2019年高考数学压轴题24页word
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学理科 Word版含解析
最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z=C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=， 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人． （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===； 故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2）13（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴ED DB=， 由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2019 高考数学全国一卷压轴题解析
如何学好数学 - 2019 高考数学全国一卷压轴题解析
今年高考数学结束后，许多考全国一卷的同学表示“震惊”，简直是不按照常理出牌，压轴题竟然是概率，不仅如此，还结合了数列的知识。
全国卷的压轴题近些年一直是导数题，概率出现在压轴题的确是少之又少。
然而，只要我们熟练掌握了概率的语言，再结合数学三招，解决压轴概率题也是完全没问题。
我们一起来看一看今年一卷的压轴题该怎么做吧！
如何学好高中数学 - 2019 全国一卷高考压轴题题目
如何学好高中数学 - 2019 全国一卷高考压轴题解析
如何学好数学—2019 全国一卷压轴题分析
首先，这次全国一卷的压轴题是概率题目，和近几年不一样。
但随便题目如何变化，解题的思维是一样的！随着高考题目越来越灵活的今天，希望同学们真正重视基础 + 数学思维。
靠题海，题型（模板）来死记硬背考好数学的时代会一去不复返。
高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤求a 的取值范围.注： 2.71828e =L 为自然对数的底数.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b L ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x -=.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列.(Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈.证明：当*N n ∈时，(I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤；(III )1-21122n n n x -≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1） 等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π= ，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴=当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎬⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-+，函数的定义域为()0,∞+，且：()3'4f x x -+=-+，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜≤，当204a ＜时，()f x ，等价于2ln 0x ≥，令1t a=，则t ≥，设()22ln g t t x =--，t ≥，则2()2ln g t t x=--，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g x g x =-- ，记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p x x '==列表讨论：x17117⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,)+∞()'p x ﹣0+()P x 17P ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减极小值()1P 单调递增∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=-，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,ab ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（），①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d - ，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+ ，11111n n n a b a +++-+ ，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+ ，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -，因为12x x ≠，所以12+=．=+．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=-+-=．设()ln g x x =-，则1()4)4g x x'=-，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则()–0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设ln ()x x a h x x --=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2x g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+ ≤…,)化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+--- ≤…,因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11n b q n m n ->=+- …）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=- ，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n n n --+---=-==-- …设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)(1)2111m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎫=---=-- ⎪⎪-⎭ ⎪-⎝⎭ ≤设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =--因为2ln 2ln 2x ，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<- 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析
fx
2
x1
y2
2
x1
y2
x2
2
y 2 的最小值为 ______ ．
16．已知 △ABC 中， AB AC ，点 D 是 AC 边的中点，线段 BD x ， △ABC 的面积 S 2 ， 则 x 的取值范围是 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、
B． c a d b
C． d c a b
D． c d a b
7． 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A． 16π 3
B． 3
C． 2 9
D． 16 9
8．已知向量 a 1, 3 ， b 0, 2 ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A． π 6
B． π 3
C． 5π 6
D． 2 π 3
人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X ．
附： K 2
2
n ad bc
，其中 n a b c d ．
abcd acbd
12 人参 设选取的 3
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， PD DC ，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC ，
9．在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， a b c a c b 3ac ，则角 B
2019年浙江省数学高考压轴题解答
2019浙江题目22.已知实数a ≠0，设函数f(x)=alnx +√1+x ，x >0.(1)当a =−34时，求函数f(x)的单调区间.(2)对任意x ∈[1e 2,+∞)均有f(x)≤√x 2a ，求a 的取值范围. 解答(1)当a =−34时，有函数f(x)的导函数f ′(x)=2x −3√1+x4x √1+x =(4x +3)(x −3)4x √1+x ⋅(2x +3√1+x), 因此函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞)，单调递减区间是(0,3).(2)设函数g(x)=alnx +√1+x −√x 2a. 注意到{ g (1e 2)=2a +12ae +√1+1e 2≤0g(1)=√2−12a≤0⇒0<a ≤√24 接下来证明0<a ≤√24时符合题意. 情形一 x ≥1.此时有 g(x)≤√24lnx +√1+x −√2x, 记右侧函数为φ(x)，则其导函数 φ′(x)=12√2x +12√1+x −1√2x=√1+x +√2x −2√x(1+x)2√2x √1+x =2√2x √1+x −(2x 2+3x −1)2√2x √1+x(√1+x +√2x +2√x(1+x)) =(x −1)(4x 3+8x 2+5x −1)2√2x √1+x(√1+x +√2x +2√x(1+x))(2√2x √1+x +(2x 2+3x −1)), 进而φ(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤φ(x)≤φ(1)=0符合题意.情形二 1e ≤x <1.此时欲证明g(x)≤0，即lnx ⋅a 2+√1+x ⋅a −1√x ≤0, 左侧是关于a 的开口向下的二次函数μ(a)，其判别式 Δ(x)=1+x +2√xlnx =√x ⋅(4ln √x +√x +1√x ),注意到当x >1e 时，有(lnx +x +1x )′=x 2+4x −1x 2>0, 于是Δ(x)在x ∈[1e ,1)上单调递增，而Δ(14)=54−2ln2<0, 于是当x ∈[1e ,14]时命题成立.而当x ∈(14,1)时，此时μ(a)的对称轴a =√1+x −2lnx 随x 递增，于是对称轴在a =√58ln2的右侧，而√58ln2>√24⇔ln2<√58, 因此μ(a)<μ(√24)≤φ(1)=0, 命题成立.综上所述，实数a 的取值范围是(0,√24]. 备注 (1)事实上，a =√24这个分界点是在探索极值为0的情形 {alnx +√1+x −√x 2a =0,a x +12√1+x −14a √x =0, 时得到的.(2)其中用的58<ln2<√58，事实上当x >1时，有 2(x −1)x +1<lnx <√x −1√x, 于是23<ln2<√22.。
