2015高考数学压轴题
2015湖北高考压轴卷数学(理)(Word版含详细答案)
2015湖北高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合1{|0}3x P x x -=>+，{|Q x y ==A ．B ．C ．D ．2.设复数z 的共轭复数为，若，则的值为A.1 B ．2 C ．D ．43.的展开式中，二项式系数的最大值为A ．5B ．10C ．15D ．204.已知是周期为2的奇函数，当时，设6()5a f =,35()22b fc f ==（），则( )A.B.C.D.5.已知是半径为5的圆的内接三角形，且若则的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．6.若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 37.A.-2B.32C.1D.328.如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为. . . .9.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F 的直线（斜率存在）交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是A. 05（，B. 5（）C. 7（）D.07（， 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(一)必考题（11～14题）11.设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99．则d= ；a n = ；数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n= ．12.已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱，，，它们合成后的电流瞬时值的函数的部分图象如图所示，则，．13.执行如图所示的流程图，则输出的n 为 ．14.设函数的定义域为R ，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数：①；②2+2f （x)=x ；③22()25xf x x x =-+；④是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切均有1212|)()4||f x f x x x -≤-（.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.（二）选考题（请考生在第15,16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.（本小题满分10分）已知函数的图象与的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）在中，，且，求的周长的最大值。
2015年高考北京卷数学_理科_压轴题的背景是数学黑洞问题_甘志国
学生的薄弱环节， 当然学生的薄弱环节， 需要集中时 间打歼灭战， 更需要进一步巩固和扩大战果， 有时需 要打持久战． 4．4 养成好的习惯， 是数学教师不可推卸的责任 教育的本质是习惯的养成． 数学教师在这方面有 不可推卸的责任， 作为数学教师， 应该明确在高一、 高 二、 高三， 培养学生的哪些习惯， 尤其是结合数学学科 特点， 哪些习惯更好养成， 哪些习惯需要在1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
数列｛ a n ｝ 8， 16， 32， 28， 20， … 16， 32， 28， 20， … 3， 6， 12， 24， 12， 24， … 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 5， 10， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 6， 12， 24， 12， 24， … 7， 14， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， … 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， … 9， 18， 36， 36， … 4， 8， 16， 32， 28， … 8， 16， 32， 28， 8， 20， 4， … 12， 24， 12， 24， … 16， 32， 28， 8， 20， 4， 8， … 20， 4， 8， 16， 32， … 15， 30， 24， 12， 24， 12， … 28， 20， 4， 8， … 32， 28， 8， 20， 4， 8， 16， … 18， 36， 36， … 19， 2， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， … 21， 6， 12， 24， 12， 24， … 22， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 8， 20， 4， … 20， 4， 8， 16， 32， 28， … 24， 12， 24， 12， … 28， 20， 4， 8， 16， 32， … 32， 28， 20， 4， 8， …
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
2015广东省高考压轴卷 理科数学 Word版含解析
2015广东省高考压轴卷理科数学一、 选择题（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）1、复数12i -+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2、已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x | | x | <2 }，则A ∩B 等于A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}3、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. cos y x = C.x y tan = D . ln y x =4、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos2B =（ ） ABC ．31D ．13-5、一空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为. （ ） A.2 B.32 C 4 D. 346、执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A.161587≤<P B. 1615>P C. 161587<≤P D. 8743≤<P 7、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．CD ．38、称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→②≠→a →b ③ 对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ,则（ ）A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ） B .→b ⊥（-→a →b ） C . →a ⊥→b D .→a ⊥（-→a →b ） 二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上） （一）必做题(9～13题)9、函数f(x)=12x -2++x 的定义域是图110、由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为11、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．12、定义R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=2x，则f （2015）=13、若关于x ，y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010x y kx x y 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是______(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=-=121t y t x （t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，设曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点，则|AB|的值为15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题16、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边, 面积C S cos ab 23= (1) 求角C 的大小； (2)设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求成绩在区间[80，90）的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．B18、（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 19、（本小题满分14分）已知函数22()(0)2x a f x a x +=>,数列{n a }满足13a a =,1()n n a f a +=,设)(+∈+-=N n aa a ab n n n ,数列{n b }的前n 项和为n T . (1)求12,b b 的值;(2)求数列{n b }的通项公式; (3)求证:87<T n20、（本小题满分14分）已知焦点为F ,准线为l 的抛物线Γ：22(0)x py p =>经过点(-，其中,A B 是抛物线上两个动点，O 为坐标原点。
15年山东理数压轴题的另解
15年山东理数压轴题的另解2015年山东省理科数学压轴题为：21.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x)，其中a∈R。
（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若任意x>0,f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。
此题粗看是比较平常的导数问题，但实际做起来难度比较大。
参考答案第一问是求导函数后通分，通分后对其分子进行讨论，讨论比较繁琐。
而笔者通过观察后认为，如果不进行通分，直接借助数形结合的思路来研究问题，会比较方便。
求导数后得：f′(x)=1+a(2x−1)(x>−1)这里通分后分子变成关于x的二次函数（a不为0时），进行讨论比较繁琐。
但我们如果不着急通分的话，可以看成f′(x)=1−（−a）(2x−1)(x>−1)即考虑研究(−1，+∞)内函数g(x)=1x+1及ℎ(x)=(−a)(2x−1)的关系，我们可以采用数形结合的思路。
前者是双曲线的一只，后者是过点(12，0)的直线。
如图，a的值不同时，在同一坐标轴上作出两函数的图像，有下列几种情况。
图2这里直线刚好和这一支双曲线相切。
当直线斜率为负或零，倾斜角再大些的时候为图1的情况，此时函数()g x一直在()h x上方；当直线斜率为负，倾斜角再小些的时候为图3的情况，此时直线和双曲线有两个交点，这表明导函数有两个零点，且这两个零点左右邻域的导数异号，这说明原来函数有2个极值点。
直线斜率为正时，为图4的情况，直线和双曲线的这支只有一个交点，这表明导函数有一个零点且这个零点左右邻域的导数异号，即原来函数有1个极值点。
因而利用此思路可以很简便地获知极值点的个数。
只要求得相切时切线斜率就行了。
（i ）解：f ′(x )=1+a (2x −1)=1−（−a ）(2x −1)(x >−1) 令1()(1),()(21)(1).1g x xh x a x x x =>-=-->-+则'()()()f x g x h x =-当0a ->时，即0a <时，()g x 是减函数，()h x 为增函数，而11022g h ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x 趋于无穷大时()g x 趋于0，因而它们的图像必有且仅有一个交点，设其横坐标为x 0，则0'()0f x =，且当01x x -<<时，'()()()0f x g x h x =->；当0x x >时，'()()()f x g x h x =->.因而函数()f x 有且仅有极值点x 0，即极值点个数为1. 当0a =时显然函数()f x 没有极值点，极值点个数为0.当0a >时，令()()g x h x =，得2210ax ax a --+-=.令28(1)0,a a a =+-=有89a =，此时和()h x 的图像刚好相切。
