逆矩阵的求法及逆矩阵的应用

逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用
摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵那么是矩阵理论中一个非常重要的概念。

关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。

目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比拟成熟。

本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。

关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用
The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix
一：引言
在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。

在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。

本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。

二：矩阵的逆的定义
对于n n ⨯矩阵A ，如果存在一个n n ⨯矩阵B ，使得AB=BA=E 〔E 为单位矩阵〕，那么说矩阵A 可逆，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。

记A 的逆矩阵为A 1-. 三：可逆矩阵的性质
1、如果矩阵A 、B 均可逆,那么矩阵AB 可逆，其逆矩阵为B 1-A 1
-.〔推广：如果矩阵A 1 ，A 2 ,…… A n 均可逆,那么矩阵A 1A 2…A n 可逆，其逆阵为A n 1-…A 21-A 11
-〕 2、如果A 可逆，那么1
-A 可逆，且()1-A 1-=A ；
3、如果A 可逆，那么T
A 可逆，且()
()
1
1T
T
A A
--=.
4、A ()()'11'=--A .
5、如果A 可逆，数λ0≠，那么A λ可逆，且()1
11A A λλ
--=；
6、如果矩阵A 的逆存在，那么该逆矩阵唯一。

以上结论见文献[1] 四：矩阵可逆的几种判别方法
设矩阵A 为n 阶方阵，那么A 可逆的充要条件有： 1、存在n 阶方阵B ，使得AB=I ；
2、对PAQ=000I ⎛⎫
⎪⎝⎭
，其中P 为s n ⨯矩阵，Q 为n ×m 矩阵，r 〔A 〕=n ；
3、
A ≠；
4、A 是非退化矩阵.
5、A 的行向量〔列向量〕组线性无关；
6、A 可由一系列初等矩阵的乘积表示；
7、A 可经过一系列初等行变换〔列变换〕化成单位矩阵I ； 8、齐次线性方程组AX=0只有零解. 以上结论见文献[1] [8] 五：逆矩阵的几种求法 〔一〕定义法
定义：矩阵A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B ，使得AB=E,那么称A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记为1
-A .
求矩阵
012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭的逆矩阵. 解 ： 因为A ≠0,所以1-A 存在.设
11
1213121
22233132
33x x x A x x x x x x -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,
由定义知1
-A A=E,所以
012114210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11
121321222331
32
33x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛100010001.
由矩阵乘法得
2131
22322333
112131122232
13233311211222
1323222444222x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++⎛⎫
⎪++++++ ⎪ ⎪---⎝
⎭=⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛100010001. 由矩阵相等可解得
1121312432x x x ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩;122232121x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩;1323331112x x x ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩
. 故
121142131122A -⎛⎫
⎪- ⎪=- ⎪
⎪
-
- ⎪⎝⎭ 〔二〕伴随矩阵法
定理：n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化.且11
211122221121n n n
n
nn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中，A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵1121112
22212n n n n
nn A A A A
A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，即有A -1 =
1
|A|
A*. 该定理见文献[1]
注 ⑴此方法适用于计算阶数较低矩阵〔一般不超过3阶〕的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。

