高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5

2.2.2 等差数列的通项公式
学习目标 1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 等差数列的通项公式
思考 等差数列{a n }中，首项为a 1，公差为d ，如何用a 1，d 表示a n?
梳理 一般地，a n ＝a 1＋(n －1)d 称为等差数列{a n }的通项公式．
知识点二 等差数列通项公式的几何意义
思考 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第
m 项a m 和公差d ，又如何表示通项公式a n?
梳理 等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(m ，a m )，(n ，a n )都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝
a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a m
n －m
. 知识点三 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
梳理在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，
有：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝________.特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝________.
类型一求等差数列的通项公式
例1 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？
反思与感悟由于a n＝a m＋(n－m)d，要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差．
跟踪训练1 已知等差数列{a n}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由；
(2)若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．
类型二等差数列通项公式及推广形式的应用
命题角度1 列方程(组)求基本量
例2 在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
反思与感悟把已知条件转化为关于a1，d的方程组求解，是一种常用思想，称为方程思想．灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量．
跟踪训练2 等差数列{a n}为递减数列，且a2＋a4＝16，a1a5＝28，求数列{a n}的通项公式．命题角度2 等差数列的通项公式与一次函数关系
例3 已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
反思与感悟从通项公式代数特点上看，a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列，但不宜用来证明．证明要用定义：a n＋1－a n＝d，n∈N*.
跟踪训练3 若{a n}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有________个．
①{|a n|}；②{a n＋1－a n}；
③{pa n＋q}(p，q为常数)；④{2a n＋n}．
类型三等差数列性质的应用
例4 已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
引申探究
1．在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q ＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?
2．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练4 在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
1．在等差数列{a n}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.
2．在等差数列{a n}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15＝________.
3．等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝________.
4．下列命题中正确的是________．
①若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列．
1．等差数列{a n}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
答案精析
问题导学
知识点一
思考a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)
＝a1＋d＋d＋d＋…＋d
n －个
＝a1＋(n－1)d.
知识点二
思考设等差数列的首项为a1，
则a m＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝a m－(m－1)d，
则a n＝a1＋(n－1)d
＝a m－(m－1)d＋(n－1)d
＝a m＋(n－m)d.
知识点三
思考利用1＋100＝2＋99＝….
梳理
a p＋a q2a p
题型探究
例1 解(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t 的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1 min＝60 s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．
当s＝49 cm时，t＝
s
9.8
＝
49
9.8
＝5(s)．
跟踪训练1 解a1＝3，d＝4，
a n＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令a n＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{a n}中的第34项．
令a n＝4n－1＝4m＋19，
则n＝m＋5(m，n∈N*)．
∴4m＋19是数列{a n}中的第m＋5项．
(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1， 其中2p ＋3q －1∈N *
，
∴2a p ＋3a q 是数列{a n }中的第2p ＋3q －1项． 例2 解 方法一 设公差为d ， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝a 1＋d ＝5，
a 8＝a 1＋7d ＝17，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 方法二 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ， 所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ， 所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.
跟踪训练2 解 a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 5＝16，a 1a 5＝28，
又a 1>a 5，故a 1＝14，a 5＝2，d ＝－3， 故a n ＝14－3(n －1)＝17－3n .
例3 解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，
求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p . 它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列． 由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ， 所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p . 跟踪训练3 3
例4 解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4， 所以a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 即a 4＝5.
又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，
即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9， 解得d ＝±2.
若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .
方法二设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②解①，②组成的方程组，得
a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
所以a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，
a n＝a1＋(n－1)d，
a p＝a1＋(p－1)d，
a q＝a1＋(q－1)d，
a r＝a1＋(r－1)d，
a s＝a1＋(s－1)d，
∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
a q＋a r＋a s＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s.
2．20
解析∵a3＋a8＝10，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
跟踪训练4 解∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.
当堂训练
1．－6 2.35 3.3 4.③。