浙江省2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M=（ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2}2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．已知向量=（3cos α，2）与向量=（3，4sin α）平行，则锐角α等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A ． 若a ∥α，a ∥β，则α∥βB ． 若α∩β=a ，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥γC ． 若a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，c ⊥b ，则α⊥βD ． 若α∩β=a ，c ⊂γ，c ∥α，c ∥β，则a ∥γ5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ） A ．10 B ．17 C ．26 D ．286．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx x f ,则下列说法错误的是 （ ）A ． 函数f(x)的周期为2πB ． 函数f(x)的值域为RC ． 点（6π，0）是函数f(x)的图象一个对称中心D ．23()()55f f ππ< 7.已知5250125(),a x a a x a x a x -=++++若2012580,a a a a a =++++则= （ ）A ．32B ．1C ．-243D ．1或-2438．已知a 、b 都是非零实数，则等式||||||a b a b +=+的成立的充要条件是 （ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．1ab≥ D ．1a b≤ 开始 S =1，i =1结束i =i +2i >7输出S 是否S =S +i9．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象经过区域6020360x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则a 的取值范围是（ ）A ．(31,3⎤⎦B ．(33,2⎤⎦C ．)33,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞10．作一个平面M ，使得四面体四个顶点到该平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面M 共能作出（ ▲ ）个．A ．4 B. 8 C. 16 D.32二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11.已知双曲线：221916x y -=，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _ 焦点到渐近线的距离为__ _．12.在ABC ∆中，若1,3,AB AC AB AC BC ==+=，则其形状为__ _，BA BC BC=__（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）； 13.已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为 __ _．14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.15．若,,A B C 都是正数，且3A B C ++=，则411A B C +++的最小值为 16．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为 ．17．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = ．.22221122 1221正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 18．已知函数f （x ）=1﹣2sin （x+）[sin （x+）﹣cos （x+）]（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈[﹣，]，求函数f （x+）的值域．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 等比数列，满足222112233,,.b a b a b a ===（I ）求数列{}n b 公比q 的值；（II ）若2121a a a =-<且，求数列{}n a 公差的值；20.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
2015江苏高考数学压轴卷范文
(图1)2015江苏高考数学压轴卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值3.右为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPD 图417.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．公 路HG F E DC B A图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．（第22题）。
2015高考数学压轴题大全
2015年高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全1.(本小题满分14分)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：(2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2.(本小题满分12分)设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，②且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+).于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N(1，3)是AB的中点，又由N(1，3)在椭圆内，的取值范围是(12，+).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN||DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由(Ⅱ)解法1及12,∵CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明ACAD)3.(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有，写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.(Ⅰ)证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时，由知不等式成立.(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得(Ⅱ)有极限，且(Ⅲ)∵则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P为l上的动点，求F1PF2最大值.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则(Ⅱ)5.已知函数和的图象关于原点对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)解不等式;(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上(Ⅱ)由当时，，此时不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.(Ⅲ)①②ⅰ)ⅱ)6.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)g(x)当xDf且xDg规定:函数h(x)=f(x)当xDf且xDgg(x)当xDf且xDg若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),其中是常数,且[0,],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解](1)h(x)=x(-,1)(1,+)1x=1(2)当x1时,h(x)==x-1++2,若x1时,则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时,则h(x)0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0]{1}[4,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,=,g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x..(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,,AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),={2,4}.(2)∵={2,4},f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若36,则0x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当14时,则36,y+4=lg(x-1).当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)=,由于,得13分)如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线，3分(II)双曲线C的方程为：7分(III)由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范围是(0，1)13分2.(本小题满分13分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：(I)1分将这n个式子相加，得3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为16分(III)设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分(IV)设，即则显然，其极限存在，并且10分注：(c为非零常数)，等都能使存在.19.(本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为4分(II)设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3.(本小题满分13分)已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都成立(II)当时，高考数学压轴题大全(含答案、解析)精心整理，仅供学习参考。
2015年高考理科数学全国卷I压轴题解法赏析
12015年高考理科数学全国卷I 压轴题解法赏析题目 已知函数31(),()ln 4f x x ax g x x =++=-．(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （II ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数.本题主要考查了导数的综合应用，其中利用导数研究已知函数的图像与性质是解决此类问题的突破口，而常用方法是分类讨论与分离变量，本题虽然形式上引入了符号{}min ,m n ，但解题的思路方法仍然不变．第(Ⅰ)题利用导数性质容易得出34a =-，下面本文给出第（II ）题的两种不同解法．解法一（分类讨论，研究()h x 的图像性质）： 由()ln 0g x x =-=得1x =，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．又2()3(0)f x x a x '=+>，注意到1(0)04f =>． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，如图1，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0a <时，令()0f x '=，得x =，于是()f x在上是减函数，在)+∞是增函数，min1()4f x f ==．当0f >即304a -<<时，102<<，如图2，()h x 在(0,)+∞上只有1个零点．当0f =即34a =-时，12=，如图3，2()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当0f <即34a <-时，5(1)4f a =+．若(1)0f >，即5344a -<<-时，1012<<<，如图4，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．若(1)0f =，即54a =-1=<，如图5，()h x 在(0,)+∞上有2个零点．若(1)0f <，即54a <->，如图6，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述，当54a <-或34a >-时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点；当54a =-或34a =-时，()h x 在(0,)+∞上有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 在(0,)+∞上有3个零点．解法二（分离变量，讨论()f x 的零点分布）：注意到(1)ln10g =-=，即()g x 在(0,)+∞上有且只有1个零点．下面研究()f x 在(0,)+∞上零点的个数，进而得到()h x 在(0,)+∞上零点的个数．由31()04f x x ax =++=得21,04a x x x =-->．令21(),04x x x xϕ=-->，则 3281(),04x x x xϕ-+'=> 由()0x ϕ'=，得12x =，令()0x ϕ'>，得102x <<，令()0x ϕ'<，得12x >，故max 13()()24x ϕϕ==-，又0x →+或x()x3x →+∞时，()x ϕ→-∞，因此()x ϕ的图像如图7，注意到5(1)4ϕ=-．当34a >-时，()f x 无零点，而5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，()h x 在(0,)+∞上有1个零点．当34a =-时，()f x 有1个零点12， 1()02f =，11()ln 022g =->，故1111()min (),()()02222h f g f ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当5344a -<<-时，()f x 有2个零点，设为1x ，2x ，则12110,122x x <<<<，12()()0f x f x ==，12()0,()0g x g x >>，故{}1111()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}2222()min (),()()0h x f x g x f x ===．又5(1)04f a =+>，(1)0g =，故{}(1)min (1),(1)(1)0h f g g ===，所以()h x 在(0,)+∞上有3个零点．当54a =-时，()f x 有2个零点，一个为1，，另一个设为3x ，3102x <<，3(1)()0f f x ==，3()0g x >，(1)0g =，故{}3333()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}(1)min (1),(1)0h f g ==，所以()h x 在(0,)+∞上有2个零点．当54a <-时，()f x 有2个零点，分别设为45,x x ，不妨设4501,1x x <<>，45()()0f x f x ==，5(1)04f a =+<，4()0g x >，5()0g x <，(1)0g =，故{}4444()min (),()()0h x f x g x f x ===，{}5555()min (),()()0h x f x g x g x ==<，{}(1)min (1),(1)(1)0h f g f ==<，所以()h x 在(0,)+∞上有1个零点．综上所述（同上）．点评：以上两种解法都引入了数形结合的思想，通过研究函数的性质画出函数图像，又根据函数图像探究函数性质（零点个数），“数”的推理严谨，“形”的呈现直观，“数”与“形”交相辉映，相得益彰．。