注意A* = 〔A ji 〕n ×n 的元素位置以及各元素的符号。

特
别地，对于2阶方阵
11
1221
22a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，其伴随矩阵为22122111*a
a A a a -⎛⎫= ⎪
-⎝⎭.
⑵对于分块矩阵A B C D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上述求伴随矩阵的规律不适用.
例2：1312A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求A
-1
.
解: ∵A = -1 ≠ 0 ∴A 可逆.由得
11122122A = 2, A =1,A = 3, A =1
A -1 =
1|A| A* = 23231111--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
〔三〕行(列)初等变化法
设n 阶矩阵A ，作n ×2n 矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A 变为
n
I ，那
么子块
n
I 变为1-A ，即由[A,E]作初等行变换得[E,A-1]，所得的1
-A 即为A 的逆矩阵.
注 ⑴对于阶数较高的矩阵〔n ≥3〕，用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换.
⑵也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫
−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换求得A 的逆矩阵.
⑶假设矩阵A 可逆，可利用()()11E A B E A ,C A B C A --⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换
初等列变换
得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A -1B 或CA -1.
例3：用初等行变换求矩阵223A 110121⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵.
解：
()2
231001
10010110010A E 1
100102
231000110111210011
21001043120101021100
143011011010
153001164001164--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
=-→→ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
所以1
143153164A ---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
〔四〕用Cramer 法那么求矩阵的逆
假设线性方程组11112211211222221122
n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪
+++=⎪⎨
⎪⎪++
+=⎩的系数行列式||0ij n D a =≠，那么此方程
组有唯一的一组解1212, , , n
n D D D x x x D D
D =
==
.这里i D 是将D 中的第i 列1,
,i ni
a a 换成1,
,n b b 得到的行列式.
定理1 假设以1ε = (1 , 0 , 0 , ……, 0), 2ε = (0 , 1 , 0 , ⋯, 0), ⋯,3ε = (0 , 0 ,……, 1) 表示F n (F n 表示数域F 上的n 维行向量空间)上的一组标准基,那么F n 中任一向量α= (a 1 , a 2 , ……, a n )都能且只能表示为: α=a 11ε + a 22ε +……+ a n n ε的形式,这里a i ∈F(i = 1 , 2 , ……, n).
定理2 假设称矩阵A 与矩阵B 相乘所得的矩阵为AB ，以A 的第i 行右乘以B ，其乘积即为矩阵AB 的第i 行.
求矩阵的逆可用以下方法:令n 阶可逆矩阵A=(a ij ),A 的行向量分别为
1α ,2α,……,n α, 其中1α=(a 11,a 12,……,a 1n ),(i=1,2,……,n),由定理1得: 1α=Σa ij j ε(i = 1 , 2 , ⋯, n) ，解方程组〔1ε,2ε , ⋯,n ε为未知量〕,由于系数行列式 D=|A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由Cramer 法那么可得唯一解: j j D D
ε=
= b j11α+ b j22α+
⋯+ b jn n α(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中D j 是用方程组的常数项α1 ,α2,⋯,αn 替换行列式D 的第j 列的元素得到的n 阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A -1= B.其中B=(b ij ).
以上定理见文献[1]、 [7] 、[8] 下面举例说明这种方法.
例4：求矩阵111022110A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵.
解：矩阵A 的行向量为123,,βββ，由标准基123,,εεε表示为：
1123
223312
22βεεεβεεβεε=+-=+=- 解以
123,,εεε为未知量的方程组得：
1123
21233123
112363111
363111333
εβββεβββεβββ=++=+-=-++
所以1
1123631113631113
3
3A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
〔五〕解方程组求逆矩阵
由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(下)三角矩阵的逆矩阵，其主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
例5： 求1
000120021301
214A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
的逆矩阵.
解：设
211
31324142
43
1000100210314X A X X X X X -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
, 先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素213243X ,X ,X ,3142X ,X ，41X .
设E 为4阶单位矩阵, 比拟2131324142
43
10001100000212001213003121414X E X X X X X ⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎪ ⎪⎝
⎭
的两端对应元素,得：
41424310X 0X 3X 10;4⋅+⋅+⋅+⋅= 解得，431
X ;12=-
313221X 1X 100;3⋅+⋅++⋅=解得，431
X ;2=-
41424320X 2X 1X 0;4⋅+⋅+⋅+=解得，425
X ;4=- 41424311X 1X 2X 0;4⋅+⋅+⋅+
=解得，431X 8
=- 及所求的逆矩阵为
1
10001100221
11026315118
4
124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
〔六〕求三角矩阵的逆的一种方法
定理：假设如果n 阶矩阵 111211122
2120000
0n n n n nn t t t t t t t T t --⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝
⎭
可逆， 那么它的逆矩阵为
1111111112111111111122222122210000
0n n n n nn t t t t t t t T t ααααα----------⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
其中
()()
1
111111
1,1,2,,1,1,2,2;3,4,,ii i i ii ij jj ij kj ik kk i k j t t i n t t t t i n j n ααα-++++--+<<⎧=-⨯=-⎪⎨=--=-=⎪⎩
∑
例6： 求上三角阵 13
1201
1300250002A ⎛⎫
⎪-
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的逆矩阵. 解：由定理知
()1
1222121233323111
133313231222134443411
2444243423331111444142412223413333
1
2
2
5
2
14
12
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t αααααααααα--------=-⨯==-=-=--⨯=-=-=-
=--⨯=-
=--+=-
1
11322110124150024100
2A -⎛⎫--
⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
〔七〕用分块矩阵求逆矩阵
设矩阵A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，那么：
1
1
1
111111
1111111A A 000B 0
C O A A A CB A O A O B
D B O B B DA B B O A O B B O A
O ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例7：2100320057181316A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭
，求A -1
.
解：将A 分块如下：
1121
2221
0320057181316A O A A A ⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫
⎪== ⎪
⎪⎝⎭ ⎪ ⎪----⎝
⎭
可求得
**
111122
1122112221681,3211||||2A A A A A A -----⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
1
1
222111
685721571111332222A A A
------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
111
11
1222111
22210032005734112222A O A A A A A ------⎛⎫
⎪-
⎪⎛⎫== ⎪--- ⎪- ⎪
⎝⎭ ⎪- ⎪
⎝⎭
〔八〕用恒等变形法求矩阵的逆
有些计算题看似与求逆矩阵无关,但实际上却能发现，这些题是计算需要求出逆矩
阵的，需将给定矩阵等式作恒等变形，且通常化为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。

