2015高考数学压轴题大全
2015湖北高考压轴卷数学(理)(Word版含详细答案)
2015湖北高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合1{|0}3x P x x -=>+，{|Q x y ==A ．B ．C ．D ．2.设复数z 的共轭复数为，若，则的值为A.1 B ．2 C ．D ．43.的展开式中，二项式系数的最大值为A ．5B ．10C ．15D ．204.已知是周期为2的奇函数，当时，设6()5a f =,35()22b fc f ==（），则( )A.B.C.D.5.已知是半径为5的圆的内接三角形，且若则的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．6.若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 37.A.-2B.32C.1D.328.如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为. . . .9.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F 的直线（斜率存在）交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是A. 05（，B. 5（）C. 7（）D.07（， 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(一)必考题（11～14题）11.设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99．则d= ；a n = ；数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n= ．12.已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱，，，它们合成后的电流瞬时值的函数的部分图象如图所示，则，．13.执行如图所示的流程图，则输出的n 为 ．14.设函数的定义域为R ，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数：①；②2+2f （x)=x ；③22()25xf x x x =-+；④是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切均有1212|)()4||f x f x x x -≤-（.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.（二）选考题（请考生在第15,16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.（本小题满分10分）已知函数的图象与的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）在中，，且，求的周长的最大值。
2015高考数学压轴题
2015高考数学压轴题1、设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围; （Ⅲ）对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .2、已知函数)(),1ln()(2R a x ax x f ∈++=．（Ⅰ）设函数)1(-=x f y 定义域为D①求定义域D ； ②若函数)0(")1)](1ln()([)(24f cx x x x x f x x h ++++-+=在D 上有零点，求22c a +的最小值；(Ⅱ) 当21=a 时，a x ab x bf x f x g 2)1()1()1(')(2+---+-=，若对任意的[]e x ,1∈，都有e x g e2)(2≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数） （Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．3、设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n }为等差数列，求a 4的值；（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值；（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .4、已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ，*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ，若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．5、已知函数x ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．(1)求此平行线间的距离；(2)若存在x 使不等式x x f m x >-)(成立，求实数m 的取值范围；(3)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把)()(00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．6、已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ，O 为坐标原点，若PO 的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是7、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n n a n a n a n n f n 且 求函数)(n f 的最小值；（3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
2015年高考冲刺压轴山东卷数学(理卷三)(附答案解析)
2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1． （2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A U等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,( --∞2．（2015·山东德州市二模·2)如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z3．（2015·山东济宁市二模·3)4．（2015·山东聊城市二模·４)已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05． （2015·山东临沂市二模·8)已知函数()()()()()()22,log ,ln =0，若xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==则（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<6．（2015·山东淄博市二模·8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．3π7．（2015·山东菏泽市二模·4)已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．8?n ≤B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤8．（2015·山东日照市高三校际联合检测·8)变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（ ）A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．（2015·山东潍坊市二模·9)某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门， 则不同的分配方案种数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．3610. （2015·山东青岛市二模·10) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．（2015·山东济宁市二模·13)12．（2015·山东潍坊市二模·11)某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ；13．（2015·山东临沂市二模·11)已知向量a 与b 满足()2,a b a b b ==-⊥，则a与b 的夹角为_________.14．（2015·山东淄博市二模·12)二项式5的展开式中常数项为___________．15．（2015·山东菏泽市二模·12)在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（2015·山东日照市高三校际联合检测·16)（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17．（2015·山东青岛市二模·17)（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．（2015·山东潍坊市二模·17)（本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC=BC=21AB=1，点M 在线段EC 上。
2015福建省高考理科数学压轴卷
第5题图2015福建省高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U NM =ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()t a n f x x =；③()s in .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．455．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A.1007B.1008C.2013D.20146．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7.已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )A ．20 B.22 C.24 D. 36 9．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ） A ．123+ B. 322+ C. 25+ D. 222+ 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的俯视图侧视图正视图2222数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ 则下列说法正确的个数是( )①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅;②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．5 B. 4 C ．3 D. 2二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）11．已知4234012342421111(1)()()(),a a a a a a a xx x x x-=+++++=则___ ． 12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b ，则方程2ba x x=-有实数根的概率是___ ．13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.14．若x a x x a 21sin ≤≤对任意的]2,0[π∈x 都成立，则12a a -的最小值为 ．15．如图，A 是两条平行直线之间的一定点，且点A 到两条平行直线的距离分别为1,3AM AN ==。
2015江苏高考数学压轴卷范文
(图1)2015江苏高考数学压轴卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值3.右为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPD 图417.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．公 路HG F E DC B A图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．（第22题）。
2015年江苏省高考压轴卷数学试卷
(图1)2015年江苏省高考压轴卷数学试卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .3.右4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是 二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.⊥ （1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=． ABCMPD图4公 路H G F E D C B A 图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x（1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）P（第21 - A 题）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．2015江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8.149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0- 提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A.（第22题）3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
2015年高考数学压轴题拔高精选
2015年高考数学压轴题拔高精选1、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为() A ．]2,2[-B ．),2[+∞C ．),0[+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+=， =()()20f x f x x -+-= 所以，当时0x >，()()0g x f x x ''=-<为奇函数且在R 上存在导数，所以函数在R 上为减函数，()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞ 故选B .2、设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有()A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】B1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0的x ，∴0不是集合，对任意的a ，都存在实际上任意比a 小的数都可以)，使得0的数列，对于任意的0a >，存在0是集④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有0不是整数集Z 的聚点． 综上可知B 正确.3、已知ABC ∆中，BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA ∙u u u r u u r 的取值范围是 . 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r，所以()()()..0CA BC AB BA BC BC BA -=-+=，即22BA BC =可得AB BC =，因为2BA BC +=uu r uu u r可得222.4BA BA BC BC ++=，设AB BC a ==，所以有222222cos 41cos a a B a B+=⇒=+，因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22cos 22.cos 22,1cos 1cos 3B BA BC a B B B ⎡⎤===-∈-⎢⎥++⎣⎦，故答案为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4、已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈， 使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x )是回旋函数． 给出下列四个命题：①若f (x )为非零的常值函数，则其为回旋函数的充要条件是t ＝－1； ②若(01)x y a a =<<为回旋函数，则t ＞l ； ③函数2()f x x =不是回旋函数；④若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x )在[0，2015]上至少有2015个零点． 其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①③④【解析】①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．③利用回旋函数的定义，令x ＝0，则必须有a ＝0；令x ＝1，则有2310a a ++=，故可判断；．④由定义得到f (x ＋1)＝－f (x )，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点令01232015x =，，，，，，即可得到． 对于①函数f (x )＝2为回旋函数，则由f (x ＋t )＋tf (x )＝0，得2＋2t ＝0，∴t ＝－1，故结论正确；对于②，若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，则000x t x t a ta a t t ++=+=∴，，＜，∴结论不成立；对于③若220x a ax ++=（）对任意实数都成立，令x ＝0，则必须有a ＝0，令x ＝1，则有2310a a ++=，显然a ＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，对于④：若若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x ＋1)＋f (x )＝0对任意的实数x 都成立，即有f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋1)与f (x )异号，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点，可令01232015x =，，，，，，则函数f (x )在[0，1]上至少存在2015个零点．