孝义市名校二模)某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90,110)的约有________辆．16．(2019·贵州黔东南州模拟)已知x，y取值如下表：^＝x＋1，则m的值画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为y为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．(1)企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.18．(本小题满分12分)(2019·上饶一模)在2019年高考数学的全国Ⅰ卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲，某校高三质量检测的命题采用了全国Ⅰ卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只做了一道题)：第22题的得分统计表(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2)(得分率＝题目平均得分/题目满分×100%，结果精确到0.01%)；(3)在按分层抽样的方法在第23题得分为0的学生中随机抽取6名进行单独辅导，并在辅导后随机抽取2名学生进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.19．(的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．20．(本小题满分12分)(2019·湖北八校联考)某公司准备加大对一项产品的科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x ，y 之间的一组数，其中x (单位：百万元)是科技改造的总投入，y (单位：百万元)是改造后的额外收益．其中x －＝5，y －＝11，G (x ，y )＝2x ＋y 是对当地GDP 的增长贡献值． (1)若从五组数据中任取两组，求至少有一组满足G (x ，y )≥25的概率； (2)对于表中数据，甲、乙两个同学给出的拟合直线方程为： l 1：y ＝2x ＋1， l 2：y ＝52x －32.试用最小二乘法判断哪条直线的拟合程度更好. ⎝⎛⎭⎫附：Q ＝∑ni ＝1 (y i －bx i －a )2；Q 越小拟合度越好.21．(x (单位：年)与维护费用y (单位：千元)的散点图．(1)根据散点图，求y 关于x 的回归方程y ^＝b^x ＋a ^； (2)如果维护费用超过120千元，就需要更换设备，那么根据(1)中模型的预测，估计该设备最多可以使用多少年？附：①参考数据：y －＝75，∑6i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝63；②一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －. 22．(本小题满分12分)(2019·山东六市二诊)为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中m 的值；(2)在所抽取的1000名学生中，用分层抽样的方法在成绩为[80,100]的学生中抽取了一个容量为5的样本，再从该样本中任意抽取2人，求2人的成绩均在区间[90,100]内的概率；(3)若该市有10000名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间[90,100]内的人数．。
2020高考数学(文)刷题1 1(2019高考题 2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(四)
素养提升练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·福州一中二模)已知i为虚数单位，则i1＋i的实部与虚部之积等于()A．－14 B.14 C.14i D．－14i答案 B解析因为i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i，所以i1＋i的实部与虚部之积为12×12＝14.故选B.2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．故选B.3．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8答案 C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.解法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.4．(2019·郴州三模)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f (x)＝x2－x，则函数f (x)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程是() A．x＋y－2＝0 B．x＋y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＋2＝0答案 C解析因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，－x＞0，f (x)＝f (－x)＝x2＋x，f′(x)＝2x＋1，则f′(－1)＝－1.因为f (－1)＝0，所以函数f (x)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程是x＋y＋1＝0.故选C.5．(2019·盐城二模)刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A.3πB.3π2C．3π D．4π答案 B解析 由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1,1,1，∴长方体的对角线为3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为V ＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.故选B. 6．(2019·安阳二模)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝1，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3 答案 D解析 建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，因为OC→＝λOA →＋μOB →，由向量相等的坐标表示可得：⎩⎪⎨⎪⎧2λ－3μ2＝－12，μ2＝－32，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝－3，即μλ＝ 3.故选D.7．(2019·德州模拟)P 是双曲线x 23－y 24＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A解析 如图所示，F 1(－7，0)，F 2(7，0)，内切圆与x 轴的切点是点H ，PF 1，PF 2与内切圆的切点分别为M ，N ，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，故|MF 1|－|NF 2|＝23，即|HF 1|－|HF 2|＝23，设内切圆的圆心横坐标为x ，则点H 的横坐标为x ，故(x ＋7)－(7－x )＝23，∴x ＝ 3.故选A.8．(2019·德阳联考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝1，n ＝3，输出的x ＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( )A ．