苏教版八年级上数学期末复习知识点总结例题完美版
苏教版八年级数学上册知识点总结(苏科版)
苏教版八年级数学上册知识点总结(苏科版)知识点总结：第一章：三角形全等全等三角形的定义是指能够完全重合的两个三角形。
全等三角形的形状和大小完全相等，与位置无关。
一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。
三角形全等不因位置发生变化而改变。
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等，周长相等、面积相等，以及对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
全等三角形的判定有边角边公理(SAS)、角边角公理(ASA)、推论(AAS)、边边边公理(SSS)、斜边、直角边公理(HL)。
证明两个三角形全等的基本思路是已知两边时找第三边（SSS），找夹角（SAS），或找是否有直角（HL）；已知一边一角时找一角（AAS或ASA），或找夹边（SAS）；已知两角时找夹边（ASA），或找其它边（AAS）。
第二章：轴对称轴对称图形是指关于直线对称的两个图形。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线的性质定理是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
判定定理是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
角的角平分线的性质定理是角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理是到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
等腰三角形的性质定理是两个底角相等（等边对等角）。
和立方1、定义：开平方和立方是数学中常见的运算。
2、表示方法：开平方用符号√，立方用符号³表示。
3、性质：1）开平方和立方的结果都是实数。
2）开平方和立方运算具有可逆性，即可以进行反向运算。
三、实数的分类1、定义：实数是数学中的一种数值，包括有理数和无理数。
2、分类：1）有理数：可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
八年级数学上册知识点总结(苏教版)
八年级数学上册知识点总结（苏教版）第一章轴对称图形第二章勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意的双重非负性：3、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
苏教版新课标数学八年级上册知识点总结
苏教版八年级数学(上)学问点总结第一章三角形全等1、全等三角形的定义：可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形态及大小完全相等，及位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，及原三角形仍旧全等．．；③三角形全等不因位置发生变更而变更。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的断定：①边角边公理()有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理()有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论()有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理() 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理()有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的根本思路：⑴两边：①找第三边〔〕；②找夹角〔〕；③找是否有直角〔〕.⑵一边一角：①找一角〔或〕；②找夹边〔〕.⑶两角：①找夹边〔〕；②找其它边〔〕.第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的间隔相等。
②断定定理：到线段两个端点间隔相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点．．．．的间隔相等4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的间隔相等。
②断定定理：到角两个边间隔相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三．条边．．的间隔相等。
(完整word版)苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版)
八年级数学(上)期末复习+例题解析第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS 或ASA ）；②找夹边（SAS ）. ⑶已知两角：①找夹边（ASA ）；②找其它边（AAS ）.例题评析例1 已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC ．例2 已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．例3已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ， 求证：①△BEC ≌△DEA ； ②DF ⊥BC ．例4如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .例5 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数.B C DEF A B CEFA OCEBDAABCDE例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明.（2）若AB=8，D E=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。
苏教版八年级上册数学[直角三角形全等判定(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形全等判定（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】【379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【379111 直角三角形全等的判定，例2】【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，【379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、（2016春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC ，∠1=∠2．（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？并说明理由；（2）△CDE 是不是直角三角形？并说明理由．A B CE【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE ，利用“HL ”可证明Rt △ADE ≌Rt △BEC ；（2）是直角三角形，由Rt △ADE ≌Rt △BEC 得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE 是直角三角形．【答案与解析】 解：（1）全等，理由是： ∵∠1=∠2，∴DE=CE ， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL)； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE 是直角三角形．【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．举一反三：【变式】（2015春•澧县校级期中）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD ，AC 与BD 相交于点O ．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC 是何种三角形？证明你的结论．A BC E【答案】证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC 和△DCB 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，,.AC BD BC BC =⎧⎨=⎩ ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL ）；（2）△OBC 是等腰三角形. 理由如下：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC∴△OBC 是等腰三角形.4、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D.（1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.。
苏教版八年级上册数学[平方根(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()20a a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2016春•庐江县期末）已知()22230x y x y ++++=，求2x y -的平方根．【答案】解：， 解得，∴ 2x y -=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
最新苏教版八年级上数学知识点总结
最新苏教版八年级上数学知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形. 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数.二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数.在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.特别地，0的算术平方根是0.表示方法：记作“a ”，读作根号a.性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）.表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）. 表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零. 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小.2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>.（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22.五、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的. （3）运算律加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(第三章 中心对称图形（一）一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角.2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.三、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°. 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°.推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于∙-)2(n 180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°. 