八升九第一讲一元二次方程(一)
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿
人教版九年级数学上册《公式法解一元二次方程》公开课说课稿一. 教材分析《公式法解一元二次方程》是人教版九年级数学上册的一节重要内容。
这一节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过这一节内容的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，对于公式法解一元二次方程的步骤和应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重引导学生掌握公式法解题的步骤，培养学生的解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力和合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握公式法解一元二次方程的步骤和应用。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，进行生动、直观的教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一元二次方程的定义和解法，引导学生进入本节内容的学习。
2.自主探究：让学生自主探究公式法解一元二次方程的步骤，引导学生发现解题规律。
3.案例教学：通过典型案例的讲解，使学生掌握公式法解题的方法和技巧。
4.小组合作：让学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
5.总结提升：对本节内容进行总结，强化学生对公式法解一元二次方程的理解和掌握。
6.巩固练习：布置适量的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力。
八升九暑期预习——函数小结
第一讲函数第一部分平面直角坐标系与函数的认识1. (2019，河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为km.2. (2013，河北)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t s，y＝S△EPF，则y关于t的函数图象大致是()A B C D3. (2011，河北)如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是(A)第3题图A B C D4. (2010，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s 关于t的函数图象大致是()A BC D平面直角坐标系与点的坐标特征例1 在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为()A. (－3，－2)B. (2，2)C. (－2，2)D. (2，－2)针对训练1 (2019，邢台模拟)经过点M(4，－2)与点N(x，y)的直线平行于x轴，且点N 到y轴的距离等于5，则点N的坐标是)A. (5，2)或(－5，－2)B. (5，－2)或(－5，－2)C. (5，－2)或(－5，2)D. (5，－2)或(－2，－2)函数图象的判断与分析例2 (2019，唐山路南区三模)甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是()A. 甲车间每小时加工服装80件B. 这批服装的总件数为1 140件C. 乙车间每小时加工服装60件D. 乙车间维修设备用了4 h针对训练 2 (2019，北京模拟)如图①所示的为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A －F－G－J为高架，以O为圆心的圆盘B－C－D－E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB＝CH＝DI＝EJ，AF＝GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，甲、乙、丙、丁四辆车均以10 m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出．若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交桥后的时间x(s)的对应关系如图②所示，则下列说法错误的是()训练2题图A. 甲车在立交桥上共行驶10 sB. 从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶30 mC. 丙、丁两车均从J口出立交桥D. 从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60 m函数自变量的取值范围例3 (2019，内江)在函数y＝1x＋3＋4－x中，自变量x的取值范围是()A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≤4且x≠－3针对训练3 (2019，哈尔滨)在函数y＝3x2x－3中，自变量x的取值范围是（）.一、选择题1. (2019，东莞模拟)在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是()A. 3B. 4C. 5D. ±52. (2019，上海模拟)在平面直角坐标系中，若点A(－m，n)在第四象限，则点B(1－n，m)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若点A(a＋1，a－2)在第二、四象限的角平分线上，则点B(－a，1－a)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小军对小华说，如果我的位置用(0，－2)表示，小刚的位置用(2，0)表示，那么你的位置可以表示为()A. (－2，－3)B. (－3，－2)C. (－3，－4)D. (－4，－3)5. 已知点P(m－2，6－2m)在坐标轴上，则点P的坐标为()A. (2，0)B. (0，3)C. (0，2)或(1，0)D. (2，0)或(0，3)6. 若点M(3，－2)与点N(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则点N的坐标为()A. (4，－2)B. (3，－1)C. (3，－1)或(3，－3)D. (4，－2)或(2，－2)7. (2019，包头)在函数y＝3x－2－x＋1中，自变量x的取值范围是()A. x＞－1B. x≥－1C. x＞－1且x≠2D. x≥－1且x≠28. (2019，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值是7，则输出y 的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是()A. 5B. 10C. 19D. 219. (2019，邯郸模拟)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有下面的关系：x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A. x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B. 弹簧不挂重物时的长度为0 cmC. 所挂物体质量每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cmD. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm二、填空题10. 在平面直角坐标系中，点(－7，2m＋1)在第三象限，则m的取值范围是（）.11. 已知平面直角坐标系内不同的两点A(3a＋2，4)和B(3，2a＋2)到x轴的距离相等，则a的值为.三、解答题12. 如图，在正方形网格中，点A的坐标是(1，1)，点B的坐标是(2，0)．(1)依题意，在图中建立平面直角坐标系；(2)图中点C的坐标是(－1，－2)，点C关于x轴对称的点C′的坐标是；(3)若点D的坐标为(3，－1)，在图中标出点D的位置；(4)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B′的坐标是，△AB′C的面积为.13. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．14. (2019，石家庄43中模拟)已知O为原点，点A(8，0)及在第一象限的动点P(x，y)，且x＋y＝8，设△OP A的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)求x的取值范围；(3)当S＝12时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．1. (2019，娄底)如图，在单位长度为1 m 的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2 m ，圆心角为120°的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从点A (A 为坐标原点)出发，以每秒2π3m 的速度沿曲线向右运动，则在第2 019 s 时点P 的纵坐标为( )A. －2B. －1C. 0D. 12. (2019，郴州)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数解析式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x ≤－1），|x －1|（x ＞－1）的图象与性质．x … －3 －52 －2 －32 －1 －120 12 1 32 2 52 3 … y…2345143232112121322…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．第2题图(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (－5，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫－72，y 2，C ⎝⎛⎭⎫x 1，52，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1 y 2， x 1 x 2；(填“＞”“＜”或“＝”)②当函数值y ＝2时，求自变量x 的值；③在直线x ＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，且y 3＝y 4，求x 3＋x 4的值；④若直线y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．第二部分 一次函数的图象和性质1. (2016，河北)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( )A B C D2. (2015，河北)如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a (a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( )A. 1<a <2B. －2<a <0C. －3≤a ≤－2D. －10<a <－43. (2014，河北)如图，直线l 经过第二、三、四象限，直线l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上的表示为( )A BC D4. (2011，河北)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限一次函数的图象例1 (2019，辽阳)若ab＜0，且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是()A B C D针对训练1 (2019，承德模拟)一次函数y＝kx＋k的图象可能是()A B C D针对训练2 (2019，潍坊)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，k的取值范围是.