无数学不兄弟之2019全国高考数学理科压轴题解析
⇒
44π 100
≤
ωπ 10
+
π 5
<
69π 100
69π
而
>π
，结合
f
( x) = sin t 图像
∴（3）错误
100 2
再判断（1）（2）是否正确？
∵= f ( x)
sin
ω
x
+
π 5
= ∴ f ' ( x)
ω
cos
ω
x
+
π 5
令 g ( = x) cos t=,t ω x + π ∴ π ≤ t ≤ π + 2ωπ
0,
a 3
单调递减，在
a 3
,
+∞
单调递增
当
a
<
0
时，
f
(x)
在
−∞,
a 3
单调递增，在
a 3
,
0
单调递减，在 (0, +∞)
单调递增
（2）由（1）可知：当 a ≤ 0 ， f '( x) ≥ 0 恒成立，因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增
π 2
使得
h(m)
=
0
因此
f
'(x)
在
(0,
m)
单调递增，在
m,
π 2
单调递减，
因此
f
'(x)
在区间
−1, π 2
存在唯一极大值点；
(完整word版)高考数学导数压轴题7大题型总结
高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明
（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数。
(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。
2019年高考理科数学全国一卷一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x |-x -6＜0}，则M∩U =A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3}2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则A BC D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3.02.0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈称之为黄金分割.618.021-521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是21-5 。
若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm5．函数()][ππ，的-cos sin 2xx x x x f ++=图像大致为 A BC D6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是A.165B.3211C.3221D.1611 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A.6π B.3π C.32π D.65π8．右图是求212121++的程序框图，图中空白框中应填入 A.A A +=21 B.A A 12+= C.A A 211+= D.A A 211+= 9．记n S 为等差数列｛n a ｝的前ｎ项和．已知5054==a S ，，则A.52-=n a nB.103-=n a nC.n n S n 822-=D.n n S n 2212-= 10．已知椭圆C 的焦点为F 1(-1，,0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若122,2BF AB B F AF ==，则C 的方程为A.1222=+y xB.12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x 11．关于函数x x x f sin sin )(+=有下述四个结论：①)(x f 是偶函数 ②)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递增 ③)(x f 是在[]ππ,-有4个零点 ④)(x f 最大值是2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是连长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点∠CEF ＝90o ，则球O 的体积为A.π68B.π64C.π62D.π6二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科Word版含解析
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1- CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________．15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a==C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ； 32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-==a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯+= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量()3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 223ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin22ABC ∠=<可知：452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===； 故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u r r u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r ，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==， ()()224223BC p p -=，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --=，令())2131h x ax --，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a<<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x>，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
全国卷Ⅲ2019年高考数学压轴卷文含解析201905140113
（全国卷Ⅲ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2．设1i2i 1iz +=+-，则z =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20B ．23C ．24D ．284．若π5sin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．25 B ．25-C ．5 D ．5-5．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥-⎧+≥--≤⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．16C ．20D ．226．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2πD ．25π7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．2011．已知1F ，2F 分别是椭圆22:14x y C m +=的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得12PF F △3则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．132⎛ ⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎫⎪⎪⎝⎭D ．3,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭12．在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．S ＝S ＋8开始 T>S ？结束S ＝1，T=0,n =0 n=＝0n ＝n +2输出ST ＝T +2n14．若x，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．15．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，12AA =，则此球的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且223sin sin 302AA +-=． （1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径3R =，且3AC =，求ABC △的周长．