故结论正确故答案为：①③④．5、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④【解析】(1)对于命题①“()f x A∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴－M ≤()f x ≤M ．例如：函数()f x 满足－2＜()f x ＜5，则有－5≤()f x ≤5，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；(3)对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x ∈A ，()g x ∈B ， 则()f x 值域为R ，()f x ∈(－∞，＋∞)，并且存在一个正数M ，使得－M ≤g (x )≤M ．∴()f x ＋()g x ∈R ．则()f x ＋()g x ∉B ．∴命题③是真命题．(4)对于命题④∵函数2()l n (2)1xf x a x x =+++(x ＞－2，a R ∈)有最大值，∴假设a ＞0，当x →+∞时，21xx +→0，ln(2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；假设a ＜0，当x →－2时，21x x +→25-，ln(2)x +→-∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符．∴a ＝0．即函数()f x ＝21xx +(x ＞－2) 当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴101x x<+≤12，即0＜()f x ≤12；当x ＝0时，()f x ＝0； 当x ＜0时，x ＋1x ≤−2，∴−12≤11x x+＜0，即−12≤()f x ＜0． ∴−12≤()f x ≤12．即()f x B ∈．故命题④是真命题． 故答案为①③④．6、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，其左右焦点分别为1F 、2F，12F F =设点11(,)M x y ，22(,)N x y 是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积14-．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：2212x x +为定值，并求该定值． 【答案】(1)2214x y +=(2)略 【解析】(1)依题意，c =2e =2a =，2221b a c =-=， 则椭圆C 的方程为：2214x y +=； (2)由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = 而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=， ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值.7、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与 x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：AFM BFN ∠=∠； (3)求三角形ABF 面积的最大值.【答案】(1)2211612x y +=；(2)略；(3).33.【解析】(1)48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为(2)当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意 当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得：014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m m y y m m 662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠. (3)(理科)43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即(此时适合△＞0的条件)取得等号. ∴三角形ABF 面积的最大值是.338、已知函数()ln(1)m f x x x =+-(1)若函数()f x 为(0,)+∞上的单调函数，求实数m 的取值范围； (2)求证：2222111(1sin1)(1sin)(1sin )(1sin )23e n+++⋅⋅⋅+<． 【答案】 (1) m ≤1；(2)证明：见解析. 【解析】 (1)()ln(1),()11mf x m x x f x x'=+-∴=-+， ∵()f x 在()0,+∞上为单调函数，∴()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 即11m x ≥+恒成立，或11mx≤+恒成立. ∵()0,,1x m x ∈+∞∴≥+不能恒成立. 而1＋x ＞1，∴m ≤1时f (x )为单调递减函数. 综上，m ≤1.(2)由(1)知，m ＝1时f (x )在()0,+∞上为减函数， ∴f (x )＜f (0)，即ln(1)x x +<，()0,x ∈+∞ ∵2211sin1,sin,sin02n>， ∴ln(1sin1)sin1+<，2211ln(1sin)sin 22+<2211ln(1sin)sin n n+<令()sin ,(0,)2g x x x x π=-∈，则()cos 10g x x '=-<，∴()g x 在(0,)2π为减函数，∴g (x )＜g (0)，.即sinx ＜x ，x ∈(0,)2π，∴22221111sin11,sin,,sin 22n n <<<. ∴2211ln(1sin1)ln(1sin)ln(1sin)2n++++++ 2211sin1sinsin2n <+++221112n <+++11111223(1)n n<++++⨯⨯-111111(1)()()2231n n =+-+-++--＝122n-< 即()2211ln 1sin11sin1sin 22n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴()222111sin11sin 1sin 2e n ⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9、已知椭圆M 的两个焦点分别为在椭圆M 上．(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小 值；(Ⅲ)设椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆M 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足C AB ⊥B ，D//C A O ，连结C A 交D E 于点P ，求证：D P =PE ．【答案】(Ⅰ(Ⅱ)2；(Ⅲ)见解析 【解析】(Ⅰ)解：由题意设椭圆M 的标准方程为(0a b >>)在椭圆M 上解得：2a = ∴椭圆M 的标准方程为(Ⅱ)解：∵在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ∴直线l 的斜率必存在且为负 设直线l 的方程为y kx m =+(0k <)，消去y ，整理得：根据题意可得方程③只有一实根 整理得：2241m k =+④∵直线l 与两坐标轴的交点分别为，()0,m且0k < ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积) (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)得：()2,0A -，()2,0B 设()00D ,x y ，则()0,0x E ∵C AB ⊥B∴可设()1C 2,y∴()00D 2,x y A =+，()1C 2,y O = 由D//C A O 得：()01022x y y += ∴直线C A 的方程为∵点P 在D E 上∴令0x x =代入直线C A 的方程得：即点P 的坐标为∴P 为D E 的中点 ∴D P =PE10、设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】 (Ⅰ) 函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞. (Ⅱ) 最大值()31kM k e k =--.【解析】(Ⅰ) 当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=，得10x =，2ln 2x = 当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表:右表可知，函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2x k =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增， 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3kk e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>，当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<，所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”.综上，函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
2015年高考冲刺压轴山东卷数学(理卷二)(附答案解析)
2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（2015·山东烟台市二模·1)2．（2015·山东日照市高三校际联合检测·1)复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3. （2015·山东青岛市二模·3)高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）A ．30B ．31C ．32D ．334．（2015·山东潍坊市二模·3) 已知命题44,0:≥+>∀xx x p ；0x 命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧⌝)(是真命题5．（2015·山东德州市二模·5)已知关于x 的不等式18x x a --+≥的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ． 9a ≤-B ． 7a ≥C ． 97a -≤≤D ． 97a a ≤-≥或6．（2015·山东济宁市二模·6)7．（2015·山东烟台市二模·9)8．（2015·山东聊城市二模·7)已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A,B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．117-或B ． 1-C ． 11-或D ．19. （2015·山东临沂市二模·5)执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为（ ）A.（11，12）B.（12，13）C.（13，14）D.（13，12）10．（2015·山东淄博市二模·10)设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F做与，x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是（ ）A B ．2C ．52D ．54第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（2015·山东聊城市二模·11)在ABC ∆中，若54sin ,cos 135A B ==，则c o s C =_________．12．（2015·山东德州市二模·11)某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．13．（2015·山东菏泽市二模·11)已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 _____ 14．（2015·山东烟台市二模·14)15. （2015·山东青岛市二模·15)若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2015·山东潍坊市二模·15)（本小题满分12分）已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx x x ，把函数21)(+⋅=x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(ϕ的形式后，利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表所示：x 12π127π ①ϕω+x0 2π 23π π2)(x f11-（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数)(x f y =在区间]6,2[ππ-上的值域； （Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1)62(=+πA f ，2=c ，7=a ，求⋅．17．（2015·山东德州市二模·17)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，=1202,BCD AB PC AP BP ∠====，． （1）求证：AB PC ⊥;（II ）求二面角B PC D --的余弦值．18．（2015·山东聊城市二模·17)（本小题满分12分）如图，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，A →E →F →B 两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A →C →D 算作两个路段；路段AC 发生堵车事件的概率为16，路段CD 发生堵车事件的概率为110）． （I ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小； （II ）若记路线A →E →F →B 中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ）．19. （2015·山东淄博市二模·18)（本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上．（I ）若()3n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （II ）设lg n nn n na a c m m =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围．20．（2015·山东青岛市二模·20)（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．21．（2015·山东烟台市二模·20)2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷二）参考答案与解析1．B【命题立意】本题旨在考查不等式的求解，集合的运算．【解析】由于A={x||x －1|≤2}={x|－1≤x ≤3}，则A ∩B={x|－1≤x<1}，故C U （A ∩B ）={x|x<－1或x ≥1}． 2．C【命题立意】本题旨在考查复数的除法运算与几何意义． 【解析】分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限． 3．B【命题立意】本题考查了系统抽样及其应用. 【解析】56144k ==，则样本中4名同学的座号依次构成以4为首项，14为公差的等差数列，故样本中还有一个同学的座号是31. 4．C【命题立意】本题考查命题及符合命题真假的判断。
2015届山东省高考压轴卷数学(文)Word版含解析
2015山东高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5. 一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7.A.0B.1C.2D.38.设P为双曲线的一点，分别为双曲线C的左、右焦点，若则△ 的内切圆的半径为A． B． C． D．9.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A.54B.45C.36D.2710.（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.14.若，则的最大值为.15.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是；三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.已知函数，.（1）设.① 若函数在处的切线过点，求的值；② 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱，，点P、Q 分别为和的中点.（I）证明：PQ//平面；（II）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）从某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm）情况如下表：（I）求的值；（II）按表中的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任某国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出两名担任迎宾工作，求这两名担任迎宾工作的志愿者中至少有一名的身高不低于180cm的概率.20.（本小题满分12分）已知函数，且。
2015年高考冲刺压轴卷数学(理卷一)附答案