2015高考数学压轴题
2015高考数学压轴题 2015高考数学压轴题1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+ ()222222212123222221322222a a b a c x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为： ………………………………（4分） 对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a a b c a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为： ………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+。
2015届广东省高考压轴卷理科数学
2015广东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}5,4,3,1,0,2{=U ，集合}2,4,3,0{=A ，{}4,3,2,1,0=B ，则)(B A C U ⋂＝A ．}2,4,3,0{B ．}2,0{C ．}5,1{D ．}5,1,0,2{2．设i 为虚数单位，复数()21z i =++2，则z 的共轭复数为A ．2i -B ．2iC ．22i -D ．22i +3．已知向量a =(1,-1)则下列向量中与向量a 平行且同向的是 A ．（2,-2） B ．（-2,2） C.（-1, 2）D ．（2, -1）4．已知实数y x ,满足不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩若z=x-y ，则z 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．65．抛物线218y x =上到焦点的距离等于10的点的坐标为 A ．(-8, 8) B ．(8, 8)C ．(-8, -8) 或(8, -8)D ． (-8, 8) 或(8, 8)6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100)的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为 A ．820 B ．720 C ．620 D ．5207．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积 不可能．．．等于A ．2B ．2.5C ．1-D ．1-8．若'1(ln )ln 1,ln e x x x x a xd =+=⎰，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++被10除得的余数为A ．3B ．1C ．9D ．7二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式13-x ＞x 的解集是 .10．2y x kx =-，在1x =处的切线与1y x =+垂直，则k 的值是 . 11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是 . 12．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c b A B c C B a 2cos sin 2cos sin 2=+且a b >,则B ∠=________．13．在正项等比数列｛n a ｝中，=⋅+⋅7263a a a a 42e 则81ln ln a a ⋅的最大值为 .（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x y -=与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中AB=4为直径，，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1=AD ，θ=∠ACD ，则θcos =______．ODECBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知)32sin()(π+=x x f（1）求)2(π-f 的值．（2）若θ为锐角，33)2()2(=-+θθf f ，求θtan 的值． 17．（本小题满分12分）测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3． （1）求a 的值；（2）若重量在(]25,35，(]35,45中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在(]35,45中需取出几尾？（3）从大量马口鱼中机抽取3尾，其中重量在(]5,15内的尾数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.a 图3重量/克0.0320.02452515O18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形， PA ^面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 若 PA=AB,求证：AN ⊥平面PBC（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.图4M NBCDA P19. （本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，214n n s a +=-4n-1,n N *∈． （1）求23,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：n N *∈，有122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++<12．20．（本小题满分14分）若在平面直角坐标系中，已知动点M 和两个定点()1F ，)2F ,且124MF MF +=()1求动点M 轨迹C 的方程；()2设O 为坐标原点，若点E 在轨迹C 上，点F 在直线2y =-上，且OE OF ⊥，试判断直线EF 与圆222x y +=的位置关系，并说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈.(1)若0a =，判断()f x 的单调性．(2)若()y f x =在[4,)+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+有实根,求实数b 的最大值.2015广东省高考压轴卷数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题 1. 【答案】C解析 由}5,4,3,1,0,2{=U ，}2,4,3,0{=⋂B A 则)(B A C U ⋂=}5,1{ 2. 【答案】C解析 ()21z i =++2=2i +2=2+2i 所以z 的共轭复数是22i - 3. 【答案】A（解析 2,-2）=2（1，-1）所以选A 4. 【答案】A解析作出不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩所对应的可行域变形目标函数y=x-z平移直线y=x-z 可知，当直线经过点（3，0）时，z 取最大值， 代值计算可得z=x-y 的最大值为3 5. 【答案】D解析 可以化为x 2=8y,的 准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x 2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8） 6. 【答案】A.解析 由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)501000A A +=+⨯⨯=180,故s=1000-180=820，选A.7.【答案】D解析 因为正视图最小值为他的一个侧面122⨯=，最大值为对角面2=正视图取值范围为2,⎡⎣，而1-不在范围内.8. 【答案】B 解析由'1(ln )ln 1,ln ex x x x a xd =+=⎰，可知'(ln )ln x x x x -=，所以11ln (ln )1,1e ex xd x x x a ⎰=-==，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++=100100(2)3a +=，10050505049148249495050505039(101)10101010(1)(1)C C C ==-=-++---+-+-所以余数为1． 二．填空题9. 【答案】),21()41,(+∞⋃-∞ 解析原不等式等价于3x-1＞x 或3x-1＜-x 可得答案),21()41,(+∞⋃-∞10. 【答案】3解析 导函数为y ’=2x-k 又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1 所以k=3 11. 【答案】15解析因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为2411205= 12. 【答案】45° 解析b A Bc C B a 2cos sin 2cos sin 2=+根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22sinB, sinAcosC+cosAsinC=22 Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB=22又a b >所以A ﹥B 所以B=45° 13．【答案】4 解析由等比数列性质知4817263e a a a a a a =⋅=⋅=⋅，81ln ln a a ⋅4)2ln ()2ln ()2ln ln (24281281===+≤e a a a a 当281e a a ==时取等号． 14．【答案】)4,2(π-或其他形式解析y=-x 与圆1)1(22=+-y x 交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为)4,2(π-．15．【答案】23解析根据弦切角定理得，BCA ∆与CDA ∆相似，所以ACAC AC AD AB AC 14,==， 2,42==AC AC 在直角三角形ACD 中可得3=CD ，θcos =23三．解答题 16. 解：（1）)2(π-f =233sin)3sin(-=-=+-πππ---4分 （2） 3cos)2sin(3sin2cos 3cos2sin )32sin()32sin()2()2(πθπθπθπθπθθθ-++=+-++=-+f f +332cos 33sin2cos 23sin)2cos(===-θπθπθ 所以312cos =θ，θ2cos 2-1=31 又θ为锐角，所以36cos =θ，33cos 1sin 2=-=θθ，所以 22cos sin tan ==θθθ……………12分 17．解：(1)由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，解得0.03x =. ……………2分 （2）(]25,35 ，(]35,45 频数分别30个和18个，按分层抽样知 (]35,45中取18848⨯=3个……………4分 （3）利用样本估计总体，马口鱼重量在(]5,15内性成熟的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：--------------11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18.解： （1）证明：PA ^面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ^ 又ABCD 为正方形，BC AB ⊥又,.PAAB A PA AB =⊂面PAB ∴BC ⊥面PABAN ⊂面PAB ，∴BC AN ⊥，又PA=AB, 点N 是PB 的中点, ∴AN PB ⊥且,.PBBC B PB BC =⊂平面PBC ∴AN ⊥平面PBC----------4分（2）∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3(3,,0)2AM =设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又(0,0,1)m =是平面AMB 的一个法向量，cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅∴二面角N AM B --. …………… 14分 19.解：（1）由214n n s a +=-4n-1得421241s a =--因为n a ﹥0，11a =，所以2a =所以23,a =据而可得35a =--------2分． （2）214n n s a +=-4n-1-----（1）当n 2≥，2144(1)1n n s a n -=--------（2）由（1）-（2）得22144,n n n a a a +=--即221(2)(2)n n a a n +=+≥ 因为n a ﹥0，所以112,2(2)n n n n a a a a ++=+-=≥又212a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以n a =21n -.-----------8分（或用数学归纳法）（3）11111111(),1(21)(21)22121n n n n a a a a n n n n ++<==-+-+-+所以122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++1111111111(1)(1)23352121221242n n n n <-+-+---+-=-=--+++<12-------------14分．20解：（1）由题意知：12124MF MF F F +=>=所以，由椭圆的定义可知：动点M 运动的轨迹是: 以1F ，2F 为焦点，长轴长为4，焦距为22的椭圆，且短半轴长为()22222=-所以轨迹C 的方程为12422=+y x -----4分（2）直线EF 与圆222=+y x 相切．