|m －n |<1?B ．|m －n |<0.5?C ．|m －n |<0.2?D ．|m －n |<0.1?答案 B解析 输入m ＝1，n ＝3.第一次执行，x ＝2,22－3>0，n ＝2，返回； 第二次执行，x ＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3<0，m ＝32，返回；第三次执行，x ＝3＋44＝74，⎝ ⎛⎭⎪⎫742－3>0，n ＝74.输出x ＝1.75，故第三次执行后应满足判断框，此时m －n ＝32－74＝－14，故选B.9．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.10．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，DD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝2，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝3，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，sin ∠CA 1D 1＝CD 1A 1C ＝32，∴∠CA 1D 1＝π3，故选B.11．(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m ＞4)的右焦点为F ，点A (－2,2)为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |＝8，则m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5] 答案 A解析 由椭圆方程，得：c ＝m －(m －4)＝2，所以，椭圆的左焦点为E (－2,0)，点A 在点E 的正上方，所以，AE ＝2，由椭圆的定义，得：2a ＝|PE |＋|PF |≤|PA |＋|AE |＋|PF |＝10，即a ≤5，所以，m ＝a 2≤25当P ，A ，E 在一条直线上，且PE 垂直x 轴时，取等号，2a ＝|PE |＋|PF |≥|PA |－|AE |＋|PF |＝6，即a ≥3，所以，m ＝a 2≥9，但因为点A (－2,2)在椭圆内部，所以，当x ＝－2时，|y |＞2，即由4m ＋y 2m －4＝1，得|y |＝m －4－4(m －4)m＞2，化简，得m 2－12m ＋16＞0，解得m ＞6＋2 5.所以m 的取值范围是(6＋25，25]．故选A.12．(2019·镇海中学一模)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋9n的最小值为( ) A.32 B.114 C.83 D.103 答案 B解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7＝a 6＋2a 5，得a 6q ＝a 6＋2a 6q ，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)·(a 1q n －1)＝16a 21，则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋9n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋n m ＋9m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝83，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，此时⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝9m n ，m ＋n ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝92，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m ＋9n ＞83，验证可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值为114，故选B.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．答案 53解析 这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.14．(2019·郑州一模)不等式x (sin θ－cos 2θ＋1)≥－3对任意θ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12解析 当x ＝0时，x (sin θ－cos 2θ＋1)≥－3恒成立； 当x ＞0时，sin θ＋sin 2θ≥－3x ，由sin θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋122－14，可得sin θ＝－12时，取得最小值－14， sin θ＝1时，取得最大值2， 即有－14≥－3x ，解得0＜x ≤12； 当x ＜0时，可得sin θ＋sin 2θ≤－3x ， 即有2≤－3x ，解得－32≤x ＜0，综上可得，实数x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12.15．(2019·佛山二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，若函数y ＝f (x )－a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,2)解析 若函数y ＝f (x )－a 有两个不同的零点， 得y ＝f (x )－a ＝0，即f (x )＝a 有两个不同的根，即函数f (x)与y＝a有两个不同的交点，作出函数f (x)的图象如图：当x≥0时，f (x)≥0，当x＜0时，f (x)＜2，则要使函数f (x)与y＝a有两个不同的交点，则0≤a＜2，即实数a的取值范围是[0,2)．16．(2019·佛山二模)某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为________．答案2π27解析圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O′，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上．∵正四面体棱长为3，∴BM＝32，O′M＝12，BO′＝1，∴AO′＝2，设圆柱的底面半径为r，高为h，则0＜r＜12.由三角形相似得：r12＝2－h2，即h＝2－22r，圆柱的体积V ＝πr 2h ＝2πr 2(1－2r )， ∵r 2(1－2r )≤⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋1－2r 33＝127， 当且仅当r ＝1－2r 即r ＝13时取等号．∴圆柱的最大体积为2π27.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·泸州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝6，cos A ＝18.(1)若b ＝5，求sin C 的值；(2)△ABC 的面积为1574，求b ＋c 的值． 解 (1)由cos A ＝18，则0＜A ＜π2，且sin A ＝378，由正弦定理可得，sin B ＝b a sin A ＝5716， 因为b ＜a ， 所以0＜B ＜A ＜π2， 所以cos B ＝916，可得sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. (2)S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×378＝1574， ∴bc ＝20，可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×20×18＝36，∴b 2＋c 2＝41，可得(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝41＋40＝81，∴b ＋c ＝9.18．