2015年高考冲刺压轴卷数学（理卷一）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、（2015·广东省汕头市二模·1）已知集合{}21,2z ,,{2,4}A zi B ==，i 为虚数单位，若{2}A B =，则纯虚数z 为（ ）A ．iB ．-iC ．2iD ．-2i2．（2015·广东省佛山市二模·2）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·广东省肇庆市三模·3）在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ） A ．65πB ．32π C ．3π D ．6π 4．（2015·广东省广州市二模·4）函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为（ ）A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪24⎝⎭5．（2015·广东省惠州市二模·4）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11图16. （2015·广东省揭阳市二模·5）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为（ ）A ．43B ．413C ．49-D ．47．（2015·广东省茂名市二模·4） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A ．23B ．43C ．83D ．48．（2015·广东省深圳市二模·6）如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，则输出v 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．8-D ．8二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省湛江市二模·9）曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是图2________________．10．（2015·广东省汕头市二模·10）11．（2015·广东省佛山市二模·11）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ．12．（2015·广东省肇庆市三模·11）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ．13．（2015·广东省茂名市二模·13）已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=∙+AF OB OA ，则双曲线的实轴长为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（2015·广东省深圳市二模·14）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．15．（2015·广东省湛江市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （2015·广东省汕头市二模·16）17．（2015·广东省佛山市二模·17）（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期 2月14日 2月15日 2月16日2月17日 2月18日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量（件）白天 39 33 43 41 54 晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（2015·广东省肇庆市三模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：AC⊥DF；（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．19．（2015·广东省广州市二模·19）（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（2015·广东省惠州市二模·20）（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（1）求曲线1C 的方程；（2）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值．21．（2015·广东省揭阳市二模·21）(本小题满分14分) 已知函数()1,()f x a R =∈（1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．数学（理卷一）参考答案与解析1．D【命题立意】本题考查的知识点是集合的包含关系判断，复数的定义及运算． 【解析】∵A={1，2z 2，zi}，B={2，4}，且A ∩B={2}， ∴2z 2=2或zi=2，解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=-2i ， 则纯虚数z 为-2i ． 故选D 2．B【命题立意】本题旨在考查复数除法的运算法则． 【解析】∵()()()()()()()2211121111112i i i i i z i i iii i ++++====+=-+--+∴与第二象限的点（－1,1）对应．故选:B 3．B【命题立意】此题考查了余弦定理．【解析】∵在△ABC 中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，∴由余弦定理得：cos ∠BAC=222b +c -a 9+25-491==-2bc 302，∵∠BAC 为△ABC 的内角，∴∠BAC=2π3．故选B 4．A【命题立意】函数()sin y A x ωϕ=+的图象性质，容易题. 【解析】由图知，3=A ，周期8)15(2=-=T ，当3251=+=x 时0=y ，逐个验证知函数3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭满足条件.5．C【命题立意】本题考查线性规划求最值问题．【解析】平面区域如图所示，所以24210z =⨯+=，故选C ． 6．A【命题立意】考查平面向量的坐标运算，共线向量，容易题.【解析】由已知得λ-a b =)32,21(λλ--， 向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，∴632521--=--λλ，解得34=λ. 7．B【命题立意】考查三视图，空间几何体的体积，容易题．【解析】由三视图知，原几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰三角形，面积为42421=⨯⨯=S ，三棱锥的高为1，体积为341431=⨯⨯=V ． 8．D【命题立意】本题考查了程序框图,进行模拟运算即可． 【解析】当i=3，31a =，v=1, 当i=2时，23a =-，v=0 当i=1时，13a =，v=3， 当i=0时，01a =-，v=8， 当i=-1时，输出8．故选D ． 9．02=-y x【命题立意】本题考查利用导数求切线的斜率及切线方程．【解析】所求切线的斜率2|)cos 1(|00=+='===x x x y k ,所以由点斜式方程得所求切线方程yx为02=-y x ． 10．4030【命题立意】本题旨等差数列的性质及等差数列前n 项和公式． 【解析】()24201220141201528a a a a a a +++=+=，()120154a a ∴+=，()120152015201520154403022a a S +⨯∴===故答案为4030． 11．20【命题立意】本题旨在考查排列组合的实际意义．【解析】5个球中2个编号与盒子编号一样共有2510C =种放法，余下的3个球与盒子的编号都不同，只有2种放法，由分步乘法可知投放方法共10×2＝20种． 故答案为：20 12．{x| x ＞43或x<-6} 【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查转化思想与运算能力． 【解析】∵|2x+1|-|5-x|＞0， ∴|2x+1|＞|5-x|≥0， ∴()()222x+1>5-x ，∴x ＞43或x<-6, ∴不等式|2x+1|-|5-x|＞0的解集为{x| x ＞43或x<-6}． 故答案为：{x| x ＞43或x<-6} 13．222-【命题立意】考查抛物线、双曲线的性质，平面向量的数量积，中等题．【解析】 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F F ∴点的坐标为（1，0） 0)(=∙+，∴AF ⊥x 轴．设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1,2）设左焦点为'F ,则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=,由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a ．14【命题立意】本题考查参数方程的化简和应用，将参数方程转化为普通方程即可． 【解析】直线l 的普通方程为y 30x +-=,曲线C 的方程为2=(3)y x -，由230(3)x y y x +-=⎧⎨=-⎩得21x y =⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩，即A(2，1),B(3，0),则=15．723 【命题立意】本题考查相似三角形对应边成比例问题．【解析】过点A 作CD 的平行线交EF ．BC 分别为M ．N ，由题意可知AEM ∆与ABN ∆相似，所以723,2,79)2(7373,73=∴==-==∴==EF NF BC BN EM AB AE BN EM 又． 16．（1）3；（2）[1,5]；（3）725-． 【命题立意】本题考查了正弦型函数的图像及性质，两角和差的公式,同角三角函数基本关系．【解析】，17．（1）,中位数为44.5；（2）480件；（3）值的投资．【命题立意】本题旨在考查茎叶图，离散型随机变量的期望以及概率的求法．【解析】18．（1）略；（2）略；（3【命题立意】本题考查的是线面平行的判定，线线垂直的证明以及利用法向量求二面角的大小．【解析】证明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG ． （1分）因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，（2分） 又因为E 为PC 的中点，，因此EG //PA ． （3分） 而EG ⊂平面EDB ，所以PA //平面EDB ． （4分）（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ． （5分）因为PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥PD ． （6分） 而PD ∩BD =D ，所以AC ⊥平面PBD ． （7分） 又DF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DF ． （8分）（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，所以)21,21,0(E ． （9分）设)0)(,,(≠kl l k k F ，则)21,21,(--=l k k ，)1,1,1(-=PB ．由EF ⊥PB ，得0=⋅，即0)21(21=---+l k k ，即k l 2=，故)2,,(k k k F ． （10分） 设平面DEF 的一个法向量),,(z y x =，)21,21,0(=DE ，)2,,(k k k =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++02021210kz ky kx z y ，解得⎩⎨⎧-=-=z y z x ，取)1,1,1(--=． （11分） 又)1,0,0(=DP 是底面ABCD 的一个法向量， （12分） 所以3313100||||,cos =⨯++=>=<DP n ， （13分）故平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值为33． （14分） 19．（1）1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ；（2）详见解析.【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，裂项相消发求数列的前n 项和，放缩法证明不等式，中等题.【解析】（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=． 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭． 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-， 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<．又当1n =时，212111106PP =<． 所以22212131+111116n PP PP PP +++<． 20．（Ⅰ）220y x =（Ⅱ）6400 【命题立意】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=…1分易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>5x =+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. …………………4分 解法2 ：曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，所以曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，…………… 2分故其方程为220y x =. …………………4分 （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，040kx y yk -++= 3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ① …………………6分 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根， 故001218.724y yk k +=-=- ② …………………7分 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③…………………8分 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④…………………9分同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤…………………10分于是由②，④，⑤三式得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=[]640016400212122=+-=k k k k y y .…………………13分 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. …14分21．（1）{|020}x x x <<<或；（2）单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a ；（3）2m a m -<<+.【命题立意】考查不等式的解法，导数法求函数的单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，较难题.【解析】（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<，显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<，当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x <综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或.（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥， 若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >， 当2ax a <<时，'()0f x <， ∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .(其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方， 即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+， 显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+， 设1(),(0,1]m g x x x x+=-∈，1()m p x x x +=+，(0,1]x ∈，则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈， ∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-，又∵21'()1m p x x +=-1即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数 ∴min ()(1)2p x p m ==+，1，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥=，当x =又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<第21页m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+∴当20m -<<时，m a -<< 当0m ≥时，2m a m -<<+．。
2015高考数学压轴题
2015高考数学压轴题 2015高考数学压轴题1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+ ()222222212123222221322222a a b a c x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为： ………………………………（4分） 对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a a b c a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为： ………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+。
2015年高考数学(理)三轮训练：压轴大题及答案解析(共2份试题)
k2） k2
2（ 3k4＋ 3k2＋ 1） ＝ 2k4＋ 3k2＋ 1
k4 ＝ 2(1 ＋ 2k4＋ 3k2＋ 1) ．
当 k＝0 时， r ＝ 2.