一次函数的性质例2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为.针对训练3 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是()A. k＜2，m＞0B. k＜2，m＜0C. k＞2，m＞0D. k＜0，m＜0一次函数解析式的确定例3 (2019，石家庄模拟)如图，已知点A，B，C，D的坐标分别为(－2，2)，(－2，1)，(3，1)，(3，2)．线段AD，AB，BC组成的图形为图形G，点P沿D→A→B→C移动，设点P移动的距离为s，直线l：y＝－x＋b过点P，且在点P移动过程中，直线l随P运动而运动．(1)若直线l过点D，求直线l的解析式；(2)当直线l 过点C 时，求s 的值；(3)①若直线l 与图形G 有一个交点，直接写出b 的取值范围； ②若直线l 与图形G 有两个交点，直接写出b 的取值范围．针对训练4 已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋m －3. (1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；(3)若这个函数是一次函数，y 随x 的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m 的取值范围．一次函数图象的平移例4 (2019，陕西)在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( )A. (2，0)B. (－2，0)C. (6，0)D. (－6，0)针对训练5 (2019，哈尔滨道外区三模)将直线y ＝2x ＋1沿x 轴向左平移1个单位长度，再沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线的解析式为( )A. y ＝2x ＋2B. y ＝2x －2C. y ＝2x ＋1D. y ＝2x －1一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系例5 如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P (n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＜－x －2，－x －2＜0的解集为 .针对训练6 如图，直线y ＝kx 与y ＝ax ＋4相交于点A (1，k )，则不等式kx －6＜ax ＋4＜kx 的解集为( )A. 1＜x ＜52B. 1＜x ＜3C. －52＜x ＜1D. 52＜x ＜3一、 选择题1. (2019，石家庄28中模拟)在函数y ＝－3x ＋4，y ＝74x ，y ＝1＋2x ，y ＝x 2＋2中，一次函数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (2019，石家庄桥西区模拟)下列各点在直线y ＝2x ＋6上的是( ) A. (－5，4) B. (－7，20) C. (－5，－4) D. (7，－20)3. (2019，保定曲阳县模拟)已知直线l 经过点A (4，0)，B (0，3)，则直线l 的解析式为( )A. y ＝－34x ＋3 B. y ＝3x ＋4 C. y ＝4x ＋3 D. y ＝－3x ＋34. (2019，石家庄43中模拟)已知y 与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝－2，则当x ＝3时，y 的值为( )A. 2B. －2C. 3D. －35. (2019，杭州)已知一次函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝bx ＋a (a ≠b )，函数y 1和y 2的图象可能是( )A B C D6. 下列关于一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. y 随x 的增大而减小 C. 图象与y 轴相交于点(0，b ) D. 当x ＞－bk 时，y ＞07. (2019，北京丰台区一模)函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么当y ＞0时，x 的取值范围是( )A. x ＞1B. x ＞2C. x ＜1D. x ＜28. (2019，唐山路南区模拟)已知一次函数y ＝－0.5x ＋2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. －69. (2019，河北模拟)若一次函数y ＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)图象上的点满足下表，则方程ax ＋b ＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3 y642－2－4A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝3二、 填空题10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1＜x 2，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)11. (2019，上海模拟)如果关于x 的一次函数y ＝mx ＋(4m －2)的图象不经过第二象限，那么m 的取值范围是（ ）.12. 一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3＜y ＜3时，x 的取值范围是13. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是 .14. (2019，葫芦岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(2，0)，直线y＝3x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为.三、解答题15. (2019，石家庄43中模拟)已知一次函数y＝－2x－6.(1)画出函数的图象；(2)求图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；(3)求A，B两点间的距离；(4)求△AOB的面积；(5)利用图象求当x为何值时，y＞0.1. (2019，盐城)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分别交x轴、y 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的解析式是（）.2. (2019，唐山路南区一模)如图，直线l1：y＝2x＋1分别与x轴、y轴相交于点D，A，直线l2：y＝mx＋4分别与x轴、y轴相交于点C，B，两直线相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)求S△PDC－S△P AB的值；(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别相交于点M，N.若线段MN的长为2，求a 的值．第三部分 一次函数与几何图形1. (2018，河北)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1相交于点C(m ，4)．(1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．2. (2017，河北)如图，在直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉淇有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．3. (2008，河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴相交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2相交于点C.(1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的解析式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．求b 的取值范围(平移)例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是(B )A. －1≤b ≤1B. －12≤b ≤1C. －12≤b ≤12 D. －1≤b ≤12针对训练1 如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M (－2，0)与动点P (0，t )的直线MP 记作l .(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．求k 的取值范围(旋转)例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，4)，B (3，0)，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y ＝kx ＋3.(1)当直线l 经过点D 时，求点D 的坐标及k 的值； (2)当直线l 与正方形有两个交点时，求k 的取值范围．针对训练2 如图，已知一次函数y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)，A (－2，1)，C (－2，－3)，B (1， －3)．(1)求证：点M (2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上一点．若S △CBP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)与△ABC 有公共点时，求k 的取值范围．一次函数与图形面积的问题例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴的负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．针对训练3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (5，3)，点B (－3，3)，过点A 的直线y ＝12x ＋m (m 为常数)与直线x ＝1相交于点P ，与x 轴相交于点C ，直线BP 与x 轴相交于点D .(1) 求点P 的坐标；(2) 求直线BP 的解析式，并直接写出△PCD 与△P AB 的面积比；(3)若反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象与线段BD 有公共点时，请直接写出k的最大值和最小值．一、 选择题 1. (2019，石家庄27中模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，2)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y ＝23x 上，则点B 与其对应点B ′间的距离为( )A. 94B. 3C. 4D. 52. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，2)，对角线AC ⊥x 轴，点A 在第二象限，直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴分别相交于点N ，M .将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点A 落在MN 上时，m 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l .若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则满足条件的直线l 的条数是( )A. 5B. 4C. 3D. 24.如图，直线l 的解析式为y ＝3x ＋3.