18．(本小题满分12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由．附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，π3BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：CF ∥平面AED ；（2）若2AE =，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．(本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且右焦点()23,0F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．(本小题满分12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．求()f x 在()1,0处的切线方程； 求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标． （2）∵圆心O 到曲线2C：20x -+=的距离112d r ===，23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 若0a >，0b >，且(1a b +=． （1）求3311a b+的最小值； （2）是否存在a ，b ，使得1123a b+？并说明理由． 2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5.【答案】B【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，结合图象可知当:20l x y +=平移到过点A 时，目标函数取得最大值，又由10240x y x y -+=--=⎧⎨⎩，解得()5,6A ，此时目标函数的最大值为max 16z =，故选B ．6．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．7．【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 8．【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ．11．【答案】A【解析】由题知2a =，b m =，4c m =-，设椭圆的右顶点为(),0Am ，12AF F △的面积为12142F F m m m ⨯=-， ∴12PF F △的面积的最大值时为12AF F △，43m m ->故，13m <<解， ∴13c <<，∴13,2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ． 12．【答案】B【解析】画出图像如下图所示，以DC ，DA 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，故(3A ，()1,0C ， 设()()0,3P t t ⎡∈⎣，所以(()20,31,3AP CP t t t t ⋅=⋅-=u u u r u u u r， 根据二次函数的性质可知，对称轴3t =， 故当0t =或3t =0，当3t =时取得最小值为233334=-⎝⎭，故AP CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6．14．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1． 15．【答案】()(),0e,-∞+∞U 【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 16．【答案】29π【解析】如图，在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，由勾股定理可得90BAC ∠=︒，可得ABC △外接圆半径52r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '△中，可得球半径R =∴此球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=．故答案为29π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）【答案】（1）π3A =；（2）3+【解析】（1）2sin 02A A +=Q ，1cos sin 02A A -∴+=，即sin 0A A =，tan A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=．（2）2sin a R A =Q，2sin π33a R A ∴===，AC b =Q ，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，293c =+，∴260c -=，∵0c >，所以得c =3a b c ++=+18．(本小题满分12分） 【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：学习积极性高学习积极性不高总计 参加文化活动 180 30 210 参加体育活动60 30 90 总计24060300()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．19．(本小题满分12分） 【答案】（1）见解析；（2）3． 【解析】（1）证明：∵ABCD 是菱形，∴BC AD ∥， 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面，∴BC ∥平面ADE ．又BDEF 是正方形，∴BF DE ∥．∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ， ∵BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC BF B =I ， ∴平面BCF ∥平面AED ，∴CF ∥平面AED ． （2）解：连接AC ，记AC BD O =I ．∵ABCD 是菱形，AC BD ⊥，且AO BO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥． ∵DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =I ， ∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高． 由ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，则ABD △为等边三角形， 由2AE ，则1AD DE ==，3AO =，1BDEF S =，133BDEF BDEF V S AO =⋅=，2BDEF V V ==20．(本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =±+【解析】（1）设椭圆E的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且1214x x k +=+，122414x x k =+，AB == 设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB ==， 当112t=，即k =AB:l y =21．(本小题满分12分）【答案】（1）10x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=． （2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+， ∵1a ≥， ∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x xxxx+++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）224x y +=，320x y -+=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=，又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为320x y -+=，即曲线2C 的平面直角坐标方程为320x y -+=． （2）∵圆心O 到曲线2C ：320x y -+=的距离()22211213d r ===+，如图所示，∴直线340x y -+=与圆的切点A 以及直线30x y -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则3OA k =OA l 的倾斜角为2π3， 即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【答案】（1）42（2）不存在a ，b ，使得1123a b+6． 【解析】（1）(1a b ab +=Q ，()a b ab∴+=，0a >Q ，0b >，()2a b ab ∴+≥a b =时取等号，2ab ab≥12ab ∴≤．33331111242a b a b ab ab∴+≥⋅≥ 331142a b∴+≥a b =时取等号． （2）0a >Q ，0b >，111123223236a b a b ab∴+≥⋅≥，<Q，∴不存在a ，b ，使得1123a b+。
2019高考数学压轴小题及答案解析
2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。
11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。
12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。
下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。
其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。
15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。
16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。
北京市2019年高考压轴卷数学(文)试题(含解析)
3 sin 2 x .