(本小题满分12分)(2019·海淀区一模)据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位：公顷(1)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(2)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？(3)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．解(1)人工造林面积与造林总面积的比值最大的地区为甘肃省，人工造林面积与造林总面积的比值最小的地区为青海省．(2)设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值不足50%为事件A，在十个地区中，有3个地区(重庆、新疆、青海)人工造林面积占总面积比不足50%，则P(A)＝3 10.(3)设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B，新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为a1，a2，a3，a4，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙，河北，即a1，a2.从4个地区中任取2个地区共有6种情况，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，则P(B)＝5 6.19．(本小题满分12分)(2019·昆明一模)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，M是AB的中点．(1)证明：BC1∥平面MCA1；(2)若AB＝A1M＝2MC＝2，BC＝2，求点C1到平面MCA1的距离．解(1)证明：如图，连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，因为M是AB的中点，所以MN∥BC1，又MN⊂平面MCA1，BC1⊄平面MCA1，所以BC 1∥平面MCA 1.(2)因为AB ＝2MC ＝2，M 是AB 的中点，所以∠ACB ＝90°，在直三棱柱中，A 1M ＝2，AM ＝1，所以AA 1＝3，又BC ＝2，所以AC ＝2，A 1C ＝5，所以∠A 1MC ＝90°.设点C 1到平面MCA 1的距离为h ，因为AC 1的中点N 在平面MCA 1上，所以点A 到平面MCA 1的距离也为h ，三棱锥A 1－AMC 的体积V ＝13S △AMC ·AA 1＝36，△MCA 1的面积S ＝12A 1M ·MC ＝1，则V ＝13Sh ＝13h ＝36，得h ＝32，故点C 1到平面MCA 1的距离为32. 20．(本小题满分12分)(2019·深圳一模)设抛物线C ：y 2＝4x ，直线l ：x －my －2＝0与C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝46，求直线l 的方程；(2)点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x 并整理可得y 2－4my －8＝0， 显然Δ＝16m 2＋32＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，∴|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋m 2·4m 2＋2＝46，∴m 2＝1，即m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(2)证明：设AB 的中点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M ＝12(y 1＋y 2)＝2m ，∴x M ＝my M ＋2＝2m 2＋2，∴M (2m 2＋2,2m )，由题意可得N (0,2m )，设MN 为直径的圆经过点P (x 0，y 0)，∴PM →＝(2m 2＋2－x 0,2m －y 0)，PN →＝(－x 0,2m －y 0)，由题意可得PM →·PN →＝0，即(4－2x 0)m 2－4y 0m ＋x 20＋y 20－2x 0＝0，由题意可得⎩⎨⎧ 4－2x 0＝0，4y 0＝0，x 20＋y 20－2x 0＝0，解得x 0＝2，y 0＝0，∴定点(2,0)即为所求． 21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1. 证明：(1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x .因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0.又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，因此，f (x )存在唯一的极值点．(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α.由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0， 故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根．综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·长春二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2θ. (1)求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；(2)当a ＝1时，P 为曲线C 上动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解 (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －a )，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos 2θ＝3，化简可得x 2＋y 23＝1. 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)． (2)当a ＝1时，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0.由曲线C 的直角坐标方程x 2＋y 23＝1，可设点P 的坐标为P (cos θ，3sin θ)， 因此点P 到直线l 的距离可表示为d ＝|3cos θ－3sin θ－3|2＝32|cos θ－sin θ－1| ＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1， 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，d 取最大值为6＋32. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春二模)设函数f (x )＝|x ＋2|.(1)求不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集；(2)若不等式f (x －4)－f (x ＋1)＞kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，求k ＋m 的取值范围．解 (1)f (x )＋f (－x )＝|x ＋2|＋|－x ＋2|＝⎩⎨⎧ －2x (x ＜－2)，4(－2≤x ≤2)，2x (x ＞2)，由f (x )≥6，得⎩⎨⎧ x ＜－2，－2x ≥6或⎩⎨⎧ －2≤x ≤2，4≥6或⎩⎨⎧x ＞2，2x ≥6，解得x ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．则不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)f (x －4)－f (x ＋1)＝|x －2|－|x ＋3| ＝⎩⎨⎧ 5(x ＜－3)，－2x －1(－3≤x ≤2)，－5(x ＞2)，由f (x －4)－f (x ＋1)＞kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，可知k ＝0，即k ＋m ＜－5.。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练基础巩固练(五).doc