证明如下：设点(,)E m n ，(,2)F t ，显然其中0≠m , 因为OE OF ⊥，，所以0OE OF =，即20tm n -=，所以2nt m=①直线EF 的斜率不存在时，即t m =时，22t n =，代入椭圆方程可得：222242t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得：2±=t ，此时直线EF 的方程为2=x 或2-=x ，显然与圆222=+y x 相切.②当直线EF 的斜率存在，即t m ≠时，直线EF 的方程为：22()n y x t m t++=--，即(2)()20n x m t y m tn +----=……(9分) 此时，圆心)0,0(O 到直线EF的距离d =又因为4222=+n m ，2n t m=所以d ===4422222222++++mnn m m n m =4282442222222+-+-+-+mmm m mm m=2216842242=+++m m m m m ，所以，直线EF 与圆222=+y x 相切．综上，直线EF 与圆222=+y x 相切．……(14分)21.解:（1）若0a = 则32()3x f x x =-所以当0a =时,'()(2)f x x x =-,当'()(2)f x x x =- ﹥0得2x >或0x < 当'()(2)f x x x =-0时得02x <<，所以()f x 的单调增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)．------3分．(2)因为()f x 在区间为[4,)+∞上增函数,所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区[4,)+∞上恒成立当0a =时,'()(2)0f x x x =-≥在[4,)+∞上恒成立,所以()f x 在[4,)+∞上为增函数,故0a =符合题意当0a ≠时,由函数()f x 的定义域可知,必须有210ax +>对4x ≥恒成立,故只能0a >, 所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在恒成立 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+,其对称轴为114x a=-, 因为0a >所以1114a-<,从而()0g x ≥在[4,)+∞上恒成立,只要(4)0g ≥即可, 因为2(4)41620g a a =-++≥≤因为0a >,所以.02a ≤综上所述,a 的取值范围为 ⎡⎢⎣----------8分 (3)若12a =-时,方程()31(1)3x b f x x --=+可化为2ln (1)(1)b x x x x--+-=. 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解,即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域因为2()(ln )g x x x x x =+-,令2()ln h x x x x =+-,则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=, 所以当01x <<时'()0h x >,从而()h x 在()0,1上为增函数, 当1x >时'()0h x <,从而()h x 在()1,+∞上为减函数, 因此()(1)0h x h ≤=. 而0x >,故()0b x h x =⋅≤,因此当1x =时,b 取得最大值0 -----14分．。
福建省2015届高考压轴卷数学理试题word版 含答案
第5题图2015福建省高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U NM =ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()t a n f x x =；③()s i n .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ）A ．45- B ．35- C ．35 D ．455．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A.1007 B.1008 C.2013 D.20146．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）7.已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )俯视图侧视图正视图2222A ．20 B.22 C.24 D. 36 9．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ） A ．123+ B. 322+ C. 25+ D. 222+ 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ 则下列说法正确的个数是( )①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．5 B. 4 C ．3 D. 2二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）11．已知4234012342421111(1)()()(),a a a a a a a xx x x x-=+++++=则___ ． 12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b ，则方程2ba x x=-有实数根的概率是___ ．13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.14．若x a x x a 21sin ≤≤对任意的]2,0[π∈x 都成立，则12a a -的最小值为 ．15．如图，A 是两条平行直线之间的一定点，且点A 到两条平行直线的距离分别为1,3AM AN ==。
2015年海南省高考数学压轴试卷(理科)【解析版】
2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣92．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝03．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x 5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．26．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±18．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．910．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.812．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A 且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣9【解答】解：∵M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，∴M中的复数必须为实数，即m﹣3＝0，解得：m＝3．故选：A．2．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝0【解答】解：y＝sin x的导数为y′＝cos x，正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线斜率为k＝cos＝，即有切线方程为y﹣＝（x﹣），即为x﹣2y+﹣＝0．故选：B．3．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}【解答】解：因为向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，所以＝2（x+2）+6（x+1）＝8x+10＞0，得到x＞，又不共线，所以2×6﹣（x+1）（x+2）≠0，则x≠﹣5且x≠2，所以实数x的取值范围为{x|x＞﹣且x≠2}；故选：A．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x【解答】解：因为e＝，所以，而焦点在y轴上的双曲线的渐进线方程为：y＝，所以该双曲线的渐进线方程为：y＝±x．故选：B．5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．2【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C．6．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n或相交或异面，因此不正确；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，根据线面垂直、面面平行的判定定理可知：α∥β，正确；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，因此不正确．综上只有③是正确的，故选：C．7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．8．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③【解答】解：对于①命题的否定为：“∀x∈R，x2+x+1≠0”；所以①不正确；对于②A∩（∁R B）＝{x|x＞0}＝A；所以②正确；对于③由（m+2）（m﹣2）﹣3m（m+2）＝0，得m＝﹣2或；所以③不正确；对于④抛物线的标准方程为x2＝﹣2（）y，由准线方程为：y＝1，可得，即a＝﹣．所以④正确；故选：A．9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．9【解答】解：∵a＝3n，∴a＝3×1＝3，若a 1＝1，则a＝a1＝1，与a＝3×1＝3矛盾，若a 1≥3，则a≥a3，而a＝3，所以3≥a3，即a1≥a3与数列{a n}递增矛盾，于是a 1＝2，得a＝a2＝3×1＝3，a2＝3，a＝a 3＝3×2＝6，a＝a 6＝3×3＝9，而a3＜a4＜a5＜a6∵递增数列{a n}各项均是正整数∴a4＝7，a5＝8，所以a5＝8．故选：C．10．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③【解答】解：（1）①③⇒②④：由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin （2x+φ），∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴＝±1，∵﹣＜φ＜，∴＜φ+＜，∴只可能φ+＝，解得φ＝．∴f（x）＝，∴＝sinπ＝0，因此f（x）的图象关于点（，0）对称，即②正确；若x∈[﹣，0），则∈，因此函数f （x）在区间[﹣，0）上是增函数，即④正确．因此①③⇒②④．（2）②③⇒①④．由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（，0）对称，∴＝sin＝0，∵﹣＜φ＜），∴φ＝．∴f（x）＝．由＝＝1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称．由（1）可知，f（x）在区间[﹣，0）上是增函数．综上可知：②③⇒①④．综上可得：A正确．故选：A．11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.8【解答】解：设3元、5元、8元门票的张数分别为a，b，c，则有，整理得，x＝19.2﹣（5a+3b）≤19.2﹣2＝13.2（万元）．当且仅当时等号成立，解得，a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8．由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．故选：C．12．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：根据题意，由+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），得+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），即﹣＞0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．故选：B．二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1]．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．【解答】解：区域Ω是不等式组表示的平面区域如图三角形区域OEF，面积为；A是不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，面积为＝4，由几何概型公式可得点P落入区域A的概率为：；故答案为：．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0解得，y＝﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S＝＝＝．故答案为：．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现6次．【解答】解：第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i＝1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝j+1+（i﹣1）×j＝ij+1．令A ij＝ij+1＝2010，即ij＝2009＝1×2009＝7×287＝41×49＝49×41＝287×7＝2009×1，故表中2010共出现6次．故答案为6．