1 2.
Tn
(Ⅰ )求 f x 的最小正周期；
(Ⅱ )求证：对于任意的 x
, ，都有 f x
3．
36
17．（本小题 13 分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国
70 周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽
取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分
Tn
（ 16）
解 :（Ⅰ） f x sin x cosx 3sin 2 x
1 sin 2x 3 1 cos2x
2
2
1
3
3
sin 2x cos2x
2
2
2
3
sin 2x
.
32
所以 f x 的最小正周期 T 2
.
2
（Ⅱ）因为
x ，所以
2x .
3
6
3
3
所以
2x
2
.
3
33
所以 sin 2x
sin( )
3.
3
②存在常数 c ，使得 an c (n N * ) 成立；
③若 p q m n (其中 p, q, m,n N * ) ，则 a p aq am an ；
④存在常数 d ，使得 an
a1 (n 1)d (n
*
N ) 都成立．
上述命题正确的是 ____． (写出所有正确结论的序号 ) 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题 13 分）
由题知： a=1， i=1 ， a=2-1=1， i=2 ，否； a=3， i=3 ，否； a=6-3=3 ， i=4 ，是， 则输出的 a 为 3．
2019年高考数学压轴大题24分提高练1
压轴大题24分提高练(一)20．(12分)已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA→＋OB →＝tOQ →(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解：(1)解法1：因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点P 坐标代入，并整理得y 2＝4x .故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .解法2：因为平面上动点P 到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N (1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是焦点到准线的距离为2，并且开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)． Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4(k 2＋1)k 2，x 1·x 2＝4，因为OA→＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4(k 2＋1)k 2t ，y ＝y 1＋y 2t＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)t ＝k (x 1＋x 2)－4k t＝4tk ， 又点Q 在x ＋y －1＝0上，所以4(k 2＋1)k 2t ＋4tk －1＝0.所以t ＝4(1k 2＋1k ＋1)＝4(1k ＋12)2＋3≥3.故实数t 的最小值为3.21．(12分)已知函数f (x )＝e x －m x ，m ∈R .(1)若f (x )在定义域内无极值点，求实数m 的取值范围；(2)求证：当0<m <1，x ∈(0，＋∞)时，恒有f (x )>1－mx 2.解：(1)由题意知f ′(x )＝e x (x －1)＋m x 2， 且方程e x (x －1)＋m ＝0无实数解．令h (x )＝e x (1－x )，则h ′(x )＝－e x ·x ，所以h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故h (x )≤h (0)＝1，即当m >1时，f (x )在定义域内无极值点．当m ＝1时，f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，无极值点，也符合题意，所以m ≥1，即实数m 的取值范围为[1＋∞)．(2)证明：f ′(x )＝e x (x －1)＋m x 2，由(1)知g (x )＝e x (x －1)＋m 在(0，＋∞)上单调递增，又⎩⎨⎧ g (0)＝m －1<0，g (1)＝m >0，所以f ′(x )存在唯一的零点x 0∈(0,1)，故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (x 0)．由e x 0(x 0－1)＋m ＝0知f (x 0)＝e x 0>1>1－mx 2，即当0<m <1，x ∈(0，＋∞)时，恒有f (x )>1－mx 2.。
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2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为(22212x y a a +=。
由已知得,().22222a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得2a c == 所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率3e =。
（2）解：由（1）可得A （3，0）。
设直线PQ 的方程为()3y k x =-。
由方程组,()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得k <。
设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 212227631k x x k -=+。
②由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。
于是 由①②③④得251k =，从而()533k =。
所以直线PQ的方程为30x -=或30x +-=2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。
（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。
（2） 证明)(x f 是偶函数。
（3） 试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x 。
（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g（3） 过轨迹E 上一点P 小，求点P 3．①x 2=4y ②x 1x 2=-4 4．以椭圆222y ax +＝1（a 4．解：因a ＞11设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++ 由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3由Δ＞0即a ＞3时有三解5．已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.5． 解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∴4［（a c ）2＋ac＋1］∈（3，12∴|A 1B 1|∈（3，23）6． 已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。
（1） 求a 、b 的值；（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132++--=tx x x f x g 。
是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？6、解：（1）()x f'=ax x 232+依题意得k=()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f∴a=－3，b=－1 （2）令()x f'=3x 2－6x=0得x=0或x=2∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2019。