基础巩固练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·大同一中二模)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A ∪B＝()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|x＞－1}答案 D解析由题意得，B＝{x|－1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|x＞－1}．故选D.2．(2019·杭州二中一模)在复平面内，复数z＝－2＋ii3(i为虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析复数z＝－2＋ii3＝－1－2i，则z在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．(2019·绍兴一中三模)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，则这个几何体的体积为()A ．32 B.643 C.323 D ．8 答案 B解析 几何体的直观图如图所示，棱锥的顶点，在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为13×4×4×4＝643.故选B.4．(2019·长春市二模)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) A ．－55 B ．－255 C ．－35 D ．－45答案 C解析 由题意可知tan α＝2，则cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，故选C.5．(2019·洛阳一高三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案 B解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，所以可得p 2＝12，得p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.6．(2019·濮阳二模)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM→＝( )A ．18B ．22C ．23D ．24 答案 C解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)．因为△ABC 为等边三角形，且AM ∥BC ，所以∠MAB ＝120°，所以M (－3,33)，因为N 是CM 的中点，所以N (－1,23)，所以AN →＝(－1，23)，BM →＝(－5,33)，所以AN →·BM→＝23.故选C. 7．(2019·全国卷Ⅲ) 执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出ε的值等于( )εA ．2－124B ．2－125 C ．2－126 D ．2－127 答案 C 解析ε＝0.01，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，x <ε不成立； s ＝1＋12，x ＝14，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <ε不成立；s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <ε成立， 此时输出s ＝2－126.故选C.8．(2019·南充高中一模)已知函数f (x )＝m 3x －1－52的图象关于(0,2)对称，则f(x)>11的解集为()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞) 答案 A解析依题意，得f (－1)＋f (1)＝m13－1－52＋m3－1－52＝4，解得m＝－9.所以f (x)>11即－93x－1－52>11，解得－1<x<0.故选A.9．(2019·湖南师大附中三模)设函数f (x)的导函数为f′(x)，若f (x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为()答案 C解析若f (x)为偶函数，则f′(x)为奇函数，故排除B，D.又f (x)在(0,1)上存在极大值，则f′(x)在(0,1)上应先大于0，再小于0，故选C.10．(2019·温州中学一模)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30°，则该长方体的表面积为()A．1211＋16 B．811C．1211 D．122＋16答案 A解析因为平面CDD1C1∥平面ABB1A1，所以A1O与平面CDD1C1所成的角等于A1O与平面ABB1A1所成的角，均为30°.如图，过底面ABCD的对角线交点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝12BC，又因为OE⊂平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，所以OE⊥平面ABB1A1.连接A1E，则∠OA1E＝30°.在Rt△A1EO中，OE＝2，∠OA1E＝30°，所以A1E＝2 3.在Rt△A1AE中，AE＝1，所以A1A＝11，故长方体的表面积为1211＋16.故选A.11．(2019·扬州中学二模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f (x)＝1－2ln (－x)x，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为()A．3x＋y－4＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y－2＝0 D．3x－y－4＝0答案 A解析∵函数f (x)是定义在R上的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x＜0时，f(x )＝1－2ln (－x )x ，不妨设x ＞0，则－x ＜0，故f (x )＝－f (－x )＝－1－2ln x －x ，∴当x ＞0时，f (x )＝1－2ln x x ，f ′(x )＝－2x ·x －(1－2ln x )x 2＝2ln x －3x 2，故f (1)＝1，f ′(1)＝－3，故切线方程是y －1＝－3(x －1)，整理得3x ＋y －4＝0，即曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x ＋y －4＝0.故选A.12．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台二中一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是________．