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；50x＝1﹣（++++）×50＝1﹣×50＝，解得x＝；（2）空气质量为良与轻微污染的频率和为×50+×50＝，∴一年中空气质量为良和轻微污染的总天数为365×＝219；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为×50+×50＝＝；则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1﹣＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面P AC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面P AC，EF⊂平面P AC∴EF||平面P AC（3）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥P A∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD∵AF⊂平面P AD∴AF⊥DC∵P A＝AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD＝D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q 在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．【解答】解：（1）由条件可知因为，所以（4分）（2）由（1）可知，所以从而M（c，0）．半径为a，因为，所以∠EMF＝120°，可得：M到直线l的距离为．所以c＝2，所以椭圆方程为．（8分）（3）因为点N在椭圆内部，所以b＞3．（9分）设椭圆上任意一点为K（x，y），则．由条件可以整理得：y2+18y﹣4b2+189≥0对任意y∈[﹣b，b]（b＞3）恒成立，所以有：或者解之得：（13分）20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．【解答】解：（1）因为k＝7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+6d），整理得a1＝2d，又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，b n＝b1×q n﹣1＝2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得a n b n的前n项和为T n＝n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n}的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以．所以（2）由（a1+2d）2＝a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2＝a1d（k﹣5），因为d≠0，所以，所以．因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，所以，又在正项等差数列{a n}中，，所以，又因为a1＞0，所以有2[4+（m﹣1）（k﹣5）]＝（k﹣3）3，因为2[4+（m﹣1）（k﹣5）]是偶数，所以（k﹣3）3也是偶数，即k﹣3为偶数，所以k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）＝a2x2，所以f′（x）＝2a2x，令f′（x）＝2a2x ＝1得：，此时，则点到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，即，解之得a＝或；（2）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）＝1＞0且h（1）＝﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故解之得．（3）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即，由在x∈R恒成立，则在x∈R恒成立．所以成立，因此．下面证明恒成立．设，则．所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此时G（x）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【解答】证明：（1）∵DE2＝EF•EC，∴DE：CE＝EF：ED．∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED．∴∠EDF＝∠C．∵CD∥AP，∴∠C＝∠P．∴∠P＝∠EDF．（2）∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE＝EF：EA．即EF•EP＝DE•EA．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA＝CE•EB．∴CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ所以x2+y2＝6x即（x﹣3）2+y2＝9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r＝3所以弦长AB＝＝．∴弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|和y＝5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，即a≥﹣3．。
高考数学压轴题专练
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作题型突破练——压轴题专练压轴题专练(一)建议用时：40分钟1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a －22＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x22＋y 2＝1.(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.② 由PB →＝3P A →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2.不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －23，则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.又B (0,1)，∴圆的半径r ＝103.∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝ [ax 2＋(a －1)x －a ]e x .依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．故实数a 的取值范围是[0,1]．(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0＜a ＜1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a ＞0.a ．当1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.b ．当1－a 2a ＜1，即13＜a ＜1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a＝2a e 1－a2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13＜a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1＜a ＜1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e. 3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：①BE ＝EC ； ②AD ·DE ＝2PB 2.(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. ①求C 2的参数方程；②在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.(3) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|(m ∈R )．①当m ＝5时，求不等式f (x )≤12的解集；②若不等式f (x )≥7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)证明：①∵PC ＝2P A ，PD ＝DC ，∴P A ＝PD ，△P AD 为等腰三角形．连接AB ，则∠P AB ＝∠DEB ＝β，∠BCE ＝∠BAE ＝α， ∵∠P AB ＋∠BCE ＝∠P AB ＋∠BAD ＝∠P AD ＝∠PDA ＝∠DEB ＋∠DBE ，∴β＋α＝β＋∠DBE ，即α＝∠DBE ，即∠BCE ＝∠DBE ，所以BE ＝EC .②∵AD ·DE ＝BD ·DC ，P A 2＝PB ·PC ，PD ＝DC ＝P A ， BD ·DC ＝(P A －PB )P A ＝PB ·PC －PB ·P A ＝PB ·(PC －P A )， PB ·P A ＝PB ·2PB ＝2PB 2.(2)①设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos αy 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α(α为参数)． ②曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(3)①当m ＝5时，f (x )≤12即|x －5|＋|x ＋6|≤12， 当x ＜－6时，得－2x ≤13， 即x ≥－132，所以－132≤x ＜－6；当－6≤x ≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x ≤5； 当x ＞5时，得2x ≤11，即x ≤112，所以5＜x ≤112.故不等式f (x )≤12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－132≤x ≤112.②f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|≥|(x －m )－(x ＋6)|＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≥7，则m ＋6≥7或m ＋6≤－7，解得m ≥1或m ≤－13，故m 的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．压轴题专练(二)建议用时：40分钟1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)，∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )，∵k BF ＝3c 0－(－c )＝3，又∵k BC ＝－33，∴C (3c,0)， 圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ，由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)x 24＋y 23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k 22－8k 23＋4k 2＝－4， ∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)．2．[2015·沈阳质监(一)]已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)在区间(1，e)上f (x )x －1＞1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4. (2)令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＞0，解得x ＞1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝ax －1，令h ′(x )＞0，解得x ＜a .当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0. 当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， 所以只需h (e)≥0，即a ≥e －1.当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0， 而h (e)＝a ＋1－e ＜0，不合题意． 综上，a ≥e －1.3. 选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图所示，AB 为圆O 的直径，CD 为圆O 的切线，切点为D ，AD ∥OC .①求证：BC 是圆O 的切线； ②若AD ·OC ＝2，试求圆O 的半径． (2)[选修4－4：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的点到直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2k 的距离为d .①当k ＝3时，求d 的最大值；②若直线l 与圆C 相交，试求k 的取值范围． (3)[选修4－5：不等式选讲] 设f (x )＝|x －3|＋|2x －4|. ①解不等式f (x )≤4；②若对任意实数x ∈ [5,9]，f (x )≤ax －1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)①证明：如图，连接BD 、OD . ∵CD 是圆O 的切线，∴∠ODC ＝90°. ∵AD ∥OC ，∴∠BOC ＝∠OAD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∴∠BOC ＝∠DOC .又∵OC ＝OC ，OB ＝OD ，∴△BOC ≌△DOC . ∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°，即OB ⊥BC . ∴BC 是圆O 的切线．②由①知∠OAD ＝∠DOC ，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ， ∴AD AB ＝OD OC .AD ·OC ＝AB ·OD ＝2r ×r ＝2，∴r ＝1.(2)①由l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，得l ：ρcos θcos π4＋ρsin θsin π4＝32，整理得l ：x ＋y －6＝0.则d ＝|2cos θ＋2sin θ－6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－62∴d max ＝82＝4 2. ②将圆C 的参数方程化为普通方程得x 2＋y 2＝2，直线l 的极坐标方程化为普通方程得x ＋y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d <2， 即|－k |2＜2，解得－2＜k ＜2.