例8：6A E =，试求11A 并证明111A A -=,
其中1212
2A ⎛⎫-
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
. 解: 由6A E =，得 6
66611A A A A E A A E =⋅=⋅=⋅=，故 111A A -=,而 A 为
正交矩阵, 1A A -=’
，所以111
112A A -⎛
⎪
==⎪⎪⎭
〔九〕拼接新矩阵：
在可逆矩阵A 的右方补加上一个单位矩阵E,在A 的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A 的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E 化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O 所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A -1.
例9：求矩阵012121132A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的逆矩阵A -1.
解:因为 012
12110132
A ==≠，所以 1A -存在
构造矩阵A E E O ⎛⎫
⎪-⎝⎭
有：
012|100121|010132|001100|000010|000001|000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪---+--- ⎪ ⎪-
⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得：
1
2
|1
00103|210104|301100|000002|10000
1
|
0⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪---+--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得：
12
|
1
0103|210001|111003|210002|10000
1|000⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪
--- ⎪
---+--- ⎪ ⎪
-- ⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭ 再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：
12
|
1
0103|210001|111000|143000|12200
0|111⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪
--- ⎪
---+--- ⎪ ⎪
- ⎪
-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
故：1143122111A --⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
〔十〕. 用Hamilton-Caley 定理求逆矩阵 Hamilton-Caley 定理:设A 是数域P 上的n 阶矩阵
()11E-A n n n n f a a a λλλλλ-==++
++ 为A 的特征多项式，
那么 ()11E-A 0n n n n f A A a A a A a E λ-==++++=
所以 ()12111
n n n n
A a A a E a ----
+++
由此，可知 ()112111
n n n n
A A a A a E a ----=
+++
例10：224232111A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，求 A -1.
解：A 的特征多项式 ()32E-A 4710f λλλλλ==-++ 由Hamilton-Caley 定理可知，()3247100f A A A A E =-+-=
所以 ()125216114702410105010A A A E ---⎛⎫ ⎪
=-+= ⎪ ⎪
⎝⎭
〔十一〕.和化积法
对于有些涉及矩阵和的问题，要先判断方阵之和A+B 的非退化性，并求出它的逆矩阵。

那么此时A+B 可直接转化为〔A+B 〕C=E 的形式,从而得出结论，A+B 非退化，且
1)(-+B A =C.或将A+B 表示为几个的非退化阵之积，并得出它的逆矩阵.
例11.证明:如果K A =0,那么E-A 是非退化的，并求1)(--A E . 证明：因为21()()K E A E A A A E --+++
+=，所以()E A -是非退化的，且
1)(--A E =12-++++K A A A E .
六：逆矩阵在编码解码方面的应用
矩阵密码学是信息编码和解码的技术，其中一种利用了可逆矩阵的方法。

首先，在26个英文字母和数字之间建立对应关系，例如，可以是
A B …… Y Z …… …… …… 1 2 …… 25 26
使用上面的代码，那么该信息的编码是19,5,14,4,13，15,14,5,25，其中5代表字母E 。

遗憾的是，这个编码表示的对应关系较为简易，人们很轻易就能破译。

如果一个信息编码比拟长，那么人们会找出那个出现频率最高的数值，并且猜出它代表哪个字母。

比方，以上编码中，出现次数最频繁的编码值是5，所以人们很自然地会认为，5代表字母E ，因由统计规律我们可以知道，在英文单词中，字母E 出现的频率最高。

利用矩阵的乘法，我们可以对英文信息“SEND MONEY 〞进行加密，让其由明文转换成密文，然后再进行传递发送。

这样，信息一经处理，就能有效地对非法用户破译编码增加一定的难度，而又为合法用户找到一条轻松解密的途径。

假设存在一个矩阵A ，它的元素均为整数，而且它的行列式 A =±1.那么由伴随矩阵求逆公式 11*A A A
-=
可知，1
A -的元素也都是整数。

我们可以通过这样的方法，利用矩阵A 来对明文进行加密，从而增加加密之后的密文的破译难度。

现在取
A=1212532
3
2⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
用三列将明文“SEND MONEY〞所对应的9 个数值按以下方法排列，可得矩阵
B=
19414 5135 141525⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
矩阵乘积
AB=
12119414434549 25315135105118128 232141525817793⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
对应上数矩阵，发出去的密文编码为43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用户可用A-1左乘上述矩阵，即可得到明文从而解密。

为了构造“密钥〞矩阵A，我们可以进行有限次的初等行变换，从单位阵I开始对矩阵作变换，为了方便，通常我们只用某行的整数倍加到另一行。

这样，我们可以得到一个元素均为整数的矩阵A。

并且由于=±1，我们可以知道1
A-的元素也必然都是整数。

参考文献
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