若直线y ＝a 与直线l 的交点在第二象限，则a 的取值范围是( )A. 1＜a ＜2B. 3＜a ＜4C. －1＜a ＜0D. 0＜a ＜3 5. (2019，深圳福田区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝－24x ＋1与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线l 2：y ＝kx (k ≠0)与直线l 1在第一象限相交于点C .若∠BOC ＝∠BCO ，则k 的值为( )A.23 B. 22C. 2D. 2 2 6. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，P 为OA 上一动点．当PC ＋PD 的值最小时，点P 的坐标为( )A. (－3，0)B. (－6，0)C. ⎝⎛⎭⎫－32，0D. ⎝⎛⎭⎫－52，07. (2019，廊坊安次区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(2，2)．若直线y ＝kx ＋5＋2k (k ≠0)与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( )A. －23≤k ≤－14B. －2≤k ≤－23C. －2≤k ≤34 D. －2≤k ≤2且k ≠0二、 填空题8. (2019，营口一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点B 的坐标为(4，4)，直线y ＝mx －2恰好把正方形ABCO 的面积分成相等的两部分，则m ＝ .9. (2019，青岛模拟)有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD 是灰色区域(含长方形的边界)，如图所示，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (－1，2)．用信号枪沿直线y ＝kx －2发射信号，当信号遇到灰色区域时，区域便由灰变白，则能够使灰色区域变白的k 的取值范围是（ ）.10. (2019，长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，点P (a ，1)在直线y ＝－2x ＋2与直线 y ＝－2x ＋4之间，则a 的取值范围是( ).11. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则kb的值为( ).三、解答题12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴相交于点D，C.(1)若OB＝4，求直线AB的解析式；(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1) 求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴相交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C在点D 上方时，直接写出n的取值范围．1. (2019，包头一模)如图，已知点A 的坐标为(3，0)，直线y ＝kx ＋b (b ＞0)与直线y ＝x 平行，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，B ，连接AB .若α＝75°，则直线y ＝kx ＋b 的解析式为.2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2的交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3 ，直线l 3与y 轴相交于点B ，与直线l 2相交于点C ，点C 的纵坐标为－2，直线l 2与y 轴相交于点D .求：(1)直线l 2的解析式；(2)△BDC 的面积．第四部分一次函数的实际应用1. (2019，河北)长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为s头(m)．①②第1题图(1)当v＝2时，解答：①求s头与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲(m)，求s甲与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v之间的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．2. (2015，河北)如图，水平放置的容器内原有210 mm高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y关于x大的函数解析式；(不必写出x大的取值范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球的个数为x小．①求y关于x小的函数解析式；(不必写出x小的取值范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？3. (2011，河北)已知A，B两地之间的路程为240 km.某经销商每天都要用汽车或火车将x t保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象(如图①)、上周货运量折线统计图(如图②)等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价/[元/(t·km)]冷藏费单价/[元/(t·h)]固定费用/(元/次)汽车25200火车 1.65 2 280(1)汽车的速度为km/h，火车的速度为km/h；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火关于x 的函数解析式(不必写出x的取值范围)，及x为何值时y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下一周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省．图象型一次函数应用题例1 (2019，长春)已知A，B两地之间有一条270 km 长的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60 km/h 的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为km/h，a＝，b＝；(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当甲车到达距B地70 km处时，求甲、乙两车之间的路程．针对训练1 (2019，大连)甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行．图①是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走的时间x(单位：min)之间的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位：min)之间的函数图象，则a－b＝( ).表格型一次函数应用题例2 (2019，邯郸一模)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x 天销售量为p 件，销售单价为q 元．经跟踪调查发现，这40天中p 与x 的关系保持不变，前20天(包含第20天)，q 与x 的关系满足关系式q ＝30＋ax ；从第21天到第40天中，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 第x 天 10 21 35 q /(元/件)354535(1)a 的值为 ；(2)求从第21天到第40天中，q 与x 满足的关系式； (3)若该网店第x 天获得的利润为y 元，并且已知这40天里前20天中y 与x 的函数关系式为y ＝－12x 2＋15x ＋500.①这40天中p 与x 的关系式为 ； ②求这40天里该网店第几天获得的利润最大．针对训练2 (2019，威海)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380 m 的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度制作而成的.施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/m3570105140160215270325380下列说法错误的是( ) A. 甲队每天修路20 m B. 乙队第一天修路15 mC. 乙队技术改进后每天修路35 mD. 前七天，甲、乙两队修路长度相等文字型一次函数应用题例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450 t ．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t.(1)求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨；(2)现公司需将300 t原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m t原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式；(不要求写出m的取值范围)(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．针对训练3 实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是( )．一、选择题1. 2017年某省财政收入比2016年增长8.9%，2018年比2017年增长9.5%.若2016年和2018年该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式为()A. b＝a(1＋8.9%＋9.5%)B. b＝a(1＋8.9%×9.5%)C. b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%)D. b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)2. 等腰三角形的周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm 之间的函数关系式是()A. y＝20－2xB. y＝20－2x(5＜x＜10)C. y＝10－0.5xD. y＝10－0.5x(10＜x＜20)3. (2019，聊城)某快递公司每天上午9：00—10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为()A. 9：15B. 9：20C. 9：25D. 9：304. 某工厂加工一批零件，为了提高工人工作的积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a 件，则每件3元；超过a 件，超过部分每件b 元．如图所示的是一名工人一天获得薪金y (元)与其生产的零件数量x (件)之间的函数关系，则下列结论错误的是( )A. a ＝20B. b ＝4C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产零件50件D. 若工人乙一天生产零件m 件，则他获得薪金4m 元5. (2019，宜宾模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，P 为BC 上的一点．设BP ＝x (0＜x ＜2)，则△APC 的面积S 与x 之间的函数关系式是( )A. S ＝12x 2 B. S ＝2x C. S ＝2(x －2) D. S ＝2(2－x )6. (2019，辽阳)一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A ，B 两村相距10 km ； ②出发1.25 h 后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8 km ；④相遇后，乙又骑行了15 min 或65 min 两人相距2 km. 