(3)①当x ＜2时，f (x )＝7－3x ≤4，得1≤x ＜2； 当2≤x ≤3时，f (x )＝x －1≤4，得2≤x ≤3； 当x ＞3时，f (x )＝3x －7≤4，得3＜x ≤113.综上可得不等式f (x )≤4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1≤x ≤113②∵x ∈[5,9]，∴f (x )≤ax －1即3x －7≤ax －1， ∴a ≥3－6x ，即a ≥3－69＝73.压轴题专练(三)建议用时：40分钟1．[2015·河南洛阳统考]已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c,0)(c ＞0)，由坐标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1.又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0＜m ＜1)满足条件，则以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．∵直线l 与x 轴不垂直，∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k (x －1)可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， Δ＞0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2.∵|MP |＝|MQ |，∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1， 即－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2.∵k 2＞0，∴0＜m ＜12. 2．[2015·九江一模]设函数f (x )＝12x 2－(a ＋b )x ＋ab ln x (其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝－12e 2.(1)求b ；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f (x )有且只有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x －(a ＋b )＋ab x ＝(x －a )(x －b )x， ∵f ′(e)＝0，a ≠e ，∴b ＝e.(2)由(1)得f (x )＝12x 2－(a ＋e)x ＋a eln x ，f ′(x )＝(x －a )(x －e )x， ①当a ≤1e 时，由f ′(x )＞0得x >e ；由f ′(x )<0得1e ＜x ＜e.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．∵f (e)＝12e 2－(a ＋e)e ＋a eln e ＝－12e 2＜0，f (e 2)＝12e 4－(a ＋e)e 2＋2a e ＝12e(e －2)(e 2－2a )≥12e(e －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e ＞0，(或当x →＋∞时，f (x )＞0亦可)∴要使得f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上有且只有两个零点， 则只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝12e 2－a ＋e e ＋a eln 1e ＝(1－2e 2)－2e (1＋e 2)a 2e 2≥0，即a ≤1－2e 22e (1＋e 2). ②当1e ＜a ＜e 时，由f ′(x )＞0得1e ＜x ＜a 或x ＞e ；由f ′(x )＜0得a ＜x ＜e.此时f (x )在(a ，e)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，a 和(e ，＋∞)上单调递增．f (a )＝－12a 2－a e ＋a eln a ＜－12a 2－a e ＋a eln e ＝－12a 2＜0，∴此时f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．③当a ＞e 时，由f ′(x )＞0得1e ＜x ＜e 或x ＞a ，由f ′(x )＜0得e＜x ＜a ，此时f (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 和(a ，＋∞)上单调递增，在(e ，a )上单调递减，且f (e)＝－12e 2＜0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－2e 22e (1＋e 2). 3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5.求对角线BD 、AC 的长．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y轴交于点P .①求曲线C 的直角坐标方程；②求1|P A |＋1|PB |的值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)如图，延长DC ，AB 交于点E.∵∠BAD ＝60°，∴∠ECB ＝60°，∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5，∴∠EBC ＝90°，∴∠E ＝30°，∴EC ＝2BC ＝2×3＝6，∴EB ＝3BC ＝33，∴ED ＝DC ＋EC ＝5＋6＝11，∵EC ×ED ＝EB ×(EB ＋AB )，则6×11＝33×(33＋AB )，解得AB ＝1333，∴AC ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13332＝1433. ∵∠EDB ＝∠EAC ，∠E ＝∠E ，∴△EDB ∽△EAC ，∴BD AC ＝BE CE ，∴BD ＝AC ·BE CE ＝1433×336＝7. (2)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t代入曲线C 的普通方程 (x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1，t 1＋t 2＝1， ∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝12－4×(－1)＝ 5.(3)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧ |9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3， 经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．压轴题专练(四)建议用时：40分钟1．[2015·九江一模]已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (7，0)，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝12，①∵F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7，②由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 29＝1.(2)证明：∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点，∴x 2016＋y 209＝1，∴y 20＝9－9x 2016， ∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离d ＝2x 20＋y 20＝2x 20＋9－916x 20＝2716x 20＋9＜1(0≤x 20≤16)， ∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点， L ＝2r 2－d 2＝21－4716x 20＋9(r 为圆x 2＋y 2＝1的半径)， ∵0≤x 20≤16，∴9≤716x 20＋9≤16，∴253≤L ≤ 3.2．[2015·唐山统考]已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋bx ，直线l 与曲线C 1：y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线C 2：y ＝g (x )切于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2. (1)求a ，b 的值和直线l 的方程；(2)证明：除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧．解 (1)f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝cos x ＋b ，f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2b ，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝b ， 曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ax ＋a ，曲线y ＝g (x )在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为y ＝ b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋1＋π2b ，即y ＝bx ＋1. 依题意，有a ＝b ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1.(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋x .设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F ′(x )＝e x ＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜F ′(0)＝0；当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(0)＝0.F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (0)＝0.设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin x ，则G (x )≥0，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时等号成立．综上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )．所以除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧．3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，以AB 为直径作圆O 交AC 于点D .①求线段CD 的长度；②点E 为线段BC 上一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与圆O 相切，并说明理由．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.①求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；②将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1.求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b ≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．解 (1)①连接BD ，在直角三角形ABC 中，易知AC ＝5，∠BDC ＝∠ADB ＝90°，所以∠BDC ＝∠ABC ，又因为∠C ＝∠C ，所以Rt △ABC ∽Rt △BDC ， 所以CD BC ＝BC AC ，所以CD ＝BC 2AC ＝95.②当点E 是BC 的中点时，ED 与⊙O 相切；证明：连接OD ，∵DE 是Rt △BDC 的中线，∴ED ＝EB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODE ＝∠ODB ＋∠BDE ＝∠OBD ＋∠EBD ＝∠ABC ＝90°， ∴ED ⊥OD ，∴ED 与⊙O 相切．(2)①曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝4x ，即：(x －2)2＋y 2＝4， 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.②将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1. 再将所得曲线向左平移1个单位，得C 1：x 2＋y 24＝1.又曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)， 设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则d p →l ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ－φ)|2≥102(其中tan φ＝12)，∴点P 到直线l 的距离的最小值为102.(3)∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9， 故1a ＋4b 的最小值为9，因为对a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4b ≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，当x ≤－1时，2－x ≤9，∴－7≤x ≤－1，当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，∴－1＜x ＜12，当x ≥12时，x －2≤9，∴12≤x ≤11，∴－7≤x ≤11.。