3
2015 年高考数学（理）二轮专练：压轴大题及答案解析
压轴大题 ( 一 )
1．(2013 ·广东省惠州市高三第三次调研考试
) 已知函数
f
(
x)
＝
x
3
－
3ax(
a∈R)
．
(1) 当 a＝ 1 时，求 f ( x) 的极小值；
(2) 若对任意的 m∈ R，直线 x＋ y＋ m＝ 0 都不是曲线 y＝f ( x) 的切线，求 a 的取值范围．
∴Δ＝ 0－4×3( － 3a＋ 1)<0 ，
1 ∴ a<3.
1 故 a 的取值范围是 ( －∞， 3) ．
2．【解】 (1) 设椭圆的焦距为 2c，
c2
因为 a＝
2， a＝
，所以 2
c＝ 1，所以
b＝1.
所以椭圆
C 的方程为
x2 2＋
y
2＝
1.
(2) 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，
(2) 设函数 g( x) ＝ 1
，若 x1≠ x2，且 g( x1) ＝ g( x2) ，证明： x1＋ x2>2.
f （ x） （ x≠0）
1
4．已知椭圆
x2 C： 2 ＋
y 2＝
1
的左、右焦点分别为
F1、F2， O为坐标原点．
(1) 如图 1，点 M为椭圆 C上的一点， N是 MF1 的中点，且 NF2⊥ MF1，求点 M到 y 轴的距 离；
2．(2013 ·北京市海淀区高三年级第二学期期中练习
2015年海南省高考数学压轴试卷(理科)【解析版】
2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣92．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝03．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x 5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．26．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±18．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．910．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.812．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A 且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣9【解答】解：∵M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，∴M中的复数必须为实数，即m﹣3＝0，解得：m＝3．故选：A．2．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝0【解答】解：y＝sin x的导数为y′＝cos x，正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线斜率为k＝cos＝，即有切线方程为y﹣＝（x﹣），即为x﹣2y+﹣＝0．故选：B．3．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}【解答】解：因为向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，所以＝2（x+2）+6（x+1）＝8x+10＞0，得到x＞，又不共线，所以2×6﹣（x+1）（x+2）≠0，则x≠﹣5且x≠2，所以实数x的取值范围为{x|x＞﹣且x≠2}；故选：A．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x【解答】解：因为e＝，所以，而焦点在y轴上的双曲线的渐进线方程为：y＝，所以该双曲线的渐进线方程为：y＝±x．故选：B．5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．2【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C．6．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n或相交或异面，因此不正确；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，根据线面垂直、面面平行的判定定理可知：α∥β，正确；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，因此不正确．综上只有③是正确的，故选：C．7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．8．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③【解答】解：对于①命题的否定为：“∀x∈R，x2+x+1≠0”；所以①不正确；对于②A∩（∁R B）＝{x|x＞0}＝A；所以②正确；对于③由（m+2）（m﹣2）﹣3m（m+2）＝0，得m＝﹣2或；所以③不正确；对于④抛物线的标准方程为x2＝﹣2（）y，由准线方程为：y＝1，可得，即a＝﹣．所以④正确；故选：A．9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．9【解答】解：∵a＝3n，∴a＝3×1＝3，若a 1＝1，则a＝a1＝1，与a＝3×1＝3矛盾，若a 1≥3，则a≥a3，而a＝3，所以3≥a3，即a1≥a3与数列{a n}递增矛盾，于是a 1＝2，得a＝a2＝3×1＝3，a2＝3，a＝a 3＝3×2＝6，a＝a 6＝3×3＝9，而a3＜a4＜a5＜a6∵递增数列{a n}各项均是正整数∴a4＝7，a5＝8，所以a5＝8．故选：C．10．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③【解答】解：（1）①③⇒②④：由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin （2x+φ），∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴＝±1，∵﹣＜φ＜，∴＜φ+＜，∴只可能φ+＝，解得φ＝．∴f（x）＝，∴＝sinπ＝0，因此f（x）的图象关于点（，0）对称，即②正确；若x∈[﹣，0），则∈，因此函数f （x）在区间[﹣，0）上是增函数，即④正确．因此①③⇒②④．（2）②③⇒①④．由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（，0）对称，∴＝sin＝0，∵﹣＜φ＜），∴φ＝．∴f（x）＝．由＝＝1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称．由（1）可知，f（x）在区间[﹣，0）上是增函数．综上可知：②③⇒①④．综上可得：A正确．故选：A．11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.8【解答】解：设3元、5元、8元门票的张数分别为a，b，c，则有，整理得，x＝19.2﹣（5a+3b）≤19.2﹣2＝13.2（万元）．当且仅当时等号成立，解得，a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8．由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．故选：C．12．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：根据题意，由+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），得+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），即﹣＞0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．故选：B．二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1]．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．【解答】解：区域Ω是不等式组表示的平面区域如图三角形区域OEF，面积为；A是不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，面积为＝4，由几何概型公式可得点P落入区域A的概率为：；故答案为：．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0解得，y＝﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S＝＝＝．故答案为：．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现6次．【解答】解：第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i＝1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝j+1+（i﹣1）×j＝ij+1．令A ij＝ij+1＝2010，即ij＝2009＝1×2009＝7×287＝41×49＝49×41＝287×7＝2009×1，故表中2010共出现6次．故答案为6．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；50x＝1﹣（++++）×50＝1﹣×50＝，解得x＝；（2）空气质量为良与轻微污染的频率和为×50+×50＝，∴一年中空气质量为良和轻微污染的总天数为365×＝219；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为×50+×50＝＝；则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1﹣＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面P AC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面P AC，EF⊂平面P AC∴EF||平面P AC（3）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥P A∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD∵AF⊂平面P AD∴AF⊥DC∵P A＝AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD＝D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q 在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．【解答】解：（1）由条件可知因为，所以（4分）（2）由（1）可知，所以从而M（c，0）．半径为a，因为，所以∠EMF＝120°，可得：M到直线l的距离为．所以c＝2，所以椭圆方程为．（8分）（3）因为点N在椭圆内部，所以b＞3．（9分）设椭圆上任意一点为K（x，y），则．由条件可以整理得：y2+18y﹣4b2+189≥0对任意y∈[﹣b，b]（b＞3）恒成立，所以有：或者解之得：（13分）20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．【解答】解：（1）因为k＝7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+6d），整理得a1＝2d，又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，b n＝b1×q n﹣1＝2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得a n b n的前n项和为T n＝n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n}的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以．所以（2）由（a1+2d）2＝a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2＝a1d（k﹣5），因为d≠0，所以，所以．因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，所以，又在正项等差数列{a n}中，，所以，又因为a1＞0，所以有2[4+（m﹣1）（k﹣5）]＝（k﹣3）3，因为2[4+（m﹣1）（k﹣5）]是偶数，所以（k﹣3）3也是偶数，即k﹣3为偶数，所以k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）＝a2x2，所以f′（x）＝2a2x，令f′（x）＝2a2x ＝1得：，此时，则点到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，即，解之得a＝或；（2）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）＝1＞0且h（1）＝﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故解之得．（3）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即，由在x∈R恒成立，则在x∈R恒成立．所以成立，因此．下面证明恒成立．设，则．所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此时G（x）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【解答】证明：（1）∵DE2＝EF•EC，∴DE：CE＝EF：ED．∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED．∴∠EDF＝∠C．∵CD∥AP，∴∠C＝∠P．∴∠P＝∠EDF．（2）∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE＝EF：EA．即EF•EP＝DE•EA．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA＝CE•EB．∴CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ所以x2+y2＝6x即（x﹣3）2+y2＝9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r＝3所以弦长AB＝＝．∴弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|和y＝5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，即a≥﹣3．。