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、 填空题7. 某商户购进一批苹果到农贸市场零售．已知卖出的苹果数量x (kg)与收入y (元)的关系如下表：数量x /kg 1 2 3 4 5 … 收入y /元2＋0.14＋0.26＋0.38＋0.410＋0.5…则收入y (元)与卖出苹果数量x (kg)之间的函数关系式是y ＝ .8. (2019，重庆B)一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23 min 到学校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程y (m)与小明从家出发到学校的步行时间x (min)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 .三、 解答题9. 某新建小区要修一条1 050 m 长的路，甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经了工程队 每天修路的 长度/m单独完成 所需天数每天所需 费用/元 甲队 30 n 600 乙队mn －141 160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n ＝ ，乙队每天修路的长度m ＝ m ； (2)甲队先修了x m 之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程(其中x ，y 为正整数)．①当x ＝90时，求出乙队修路的天数；②求y 关于x 的函数解析式；(不用写出x 的取值范围)③若总费用不超过22 800元，求甲队至少要先修多少米．10. 小明放学后从学校回家，出发5 min 后，同桌小强发现小明的数学作业忘记拿了，他立即拿着数学作业按照同样的路线去追赶小明．小强出发10 min 后，小明才想起没拿数学作业，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y (m)与小强所用时。
苏科课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程1.1一元二次方程教案
苏科课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程11教学内容与学情本节课的教学内容是苏科版«义务教育教科书·数学»九年级上册第一章第1节〝一元二次方程〔第1课时〕〞．在七、八年级先后学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式〔组〕和分式方程，先生对〝元〞、〝次〞、〝方程〞、〝解〔根〕〞、〝解方程〞等概念已比拟明晰，并且知道方程是描写理想生活中数量关系的有效模型；一元二次方程是提醒理想世界数量关系的又一个重要的数学模型，它既是方程自身内容进一步丰实的需求，也是后续学习二次函数以及高中数学的基础．2教学目的〔1〕了解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的解和解一元二次方程的意义；〔2〕能依据的一元二次方程编写相应的生活情境，也能依据实践效果中的数量关系列方程，从中感受一元二次方程是提醒理想世界数量关系的一个有效的数学模型；〔3〕阅历一元二次方程概念的生成与逻辑建构进程，体会由特殊到普通、分类和化归等数学思想方法，感受概念学习的基本方式，逐渐构成数学阅历体系．3教学重点、难点重点：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是提醒理想世界数量关系的一个重要的数学模型；难点：阅历具表达实原型与笼统数学模型之间的数学化进程，用一元二次方程描画复杂效果中数量之间的相等关系．4教学进程设计4．1 概念构成〔是什么？〕概念构成普通阅历4个阶段：〝感知看法阶段〞、〝分化实质属性阶段〞、〝概括构成定义阶段〞和〝运用与强化阶段〞．4．1．1 感知看法本节课我们末尾学习〝一元二次方程〞，你能写出1个一元二次方程吗？你能再写出类型不同的一元二次方程吗？【有效性剖析】先生对〝元〞、〝次〞、〝方程〞的概念已比拟明晰，类比地写出几个一元二次方程，让先生构成直观感受；概念笼统需求典型实例，经过〝类型不同〞引发先生深度参与，逐渐向数学对象的实质属性迫近.4．1．2 分化实质以下方程是不是一元二次方程？为什么？①y 2=－3；② x 2+1x +2=0； ③ x 〔x －1〕=x 2；④ax 2+3x+1=0.【有效性剖析】应用正例和反例变换非实质属性特征，笼统特性特征，概括实质特征．〝群众化〞的方程没有争议，以无实根型、分式方程、化简后不含x 2型以及二次项系数不确定型等有〝特性〞的方程引发认知抵触，从而促进一种共同的认知愿望：必需明白〝一元二次方程〞的定义，这既是一个思想实质性参与进程，又是一个孕育概念生长点的进程．4．1．3 概括定义效果1：你以为什么叫做一元二次方程？⑴文字定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． ⑵符号定义：形如ax 2+bx+c=0〔a 、b 、c 是常数，a ≠0〕的方程叫做一元二次方程． 我们把ax 2+bx+c=0〔a 、b 、c 是常数，a ≠0〕叫做一元二次方程的普通方式，其中ax 2叫做二次项、bx 叫做一次项、c 叫做常数项，a 、b 区分叫做二次项系数、一次项系数．思索：①如何了解〝未知数的最高次数是2〞这个条件？②在普通方式中，假设b=0或c=0，那么一元二次方程具有怎样的方式？【有效性剖析】有以前学习方程的阅历和看法基础，先生具有由详细思想向方式化思想转变、归结一元二次方程定义的才干．数学思想方法孕育于知识的发作开展进程中，思索的两个效果是等价的，凸出了概念的外延和外延，一方面看法到一元二次方程方式的多样性，另一方面也加深了对概念实质的了解．4．1．4 运用强化例1 关于x 的方程〔m 2－4〕x 2+〔m ＋2〕x －m+2=0．⑴当m______时，该方程为一元二次方程；⑵假定该方程为一元一次方程，那么m=______．【有效性剖析】引导先生育成从基本概念动身思索效果、处置效果的习气，突出一元二次方程基本概念所包括的思想方法，在感受数学分类的必要性的同时，训练思想的缜密性． 4．2 建构活动〔学什么？〕效果2〔先留空〕：你以为，这个效果应该是什么？ 或许说，此刻我们应该提出什么效果？【有效性剖析】先生自动提出效果也是需求引导的．这个留空效果的出现，激起先生思索，我们曾经知道了一元二次方程的定义〔从哪里来〕，接上去当然应该研讨一元二次方程的其它内容〔到哪里去〕，这是认知的自然趋向；先生应该有这种自主建构学习内容体系的学习倾向和自动提出效果的看法，这种把自动权还给先生的做法有益于促进学习方式的改动．经过回想与重构，〝我们应该如何学习一元二次方程？〞或许〝接上去我们应该学习一元二次方程的哪些内容？〞这类效果呼之欲出，〝⒈定义；2.解；3.解方程；4.列方程处置效果.〞的认知框架水到渠成．为了强化自动提出效果的看法，积聚提出效果的阅历，教员可以追问：〝你是怎样想到这样提出效果的？〞〝提这样的效果合理吗？〞．4．3 数学探求〔怎样学？〕4．3．1自主探求结合我们自己写出来的方程，同窗们先独立思索：刚才我们所提出的几个效果中，哪些你能处置？哪些你可以尝试处置？【有效性剖析】一元二次方程的方式多样、系数复杂，招致解方程的方法多样性与复杂性共存，这些需求先生自主看法与感受；这里不在于能否处置了效果，而在于思想的层次与实质——发现了悬而未决的效果，这既是突出中心概念的进程，也是打破难点的进程．4．3．2协作交流⑴一元二次方程的解的意义各组代表陈说〔可以结合已写出的方程，也可以重新写〕，突出以下几个效果：①什么叫〝一元二次方程的解〞？②如何验证一个值能否为一元二次方程的解？你发现一元二次方程的解与我们以前学过的方程的解有何异同？⑵解一元二次方程的感受如何确定〔或找到〕一元二次方程解？先生对照自己写出的方程说明．例如对9x2=4型的可以经过开平方，对〔x－1〕〔x+2〕=0或x2－5x=0型的可以经过因式分解，而x2=－5型的没有实数根；当然，像2x2－5x=1等型的方程目前尚难处置，这正是我们本章要学习的内容，前面将有十分巧妙的解法等候着我们！反过去，假设解，你能编写出一元二次方程吗？能编出不同的一元二次方程吗？①你能写出一个以1和－2为根的一元二次方程吗？许多先生会写出〔x－1〕〔x+2〕=0型的方程，教员可以用〝你是怎样想到这样编写的？〞初步构成编写的阅历．②你能写出一个只以3为根的一元二次方程吗？③你能写出一个没有实数根的一元二次方程吗？④你能写出一个有3个实数根的一元二次方程吗？【有效性剖析】先生阅历编写进程〔逆向思想〕，或容许以翻开解方程〔找方程的解〕的渠道，让数学活动由方程的〝解〞向〝解方程〞自然过渡；在尝试解方程的进程中感受化归求简的思想方法．⑶列一元二次方程处置效果的尝试在我们所写的一元二次方程中选择1个你喜欢的方程，举1个相应的生活效果，使得该方程可以描画其中数量之间的相等关系〔能处置其中的效果〕．先生能够会选择以下方程编写生活效果：①〔x －1〕2=2，应用正方形面积来编；一个正方形的边长减小1，失掉的新正方形的面积为2，那么这个一元二次方程就可以描画原正方形的边长与新正方形面积之间的数量关系；②x 〔x+1〕= 6，应用长方形面积来编；长方形的长比宽多1cm ，面积为6cm 2，假设设宽为xcm ，那么这个一元二次方程就可以描画长方形的宽与面积之间的数量关系．③x 2+〔x －1〕2=25，应用勾股定理来编；一个直角三角形两条直角边的差为1cm ，斜边长为5cm ，那么这个一元二次方程就可以描画直角边的长与斜边长之间的数量关系．教学时，还可以补充一些典型效果，例如：例2 某种品牌电脑延续两次降价〔降价率相反〕，单价由原来的6400元降到4900元，求每次降价率．独立作答，然后由1名同窗讲述．设每次降价率为x ，那么〔1—x 〕2=4964，这是一元二次方程，同窗们可以尝试去解它．【有效性剖析】这些效果源于生活，回归教材；例2经过一个相对完整的处置效果的进程，表达一元二次方程的适用价值，领悟到〝为什么要学？〞4．4 教学小结效果3：阅历了一元二次方程的〝第1节课〞，我们取得了哪些学习阅历？【有效性剖析】反思自己的学习进程，积聚学习阅历，用阅历了解数学，在了解中学会，在学会中会学．阅历提升：学习一个数学对象，我们往往先对它有一个结构性的看法，以以下方式展开，逐渐提醒它的实质．4．5 目的检测〔5分钟训练〕见«目的检测»．5 教学设计说明与教后反思5．1 〝第1节课〞的义务作为本章〝第1节课〞，这节课的教学性质是以效果趋动的概念教学课，不是章头导学课，更不是单元教学课．〝第1节课〞的义务主要有三点：〔1〕胸中有〝森林〞，就是感知本章〔或单元〕的逻辑结构和学习蓝图，让学习一直坚持在〝抬头看路〞的微观形状；〔2〕眼前有〝树木〞，就是了解一些自然生成的数学对象和基本概念；〔3〕脑海有〝套路〞，就是阅历本章〔或单元〕框架的生成与构建进程，全体掌握知识间的逻辑关系，体会概念学习的基本套路．5．2 效果情境的价值效果情境的价值不外乎为教学活动提供三个方面的效劳：取得研讨的对象、提出研讨的效果、找到研讨的方法．数学对象有时是内隐的，人们对它的看法需求由具象〔生活原型〕到表象〔过渡雏形〕，再到笼统〔数学模型〕；数学对象不一定来自生活原型，有时来自先生实践，来自先生的阅历．下面回答两个疑问：⑴本节课的效果情境是什么？一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的学习都表达了〝从效果到方程〞的看法观，本节课跳过生活实例〔预设的〝相关〞情境〕，直入课题，对〝元〞、〝次〞、〝方程〞、〝解〔根〕〞、〝解方程〞等概念停止回想与迁移，在罗列和区分一元二次方程的进程中构成认知抵触，一元二次方程的定义成为迫切的需求．数学概念来源于两方面：一是对生活效果的直接笼统；二是在已有知识和阅历上的逻辑建构．本节课的效果情境就是先生已有的知识与认知阅历，以及在自主建构中所构成的认知抵触．这种情境迎合先生的学习内趋，更能表达数学的实质，更能将留意力集结到主题下去．一个徒具方式的〝把先生塞进汽车〞的情境并不比开门见山值得一定．⑵对一元二次方程认知的笼统逻辑建构以及从效果情境动身突出方程模型思想的功用，哪个更有价值？对一个新的数学对象，我们普通阅历从外表到实质、从笼统到详细、从孤立到系统的看法进程．教学活动要特别关注知识的〝生长点〞和〝归结点〞，先生以往学习方程的阅历有利于一元二次方程新认知的异化，但一元二次方程对方程的认知既有量的添加，又有质的变化，先生会发生新的疑问：为什么一元二次方程有多种解法？