数学高考压轴题含答案
数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。
2015高三数学：导数压轴题题型归纳
Go the distance导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x－ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。
例3已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-（2012全国新课标）(1)求)(x f 的解析式及单调区间；(2)若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。
例4已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。
例5设函数2()1xf x e x ax =---（2010全国新课标）(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围例6已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . （2009宁夏、海南）(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.2. 在解题中常用的有关结论※3. 题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7（构造函数，最值定位）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .函数例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().xf x xg x e ==⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．例12（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R .Go the distance⑴当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.例13（二阶导转换）已知函数x x f ln )(=⑴若)()()(R a x ax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.例14（综合技巧）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.②交点与根的分布例15（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例16（根的个数）已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程mex x x f x+-=2)(ln 2的根的个数．例17（综合应用）已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=⑴求f (x )在[0,1]上的极值；⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.③不等式证明例18(变形构造法)已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数．⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a29=，求函数)(x f 的单调增区间；Go the distance⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a的取值范围．例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .（1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证42121)(x x x x +<例20（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．例21（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．例22（前后问联系法证明不等式）已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一•选择题(共11小题)1.( 2014?湖南)若0 v x i< X2< 1，则( )A ..八- J > InX2 - lnx i B..八-「.〜< InX2 - Inx iC. X2J‘ 1> X i「:吨D . X2「—1< X i"3 12.（2005?天津）若函数f （X）=log a （X - ax）（a> 0, a力）在区间（-二0）内单调递增，贝U a的取值范围是（）c. D. ' J的反函数图象是（24. ( 2008?天津)设a> i,若对于任意的x€[a, 2a]，都有y€[a, a ]满足方程log a x+log a y=3 , 这时a的取值集合为( )A . {a|i < a切B. {a|a 列C. {a|2@3} D . {2 , 3}5. ( 2005?山东)0< a< 1，下列不等式一定成立的是( )A . |log (i+a)(1 - a) |+|log (i-a) (1+a) |>2;B.Ilog (1+a) ( 1 - a)I< Ilog (i-a (1+a) |;C.|log (i+a) (1 - a) +log (i-a) (1+a) |< |log(i+a)(1 - a) |+|log(i-a) (1+a) |;D.|log (i+a)(1 - a) - log(i-a) (1+a) |>|log(i+a) (1 - a) |- |log(i-a( 1+a) |6.( 2005?天津)设f 1(x)是函数f (x) =一(a x-a x) (a> 1 )的反函数，则使 f 1(x)2> 1成立的x的取值范围为( )a2 _ 1 a2 -1 a2-1A .(—二—,+m)B . (- m, —-—) C. ( , , a) D. [a, + ^)上巴上巴b7.( 2004?天津)函数匸；’'■ (- 14V 0)的反函数是( )A. ■ - | ■ 1. ■：.；・」B. ■ - <_' ：■: ■：c. 「一二D. ：丄…八'& ( 2004?江苏)设k > 1, f (x) =k (x - 1) (x €R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f (x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f-1( x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，贝U k等于( )3 4 £A. 3B.C.D.2 3 5x9. ( 2006?天津)已知函数y=f (x)的图象与函数y=a (a> 0且a力)的图象关于直线y=x对称，记g (x) =f (x) [f (x) +f (2)- 1].若y=g (x)在区间:;.上是增函数，则2实数a的取值范围是( )A . [2 , + ©B . (0, 1 )U( 1 , 2) C.「丄1 D . ■ : . -110 . (2011?湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t) =M0",其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2 (太贝克/年)，贝U M (60)=( ) A . 5太贝克B . 751 n2太贝克C . 150In2太贝克D . 150太贝克11 . (2014?湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(：1B-(p+1) (q+1) - 12)(p+1) (q+1)p,第二年的增长率-1.填空题(共12小题)X > 1,12 . (2013?北京)函数的值域为X<113. (2011?湖北)里氏震级 M 的计算公式为：M=lgA - IgA o ,其中A 是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅，A o 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅 A o 为0.001,则此次地震的震级为 _____________________________ 级；9级地 震的最大的振幅是 5级地震最大振幅的 _______________________ 倍.15. (2006?江苏)不等式----的解集为 _________________ .16. (2005?北京)设函数f (x ) =2x,对于任意的X 1, X 2 (X 1^<2),有下列命题f ( Xi) _ f (、① f ( X 1+X 2)=f ( X 1)?f ( X 2)；② f ( X 1?x 2)=f ( X 1)+f ( X 2)；③ ——xl _ K2X I + X n f ( X i ) ( Xn )④:'■ ■-■.其中正确的命题序号是17. ( 2004?广东)函数'■ ' ' 1 ・〕 -■11的反函数 f \X )= __________________log (x =3 )18. (2011秋?岳阳楼区校级期末)已知 0vav 1, 0vbv 1,如果' v 1,那么 X 的取值范围为 __________________ .19.(2005?天津)设''，则:'1 ' __________ :: 1的定义域为.2 - x 2 x220. __________________________________________________ (2008?天津)设a > 1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 X €[a , 2a]，都有y €[a , a ] 满足方程log a x+log a y=c ，这时a 的取值的集合为 .21.(2002?上海)已知函数 y=f (x )(定义域为 D ，值域为A )有反函数y=f( x ),则方—1程f (x ) =0有解x=a ，且f (x )> x (x €D )的充要条件是 y=f(x )满足 ___________________ .22. (2013?上海)对区间I 上有定义的函数 g (x )，记g (I ) ={y|y=g (x ), x€l}.已知定义—1 -1 -1域为[0 , 3]的函数 y=f (x )有反函数 y=f ( x )，且 f ([0, 1)) =[1 , 2), f (( 2, 4])14. (2007?上海)函数x 2+l »尸 2 x<0的反函数是=[0 , 1).若方程f (x)- x=0 有解X0,贝V x0= ___________________ .x23. (2004?湖南)若直线y=2a 与函数y=|a - 1| (a > 0且a 鬥)的图象有两个公共点，贝Va的取值范围是 __________________ .三•解答题(共7小题)24. (2014秋？沙河口区校级期中)21、设；. —、■ . -11.的大小，并证明你的结论.25. 解不等式I 孑.■1'-.X上 f 、 - 2a+b 26.(2006?重庆)已知定义域为 R 的函数：「一是奇函数.2K+1+a(I)求a , b 的值；(H)若对任意的t€R ,不等式f (t 2- 2t ) +f (2t 2- k)v 0恒成立，求k 的取值范围.b a27. 如果正实数 a , b 满足a =b .且av 1，证明a=b .28.(2011?上海模拟)已知n 为自然数，实数a > 1，解关于x 的不等式1 - (- 2) nlog x - 41o g 2X +121O g 3x ------------------ +n ( - 2 ) n log ------------ z ----- log ( K 2 _a)a a a a J a29. (2010?荔湾区校级模拟)f (x ) =|g '\其中a 是实数，n 是任意自然数且 n支.(I)如果f (x )当x €( - a, 1］时有意义，求a 的取值范围； (H)如果a € (0, 1］，证明2f (x )v f (2x )当x 旳时成立.上 r _ l+a x30. (2010?四川)设 f (x) ---------- , a > 0 且 a 为),g (x )是 f (x )的反函数.1 - a求t 的取值范围;(I)设关于x 的方程求；- 3L/-I) (7-x)|门 在区间［2 , 6］上有实数解,n)当a=e, e为自然对数的底数)时，证明：匸訂：厂（川）当Ov aW时，试比较：I ：ri|与4的大小，并说明理由. 22015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一•选择题(共ii小题)1. ( 2014?湖南)若0 v x i< X2< 1，则( )A ..八-心> InX2 - lnx i B..八-山< InX2- Inx i：< X1-C. X2 -，：■ > X1 D .X2 ,'考点：对数的运算性质.专题：导数的综合应用.分析：分别设出两个辅助函数f/ 、X(X)=e +Inx ,Xg (X)=,由导数判断其在(0, 1) 上的单调性，结合已知条件0 < X1 < X2< 1得答案.解答：解：令f (X)=e X- Inx,则f' (x)xe x-l当x趋近于0时，xe X- 1 <0,当x=1时，xe X- 1 > 0,因此在(0, 1) 上必然存在f'(x) =0,因此函数f(乂)在(0,1) 上先递减后递增，故A、B均错误；令g(x)=^_,xX _ X /A_ K'- e 呂 --- 二----x当0v XV 1 时，g' (x) v 0.••• g(x)在(0,1) 上为减函数，■/ 0V X1 V X2V1,•选项C正确而D不正确.故选：C.点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题.3 、f (x) =log a (x - ax) (a> 0, a力)在区间单调性与特LI内单调递2. （2005?天津）若函数增，贝U a的取值范围是（考点：对数函数的殊点.专题：计算题；压轴题. 分析：将函数看作是复合函数，令g( x)=x3 —ax,且g(x) > 0,得x(—_, 0)U，+m)，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数同增异减”求得结果.解答：解：设g (x)=x3—ax, g(x)> 0,得x€(-i,0)U(-i,+〜，2g' (x) =3x—a, x € (—:,0)时，g (x)递减，x€ (—i,胡)或x €(i, +m) 时，g(x)递增.