6、设多边形的边数为n ，则多边形的对角线共有2)3(-n n 条.从n 边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形.四．平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分.（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积.（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离.平行线间的距离处处相等.5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah五、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线.3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab六、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行 （2）菱形的相邻的角互补，对角相等（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线.3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积 S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半七．正方形1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行 （2）正方形的四个角都是直角（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线.3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形. 先证它是菱形，再证它是矩形. 4、正方形的面积设正方形边长为a ，对角线长为b S 正方形=222b a八、梯形（一） 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰. 梯形的两底的距离叫做梯形的高. 2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形. （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形.（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形 1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行.（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补. （3）等腰梯形的对角线相等.（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线. 3、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.（选择题和填空题可直接用） （四）梯形的面积 （1）如图，DE AB CD SABCD ∙+=)(21梯形 （2）梯形中有关图形的面积： ①BAC ABD S S ∆∆=； ②BOC AOD S S ∆∆=； ③BCD ADC S S ∆∆=八、中心对称图形 1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等. 3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.第四章 数量、位置的变化一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据.二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系.其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴.它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面.2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限. 3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P ，过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标.点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标.平面内点的与有序实数对是一一对应的. 4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x ，y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x ，y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x ，y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x ，y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征点P(x ，y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x ，y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x ，y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x ，y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等 点P(x ，y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同. 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. （5）、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ） (6)、点到坐标轴及原点的距离点P(x ，y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x ，y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x ，y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x ，y)到原点的距离等于22y x + 三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化图形的变化x × a 或 y × a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍x × a， y × a 放大（缩小）为原来的 a 倍 x ×（ -1）或 y ×（ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称 x ×（ -1）， y ×（ -1）关于原点成中心对称 x +a 或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位x +a ， y+ a沿 x 轴平移 a 个单位，再沿 y 轴平移 a 个单第五章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量. 二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围.一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑. 三、函数的三种表示法（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法.（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. （3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法. 四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）.特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数. 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线.k 的符号b 的符号函数图像图像特征k>0b>0 yx图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大.b<0 y0 x图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增大.K<0b>0y0 x图像经过一、二、四象限，y随x 的增大而减小b<0y0 x图像经过二、三、四象限，y随x 的增大而减小.注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例. 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数kx y =有下列性质： （1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.5、一次函数的性质 一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．第六章 数据的集中度1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数2、平均数（1）平均数：一般地，对于n 个数,,,,21n x x x 我们把)(121n x x x n+++ 叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为x .（2）加权平均数：3、众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.4、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.。
苏教版数学八年级上册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
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八年级数学上册知识点总结（苏教版）第一章轴对称图形第二章勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有冗的数，如+8等；（3）有特定结构的数，女口0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“，”读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数 a 的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
注意的双重非负性：3、立方根般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
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苏教版八年级数学知识点总结第一章全等三角形1.1 全等图形能够完全重合的图形叫做全等图形1.2 全等三角形两个能完全重合的三角形叫做全等三角形当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角全等三角形的对应边相等、对应角相等1.3 探索三角形全等的条件两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）第二章轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