2015海南高考压轴卷 数学(理) Word版含解析
KS5U2015海南高考压轴卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 合{}i m m M )3(3,2,1-+-=（其中i 为虚数单位），{9,3}N =-，且M N ≠∅ ，则实数m 的值为 （ ）A.3B. 1C. 2D.9- 2.正弦曲线x y sin =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,3π的切线方程是（ ） A.0332=+-+πy x B.0332=-+-πy xC.033323=-+-πy x D.033323=+-+πy x 3.若向量)6,2(),1,2(+=+=x b x a ,又b a,的夹角为锐角,则实数x 的取值范围为( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧->45x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-<545x x x 且D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<45x x4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为5，则其渐进线方程为（ ） A.x y 21=B.x y 21±=C. x y 21-= D.x y 2±=5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）A.4B.2第5题图正视图俯视图AB DC DCABC.32D.36. 已知βα, 表示平面，n m ,表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ ③若,,βα⊥⊥n m m ∥n ，则α∥β ④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥ 其中错误的命题个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知直线0=-+a y x 与圆222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、-=+，则实数a 的值为（ ） A.2 B.2-C.2±D.1±8.现有下列命题:①命题“01,2=++∈∃x x R x ”的否定是“01,2≠++∈∃x x R x ”；②若{}0>=x x A ，{}1-≤=x x B ，则A B C A R =)( ；③直线013)2(=+++my x m 与03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直的条件为2-=m ；④如果抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则41-=a .其中正确的命题的序号为（ ） A.②④ B.①② C.③④ D.②③ 9.已知递增数列{}n a 各项均是正整数，且满足n a n a 3=，则5a 的值为（ ） A.2 B.6 C. 8 D.910.设函数)sin()(ϕ+ω=x x f ()22,0π<ϕ<π->ω,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点（)0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）A.①③⇒②④或②③⇒①④B.①③⇒②④C. ②③⇒①④D.①④⇒②③11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为x y 2lg =，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.A.1、0.、0.8B.0.6、0.8、1C. 0.6、1、0.8D.0.6、0.6、0.8 12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为（ ） A.)1,1(- B. )1,31()21,1( -- C. )1,31()21,( --∞ D.),31()21,(+∞--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、（本大题共4小题，每小题5分） 13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41内，则输入的实数x 的取值范围是 .（第16题）13题14. 已知Ω是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>><+0,0,6y x y x 表示的平面区域，A 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-><02,0,4y x y x 表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为_________. 15.抛物线x y =2与直线032=--y x 围成的平面图形的面积为 .16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次.2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … …三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： API 0～50 51～200 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API 数据按照区间[](]100,50,50,0，(]150,100，(]200,150，(]250,200，(]300,250进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，1==AD PA ，3=AB ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥PAB E -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （3）求证：AF PE ⊥.19.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．（1）求椭圆的离心率；（2）直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a ⋅=- ，求椭圆方程；（3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若7=k ，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值P F DE C B A 18题图（2）若存在,k m >*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证：k 为奇数. 21.（本小题满分12分）设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．（1）若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； （2）关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，BC AD ,相交于E 点，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2. （1）求证：EDC P ∠=∠； （2）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.（1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）求弦AB 的长度.C24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =．（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．KS5U2015海南高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.A2.B3.A4.B5.C6.C7. C8.A9.C 10.A 11.C 12.B 解析：1.M N ≠∅ ，则M 中的复数必须为实数，所以3=m . 2x x y cos )(sin ''==,则213cos==πk ,即切线方程为)3(2123π-=-x y ,整理得0332=-+-πy x .故选B.3. 0108)1(6)2(2>+=+++=⋅x x x b a ,则45->x ,又b a,不共线,所以0)2)(1(62≠++-⨯x x ,则5-≠x 且2≠x ,所以实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且.故选A.4.因为5=e ，所以21512=-=-=e ab，而焦点在y 轴上的双曲线的渐进线方程为x b a y ±=，所以该双曲线的渐进线方程为x y 21±=.故选B.5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为3，所以左视图的面积为3223=⨯=s .故选C.6.只有③是正确的.①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n 或异面； ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥或相交或异面；④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥或α∥β.所以只有一个正确的，故选C.故选C.7.-=+两边平方，得0=⋅，所以90=∠AOB ，则AOB ∆为等腰直角三角形，而圆222=+y x 的半径2=AO ，则原点O 到直线的0=-+a y x 的距离为1，所以11100=+-+a ，即a 的值为2或2-.8.①命题的否定为：“01,2≠++∈∀x x R x ”；②{}A x xBC A R =>=0)( ；③由0)2(3)2)(2(=+--+m m m m ，得2-=m 或21；④抛物线的标准方程为y a x ⎪⎭⎫⎝⎛--=2122，由准线方程为1=y ，可得141=-a ，即41-=a .故选A.9. 若11=a ，则111==a a a ，与3131=⨯=a a 矛盾，若31≥a ，则31a a a ≥，而31=a a ，所以31a a ≥与数列{}n a 递增矛盾，于是21=a ，得31321=⨯==a a a ，62332=⨯==a a a ，93363=⨯==a a a ，而6543a a a a <<<，所以85=a .故选C.10.由函数)0)(sin()(>ωϕ+ω=x x f 的周期是π，可知.2=ω这)22)(2sin()(π<ϕ<π-ϕ+=x x f （1）若)(x f 的图像关于直线12π=x 对称，则1)6sin()12(±=ϕ+π=πf . 当1)6sin(=ϕ+π，且22π<ϕ<π-时，3π=ϕ；当1)6sin(-=ϕ+π时，322π-π=ϕk （z k ∈），与 )22π<ϕ<π-矛盾.因此3π=ϕ.这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin )(x x f . 由0sin 3=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称；由06<≤π-x ，得3320π<π+≤x ，可知)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：①③⇒②④是正确的命题.（2）若)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称，则032sin 3=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，又由22π<ϕ<π-知3π=ϕ，这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin )(x x f . 由12sin 12=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知，直线12π=x 是)(x f 的对称轴；由（1）可知，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：②③⇒①④.故选A. 11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为c b a ,,，则有⎪⎩⎪⎨⎧++===++,853,6.0,4.2c b a x ab c b a 整理得2.131522.19)35(2.19=-≤+-=ab b a x （万元）. 当且仅当⎩⎨⎧==,6.0,35ab b a 时等号成立，解得1,6.0==b a ，所以8.0=c .由于xy 2lg =为增函数，即此时y 也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C. 12. 由0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，得0<+-+-++-cx bx a x b 的解集为)1,31()21,1( --，即0>----c x b x a x b 的解集为)1,31()21,1( --.故选B.二、填空题 13. []1,2-- 14. 9215.332 16.6解析：13.