•••当a> 1 时，减区间为(- 書0),不合题意，当0 v av 1时，(-..：，0）为增区间.故选B .点评：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域.3.（2009?上海）函数^ 的反函数图象是（）考点：反函数；函数的图象.专题：常规题型；压轴题.分析：先画出条件中函数式E+J1 - / （- ）的图象，再将其图象作关于直线y=x对称的图象即得.解答: 解：作出函数E+J1 - / ( - l<x<0 )的图象，如图，•••互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，•••函数E+J1 - / ( - l<x<0 )的反函数图象是：C.点评:考查反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.24.（2008?天津）设a> 1若对于任意的x€[a, 2a]，都有y€[a, a ]满足方程log a x+log a y=3 , 这时a 的取值集合为（）A . {a|1 v a切B. {a|a 列C. {a|2@3} D . {2 , 3}考点：幕函数的实际应用.专题：压轴题.分析：先由方程log a x+log a y=3解出y，转化为函数的值域问题求. I解.解答：解：易得3、・—在［a,2a］上单调递减，所以2y€ ［号，a2］故2：.；：」？a丝故选B .点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大.注意函数和方程思想的应用.5.( 2005?山东)0 v av 1，下列不等式一定成立的是( )A . |log( 1+a)(1 - a) |+|log( 1-a) (1+a) |> 2;B. |log( 1+a)(1 - a) |v |log(1 -a (1+a) |;C . |log (1+a) (1 - a) +log (1 - a (1+a) | v |log( 1+a) (1 - a) |+|log(1 - a) (1+a) |;D. |log (1+a)(1 - a) - log( 1-a) (1+a) |>|log( 1+a (1 - a) |- |log( 1-a (1+a) |考点：对数函数的单调性与特殊点.专题：计算题；压轴题.分析：用特殊值法，来排除不成立的选项即可.解答：解：取满足题设的特殊数值a4，log (1+a) (1 -a)「二 <■- - - 1，0>log (1 -a(1+a ) =，「>1 ,2= - 1,2检验不等式(B ), (C ),(D )均不成 立，故选A点评：本题主要考 查客观题的 解法，可灵活 选择方法，如 特殊法，验证法，数形结合 法等，解题不 但灵活，而且 效率很高.> 1成立的X 的取值范围为（函数的概念、 求反函数的 方法、解指数 方程、解不等 式等知识点， 有一定的综合性;首先由函数f(X )=一 (a x2-a x) (a > 1)求其反函 数，要用到解 指数方程，整 体换元的思 想，将a x 看作 整体解出，然-1-16. （ 2005?天津）设f （x ）是函数f (X) （*厂）（a >1 ）的反函数，则使f2 a ~~2a C. (I, a) D. [a, + ① 考点：反函数. 专题： 压轴题.A .(―-宀)B .—分析：本题考查反后由f (X )>1构建不等 式解出即可.解：由题意设] X _ -y= (a 一 a2X )整理化简2x c x得 a - 2ya-仁0,解得：a K =y± 佇+1•/ a x> 0, ^Vy 2+1••• X=log a(y+ ■/ I)一 1 • f 1( X ) =log a(x+「)由使f -1 ( X )> 1 得 log a(x+ 7^)> 1•/ a > 1,•x+ ，' I解答:> a由此解得:故选A 本题虽为小题，看似简单，实际上综合性强，用到多方面的知识和方法，更需要一定的运算能力；尤其在求x时难度大些，不仅要用换元思想把a x看作整体求解，还要根据范围舍去7.（2004?天津）函数匸；’'■ （- 14V 0）的反函数是（）A. ：一■「- --B. - U ”C. 丁「D. V J 】：二丫匚门考点：反函数.专题：计算题；压轴题；方程思想.分析：解方程尸3來_1，根据x的范围，求出x的值，然后x, y 互换，求出函数的反函数.解答：解：函数点评:点评: 尸3八1，可得X2-1=log3y2x =1+log 3y,•••- 1 纟 v 0,尸-^1+10所以函数尸3“ 7(-1 纟v 0 )的反函数是：尸-P 1+ log故选D.本题考查反函数的求法，考查就是能力，是基础题.二(专<4)& ( 2004?江苏)设k > 1, f (x) =k (x - 1) (x €R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f ■ ■ _________________________ ― 1 ■ ■(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f ( x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，贝U k等于( )考点：专题:分析: 反函数.计算题；压轴题.先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x 上.且A, B两点关于y=x 对称，利用四边形OAPB的面积=AB >OP,2求得P( 3, 3) 从而求得k 值.解：根据题意画出图形，如图.解答:由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上. 且A , B两点关于y=x对称，••• AB 丄OP•••四边形OAPB的面积=AB »P=2 2X ■ OP=3•OP=3 T.•P (3, 3) 代入f (x) =k(x- 1)得：故选B .本题主要考 查反函数，反 函数是函数 知识中重要 的一部分内 容.对函数的 反函数的研 究，我们应从函数的角度 去理解反函 数的概念，从 中发现反函 数的本质，并 能顺利地应 用函数与其 反函数间的 关系去解决 相关问题.x9. ( 2006?天津)已知函数 y=f (x )的图象与函数 y=a (a > 0且a 力)的图象关于直线 y=x 对称，记g (x ) =f(x ) [f (x ) +f (2)- 1].若y=g (x )在区间• .上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A . [2 , + © B . (0,1 )U( 1 , 2) C.「丄 1 D . U.- 考点： 指数式与对 数式的互化； 反函数.专题：压轴题. 分析： 先表述出函数f ( x )的解 析式然后代入将函数g(X )表述出 来，然后对底 数a 进行讨论 即可得到答 案.解：已知函数 y=f (x )的图 象与函数 y=a X(a > 0 且 a ^)的图象 关于直线y=x 对称， 则 f (x ) =log a x ，记 g(X )=f ( X )[f ( X )+f (2)-1] = (log a X )2+ (log a 2 - 1) log a X .当a > 1时， 若y=g ( X )在 区间-1' ■上是增函数，y=log a x 为增 函数，令 t=log a x , 切皿£， log a 2]，要求 对称轴点评: 解答:2~，矛盾；当0 v av 1 时，若y=g( x) 在区间-1' ■上是增函数，y=log a x 为减函数，令 t=log a x , t€[log a 2,P 迈],要求对称轴解得...,所以实数a 的取值范围是故选D .本题主要考 查指数函数 与对数函数 互为反函 数.这里注意 指数函数和 对数函数的 增减性与底 数的大小有 关，即当底数 大于1时单调 递增，当底数 大于0小于1 时单调递减.10. （2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减 少，这种现象称为衰变•假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中，其含量 M （单位：太 t （单位：年）满足函数关系： M （t ） =M o ",其中M o 为t=0时铯137t=30时，铯137含量的变化率是-10In2 （太贝克/年），贝U M （60）=（ ） B . 751 n2太贝克 C . 150In2太贝克 D . 150太贝克考点：有理数指数 幕的运算性 质.专题： 计算题；压轴 题.分析： 由t=30时，铯137含量的点评: 贝克）与时间 的含量.已知A . 5太贝克故选D .本题考查有 理数指数幕 的运算法则, 解题时要注 意导数的合 理运用.11. （2014?湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）p+q （p+1） （q+1） - 1 ■■— . -------------A. ； .B. . C .「丨 D .哎八:…八! - 1解答:变化率是-101 n2 （太贝克/年），先求出 M'（ t ）=M 0 X，再由 M'（30）=M 0 X（墻诚X=-101 n2，求出M 。
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2015高考数学压轴题
1、设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等
差中项；等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有
111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围; （Ⅲ）对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .
2、已知函数)(),1ln()(2R a x ax x f ∈++=．
（Ⅰ）设函数)1(-=x f y 定义域为D
①求定义域D ； ②若函数)0(")1)](1ln()([)(24f cx x x x x f x x h +++
+-+=在D 上有零点，求22c a +的最小值；
(Ⅱ) 当21=
a 时，a x a
b x bf x f x g 2)1()1()1(')(2+---+-=，若对任意的[]e x ,1∈，都有e x g e
2)(2≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数） （Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实
数a 的取值范围．
3、设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.
（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n }为等差数列，求a 4的值；
（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值；
（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .
4、已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ，*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，．
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)若对每一个正整数k ，若将
123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .
①求p 的值及对应的数列{}k d ．
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．
5、已知函数x ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)
(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
(1)求此平行线间的距离；
(2)若存在x 使不等式x x f m x >-)(成立，求实数m 的取值范围；
(3)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把)()(00x g x f -的
值称为两函数在
0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏
差都大于2．
6、已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ，O 为坐标原点，若PO 的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦
⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是
7、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=
n N n a n n a n a n a n n f n 且 求函数)(n f 的最小值；
（3）设n n
n S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
8、已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段
l 的距离，记为d (P ,l )．设A (-3,1)，B (0,1)，C (-3,-1)，D (2,-1)，AB l =1,CD l =2， 若),(y x P 满足),(),(21l P d l P d =，则y 关于x 的函数解析式为 ． 9、已知函数d cx bx x x f +++=233
1)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．
（1）求)(x f ；
（2）设)()(x f x x g '=，m ＞0，求函数)(x g 在[0，m ]上的最大值；
（3）设)(ln )(x f x h '=，若对于一切]1,0[∈x ，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．
10、已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时， 12n n a a +=；当n a 为奇数时，112
n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；
（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；
（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.。