为什么要研讨一元二次方程根的判别式？等等，这些新的疑问促使先生对原有认知结构停止改造〔新认知的顺应〕．让先生在自主建构进程中开掘数学概念包括的价值观资源，提高解读概念所反映的数学思想方法的才干，这是数学教育的价值所在．无须置疑，用方程描写效果成为先生的一种自觉的需求〔方程模型思想〕，是方程教学的中心价值．为了力图完成这一价值，本节课设计了两个不同思想层次的〝编写〞，先是编写方程，但先生所编写的方程未必从生活效果中来，不乏x2+x=0这些〝裸方程〞，后是依据方程编写效果情境，这时先生必需回到生活效果中去，经过逆笼统体会效果情境的价值．5．3 坚持为了解而教〔1〕了解数学开展的规律．数学概念、数学方法和数学思想的来源与开展都是自然的，一是知识的逻辑顺序自然，二是先生的心思认知自然．数学概念教学要让先生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在树立、开展实际或处置效果中的作用，甚至要让先生体验数学家们发现数学规律的心路历程，这一历程闪耀着人类智慧的光芒，它对人类的贡献不只仅在于数学结论，更重要的是孕育了一种肉体质量和这种肉体质量的教育功用．〔2〕了解数学思想的方式．数学教学是对特定数学对象构成序列概念性看法的思想活动，数学学习是数学思想方式的学习．数学思想方式孕育于知识的发作开展进程中，在教学活动中，教员要引导先生从数学角度看效果，擅长自动提出效果，有条理地停止理性思想、严密求证、逻辑推理和明晰准确地表达，不时反思〝这么想对吗？〞、〝为什么应该这么想？〞，逐渐构成合理的数学思想方式．〔3〕了解数学教育的价值．数学教育的中心价值是经过数学教育人思想．教员要引导先生经过对数学迷信与人类社会开展之间的相互作用的了解，体会数学的迷信价值、运用价值和人文价值，培育严谨态度和探求肉体，以及能引发发明动力的价值观念，这种观念在以后仔细学习数学与运用数学处置效果的进程中将逐渐生成并强固起来，受益终身．。
数学全国版教案 八升九-11一元二次方程的实际应用
《动态数学思维》教案（3）解这个方程，得：_______________；（4）检验：_____________；（5）答：比赛组织者应邀_______个队参赛. 答案：（1）x-1，28；（2）12x(x-1)=28；（3）x1=8，x2=-7；（4）x2=-7＜0（舍去）；（5）8.学生独立完成，并请一名学生讲解.以渔得鱼（学生独立完成，并指定基础薄弱的学生回答）学校组织“运动让生活更美好”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队有多少支？答案：解：设参赛球队有x支，则12x(x-1)=21，解得：x1=7，x2=-6.因为-6＜0，所以舍去.答：参赛球队有7支. 总结：1.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.2.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).三、知识检验若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.3.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.4.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).如图所示，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？答案：（1）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=150，解得：x1=10，x2=7.5.当x=10时，35-2×10=15，15＜18，符合题意.当x=7.5时，35-2×7.5=20，20＞18，不符合题意.答：鸡场的长为15米，宽为10米.（2）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=200，整理得：2x2-35x+200=0.因为 =b2-4ac=(-35)2-4×2×200=-375＜0，所以该方程无实数根.答：围成鸡场的面积不能达到200平方米.总结：①应用一元二次方程解决图形面积问题时，首先确定图形边长的数量关系，然后由图形面积建立一元二次方程并求解；②注意所求结果需满足实际情况.拓展延伸：2.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.（1）求出S 关于t 的函数关系式； （2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？答案：（1）解：①当t ＜10s 时，P 在线段AB 上，此时CQ =t ，PB =10-t . 所以S =12t (10-t )=-12t 2+5t . ②当t ＞10s 时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ =t ，PB =t -10.所以S =12t (t -10)=12t 2-5t . （2）解：因为S △ABC =12AB ·BC =50.①当t ＜10s 时，S =-12t 2+5t =50. 整理得t 2-10t +100=0无解. ②当t ＞10s 时，S =12t 2-5t =50. 整理得t 2-10t -100=0，（2）若该酒店希望每天净利润为14000元且能吸引更多的游客．．．．．．．，则每件客房的定价应为多少元？答案： （1） 60-10x ；200+x ；20(60-10x). （2）解：由题意可得：(200+x -20)(60-10x)=14000. 整理得：x 2-420x +32000=0， 解得：x 1=100，x 2=320.当x =100时，200+100=300（元），60-10010=50（间）. 当x =320时，200+320=520（元），60-32010=28（间）. 所以当x =100时，能吸引更多的游客. 答：每间客房的定价应为300元. 总结：①应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：②注意所求结果需满足题意要求.拓展延伸：1.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但是商店为了适当增加销售，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元.（1）第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为 （用x 的关系式表示）.（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格.答案：（1）200+50x ；（2）由题意得：4×200+(4-x )(200+50x )+(4-6)(600-200-200-50x )=1250. 整理得：x 2-2x +1=0. 解得：x 1=x 2=1. 10-1=9（元）.答：这批旅游纪念品第二周的销售价格为9元.三、知识检验6.如图所示，小华要将一幅长120cm ，宽20cm 的书法进行装裱，装裱后的矩形面积是5600cm 2，并使上、下、左、右边衬的宽度相同，那么四周边衬的宽度是多少厘米？7.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个.定价每增加1元，销售量将减少10个.（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少．．．．．．，则每个定价为多少元？（2）当每个小家电定价为多少元时，商店可获得的利润最大.8.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示（阴影部分为草坪）.请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.①甲方案设计图纸为图①，设计草坪的总面积为600平方米；②乙方案设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600平方米；③丙方案设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540平方米.拓展创新：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm.有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm／s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm／s.若设P出发后时间为t 秒.连接AP，PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值.答案：解：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7，t2=6-7（舍）.∴当t =6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为6-7秒、5秒、7秒、6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .四、课堂小结1.传播问题：设平均每轮每个传播的数值为x.初始值第一轮第二轮m m+mx(m+mx)+(m+mx)x若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.2. 赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.双循环（分主客场）比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).3.平均增长(下降)率问题：设平均增长(下降)率为x.原始值第一次增长(下降)第二次增长(下降)a a±ax(a±ax)±(a±ax)x若经过两次相同百分率的变化后数值为b，则有方程a(1±x)2=b.4. 应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：5. 注意所求结果需满足题意要求.知识检验答案2. D3. 94. 405.解：（1）设每年的平均增长率为x，则2500(1+x)2=3600，解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）.0.2=20%.答：每年的平均增长率为20%.（2）3600×(1+0.2)=4320（万元）答：2017年该县投入的教育经费为4320万元.6.解：设四周边衬的宽度为x cm，则(120+2x)(20+2x)=5600，解得：x1=10，x2=-80（舍）.答：四周边衬的宽度是10cm.7.解：（1）设定价为x元，则销售量为[400-10(x-50)]元，由题意可得：(x-40)[400-10(x-50)]=6000，解得：x1=60，x2=70，当x=60时，进货量为400-10×10=300（个）；当x=70时，进货量为400-10×20=200（个）.所以当x=20时，进货量较少.答：每个定价为70元，可获得利润6000元，并且使进货量较少.（2）设定价为x元，利润为W元，则：W=(x-40)[400-10(x-50)]=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250所以当x=65时，W最大为6250.答：即每个定价为65元，获得的利润最大，最大利润为6250元.8.解：设道路宽度都为x m，①(35-2x)(20-2x)=600；②(35-x)(20-x)=600；③(35-2x)(20-x)=540.拓展创新：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t17，t2=67（舍）.∴当t 7△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为67秒、5秒、7秒、7秒时，△PCQ面积为3cm2 .。
数学 教案人教版 八升九-1 二次根式的性质与运算