若[]2,2-∉x ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉=21,412xx f ，不合题意；当[]2,2-∈x 时，得[]1,2--∈x .14.区域Ω（不含边界）的面积为18，区域A （不含边界）的面积为4，故点P 落入区域A 的概率为92. 15.由⎩⎨⎧=--=,032,2y x x y 得抛物线与直线的交点为)3,9(),01,1(Q P .所以[]dx x x dx x x S )23((9110--+--=⎰⎰dx x x dx x )232(29110+-+=⎰⎰192343201342232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 33232834=+=. 16. 第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的解就是表中的一个数.因为第一行数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=j A ij 是以2为首项，公差为1的等差数列，所以11)1(2+=⨯-+=j j A ij .所以第j 列数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=i A ij 是以1+j 为首项，公差为j 饿等差数列， 所以1)1(1+=⨯-++=ij j i j A ij .令20101=+=ij A ij ，即1200972784149494128772009⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==ij ，故表中2010出现6次. 三、解答题 17. 解：（1）由图可知，509125123150)912581825318257365218253(150⨯-=⨯++++-=x ，解得18250119=x .（2）219)5036525018250119(365=⨯+⨯⨯；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119==⨯+⨯.则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=-. 18.解：（1）ABCDPA 平面⊥ ，所以PA S V V ABE ABE P PAB E ⋅==∆--31631312131=⨯⨯⨯⨯=. （2）当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC ，理由如下：因为点F E ,分别为CD 、PD 的中点，所以EF ∥PC . 又因为PAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄，所以EF ∥平面PAC . （3）因为ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂，所以PA CD ⊥. 又是矩形ABCD ，所以AD D ⊥C . 因为A AD PA = ，所以PAD CD 平面⊥. 又PAD AF 平面⊂，所以DC AF ⊥.因AD PA =，点F 是PD 的中点，所以PD AF ⊥. 又D PD CD = ，所以PDC AF 平面⊥， 又PDC PE 平面⊂，所以AF PE ⊥.19.解：⑴由条件可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c Q a b c P 22,,,，因为23=PQ k ，所以得：21=e . （2）由⑴可知，c b c a 3,2==，所以，)0,3(),0,(),3,0(1c B c F c A -，从而)0,(c M .半径为a ，因为221a -=⋅，所以 120=∠EMF ，可得：M 到直线距离为2a， 从而求出2=c ，所以椭圆方程为：1121622=+y x . （3）因为点N 在椭圆内部，所以3>b ，设椭圆上任意一点为),(y x k ，则2222)26()3(≤-+=y x KN .由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y ，对任意[])3(,>-∈b b b y 恒成立， 所以有：⎩⎨⎧≥+--+--≤-,01894)(18)(,922b b b b 或者⎩⎨⎧≥+--⨯+-->-,01894)9(18)9(,922b b 解之得： (]6212,62-∈b .20. （1）因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a dq b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=，①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-．⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-，因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数， 即3-k 为偶数，所以k 为奇数.21. （1）解法一：设函数22y a x =图象上任意一点为2200(,)P x a x ，则点P 到直线30x y --=的距离为d ==，当02102x a -=，即0212x a =时，min d ==2120a =，或214a =， 又因为抛物线22()f x a x =与直线30x y --=相离，由22,3,y a x y x ⎧=⎨=-⎩得2230a x x -+=，故21120a ∆=-<，即2112a >，所以214a =，即12a =． 解法二：因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==， 得212x a =，此时214y a =，则点2211(,)24a a 到直线30x y --==2120a =，或214a =．（以下同解法一）（2）解法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[3,2)--内，所以(2)0,(3)0,≤h h ->⎧⎨-⎩解之得4332≤a <，故所求a 的取值范围为43[,]32．解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，因为[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， 所以1321a -<<--，解之得4332a <<．（3）设21()()()l n 2Fxf x gx x e x=-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-+=-==．所以当0x <<'()0F x <；当x >'()0F x >．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2e y k x -=，即2ey kx =+-由()2≥e f x kx +-x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0≤k e k e k ∆=-=-=恒成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，则()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2eg x x ->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-．选做题：22.证明：（1）因为EC EF DE ⋅=2，所以DE EF EC DE ::=，又因为DEF ∠是公共角，所以DEF ∆∽CED ∆，所以C EDF ∠=∠.因为AP CD //，所以P C ∠=∠，所以EDF P ∠=∠.（2）由（1）知，EDF P ∠=∠，又FED AEP ∠=∠，所以DEF ∆∽PEA ∆，所以AE EF EP DE ::=， 即EP EF DE AE ⋅=⋅.因为BC AD ,为相交弦，所以EB CE DE AE ⋅=⋅，故EP EF EB CE ⋅=⋅.23. 解：（1）曲线2C ：π4θ=（R ∈ρ）表示直线x y =．曲线1C ：θρcos 6=，θρρcos 62=，所以x y x 622=+，即9)3(22=+-y x ．（2）圆心（3，0）到直线的距离 d =，3=r ，所以弦长AB =23． 24. （1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的 图象（如图所示）,知定义域为(][),23,-∞-+∞ . （2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥-， 又由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤≥-即．。
2015广东省高考压轴卷 理科数学 Word版含答案
2015广东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}5,4,3,1,0,2{=U ，集合}2,4,3,0{=A ，{}4,3,2,1,0=B ，则)(B A C U ⋂＝A ．}2,4,3,0{B ．}2,0{C ．}5,1{D ．}5,1,0,2{2．设i 为虚数单位，复数()21z i =++2，则z 的共轭复数为A ．2i -B ．2iC ．22i -D ．22i +3．已知向量a =(1,-1)则下列向量中与向量a 平行且同向的是 A ．（2,-2）B ．（-2,2）C.（-1, 2）D ．（2, -1）4．已知实数y x ,满足不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩若z=x-y ，则z 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．65．抛物线218y x =上到焦点的距离等于10的点的坐标为 A ．(-8, 8) B ．(8, 8)C ．(-8, -8) 或(8, -8)D ． (-8, 8) 或(8, 8)6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100)的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为 A ．820B ．720C ．620D ．5207．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积 不可能．．．等于 A ．2B ．2.5C ．231-D ．221-8．若'1(ln )ln 1,ln e x x x x a xd =+=⎰，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++被10除得的余数为A ．3B ．1C ．9D ．7二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式13-x ＞x 的解集是 .10．2y x kx =-，在1x =处的切线与1y x =+垂直，则k 的值是 . 11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是 . 12．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c b A B c C B a 2cos sin 2cos sin 2=+且a b >,则B ∠=________．13．在正项等比数列｛n a ｝中，=⋅+⋅7263a a a a 42e 则81ln ln a a ⋅的最大值为 .（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x y -=与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中AB=4为直径，，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1=AD ，θ=∠ACD ，则θcos =______．ODECBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知)32sin()(π+=x x f（1）求)2(π-f 的值．（2）若θ为锐角，33)2()2(=-+θθf f ，求θtan 的值．17．（本小题满分12分）测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3． （1）求a 的值；（2）若重量在(]25,35，(]35,45中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在(]35,45中需取出几尾？（3）从大量马口鱼中机抽取3尾，其中重量在(]5,15内的尾数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.a 图3重量/克频率组距0.0320.020.018453525155O18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形， PA ^面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 若 PA=AB,求证：AN ⊥平面PBC（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.图4M NBCDA P19. （本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，214n n s a +=-4n-1,n N *∈． （1）求23,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：n N *∈，有122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++<12．20．（本小题满分14分）若在平面直角坐标系中，已知动点M 和两个定点()1F 2,0-，()2F 2,0,且124MF MF +=()1求动点M 轨迹C 的方程；()2设O 为坐标原点，若点E 在轨迹C 上，点F 在直线2y =-上，且OE OF ⊥，试判断直线EF 与圆222x y +=的位置关系，并说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈.(1)若0a =，判断()f x 的单调性．