【苏科版】高中数学必修五期末模拟试题(带答案)(1)

一、选择题
1．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．15
B
．8+C ．16
D
．8+2．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-+的最大值为（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．2
D ．-5
3．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2
127m n a a a =，则
116
m n
+的最小值为（ ） A ．5 B ．21
5
C ．
516
D ．
654
4．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．3
D ．
32
5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且
sin 1cos sin cos B B
A A
-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）
A
B
C ．3 D
6．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，
23A π
=
，则
sin sin A C
=（ ） A ．7
5 B ．57
C ．
3
7
D ．
73
7．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
．若3,60a b A ===︒，则边c =
（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
8．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°
，三角形的面积S =
A
B
．C ．2 D ．4
9．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c +=
B ．824b a c -=
C ．228b c =
D ．629a b c =
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有22
33
n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4
B ．2
C ．3或4
D ．6
11．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线11
2
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为（ ） A ．
1011
B ．
910
C ．
89
D ．2
12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7
B ．9
C ．15
D ．17
二、填空题
13．若实数x ，y 满足约束条件230
23030
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y x x y +的取值范围是______. 14．已知a ，b 为正实数，且4a +b ﹣ab +2＝0，则ab 的最小值为_____． 15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
πsin cos 6b A a B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则角B =______.
16．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.
17．在ABC 中，2AB =，30C ︒=，则AB BC 的取值范围是________.
18．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪⎩
时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
19．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2020项是__________．
20．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和
n S =___________.
三、解答题
21．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
22．已知定义在R 上的函数()()2
232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）.
（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值； （2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围. 23．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2
∶
∶
＋1)，求角A 的大小.
24．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
()sin 2cos A a B =+. （1）求角B ；
（2）若3b =，且ABC
11a c +的值.
25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足
122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -+++
+=这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设222
1
log log n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
26．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）若数列{}n b
满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】
正实数a ，b 满足231a b +=， 则
()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当
34b a b a =，即3133
,a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：
利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；
（2）和定，利用()2
4
x y xy +≤
，求积的最大值；
（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.
2．A
解析：A 【解析】
作出不等式组11x y
x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域，如图
，
得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫
---
⎪⎝⎭
，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3．A
解析：A 【分析】
根据条件可先求出数列的公比，再根据2
127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即
可求出
116
m n +的最小值. 【详解】
正项等比数列中，29
7
9a q a ==，所以3q =. 因为1122
2111127m n m n m n a a a q a q a q
a --+-=⋅==，所以5m n +=.
因为
11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n m
m n
=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以
116
m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
4．B
解析：B 【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点
(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，
本题选择B 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
5．A
解析：A 【分析】
由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOB
ABC
S S
S
=+可化简得
532sin 34OACB S πθ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭. 【详解】
在ABC 中，
sin 1cos sin cos B B
A A
-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==
A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，
OACB AOB
ABC
S S
S
∴=+
2113
||||sin ||22OA OB AB θ=
⋅+⨯ )221321sin ||||2||||cos 24OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅ 3
sin 1221cos )θθ=+-⨯⨯⨯ 53
sin 3θθ=+
532sin 3πθ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭
0θπ<<，23
3
3
π
π
π
θ∴-
<-
<
，
则当3
2
π
π
θ-
=
，即56πθ=
时，sin 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭取得最大值1，
故四边形OACB 面积的最大值为53853
244
++=
. 故选：A.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得
532sin 34OACB S πθ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭ 6．A
解析：A 【分析】
利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】
由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =， 由正弦定理：sin 7sin 5
A a C c ==. 故选A 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．
8．C
解析：C 【解析】
1
32sin1202
S c ==⨯︒ ，解得c =2.
∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，
解得a =，
∴24
sin a R A === ， 解得R =2.
本题选择C 选项. 9．C
解析：C 【分析】
根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案. 【详解】
根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，
数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，
对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；
对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.