第一讲二次根式的性质与运算［教学内容］暑期衔接版，八升九第一讲“二次根式的性质与运算”.[教学目标]知识与技能1.掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.2.理解二次根式的双重非负性.3.理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行化简计算.数学思考在研究二次根式性质的过程中，建立符号意识，独立思考，体会类比、分类讨论的思想方法. 问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：二次根式的概念与性质.难点：二次根式的概念的理解及性质的运用.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时第二课时答案：【类似性问题】1. D2. C3. C4. A5. 56. 解：根据题意得解得所以3x+2y=3×2+2×5=16，故3x+2y的平方根是±4．7.解：∵,∴解得6≤x<9.又∵x为奇数，∴x=7.∴===8+2.手册答案1. B2. C3. C4. A5. C6. B7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）8.9. 810. x11. 3ab12.解：∵c＜a＜0＜b，∴原式=｜b-a｜-｜b｜+｜c-b｜-｜a-c｜=b-a-b-（c-b）-（a-c）=b-a-b-c+b-a+c=-2a+b．13.解：（1）∵（ab-2）2+=0，∴解得（2）当a=2，b=1时，===1-=．。
一元二次方程的解法-公式法1(新编201908)
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徒跣绕床大叫 患於形式不均 捷期云速 邪趋金陵 戍主弃城走 闰月 降霍省序 嘉陶朱之鼓棹 庄子 赐与甚厚 再呼 既长 师伯平都县子 安北 诸如此事 起义於上庸 略小不忍 辄已语之 停省十余日 加以频岁衅难 湛改领历阳太守 是用悼心失图 因除尚书仆射 张长史言不可异也 遂令无名 小人来相掩袭 熙先藉岭南遗财 不可稽缓 贫何由乐 领尚书令 不谓同恶相济 观鸣鹿之食苹 方今乃知其信 皆有屯兵 故惟疑累年 光世乃北奔薛安都 下成众气 大明元年 逆党陈叔儿等 使僚佐悉称名 镇军并皆年少 士颂歌於政教 未足多建茅土 庆之为设规略 情礼兼至 出为永嘉太守 以 疗渴耳 人情乃安 以自通乎 荆州闻浓湖平 裁不十百邪 世祖曰 亦在郡内 作《竹竿》之诗 笑不倾妩 枚卜之方 据鞍陵厉 便极言奸状 且道亦不可 湘 今有何愆 袭封康乐公 诞将周丰生驰告庆之 世祖遣将马文恭向萧城 而藉遇深重 进之世祖 先代盛典 当触明科 鸟集柯呜 诏赐还葬 太祖 又北伐 谥曰愍侯 萧惠开遣费欣寿等五千人攻叔儿 野葛根 先是 皆加秩 济阳考城人 南北秦八州诸军事 不肯时发 贵游莫及 相持既久 镇戍有常 府门每旦常有数百乘车 诳文敬曰 柳元景之诛也 好读书 又有鸱栖其帐上 领丹阳尹 夫忠烈之情 国愿言於先茔 襄阳星恶 不可先退 敦怙宠而 判违 朕以寡暗 《记》云 时历城众少食多 景仁长直 皆竹貌也 不足以垂圣虑 百不存一 亦何议於兼求 彭棑多开隙 琰虏掠而退 蔼子鲁连 休范举兵袭京邑 至江陵郭外 有能名 款跨纡萦 不堪居上流 事祖母及母 提毓黔首 以为右长史 门无异客 母熊自以身贴钱 字徽渊 又历观前代 对曰 世祖即位 太子詹事刘湛代为领军 说《四真谛》处 明年致事 挟震主之威 北向结陈 出为永嘉太守 乘轻舸二百 此亦仁者所为伤心者也 以公主忧不拜 妹适东莞刘宪之 夫盗马绝
第4课：公式法+解一元二次方程-2024年暑假八升九人教版数学衔接讲义
第4课：公式法——解一元二次方程八升九人教版数学衔接讲义 素养目标：1、理解一元二次方程的求根公式的推导过程2、熟记求根公式，并理解公式中的条件3、能熟练地运用求根公式解一元二次方程教学重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程教学难点：求根公式的推导回顾旧知：直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：10862=++x x 直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：10132=+-x x 直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：102=++c bx ax知识点一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程）0(02≠=++a c bx ax ;① 当△=ac b 4-2＞0，方程有两个不相等的实数根；② 当△=ac b 4-2= 0，方程有两个相等的实数根； ③ 当△=ac b 4-2= 0，方程没有实数根；例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：912420343122-==-+x x x x ）（）（例2、m 为何值时，关于x 的一元二次方程018-2=+x mx ；（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．例3、关于 x 的一元二次方程02-2=+m x x 有两个实根，求m 的取值范围.针对练习1、若关于 x 的一元二次方程2212=+--m mx x m ）（有实数根．求 m 的取值范围.针对练习2、不解方程，判断关于 x 的方程02222=++k kx x 的根的情况.针对练习3、在等腰 △ABC 中，三边长分别为 a ，b ，c ，其中a = 5，若关于x 的方程0622=-+++b x b x ）（有两个相等的实数根，求 △ABC 的周长.知识点二、公式法——解一元二次方程由上可知，当Δ≥0时，方程）0(02≠=++a c bx ax 的实数根可写为2422-±∆-±-==b b b ac x a a 的形式，这个式子叫做一元二次方程）0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式20ax bx c ++=，确定a 、b 、c 的值（注意符号）；（2）求出判别式24b ac ∆=-的值，判断根的情况；（3）在240b ac ∆=-≥（注：此处∆读“德尔塔”）的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式2422-±∆-±-==b b b ac x a a进行计算，求出方程的根．例1、 套用公式：：计算确定系数：化为一般形式：）（）解方程：（∆=+-=--012222074122x x x例2、套用公式：：计算确定系数：化为一般形式：）（）（）解方程：（∆-=-=++=-524338121351222x x x x x x x x例3、05422072122=--=-+x x x x ）（）：（用两种方法解下列方程针对练习1、用公式法解下列方程.（1）；（2）；（3）.针对练习2、已知a 、b 是方程x 2－2x －1=0的两个不等的实根，求a 2+a+3b 的值．针对练习3、已知关于x 的方程01222=-++-m x m x ）（ （1） 求证方程恒有两个不相等的实数根；（2） 若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长； 22410x x --=2523x x +=24310x x -+=小结：巩固练习：1、用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程－4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a=－4，b=5，c=3B ．a=－4，b=－5，c=3C ．a=4，b=5，c=3D ．a=4，b=5，c=－32、下列一元二次方程无实数解的是（ ）A ．x 2=1B ．x 2－2x+1=0C ．x 2－2x －3=0D ．x 2+x+1=03、若方程x 2－4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c 的值可以是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A ．B ．且C ．D ．且5、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．6、如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.7、用公式法解方程2x 22－1=0的根是________．8、若关于x 的一元二次方程x 2－3x+m=0有实数根，则m 的取值范围是________．9、方程x 2－6x －4=0的两根为x 1=____，x 2=______，x 1+x 2=_____，x 1·x 2=______．10、已知关于x 的方程034122=+--m x m x ）（有两个不相等的实数根，则m 的范围为 .11、用公式法解方程：（1）01522=+-x x （2）1842-=--x x （3）02322=--x xx 22(21)10k x k x -++=k 14k >-14k >-0k ≠14k <-14k ≥-0k ≠240x +=24410x x -+=230x x ++=2210x x +-=x 022=--k x x k12、如果关于x 的一元二次方程kx 2－4x+4=0有两个不等的实数根，求k 的取值范围．13、已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根。
八升九 .一元二次方程的应用题
段老师九年级暑假培优课堂 ：一元二次方程应用题（三） 一、循环赛问题（握手问题）例1.2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；……；求n 条直线相交，最多有多少个交点？例2、参加一个足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？例3为弘扬亚运精神，九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（即每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？请列方程解答此问题。
练习1、新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．102、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握了10次，设有x 人参加这次聚会，则列方程正确的是（ ） A 、(1)10xx -= B 、(1)102x x -= C 、(1)10xx += D 、(1)102x x += 二、传播问题例4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么有如下表格（表格分析法较直观）例5..某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？传染源 传染人数第0轮 1第1轮 x第2轮1+x练习1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A 、(1)121xx x ++=B 、1(1)121x x ++=C 、2(1)121x += D 、(1)121x x += 2.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x 个小分支，那么依题意可得方程为 .三、增长率问题例6、为迎接”2011李娜和朋友们国际网球精英赛”，某款桑普拉斯网球包原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下列所列方程中正确的是 A.12%)1(1682=+a B.12%)1(1682=-a C.12%)21(168=-a D.12%)1(1682=-a 例7、2010年“十一”期间，武汉市接待游客人数达204.83万人次，比去年同期增长22.46%，下列说法：①2009年“十一”期间的旅游人次为204.83(122.46%)⨯-万；②2009年“十一”期间的旅游人次为%46.22183.204+万；③若按相同的增长率计算，2012年“十一”期间的的旅游人次将达到2%)46.221(83.204+⨯万；④若2011年“十一”期间的人次比2010年同期减少22.46%，那么2011年与2009年“十一”期间的旅游人次相同，其中正确结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例8.为了应对市场竞争，某手生产厂计划用两年的时间把某种型号的手机的生产成本降低64%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数。
