2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)讲义：微专题十六等差、等比数列

微专题十六 等差、等比数列
在近三年的高考题中，等差、等比数列一直是高考重点和难点，填空题中有等差、等比数列基本量的考察，解答题第一问也有等差、等比基本问题考察，这类考察均以基础题和中档题出现，是数列为数不多的得分点．
目标1 等差、等比数列基本量计算
例1 (1) 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．
(2) S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3
a 5
＝________.
(3) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．
点评：
【思维变式题组训练】
1. 等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是________．
2. 一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是________．
3. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．
4. 设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．
目标2 等差、等比数列性质运用
例2 (1) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________． (2) 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则
a 7＋a 8＋a 99的值为________．
(3) 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6
S 4
＝________.
(4) 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 008
2 008＝6，则S 2 019＝
________.
点评：
【思维变式题组训练】
1. 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.
2. 等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 7
7＝2，则S 10＝________.
3. 若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1a 2…a 13)＝13，等差数列{}b n 满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为________．
4. 设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.
目标3 等差、等比数列的判定与证明
例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1，其中n ≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .
(1) 若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n ∈N *)，求证：数列{b n }是等比数列； (2) 若数列{a n }是等比数列，求λ，μ的值；
(3) 若a 2＝3，且λ＋μ＝3
2，求证：数列{a n }是等差数列．
点评：
【思维变式题组训练】
1. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1) 求数列{a n }的通项公式a n ；
(2) 是否存在常数k ，使得数列{}S n ＋kn 为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．
2. 已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，6S n ＝9b n －a n －2恒成立．
(1) 如果数列{S n }是等差数列，证明：数列{b n }也是等差数列； (2) 如果数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫b n ＋12为等比数列，求d 的值．。