广西钦州市钦州港经济技术开发区中学17—18学年高二12月月考数学(理)试题(附答案)

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017年秋季学期12月份考试
高二理科数学试卷
注意事项：
1.本卷为高二年级理科实验班第12月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I 卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1．下列说法中正确的是( )．
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αα⊥⊥n m ,，则n m // B. 若γβγα⊥⊥,，则βα// C. 若βα//,//m m ，则βα// D. 若αα//,//n m ，则n m //
3.函数y=x 2cosx 的导数为（ ） A ．y′=2xcosx ﹣x 2sinx B ．y′=2xcosx +x 2sinx C ．y′=x 2cosx ﹣2xsinx D ．y′=xcosx ﹣x 2sinx 4．下列命题中的假命题是( )． A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1
D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2
5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为
1
2
”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件
6.已知直线y=k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=8x 相交于A 、B 两点，若|AB|=9，则k=（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
7．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.1
5 B.25 C.5
5
D.255
8.如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为BC 1的中点， 则DE 与平面ABC 1D 1所成角的正切值为( ) A.62 B.63 C. 2 D.22
9.过双曲线C 1：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 作圆C 2：x 2+y 2=a 2的切线，设切点
为M ，延长FM 交双曲线C 1于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为
（ ）
A ．
B ．
C ．
+1
D ．
10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A.45° B.60° C.90° D.120°
11.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠A B =，2AB =，
1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D 12.已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=xe 1﹣x （
a ∈R ，e 为自然对数的底数），
若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，
]
B ．（﹣∞，
] C ．（
，2） D ．[
，
）
二、填空题（共4题，每题5分）
13．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线＝4x 的焦点，则实数a ＝________.
14．过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥
CD ，则
•
+
•
的最大值等于 ．
15.过点C (3,4)作圆225x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为 ．
16.如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，若过直径CD 与点E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为 ．
三、解答题（共70分） 17. 设命题:p 幂函数2
2
a
a y x --=在()0,+∞上单调递减,命题:q 212
a x x
=-
+在()0,3上有解；若p q ∧为假， p q ∨为真，求a 的取值范围.
18.如图，在直三棱锥A 1B 1C 1﹣ABC ，AB ⊥AC ，AB=AC=2，AA 1=4，点D 是BC 的中点． （1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
（2）求平面ADC 1与平面A 1BA 所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．
19.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，AA 1=4，点D 是BC 的中点．
（1）求证：A 1B ∥面ADC 1；
（2）求直线B 1C 1与平面ADC 1所成角的余弦值．
20.如图，在棱长为1的正方体
1111D C B A ABCD -中: （1） 求异面直线1BC 与1AA 所成的角的大小；
（2） 求证：B C A D B 111平面⊥。

21.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，
02,4,60AD AB ABC ==∠=.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）E 是侧棱PB 上一点，记
(01)PE
PB
λλ=<<， 是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为060？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
22.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右
焦点时，弦AB的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1. D
2.A
3.A
4.B
5.A
6.D
7.D
8.D
9.A10.B11.C12.A 13.－1. 14. ﹣16．15.416.
17. a 的取值范围为(]
(),11,2-∞-⋃. 18. （1）余弦值为． （2）．
19：（1）证明：如图，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，
则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），A 1（0，0，4），D （1，1，0），B 1（2，0，4），C 1（0，2，4） ∴
，
，， 设平面ADC 1的法向量为，由
∴取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为
由此可得，
又A 1B ⊄平面ADC 1， ∴A 1B ∥面ADC 1．
（2）解：
，设直线B 1C 1与平面ADC 1所成角为θ，则
，
又θ为锐角，
∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为．
20.（1）解：∵AA1∥BB1，
∴异面直线BC1与AA1所成的角就是BC1与BB1所成的角，即∠B1BC1=45o，
故异面直线BC1与AA1所成的角为45o
（3）证明：如图，连结BD、B1D1 ，
∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又∵BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1 底面A1B1C1D1，
∴A1C1⊥BB1，
∴A1C1⊥平面BB1D1D，
∴B1D⊥A1C1，同理可证：B1D⊥BC1，且A1C1∩BC1= C1
故B1D⊥平面A1C1B
21.
（1）证明：由已知，得，∵，
，
又，∴．又底面，平面，则，∵
平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面
平面．
（2）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．则，因为在平行四边形中，，则，∴
．又，知．设平面的法向量为
，则即取，则
．设平面的法向量为，则即取，则．
若平面与平面所成的二面角为，则，即
，
化简得，即，解得（舍去）或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．
22.（1）由，设a=3k（k＞0），
则，b2=3k2，
所以椭圆C的方程为，
因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，
代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，
所以椭圆C的方程为；（4分）
（2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），
当直线AB与x轴重合时，有，当直线AB与x轴垂直时，，
由，解得，，
所以若存在点E，此时，为定值2．
根据对称性，只需考虑直线AB过点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，
化简得，所以，，
又，
所以，
将上述关系代入，化简可得．
综上所述，存在点，使得为定值2．（12分）。