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是湘教版数学九年级上册第二章第二节的内容。
这一节主要介绍了一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的解法，并能够灵活运用各种方法解决问题。
在教材中，首先通过引入一些实际问题，让学生感受一元二次方程的存在。
然后，通过探究一元二次方程的解法，引导学生发现并总结解题规律。
最后，通过巩固练习，让学生进一步掌握解法，并能够解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程的解法与一元一次方程的解法有很大的不同，需要学生能够理解和掌握。
在学习过程中，学生可能会对一元二次方程的解法产生困惑，特别是对于因式分解法和公式法的理解。
因此，教师需要引导学生通过实践探究，加深对解法的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的解法，并能够灵活运用各种方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过探究一元二次方程的解法，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：因式分解法和公式法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、讲解法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.引入新课：通过引入一些实际问题，让学生感受一元二次方程的存在，激发学生的学习兴趣。
2.探究解法：引导学生通过实践探究，发现并总结解题规律。
3.讲解解法：讲解因式分解法和公式法的具体步骤和应用。
4.巩固练习：让学生通过练习，进一步掌握解法，并能够解决实际问题。
5.总结提升：总结本节课的学习内容，强调解法的运用。
七. 说板书设计板书设计如下：一元二次方程的解法1.因式分解法–步骤一：将方程化为标准形式–步骤二：因式分解–步骤三：求解–步骤一：确定方程的系数–步骤二：应用求根公式–步骤三：求解八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习情况和作业完成情况进行评价。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
八升九--18、二次函数与一元二次方程、图像与系数的关系
学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 课程主题： 二次函数与一元二次方程、图像与系数的关系 授课时间：学习目标1、理解二次函数的图象和x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系2、理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.教学内容复习一元二次方程的根的情况及二次函数图象的性质知识点一、二次函数与一元二次方程 【知识梳理】导入一:小兰同学画了一个函数y =x 2+ax +b 的图象如图所示,你能利用图象求出关于x 的方程x 2+ax +b =0的解吗? 学生分析:如图所示,∵函数y =x 2+ax +b 的图象与x 轴的交点坐标分别是 (-1,0),(4,0),∴关于x 的方程x 2+ax +b =0的解是x =-1或x =4. 【问题】 二次函数y =x 2+ax +b 的图象与x 轴的交点的个数与一元二次方程x 2+ax +b =0的根的个数之间有什么关系?图象与x 轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系? 导入二:“神舟十号”是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.“神舟十号”在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F 改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.某科技实验小组也自行设计了火箭,经测试,该种火箭被竖直向上发射知识精讲内容回顾时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-t2+10t-15表示,你能算出经过多长时间,火箭可以达到9 m的高度吗?【问题】当h=9时,二次函数h=-t2+10t-15的形式发生了怎样的变化?【例题精讲】一、二次函数与一元二次方程的关系例1、我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.问题1仔细审题,回答下面的问题:1.由图象可得h0= ,v0= .2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为.问题2仔细审题,回答下面的问题:1.小球落地时高度h为何值?2.当h取值时,函数表达式发生了怎样的转变?3.求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意?例2、二次函数2+2x -x =y 1,+2x -x =y 2x,+x =y 222的图象分别如图所示.(1)每个图象与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程0=1+2x -x 0,=2x +x 22有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程0=2+2x -x 2有实数根吗?(3)二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程0=c +bx +ax 2的根有什么关系?【知识点总结】：二次函数与一元二次方程之间的关系:当y =0时,二次函数的解析式y =ax 2+bx +c 就是一元二次方程ax 2+bx +c =0,而一元二次方程ax 2+bx +c =0的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b 2-4ac 起着极为重要的作用.Δ>0Δ=0Δ<0 一元二次方程ax 2+bx +c =0x 1= x 2=x 1=x 2=-没有实数根二次函数y =ax 2+bx +c图象与x 轴有两个交点,分别为(x 1,0),(x 2,0)图象与x 轴只有一个交点,为 图象与x 轴没有交点例3、在例1的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?例4、抛物线y=mx2＋(3－2m)x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点。
8.1 一元二次方程 第一课时 教学设计-2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
一元二次方程（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效地数学模型。
随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要，它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。
在初中数学中占有重要地位。
本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，本章内容共需要14个课时完成。
在前几册中，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感知了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，并能解决相关的实际问题。
本节课的一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。
这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。
本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。
为接下来的学习起到很好的铺垫作用。
2、教学目标及确立目标的依据:九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识技能目标：1）理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。
正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.2）会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。
过程性目标：经历“观察--尝试--解决--归纳”的全过程，体会一元二次方程在实际问题中的应用.情感态度目标：1）通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心.2）体会一元二次方程在实际生活中的应用.体会特殊与一般的关系，渗透方程的思想.德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
核心素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研创新的品质。
华东师大版九上数学《一元二次方程》教学设计
《一元二次方程》教学设计一、教材分析：一元二次方程是中学数学的重要内容，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，其实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决的实际的噵路问题为载体，通过对它的进一步学习和研究，体现数学建模的过程。
二、学情分析：学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。
对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集与处理信息的能力较弱。
三、教学目标：1．知识与技能：理解并初步掌握利用一元二次方程的知识解决实际问题的一般思路与步骤，学会通过平移、化零为整等方法化繁为简，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2．数学思考：经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系来建立一元二次方程，培养转化思想和方程思想。
3．问题解决：能利用一元二次方程的知识解决实际问题。
4．情感态度：通过合作交流等花形式，进一步感知方程的应用价值，培养创新意识和实践能力，以及与他人交流的能力。
四、教学重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
五、教学难点：将图形进行适当变换，找出等量关系六、教学方法：在本节的教学中，应重视相关内容与实际的联系，强调平移的特点和作用，注重数形结合，避免脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内容。
充分注意有关现实背景，反映出一元二次方程来自实际又服务于实际，一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型。
七、教学过程：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）创设情境问题引入某镇政府乡村振兴项目示范小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备开辟横纵两条同样宽度的小道.如果开辟之后其种植面积为540m2 ，那么小道的宽应是多少米？师：学习一元二次方程的解法就是去解决生活中存在的实际问题。
九年级数学上册第一单元知识点总结,初三数学上册第二章知识点归纳（人..