答案 916解析 由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案一共由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝9S 小三角形16S 小三角形＝916. 14．(2019·贵州联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7，4x －y ＝2解得A (1,2)，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，截距取得最大值，即z 取得最大．此时x ＝1，y ＝2，z ＝2x ＋y 有最大值2×1＋2＝4.15．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.16．(2019·云南省曲靖市质量监测)已知f (x )＝1－|lg x |，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数为________．答案 3解析 根据题意，函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1， 令y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，解得f (x )＝1或12， 若f (x )＝1，即1－|lg x |＝1，即lg x ＝0，解得x ＝1，若f (x )＝12，即1－|lg x |＝12，即lg x ＝±12，解得x ＝10或1010， 则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1有3个零点．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·济南二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上，且AE ＝2EC ，BE ＝433.(1)求AC的长；(2)若∠ADC＝60°，AD＝3，求∠ACD的大小．解(1)设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理可得cos∠BEA＝163＋(2z)2－4 2×433×2z.在△CBE中，由余弦定理可得cos∠BEC＝163＋z2－92×433×z.由于∠BEA＋∠BEC＝180°，所以cos∠BEA＝－cos∠BEC.所以163＋(2z)2－42×433×2z＝－163＋z2－92×433×z.整理并解得z＝1(负值舍去)．所以AC＝3.(2)在△ADC中，由正弦定理可得ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，所以332＝3sin∠ACD，所以sin∠ACD＝12.因为AD＜AC，所以∠ACD＜60°，所以∠ACD＝30°.18．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽取2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有黄桃均以20元/千克收购；B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)解(1)由题得，黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2，∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2，其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为710.(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05.同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购：∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100000＝45000个，黄桃质量不低于350克的个数为55000个，∴收益为45000×5＋55000×9＝720000元．若按方案A收购：根据题意，各段黄桃个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000，于是总收益为(225×5000＋275×16000＋325×24000＋375×30000＋425×20000＋475×5000)×20÷1000＝709000(元)．∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.19．(本小题满分12分)(2019·韶关一模)如图，在几何体ABCDEF中，DE＝2，DE∥BF，DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8.(1)求证：AC⊥EF；(2)求点B到平面ADE的距离．解(1)证明：∵DE⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴DE⊥AC.在菱形ABCD中，BD⊥AC，又∵DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF.又∵EF⊂平面BDEF，∴AC⊥EF.(2)设点B到平面ADE的距离为d，连接BE.在菱形ABCD中，设AC∩BD＝O .AC ⊥BD ，AB ＝5，AC ＝8.∴BD ＝2OB ＝2AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝6.∵DE ⊥底面ABCD ，∴V E －ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×12×BD ×AO ×DE ＝13×12×6×4×2＝8. ∵DE ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥AD .∴V B －ADE ＝13×S △ADE ×d ＝13×12×AD ×DE ×d ＝16×5×2d ＝53d . ∵V E －ABD ＝V B －ADE ，即d ＝245. 所以，点B 到平面ADE 的距离为245.20．(本小题满分12分)(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点．(1)若直线l 过点F 1，且|AB |＝823，求k 的值；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由椭圆C ：x 28＋y 24＝1，得a 2＝8，b 2＝4，则c ＝a 2－b 2＝2.因为直线l 过点F 1(－2,0)，所以m ＝2k ，即直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 28＋y 24＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2.由弦长公式|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝823，代入整理得1＋k 21＋2k2＝23，解得k 2＝1.∴k ＝±1.(2)设直线l 方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →·OB →＝0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入，整理得 (1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1代入，整理得3m 2＝8k 2＋8.设点O 到直线AB 的距离为d ， 于是d 2＝m 2k 2＋1＝83，故点O 到直线AB 的距离是定值，该定值为d ＝263.21．