(2)若()y f x =在[4,)+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+有实根,求实数b 的最大值.KS5U2015广东省高考压轴卷 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题 1. 【答案】C解析 由}5,4,3,1,0,2{=U ，}2,4,3,0{=⋂B A 则)(B A C U ⋂=}5,1{ 2. 【答案】C解析 ()21z i =++2=2i +2=2+2i 所以z 的共轭复数是22i - 3. 【答案】A（解析 2,-2）=2（1，-1）所以选A 4. 【答案】A解析作出不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩所对应的可行域变形目标函数y=x-z平移直线y=x-z 可知，当直线经过点（3，0）时，z 取最大值， 代值计算可得z=x-y 的最大值为3 5. 【答案】D解析 可以化为x 2=8y ,的 准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x 2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8）6. 【答案】A.解析 由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)501000A A +=+⨯⨯=180,故s=1000-180=820，选A. 7.【答案】D解析 因为正视图最小值为他的一个侧面122⨯=，最大值为对角面2222⨯=，所以正视图取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦，而221-不在范围内.8. 【答案】B 解析由'1(ln )ln 1,ln ex x x x a xd =+=⎰，可知'(ln )ln x x x x -=，所以11ln (ln )1,1e ex xd x x x a ⎰=-==，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++=100100(2)3a +=，10050505049148249495050505039(101)10101010(1)(1)C C C ==-=-++---+-+-所以余数为1． 二．填空题9. 【答案】),21()41,(+∞⋃-∞ 解析原不等式等价于3x-1＞x 或3x-1＜-x 可得答案),21()41,(+∞⋃-∞10. 【答案】3解析 导函数为y ’=2x-k 又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1 所以k=3 11. 【答案】15解析因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为2411205= 12. 【答案】45° 解析b A Bc C B a 2cos sin 2cos sin 2=+根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22sinB, sinAcosC+cosAsinC=22 Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB=22又a b >所以A ﹥B 所以B=45° 13．【答案】4 解析由等比数列性质知4817263e a a a a a a =⋅=⋅=⋅，81ln ln a a ⋅4)2ln ()2ln ()2ln ln (24281281===+≤e a a a a 当281e a a ==时取等号．14．【答案】)4,2(π-或其他形式解析y=-x 与圆1)1(22=+-y x 交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为)4,2(π-．15．【答案】23解析根据弦切角定理得，BCA ∆与CDA ∆相似，所以ACAC AC AD AB AC 14,==， 2,42==AC AC 在直角三角形ACD 中可得3=CD ，θcos =23三．解答题 16. 解：（1）)2(π-f =233sin)3sin(-=-=+-πππ---4分 （2） 3cos)2sin(3sin2cos 3cos2sin )32sin()32sin()2()2(πθπθπθπθπθθθ-++=+-++=-+f f +332cos 33sin2cos 23sin)2cos(===-θπθπθ 所以312cos =θ，θ2cos 2-1=31又θ为锐角，所以36cos =θ，33cos 1sin 2=-=θθ，所以 22cos sin tan ==θθθ……………12分 17．解：(1)由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，解得0.03x =. ……………2分 （2）(]25,35，(]35,45 频数分别30个和18个，按分层抽样知 (]35,45中取18848⨯=3个……………4分（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在(]5,15内性成熟的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分z yENB AP∴ξ的分布列为：--------------11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18.解： （1）证明：PA ^面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ^ 又ABCD 为正方形，BC AB ⊥又,.PAAB A PA AB =⊂面PAB ∴BC ⊥面PABAN ⊂面PAB ，∴BC AN ⊥，又PA=AB, 点N 是PB 的中点, ∴AN PB ⊥且,.PBBC B PB BC =⊂平面PBC ∴AN ⊥平面PBC----------4分（2）∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得224NE MN ME =-=，以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3(3,,0)2AM =设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ξ0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又(0,0,1)m =是平面AMB 的一个法向量，cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅38989∴二面角N AM B --的余弦值为38989. …………… 14分 19.解：（1）由214n n s a +=-4n-1得421241s a =--因为n a ﹥0，11a =，所以2145a a =+，所以23,a =据而可得35a =--------2分． （2）214n n s a +=-4n-1-----（1）当n 2≥，2144(1)1n n s a n -=--------（2）由（1）-（2）得22144,n n n a a a +=--即221(2)(2)n n a a n +=+≥ 因为n a ﹥0，所以112,2(2)n n n n a a a a ++=+-=≥又212a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以n a =21n -.-----------8分（或用数学归纳法）（3）11111111(),1(21)(21)22121n n n n a a a a n n n n ++<==-+-+-+所以122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++1111111111(1)(1)23352121221242n n n n <-+-+---+-=-=--+++<12-------------14分．20解：（1）由题意知：1212422MF MF F F +=>=所以，由椭圆的定义可知：动点M 运动的轨迹是: 以1F ，2F 为焦点，长轴长为4，焦距为22的椭圆，且短半轴长为()22222=-所以轨迹C 的方程为12422=+y x -----4分（2）直线EF 与圆222=+y x 相切．证明如下：设点(,)E m n ，(,2)F t ，显然其中0≠m , 因为OE OF ⊥，，所以0OE OF =，即20tm n -=，所以2nt m=① 直线EF 的斜率不存在时，即t m =时，22t n =，代入椭圆方程可得：222242t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得：2±=t ，此时直线EF 的方程为2=x 或2-=x ，显然与圆222=+y x 相切.②当直线EF 的斜率存在，即t m ≠时，直线EF 的方程为：22()n y x t m t++=--，即(2)()20n x m t y m tn +----=……(9分) 此时，圆心)0,0(O 到直线EF 的距离222(2)()m tn d n m t --=++-又因为4222=+n m ，2n t m=所以22222222(2)()22424n m nm tn m d n m t n n m n n m m m ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭==++-⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4422222222++++mnn m m n m =4282442222222+-+-+-+mmm m mm m=2216842242=+++m m m m m ，所以，直线EF 与圆222=+y x 相切．综上，直线EF 与圆222=+y x 相切．……(14分)21.解:（1）若0a = 则32()3x f x x =- 所以当0a =时,'()(2)f x x x =-,当'()(2)f x x x =- ﹥0得2x >或0x <当'()(2)f x x x =- 0时得02x <<，所以()f x 的单调增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)．------3分．(2)因为()f x 在区间为[4,)+∞上增函数, 所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区[4,)+∞上恒成立当0a =时,'()(2)0f x x x =-≥在[4,)+∞上恒成立,所以()f x 在[4,)+∞上为增函数,故0a =符合题意 当0a ≠时,由函数()f x 的定义域可知,必须有210ax +>对4x ≥恒成立,故只能0a >,所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在恒成立令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+,其对称轴为114x a =-, 因为0a >所以1114a-<,从而()0g x ≥在[4,)+∞上恒成立,只要(4)0g ≥即可, 因为2(4)41620g a a =-++≥ 解得43243222a -+≤ 因为0a >,所以.43202a +≤ 综上所述,a 的取值范围为 4320,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦----------8分 (3)若12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+可化为2ln (1)(1)b x x x x --+-=. 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解, 即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域因为2()(ln )g x x x x x =+-,令2()ln h x x x x =+-,则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-= ,所以当01x <<时'()0h x >,从而()h x 在()0,1上为增函数, 当1x >时'()0h x <,从而()h x 在()1,+∞上为减函数, 因此()(1)0h x h ≤=.而0x >,故()0b x h x =⋅≤,因此当1x =时,b 取得最大值0 -----14分．。
2015年高考冲刺压轴江苏卷数学(二)