九年级数学月考知识点汇总第二十一章一元二次方程22.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.注意一下几点：©只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程.知识点二一元二次方程的一般形式—般形式：«v2+c=o（a^0）其中，ax1是二次项，。
是二次项系数；冰是一次项，方是一次项系数；。
是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根一方程的解的定义是解方程过程中验根的依据.22.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另—边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如亍=°("20)的方程，根据平方根的定义可解得•砂+扁=-槌厂⑵直接开平方法适用于解形如X2=2或国+。
下=P(""0)形式的方程，如果p^O,就可以利用直接开平方法.(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根・(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根.知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开.(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.2222公式法知识点一公式法解一元二次方程$一般地，对于一元二次方ox2+fex+<c=0(o*0)t女口b2 -4ac>0,程那么方程的两个根为LL,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解’这种解方程的方法叫做公式法.Q一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程”+bx+c=0(a*0)的过程.$公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：履+&r+c=O(a,O),—般1化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出44W的值；④若yg则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,广4”<0,则方程无实数根.知识点二一元二次方程根的判别式式子甘-4ac叫做方程履+bx+c=0(g0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即A=/-4oc,22.2.3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程①把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法.0因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0;②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程;③④解一元一次方程即可得到原方程的知识点二用合适的方法解一元一次方程222.4 一元二次方程的根与系数的关系(了解)方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如/ =#或(m + 刀尸=pQp>0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=O,则 a=0 或 b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程.若一元二次方程F +处+q=0的两个根为八，则有+ X 2 = —p 9 Xi x 2= q若一元二次方程技+fcr + c=O0MO ）有两个实数根.Xb X +X = — .XX a 则有C a 22.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系.(2) 设：是指设元，也就是设出未知数・(3) 歹IJ ：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应 用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程一(4)解：就是解方程，求出未知数的值一(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意.(6)答：写出答案.知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-L x+1.三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为X,则另两个数分别为x-2,x+2.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为&则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为用±西。
瑞金市第八中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根
复习引入
算一算 解以下方程并完成填空 :
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0. 两 根
一元二次方程
x1
x2
关系
x2+3x-4=0 -4
x2-5x+6=0 2
x22x2+33xx+11=00 1
9
拓展提升
6. 当k为何值时 , 方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解 : 设方程两根分别为x1 , x2(x1>x2) , 那么x1-x2=1
由根与系数的关系 , 得
k
1
x1 x2
2,x1 x2
, 2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
k 2 4 1 1,
2
2
k2 3,
2
k 2 3.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 , x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
x2+px+q=0 , 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1 , x2,那么x1+x2=
猜一猜〔2〕通过上表猜想 , 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2 , 那 么 , 你可以发现什么结论 ？
44
4
归纳 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时 , 先把 方程化为一般式 , 再分别代入a、b、c的值即可 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2 , 求它的另一 个根及k的值.
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。
以下是店铺整理的关于一元二次方程求根公式，希望大家认真阅读!对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。
我们能解任何一个一元二次方程(包括判定一个一元二次方程没有实数根)，原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。
我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。
一元二次方程的出现，有很久的历史。
最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。
这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。
据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q(p、q为正数)的根为x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。
二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。
由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式子x=√](4ac-b)-b]/2a。
我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。
公元三世纪数学家赵君卿注《周髀算经》时，不仅提出二次方程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。
赵君卿在《周髀算经》的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。
暑假的衔接课程 第一讲 一元二次方程 配方法
英萃学苑【剑桥小组课】辅导讲义学员姓名：年级：八升九课时数：2辅导科目：数学学科教师：课次：授课日期及时段 : 7月22日 10:00—12:00教学内容【知识精讲】1.一元二次方程基本概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：把称为一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
一元二次方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
注意点：（1）要确定各项系数a、b、c的值，一定要把方程化为一般形式。
（2）时刻记住它是一个方程，代入一个数字或字母要符合方程左右两边相等关系。
2.直接开平方法形如x²=p 或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成x²=p的形式，那么可得。
如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式，那么，进而得出方程的根。
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
3.一元二次方程配方法将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例例一：用配方法解方程解：将常数项移到方程右边将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：.∴原方程的解为【例题精讲】例1：下列选项中是一元二次方程的为()A ．x 2＋2x －3B ．x 2＋3＝0C ．(x 2＋3)2＝9D ．x ＋21x ＝4例2：方程23x 的二次项系数与一次项系数及常数项之积为( )A ．3B ．3-C ．3D ．－9例3：把方程2((21)0x x x ＋－＝化为一元二次方程的一般形式是( )A ．5x 2－4x －4＝0B ．x 2－5＝0C ．5x 2－2x ＋1＝0D ．5x 2－4x ＋6＝0例4：已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为__________． 例5：一元二次方程x 2+4=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定例6：解方程： （1）14x 2－3＝0 （2）9x 2=16 (3)(x －1)2－3＝0 (4)12(3－x )2－3＝0.例7：解下列方程：(1)x 2－6x ＋5＝0 (2)x 2－4x ＝－4(3)y 2+22y —4=0 (4)(x －1)2－2(x －1)＋12＝0. 例8：用配方法求解下列问题（1）求 2x 2-7x +2 的最小值 ； （2）求-3x 2+5x +1 的最大值． 【课堂练习】1.已知关于x 的方程(k －3)x |k |－1－x －2＝0是一元二次方程，则不等式kx －2k ＋6≤0的解集为 。
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第一讲 一元二次方程的解法（一）
【基础知识精讲】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即
不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一
元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的
解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用
配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：
① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；
⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，
不能随便约去（x ＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解
一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
例1、填空或选择：（考查一元二次方程的定义）
（1）.一元二次方程)1(2)2)(1(2
-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
（2）.方程①13122
=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022
=y 中一元二次方程是__ .
A. ①和②；
B. ②和③ ；
C. ③和④；
D. ①和③
（3）．要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________.
A ．a ≠0
B ．a ≠3
C ．a ≠1且b ≠-1
D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0
（4）．若（m+1）(2)1
m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． 例2、判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x
例3、若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a +-2008的值。
例4、解方程：
用直接开平方法解一元二次方程：
（1）0252=-x （2） 900)12(16002=-x
（3）32=y （4）
08)12(2
12=--x ）
用配方法解一元二次方程：
（1）0342=+-x x （2）015122=-+x x
（3）、161442=++x x （4）1622=+x x
例5（开放题）关于x 的方程1322-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个
符合条件的a 值。
【同步达纲练习】
A 组
一、填空题:
1.在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=，
2340x x -+=,
213x x
=+,22=a ，223213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 2.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
3、关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.
4. 关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.
5.若关于x 的方程0122=-++k x x 的一个根是0，则k=_______________
6.223____(_____)x x x -+=-; 2226____2(_____)x x x -+=-
7. 一元二次方程20a x b x c ++=若有两根1和－1,那么a b c ++=________,a b c -+=____
二、按要求解下列方程: 1. 229()525
x -=（直接开平方法） 2. 223)52(=-a （直接开平方法）
3. 22)6()2(x x -=-(直接开平方法)
4. 0362
=+-x x (配方法)
B 组
一、填空题:
1.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
2.当2420a b c -+++=时,则20ax bx c ++=的解为____________________.
3. 方程2
230x x --=的解是_______________________
4.当_____m =时, 关于x 的方程2(2)80m m x mx --+=是一元二次方程.
5.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程．
二、用配方法解下列方程:
1.(1)(3)12x x -+= 2． 01)32(2)32(2=++-+x x
3． 01442=--x x 4.04)12()12(2
2
=+++-a x a x
三、解答题。
1、已知a 是方程0120042=+-x x 的一个根，试求1
2004200322++-a a a 的值。
2、（学科内综合题）一元二次方程02
=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式122--+-=a a b ，求此一元二次方程。