(本小题满分12分)(2019·江西联考)已知函数f (x )＝3x －1x ＋b ln x . (1)当b ＝－4时，求函数f (x )的极小值；(2)若∃x ∈[1，e]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x 成立，求b 的取值范围． 解 (1)当b ＝－4时，f ′(x )＝－4x ＋1x 2＋3＝(3x －1)(x －1)x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝2.(2)由∃x ∈[1，e ]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x ⇒4x －1x －f (x )＋1＋b x ＜0⇒4x －1x －3x ＋1x －b ln x ＋1＋b x ＜0，即x －b ln x ＋1＋b x ＜0.设h (x )＝x －b ln x ＋1＋b x ，则只需要函数h (x )＝x －b ln x ＋1＋bx 在[1，e ]上的最小值小于零．又h ′(x )＝1－b x －1＋b x 2＝x 2－bx －(1＋b )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋b )]x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝1＋b .①当1＋b ≥e ，即b ≥e －1时，h (x )在[1，e ]上单调递减，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋b e －b ＜0，可得b ＞e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1＞e －1，所以b ＞e 2＋1e －1.②当1＋b ≤1，即b ≤0时，h (x )在[1，e ]上单调递增，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋b ＜0，可得b ＜－2(满足b ≤0)．③当1＜1＋b ＜e ，即0＜b ＜e －1时，h (x )在(1,1＋b )上单调递减，在(1＋b ，e)上单调递增，故h (x )在[1，e ]上的最小值为h (1＋b )＝2＋b －b ln (1＋b )．因为0＜ln (1＋b )＜1，所以0＜b ln (1＋b )＜b ，所以2＋b －b ln (1＋b )＞2，即h (1＋b )＞2，不满足题意，舍去． 综上可得，b ＜－2或b ＞e 2＋1e －1，所以实数b 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·宝鸡二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π2(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，设定点M (2,0)，求△MAB 的面积．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)把θ＝π2代入C 1得ρ1＝0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，把θ＝π2代入C 2得ρ2＝4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.∴△MAB 是直角三角形，直角边长为4,2， S △MAB ＝12×4×2＝4.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·宝鸡二模)设函数f (x )＝x 2－x －1. (1)解不等式：|f (x )|＜1；(2)若|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．解 (1)由|f (x )|＜1得－1＜f (x )＜1，即－1＜x 2－x －1＜1， 所以原不等式的解集为(－1,0)∪(1,2)． (2)证明：因为|x －a |＜1，所以|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1＜|2a |＋2＝2(|a |＋1)．。
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素养提升练(七)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学一模)在复平面内与复数z ＝所对应的点关于实轴2i1＋i 对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i 答案 B 解析 ∵复数z ＝＝＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数是1－i ，就2i 1＋i 2i (1－i )(1＋i )(1－i )是复数z ＝所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B.2i1＋i2．(2019·永州三模)已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝|x |e x －1＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3,4} B ．{2,3,4}C ．{3,4} D ．{4}答案 B解析 因为e x －1＞1＝e 0，所以，x －1＞0，即x ＞1，集合A 中大于1的有{2,3,4}，故A ∩B ＝{2,3,4}．3．(2019·衡阳联考)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值答案 C解析 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋51623616＋4＋3)＝4，因为＜4，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指236标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C.4．(2019·西安中学二模)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12323464答案 A解析 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c ＝a ，所以椭圆的离心率e ＝＝，故选A.c a 125．(2019·郑州一中三模)已知函数f (x )＝Error!则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 当x ≥1时，f (x )≤1，即log 2x ≤1，解得1≤x ≤2；当x ＜1时，f (x )≤1，即≤1，解得x ≤0，综上可得，原不等式的解集为(－∞，0]∪[1,2]，故选D.11－x6．(2019·河北衡水中学一模)若将函数f (x )＝sin ωx ＋cos (ω＞0)的图(ωx ＋π6)象向左平移个单位长度后的图象关于y 轴对称，则当ω取最小整数时，函数fπ6(x )的图象的一个对称中心是( )A.B.(4π3，0)(5π3，0)C. D.(π3，0)(－2π3，0)答案 B解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ＝sin ωx ＋cos ωx －sin ωx ＝sin ωx ＋(ωx ＋π6)321212cos ωx ＝sin ，又将函数f (x )的图象向左平移个单位长度后的图象关于y 32(ωx ＋π3)π6轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝对称，则ω＋＝k π＋(k ∈Z )，即ω＝π6π6π3π26k ＋1(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝1，此时f (x )＝sin ，令x ＋＝k π(k ∈Z )，(x ＋π3)π3得x ＝k π－(k ∈Z )，易知B 正确．