2.2 轴对称的性质垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分2.3 设计轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上2.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）三边都相等的三角形叫做等边三角形或正三角形等边三角形的各角都等于60º三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形的对角线相等在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形第三章 勾股定理3.1 勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方3.2 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形3.3 勾股定理的简单运用第四章 实数4.1 平方根如果()02>=a a x ，那么x 叫做a 的平方根，也称为二次方根。
八年级数学上册知识点总结(苏教版)
八年级数学上册知识点总结（苏教版）第一章轴对称图形第二章勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a，b， c 有关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：知足的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的观点及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无穷循环小数实数负有理数正无理数无理数无穷不循小数无理数2、无理数：无穷不循小数叫做无理数。
在理解无理数，要抓住“无穷不循” 一之，起来有四：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意的数，如周率π，或化后含有π的数，如 +8 等；（3）有特定构的数，如 0.1010010001 ⋯等；（4）某些三角函数，如 sin60o等三、平方根、算数平方根和立方根1、算平方根：一般地，假如一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根。
特别地，0 的算术平方根是0。
表示方法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，假如一个数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数 a 的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
注意的两重非负性：3、立方根一般地，假如一个数x 的立方等于a，即 x3=a 那么这个数x 就叫做 a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于全部负数；数轴上的两个点所表示的数，右侧的总比左侧的大；两个负数，绝对值大的反而小。
苏教版新课标数学八年级上册知识点总结
苏教版八年级数学(上)知识点总结第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点．．．．的距离相等4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【388614 全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ） 边边边（SSS ） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边 要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1． 证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2． 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4． 辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、（2015•西城区模拟）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【思路点拨】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．【答案与解析】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△A DG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△A BE和△ADG中，，∴△ABE≌△A DG（SAS），∴A E=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，∴∠EAB ＝∠DAC ＝90°∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、 如图：在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，AB ∥CD.求证：∠B ＝∠ D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC ，∵AD ∥CB ，AB ∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴∠B ＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A ＝∠C ，则连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC 中，AB ＝AC.求证：∠B ＝∠C【答案】证明：过点A 作AD ⊥BC在Rt △ABD 与Rt △ACD 中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）∴∠B ＝∠C.(2)．倍长中线法：【388614 全等三角形单元复习，例8】3、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( ) A.1 ＜x ＜ 6 B.5 ＜x ＜ 7 C.2 ＜x ＜ 12 D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ． 求证：∠PCB +∠BAP=180°．【思路点拨】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．【答案与解析】证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP +∠PAE=180°，∴∠PCB +∠BAP=180°．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•开县二模）如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD 交BD延长线于点E．求证：BD=2CE．【答案】解：如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．【思路点拨】因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，点C 是BD 上一点．且BC ＝DE ，CD ＝AB ．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了.结论仍然不变．举一反三：【变式】如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?【答案】证明：∵∠BCA ＝∠ECD ，∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS)∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。
苏教版八年级数学上册知识点(详细全面精华)
苏教版八年级数学上册知识点第1章全等三角形一、全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）6、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
苏教版八年级数学上册知识点(详细全面精华)
苏教版八年级数学上册知识点(详细全面精华)Chapter 1: Congruent Triangles1.n of Congruent Triangles: Two triangles that can completely overlap each other are called congruent triangles.When two triangles are congruent。
the vertices that overlap each other are called corresponding vertices。
the sides that overlap each other are called corresponding sides。
and the angles that overlap each other are called corresponding angles。
The side een two adjacent angles in a triangle is called the adjacent side。
and the angle formed by two sides that share a common endpoint in a triangle is called the included angle.A triangle can be transformed into its congruent form through n。
n。
or n.2.n of Congruent TrianglesThe symbol "≌" is used to represent congruence。
which is read as "is congruent to"。
For example。
△ABC≌△DEF is read as "triangle ABC is congruent to triangle DEF".Note: When two congruent triangles are denoted。
苏教版新课标数学八年级上册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章三角形全等1 全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
性质： （1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
判定： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”) 证明两个三角形全等的基本思路： （1）、已知两边：①找第三边（SSS ）；②找夹角（SAS ）；③找是否有直角（HL ）. 、已知一边一角：①找夹角（AAS ）；②找夹角（SAS ）；③找是否有直角（HL ）. 、已知两边：①找第三边（SSS ）；②找夹角（SAS ）；③找是否有直角（HL ）. 第二章 轴对称1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3 用坐标表示轴对称 点（x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y 轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一） 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。
苏教版数学八年级上册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