2015高考冲刺压轴卷（江苏）试卷二数学I一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．(2015·乌鲁木齐第二次诊断性测验·3）若角α的终边过点P （-3,-4）,则cos )2(απ-的值为 ．2.（2015·安徽“江淮十校”二模·2）已知f(x)=x 3-1,设i 是虚数单位．则复数()f i i的虚部为 ．3.（2015·安徽合肥二次教学质量检测·3）抛物线y ＝－42x 的准线方程为 ．4．（2015·江西省八所重点中学高三4月联考试题．1）已知集合{}022<--=x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则=⋂B A ．5．(2015·合肥市高三第二次教学质量检测·8)如图所示的程序框图的输出结果是 ．6．(2015·泰州市第二次模拟考试·3)某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ．7．（2015·成都第二次诊断性检测·13）已知三棱柱AB-A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂蚁从A 点沿侧面经过棱BB 1上的点N 和CC 1上的点M 爬到点A 1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短时，直线MN 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．8.（2015·安徽合肥二模·9）已知x ，y 满足10102x y x y y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩时．则251x y x ++-的取值范围是 ．9.（2015·黑龙江省哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试·8）在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b +=表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 ．10．（2015．洛阳市高中三年级第二次统一考试·10）已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP uu u r ＝34BC uu ur －23BA uu r ，则△PBC 与△ABC 的面积的比为 ．11.（2015．安徽省“江淮十校”高三4月联考·8）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=2log (1),0(1)20x f x x x x f -≤⎧⎨--⎩->（）,，则f （2015）的值为 ． 12.（2015·银川一中第二次模拟考试·12)设双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，163=λμ，则该双曲线的离心率为 13.(2015·南京市．盐城市第二次模拟考试·12）在平面直角坐标系xoy 中，已知⊙Ｃ：22(1)5x y +-=，Ａ为⊙Ｃ与x 负半轴的交点，过A 作⊙Ｃ的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA=OM,则直线AB 的斜率为 ．14.（2015．洛阳市高中三年级第二次统一考试·16）已知正项数列{n a }的前n 项和为n S ，对n ∀∈N ﹡有2n S ＝2nn a a ＋．令n b 设{n b }的前n 项和为n T ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为_____________．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.（2015·揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试·16）已知函数()s i n ()6f x A xπω=+(00)A ω>>，的部分图象如图示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值； (2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值．16.（2015·上海奉贤区二模调研测试·20）三棱柱111C B A ABC -中，它的体积是315，底面ABC ∆中，090=∠BAC ,3,4==AC AB ,1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点．（1）求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小； （2）求异面直线D B 1与1CA 所成角的大小．1A17.（2015·安徽“江淮十校”4月联考·21）已知椭圆E：22221x ya b+=（a>b>0）的一焦点F在抛物线y2=4x 的准线上．且点M（1．2-2-）在椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）过直线x= -2上一点P作椭圆E的切线．切点为Q．证明：PF⊥QF。
天津市2015届高考压轴数学文科试题(有答案)
2015天津高考压轴卷数学文科试卷一、 选择题：(每题5分，共40分)1.i 是虚数单位，复数534ii+-=（ ）A ．1-i B.-1+ i C.1+ i D.-1-i2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为( )A.-5B.-4C.-2D.33.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A.8B.18C.26D.804.已知命题P:“1xy>”,命题q:“0x y >>”,则p 是q 的( )（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.在下列区间中,函数()=+4-3x f x e x 的零点所在的区间为（ ）A ．(1-4,0) B ．(0,14) C ．(14,12) D ．(12,34)6.将函数sin 3cos y x x =-的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图像关于y 轴对称,则a 的最小值为( ) A ．π6 B ．π2 C ．7π6 D ．π37.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ． c a b <<8.已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][)10,-∞-⋃+∞ B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．),1[]0,(+∞⋃-∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.若集合{}1≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x A ,则B A ⋂=_____________.10.如图,PA 是圆O 的切线,切点为A ,2PA =,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,1PB =,则圆O 的半径R 等于________.11 ．某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 .12.已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为222(3be e 为双曲线C 的离心率），则e 的值为 13.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则+m 1n2的最小值为 。
2015新课标1高考压轴卷 数学(理) Word版含解析
2015新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤= A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） .A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤ 3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ）A ．0≤kB ．0>kC ．0≥kD ． 0<k4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立， 且()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的单调递增区间是 A ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ错误！未找到引用源。
B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ2错误！未找到引用源。
5．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 （ ）A．[- B ．[6,6]- C．[-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为B A .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ）A ．3B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1FM 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN=，则曲线1C 的离心率为A.B.111211、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ）AB ．９C ．８D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13已知nxi x)(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________.14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.18.如图，在三棱柱错误！未找到引用源。
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2015年高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全1.(本小题满分14分)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：(2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2.(本小题满分12分)设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，②且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+).于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N(1，3)是AB的中点，又由N(1，3)在椭圆内，的取值范围是(12，+).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN||DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由(Ⅱ)解法1及12,∵CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明ACAD)3.(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有，写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.(Ⅰ)证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时，由知不等式成立.(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得(Ⅱ)有极限，且(Ⅲ)∵则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P为l上的动点，求F1PF2最大值.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则(Ⅱ)5.已知函数和的图象关于原点对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)解不等式;(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上(Ⅱ)由当时，，此时不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.(Ⅲ)①②ⅰ)ⅱ)6.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)g(x)当xDf且xDg规定:函数h(x)=f(x)当xDf且xDgg(x)当xDf且xDg若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),其中是常数,且[0,],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解](1)h(x)=x(-,1)(1,+)1x=1(2)当x1时,h(x)==x-1++2,若x1时,则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时,则h(x)0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0]{1}[4,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,=,g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x..(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,,AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),={2,4}.(2)∵={2,4},f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若36,则0x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当14时,则36,y+4=lg(x-1).当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)=,由于,得13分)如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线，3分(II)双曲线C的方程为：7分(III)由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范围是(0，1)13分2.(本小题满分13分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：(I)1分将这n个式子相加，得3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为16分(III)设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分(IV)设，即则显然，其极限存在，并且10分注：(c为非零常数)，等都能使存在.19.(本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为4分(II)设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3.(本小题满分13分)已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都成立(II)当时，高考数学压轴题大全(含答案、解析)精心整理，仅供学习参考。