π37．(2019·聊城一模)数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍(méng)，下广三丈，袤(mào)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈)( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5答案 B解析 根据三视图可知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为V ＝V 三棱柱－2V 三棱锥＝×3×1×4－2×××3×1×1＝5(立方丈)．故选B.1213128．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－x 并平移，知当直线y ＝－x ＋3232z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.9．(2019·吉林模拟)已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点B (－m ，2m )(m ＞0)，满足|OA |＝|OB |，若∠OAB ＝θ，则＝( )sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θA. B ．2 C ．4 D ．112答案 D解析 根据题意知α＋2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，所以tan2θ＝tan(2k π＋π－α)＝－tan α＝2，即＝2.整理得tan θ＋tan 2θ＝1，2tan θ1－tan 2θ所以＝＝tan θ＋tan 2θ＝1.故选D.sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θ2sin θcos θ＋2sin 2θ2cos 2θ10．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.B.2π－332(π－3)32(π－3)C. D.32(π＋3)2π－332(π＋3)答案 B解析 如图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为＝，π×2262π3∴△ABC 的面积为××2×2＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积12323减去2个正三角形的面积，即×3－2＝2π－2，故在勒洛三角形中随机取2π333一点，则此点取自正三角形的概率为＝，故选B.32π－2332(π－3)11．(2019·启东中学一模)若椭圆＋＝1和双曲线－＝1的共同焦点为x 225y 216x 24y 25F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A.B ．84C ．3D ．21212答案 D解析 依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下图所示：由椭圆的方程＋＝1，可得a ＝25，a 1＝5，x 225y 21621由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1＝10.①由双曲线的方程－＝1，可得a ＝4，a 2＝2，x 24y 252由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a 2＝4.②联立方程①②，解得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3×7＝21，故选D.12．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f ＝f (x )，f (－2)＝－2，数列{a n }满足a 1＝－(32－x )1，且＝2×＋1(S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＝( )S n n a nnA ．－3B ．－2C ．3D ．2答案 D解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f ＝－f (－x )．∴f (3＋x )＝－f ＝－f (－x )＝f (x )．∴f (x )是以3(32－x )(32＋x )为周期的周期函数．∵数列{a n }满足a 1＝－1，且＝2×＋1，∴a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n ，∴a 5＝S n n a n n －31，f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝2.故选D.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·衡水二中模拟)已知函数f (x )＝Error!则f ＝________.[f (－25π4)]答案 1e 3解析 因为f ＝sin 2－tan ＝＋1＝，所以f ＝e ＝e －(－25π4)(－25π4)(－25π4)1232(32)×3＝.1e 314．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E －BCD 的体积是________．答案 10解析 设长方体中BC ＝a ，CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120，∴V E －BCD ＝×ab ×c ＝abc ＝10.13121211215．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝5，∠A ＝330°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则·＝________.BD → AE →答案 －1解析 ∵AD ∥BC ，且∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.又∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°.∴∠E ＝120°.∴在△AEB 中，AE ＝BE ＝2.∴·＝(＋)·(＋)BD → AE → BA → AD → AB → BE → ＝－2＋·＋·＋·BA → BA → BE → AD → AB → AD → BE→＝－12＋×2×cos30°＋5×2×cos30°＋5×2×cos180°33＝－12＋6＋15－10＝－1.16．(2019·辽南一模)若直线y ＝x ＋1是曲线f (x )＝x ＋－a ln x (a ∈R )的切线，1x 则a 的值是________．答案 －1解析 设切点的横坐标为x 0，f ′(x )＝1－－＝＝1⇒x 0＝－⇒－1x 2a x x 2－ax －1x 21a a ＝，1x0则有f (x 0)＝x 0＋－a ln x 0＝x 0＋1⇒ln x 0－x 0＋1＝0，令h (x )＝ln x －x ＋1⇒1x 0h ′(x )＝－1＝0⇒x ＝1，1x则h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又因为h (1)＝0，所以x 0＝1⇒a ＝－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)已知△ABC 的面积为3，且内角A ，3B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解 (1)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由△ABC 的面积 S ＝3＝ac sin B312可得ac ＝12.