（1） 已知g （x ）=－()tx x tx x x x +-=++-+-32231313 ∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0， ① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'>x g 即∴g （x ）在]1.0(上为增函数，g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2'3令()x g '=0,得x=3t 列表如下:g （x ）在x=3t 处取最大值－33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＋t 3t=1 ∴t=3427=2233＜3t 3∴x=3t ＜1③当t ＜0时，()t x x g +-=2'3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数，∴g （x ）在]1.0(上为增函数，∴存在一个a=2233，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。
7． 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→→⋅PN PM 的等比中项。
（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C的方程。
7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH -=→,→PM =（－2－x,－y ）→PN =（2－x,－y ）∴→PM ·→PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=224y x +- 由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→PN 即()22242yx x +-=即14822=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10所以，双曲线C 的实半轴长a=210又23,221222=-=∴==a cb NM c∴双曲线C 的方程式为1232522=-y x 8．已知数列{a n }满足aa aa b a a a a a a a n nn n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与87的大小，并证明你的结论. 8.（1）121-=n n b（2）08121116181)21212121161(81)212121(872441684=--=-+⋅+⋅+<-++++=- nS9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为 )0,2(∴双曲线C 的方程为122=-y x ．………………………………………………4分（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ． 令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m 解得21<<m ． 又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为)2(2212+++-=x m m y ．………………………………6分 令x=0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=222TT y y x x ，即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222．代入①并整理得点N 的轨迹方程为122=+y x ．)22(-≠x ………………12分 10．)(x f 对任意R x ∈都有.21)1()(=-+x f x f （Ⅰ）求)21(f 和)( )1()1(N n nn f nf ∉-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f nn f n f n f +-+++ ，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；试比较n T 与n S 的大小．10 解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以41)21(=f ．……2分令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即21)1()1(=-+n n f n f ．……………4分 又)0()1()1()1(f nf n n f f a n +++-+= ………………5分两式相加所以N n n a n ∈+=,41，………………7分 又41414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分])1(13212111[16-++⨯+⨯+≤n n ………………10分)]111()3121()211(1[16nn --++-+-+= ………………12分所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分11．如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0则OA 的方程为y ＝kx由⎩⎨⎧y ＝kx y 2＝2px解得A (2p k 2，2p k )……4分又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1kx由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k xy 2＝2px解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分从而OA 的中点为A '(p k 2，pk )，OB 的中点为B '(pk 2，－pk )……6分所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 x 2＋y 2－2px k 2－2pyk ＝0 ……①x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……②……10分∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1k )x ……③将③代入①，并化简得x (k 2＋1k 2－1)＝2p ……④由③④消去k ，有x 2＋y 2－2px ＝0∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点).……13分12.知函数f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3)的定义域为R(1)求实数m 的取值集合M ；(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.12．(1)由题意，有x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＞0对任意的x ∈R 恒成立所以△＝4m 2－4(2m 2＋9m 2－3)＜0即－m 2－9m 2－3＜0∴(m 2－32)2＋27m 2－3＞0 由于分子恒大于0，只需m 2－3＞0即可所以m ＜－3或m ＞ 3∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3}……4分(2)x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2＋9m 2－3当且仅当x ＝m 时等号成立.所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2＋9m 2－3……7分又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2＋9m 2－3)∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2＋9m 2－3) ……10分又当m ∈M 时，m 2－3＞0 ∴m 2＋9m 2－3＝m 2－3＋9m 2－3＋3≥2(m 2－3)·9m 2－3＋3＝9当且仅当m 2－3＝9m 2－3，即m ＝±6时，log 3(m 2＋9m 2－3)有最小值log 3(6＋96－3)＝log 39＝2∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2.13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.142+-x tx (1) ．求f()()βαf 和的值。