部编《二项式定理》教学设计

《6.3.1二项式定理》教学设计
一、内容与内容解析
1.内容
二项式定理推导及应用.
2.内容解析
在多项式的运算中，二项式定理——把n ）（b a 展开成单项式之和的公式—
—有着非常重要的作用.从历史上来看，二项式定理源于解决高次幂开方的问题，当帕斯卡建立了正整数次幂的二项式定理之后，这个定理又被运用于解决自然数幂和、组合理论及概率计算等方面问题.牛顿则把指数从整数推广到了有理数，而他的弟子泰勒则将其进一步推广到泰勒定理，这个定理是引进多项式的微分学的一个重要起点.在中学阶段，二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布知识之前。

能让学生看到二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础，有承上启下的作用．
二项式定理的一种较为自然的发现方式是观察几个具体的二项式展开式，分析展开式的结构，从中发现一般的二项式展开式的规律。

另一种引入方式，即利用计数原理。

这种方式的难点在于跨领域知识的运用，即用计数原理的知识去解决多项式乘积展开的问题，学生很难想到，但是一旦建立起知识之间的联系，转换看问题的角度后，学生又会感到这种方法的巧妙与简单
根据上述分析，确定本节课的教学重点为:用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题.教学难点是：用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理.
二、教学目标
（1）使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。

（2）在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。

三、教学问题诊断分析
学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它
们解决一些计数问题了；同时，在初中已经熟练掌握了2）（b a +的展开公式，也
了解了3）（b a +的展开公式．但是，学生对于计数原理与这些多项式乘法运算公
式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点．
四、教学策略分析
根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中产生新的知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标
“建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律，主动发现，主动发展．
五、教学过程设计
（一）复习旧知，提出问题
问题1：今天是星期四，再过15天后是星期几？怎么算？
问题2：今天是星期四，再过20208天后是星期几？
师生活动：教师由浅入深提出问题，直观引导学生思考．学生口答，教师创新板书结果，为后面的观察归纳作好铺垫．
设计意图：“建构主义”观点认为：情境必须有利于学生对所学内容的意义建构．根据教学内容特点和学生的认知规律，复习旧知识，提问设疑，逐步推进，为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备，同时为后面发现、证明二项式定理奠定了联想、类比的思想方法基础．
(二) 归纳类比，提出猜想
问题3：请同学们认真观察每个问题的结果及其结果的种数，是否联想到我们非常熟悉的代数运算公式呢？
,)(1b a b a +=+
2222)(b ab a b a ++=+
3223333)(b ab b a a b a +++=+
4322344464b ab b a b a a b a ++++=+）（
问题4：请同学们大胆地猜想n b a )(+的展开式是怎样的？
猜想：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--
师生活动：教师引导学生观察教师在黑板上的板书，从结构形式与数值特征上展开联想．教师鼓励学生大胆猜想，请一位同学上台板书猜想结果。

设计意图：“建构主义”观点认为：要把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，通过教师引导学生对问题的结果的观察类比，实现旧知向新知的迁移。

“联想”与“思考”是学习者意义建构的关键，学生通过对三个展开式的自主探讨，亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而发现问题、提出问题，并在教师的引导下解决问题，达到了”创造性使用教材，培养学生的创新意识”的教学目的。

牛顿说过：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，通过观察归纳，培养学生的归纳猜想能力．
（三）以上展开式中各项是如何得到的
问题5：以2222)(b ab a b a ++=+为例，结合初中多项式乘法法则，分析展开式中各项是如何得到的？合并同类项之前2)(b a +的展开式共有几项？得到的每一项都是几次式？
问题6：继续分析3)(b a +，结合模型，各项是如何得到的，得到的各项分别是怎样的，合并同类项之前3)(b a +的展开式共有几项？得到的每一项都是几次
式？
问题7：继续分析4)(b a +，结合模型，各项是如何得到的，得到的各项分别是怎样的，合并同类项之前4)(b a +的展开式共有几项？得到的每一项都是几次式？
问题8：通过前几个式子的分析，继续分析n b a )(+，结合模型，各项是如何得到的，得到的各项分别是怎样的，合并同类项之前n b a )(+的展开式共有几项？得到的每一项都是几次式？请依次列举出来。

（四）展开式各项的系数是如何得到的
问题9：我们看到展开式中有些项会重复出现多次，所以需要合并同类项，那怎么样得到同类项的个数，也就是每一项的系数呢？
为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。

请再次用多项式乘法运算法则计算：
))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
4321a a a a = ………4a
1432243134214321b a a a b a a a b a a a b a a a ++++ ………b a 3
214331424132324142314321b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a ++++++ ………22b a 3214421343124321b b b a b b b a b b b a b b b a ++++ ………3ab
4321b b b b + ………4b
问题10：以22b a 项为例，有几种情况相乘均可得到22b a 项？这里的字母b a ,各来自哪个括号？
问题11：既然以上的字母b a ,分别来自4个不同的括号，22b a 项的系数你能用组合数来表示吗？
问题12：请用类比的方法，写出二项展开式中的其它各项系数，并将式子括号中的系数全部用组合数的形式进行填写：
()()()()()4322344))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+ 问题13：请用类比的方法，写出二项展开式中的各项系数，并加以证明.
()()()()())()(221*---∈++++++=+N n b b a b a b a a b a n r r n n n n n
师生活动：教师通过课件动画演示，直观展现二项式展开式的各项和各项系数的得到过程。

设计意图：郭沫若说过：“既异想天开，又实事求是，这是科学工作者特有的风格”．通过仿照3)(b a +展开式的探究方法，二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式，培养学生严谨推理的数学思维意识．
（五）熟悉定理，发现特征
问题14：1.合并同类项之后二项式定理展开式共有几项？每一项都是几次？
2.二项式定理展开式各项次数与指数有什么关系？展开式中字母a 和b 的次数依次发生什么变化？
3.二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
问题15：二项式展开式的通项为？二项式系数？
师生活动：教师从如何更熟练地记忆二项展开式的角度提出问题，引导学生观察展开式的特征．学生口答观察结果，教师板书示范．
设计意图：达尔文说过：科学就是整理事实，以便从中得出普遍的规律或结论，通过对二项式定理进一步研究，发现二项展开式的一些特征，掌握规律；进一步提高学生归纳、推理的能力，强化对二项式定理的深度理解，为后面对二项式系数性质的研究作好准备，从根本上掌握运用二项式定理解决问题的原理。

（六）．新知应用
【例1】1.()的展开式求n
b a - 2.解决起始问题：=20208
【例2】求()5
21x -的展开式
【例3】1.求()8
1x +的展开式中的第4项
2.求()8
1+x 的展开式中的第4项 （七）课堂小结
1.二项式定理，通项，二项式系数
2.从二项式定理的发现、证明与应用的过程中体会到什么数学思想方法？
（八）课后作业
1.写出61）（-x 的展开式
2.写出n x x ）
（3321-
的第r+1项 3.阅读 六、板书设计
二项式定理
1. 二项式定理 例题讲解
2. 二项式系数
3. 二项式展开式的通项。