∵sin C ＝3sin A ，∴由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝2.7即AC 的长为2.7(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴＝(＋)，BD → 12BC →BA →∴2＝(2＋2＋2·)＝(a 2＋c 2＋2ac cos ∠ABC )＝(a 2＋c 2＋ac )≥BD → 14BC → BA → BC → BA → 1414(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，14∴||≥3，即BD 长的最小值为3.BD →18．(本小题满分12分)(2019·云南师大附中一模)互联网＋时代的今天，移动互联快速发展，智能手机(Smartphone)技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具．中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一．逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机．手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时也会带来一些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图所示的饼图．注：图中i (i ＝1,2，…7)(单位：小时)代表分组为[i －1，i )的情况．(1)求饼图中a 的值；(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)(3)从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．解 (1)由饼图得100%－6%－9%－27%－12%－14%－3%＝29%.(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．(3)∵样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ) 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．解 (1)证明：由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°，故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3.所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝×3×6×3＝18.1320．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．解 (1)因为F ，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝，可得y ＝±p .(p 2，0)p 2于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意可得直线AB 的方程为y ＝x －1，所以M (－1，－2)．联立Error!消去x ，得y 2－4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4.若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k PA ＋k PB ，即2·＝＋，y 0＋2x 0＋1y 0－y 1x 0－x 1y 0－y 2x 0－x 2因为点P ，A ，B 均在抛物线C 上，所以x 0＝，x 1＝，x 2＝.y 204y 214y 24代入化简可得＝，2(y 0＋2)y 20＋42y 0＋y 1＋y 2y 20＋(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2.将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1.于是点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．21．(本小题满分12分)(2019·汉中二模)已知函数f (x )＝－kx (k ∈R )．ln x x(1)当k ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )＜0恒成立，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝0时，f (x )＝，则f ′(x )＝，ln x x 1－ln x x 2∴f (1)＝0，f ′(1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(2)若f (x )＜0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即k ＞对x ＞0恒成立，ln x x 2设g (x )＝，可得g ′(x )＝，ln x x 21－2ln x x 3由g ′(x )＝0，可得x ＝，e 当0＜x ＜时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；e当x ＞时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．e ∴g (x )在x ＝处取得极大值，且极大值也是最大值为，∴k 的取值范围为e 12e.(12e ，＋∞)(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郑州二模)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值；(2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解 (1)已知曲线C 的标准方程为＋＝1，P 的直角坐标为(－2,0)，x 212y 24将直线l 的参数方程Error!与曲线C 的标准方程＋＝1联立，得x 212y 24t 2－t －4＝0，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.2(2)由曲线C 的标准方程为＋＝1，可设曲线C 上的动点A (2cos θ，x 212y 2432sin θ)，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(2cos θ＋2sin θ)＝16sin ，0＜θ3(θ＋π3)＜.π2因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝时等号成立．π623．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，g (x )＝x 2－x .(1)当a ＝1时，求不等式g (x )≥f (x )的解集；(2)已知f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝Error!当x ≤－1时，由x 2－x ≥－2x ，得x ≤－1.当－1＜x＜1时，由x2－x≥2，得x≤－1或x≥2，舍去．当x≥1时，由x2－x≥2x，得x≥3.综上，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．(2)f (x)＝|ax＋1|＋|x－a|＝Error!当0＜a≤1时，由f (x)min＝f (a)＝a2＋1≥2，得a＝1；(－1a)1a当a＞1时，f (x)min＝f＝a＋>2，所以a＞1；综上，a∈[1，＋∞)．。