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八年级数学(上)期末复习+例题解析第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.例题评析例1 已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC ．例2 已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．例3已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ， 求证：①△BEC ≌△DEA ；②DF ⊥BC ．例4如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .例5 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数.例6如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .（1）试找出一个三角形与△AED 全等，并加以证明.（2）若AB =8，D E =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ， PG +PH 的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。
BC DEF ACEACDE例7已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系是 ； （2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．复习作业： 解答题1.（1）如下图，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则∠APB=__________。
分析：由于PA ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌_____________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB 的度数。
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如右图，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+FC 2。
2.如图所示，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABC ≌△BAD ． 求证：（1）OA =OB ；（2）AB ∥CD ．3.如图所示，△ABC ≌△ADE ，且∠CAD =10°，∠B =∠D =25°，∠EAB =120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数．4.如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC .求证：（1）EC =BF ；（2）EC ⊥BF .5.已知：如图，AB =AE ,∠1=∠2,∠B =∠E . 求证：BC =ED .6.如图所示，在△ABC 中，AB =A C ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD ，CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC .7.△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，M 点在边AC 上，且CM ＝2，过M 点作AC 的垂线交AB 边于E 点.动点P 从点A 出发沿AC 边向M 点运动，速度为每秒1个单位，当动点P 到达M 点时，运动停止.连接EP ，EC .在此过程中， ⑴ 当t 为何值时，△EPC 的面积为10？⑵ 将△EPC 沿CP 翻折后，点E 的对应点为F 点，当t 为何值时，PF ∥EC ？M8.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，分别以边AB 、BC 、CA 向△ABC 外作正方形ABHI 、正方形BCGF 、正方形CAED ，连接GD ，AG ，BD . ⑴ 如图1，求证：AG ＝BD .⑵ 如图2，试说明：S △ABC ＝S △CDG .（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角） 图1图2第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点．．．．的距离相等 4、角的角平分线：AC BFGEI HACBFGEIH①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三．条边．．的距离相等。
5、等腰三角形：①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
（三线合一）②判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。
（等角对等边）6、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一．．．．这性质。
②判断定理：⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、直角三角形推论：⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：直角三角形常用面积法．．．求斜边上的高。
例题评析1、线段的对称轴有条，是2、线段垂直平分线上的点到的距离相等∵∴3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上∵∴∵∴∴例1：如图，在△ABC中，DE(1)若AC＝6，△ABD的周长是_______；(2)若△ABC的周长是30，△，则AC＝_______．例2：如图，在△ABC中，边BC于点E、点D.(1)若BC＝8，则△ADE(2)若∠BAC=110°，那么∠EAD＝______(3)若∠EAD=100°，那么∠BAC＝______4、角的对称轴有条，是5、角平分线上的点到的距离相等∵又∵∴6、角的内部到距离相等的点在角的平分线上∵又∵∴例3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.(1)若CD=5，则点D到AB的距离为 .(2) 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.例4：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．2.如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．7、等边对等角∵∴8、等角对等边∵FEPBAC∴ 9、等腰三角形、 、 重合（三线合一） （有条对称轴） ∵∵∵ 又∵又∵又∵ ∴∴∴ 例5：（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________． （4）等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =．例6：(1)如图①，在Rt △ABC 中，若AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．(2)如图②，∠ACB=90°,E 、F 为AB 上的点，AE=AC ，BC=BF ，则∠ECF=_____． (3)如图③， AB=AC=DC ，且BD=AD ，则∠B=_____．例7：如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ， 交AB 于点D ，交AC 于点E ．试说明BD ＋EC ＝DE ．例8：如图，已知AB=AC ，AD=AE ．求证：BD=CE ．例9：在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF⊥AC，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴 （2）等边三角形的3个判定方法：③三条边都的三角形是等边三角形 三个角都的三角形是等边三角形 有一个角是的三角形是等边三角形例10：(1)如图①，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．(2)如图②，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．(3)如图③，已知等边△ABC ，AC=AD,且AC ⊥AD ，垂足为A ，则∠BEC ＝_______．① ②③例11：如图，C 为线段AE 上一动点(点C 不与点A 、E 重合)，在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 相交于点O ，AD 与BC 相交于点P ，BE 与CD 相交于点Q ，连接PQ ．下列五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．例12：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．11、直角三角形斜边上的中线等于∵ 又∵∴ 12S ΔABC ==13、直角三角形中，30°的角所对的直角边等于∵又∵ ∴例12：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4 cm，则AB=_______．(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD=．例13：如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．例14：如图，已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．相关练习：1．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．2．如图，在边长为2等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC 平分∠DEF．6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．BE与DF相等吗？请说明理由．7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．试说明：(1) △ACE≌△DCB．(2) PC平分∠APB．8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．( l ）求BE的长；( 2 ）试说明BD=ED9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．（2）在所画图中，①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．②求证：△CDF为等腰直角三角形10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.(1)小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）(3)若只能摆放4根小棒，求θ的范围.12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．(1)试说明DE＝DF．(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．(1)当∠DQC＝30°时，求AP的长．(2)作PE⊥AC于E，求证：DE＝AE＋CD．18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．(1)求∠A的度数；(2)若AC＝6cm，求AD的长度．19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．AC=80 m．BC=60 m．(1)若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；(2)若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?第三章勾股定理勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。