10．A
解析：A 【分析】
利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】
对任意的*n N ∈有2233
n n S a =-， 可得：11122
33
a S a ==
- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =
-，112233
n n S a --=-
两式相减得1122
33
n n n n n S S a a a ---=
-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，
所以()2n
n a =-，()()()212212123n
n n
S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣
⎦--， 所以211(2)123k
k S ⎡⎤<=---<⎣
⎦， 所以
5
(219)2
k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
由题意可知，直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前10项和. 【详解】 由于直线112
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则11
12
a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2
221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()12212
2
n n n a a n n S n n ++=
=
=+，
()111111
n S n n n n ∴
==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为
1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．C
解析：C 【分析】
利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出11
21
n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】
因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n
n a a a ++=+=+，即11
21n n
a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以4
41216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】
本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足
()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1
q x p =
-，然后转化为等比数列求通项.
二、填空题
13．【分析】作出可行域利用表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围再根据函数的单调性可得的范围【详解】作出可行域如图内部（含边界）表示出可行域内点与原点连线斜率由已知得所以记由勾形函数性质知在上递
解析：52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】 作出可行域，利用y
x
表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围，再根据函数的单调性可得y x
x y
+的范围． 【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界），y
x
表示出可行域内点与原点连线斜率，由已知得(1,2),(2,1)A B ，2OA k =，12
OB k =， 所以1,22y t x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦
， 1y x t x y t +=+，记1()f t t t =+，由勾形函数性质知()f t 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上递减，在[1,2]上递增，
1522
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，5(2)2f =，∴5()2,2f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．
故答案为：52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
14．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属 解析：106+【分析】
利用基本不等式转化为420ab ab +≤0ab t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值. 【详解】
0,0a b >>，
4244a b ab ab ∴+≥=，当4a b =时等号成立， 420ab ab ∴+≤，
0ab t =>，2420t t -+≤，
2420t t --≥，解得：26t ≥26t ≤-
0t >，
2t ∴≥+(2
210ab ≥+=+
ab ∴的最小值为10+
故答案为：10+【点睛】
本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
15．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析：π3
B =
【分析】
由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，结合两角差
余弦公式可得tanB =B 值.
【详解】
由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
,在ABC 中，sin 0A ≠， ∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,即ππ
sin cos cos sin sin 66
B B B =+ ∴
tanB =B 为三角形内角，
∴B =
3
π
故答案为:3
π. 【点睛】
本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.
16．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：
12
【分析】
根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然
后由()2
2
222
cos 122a b c a b c C ab ab
+-+-==-，利用基本不等式求解.
【详解】
因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，
所以()2
2
222
cos 122a b c a b c C ab ab
+-+-==-，
()2
2
22
231112222a b c c c a b +-≥
-=-=
+⎛⎫
⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等号，
所以cos C 的最小值是1
2
. 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题 解析：[6,2]-
【分析】
首先根据正弦定理得4sin =BC A ，化简得到()
4sin 2302⋅=+-AB BC A ，再求其范围即可. 【详解】 由正弦定理得：
4sin sin ==AB BC
C A
，所以4sin =BC A . 所以()
cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B
()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+
=+⎣⎦A
A A A 2
18sin sin cos 4sin 2⎫=-=-⎪
⎪⎝⎭
A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A
因为0150<<A ，所以3030330<2+<A ， 即(
)1sin 230
1-≤+≤A ，()64sin 23022-≤+-≤A .
故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为：[6,2]- 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档题.
18．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点
解析：)4，
⎡+∞⎣ 【分析】
先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即
max |2|x y a -≤，即可得出答案.
【详解】
由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.
则()()1,0,1,3A C ,由270
10x y x y +-=⎧⎨--=⎩
，得()3,2B .
当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，
当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.
所以|2|4x y -≤，所以4a ≤
故答案为：[)4+∞，
. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.
19．【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后
计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含 解析：64-
【分析】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得. 【详解】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为
(1)6364
202063201622
n n n +⨯⇒⇒=， 则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，
故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为64-. 故答案为：64-. 【点睛】
本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.
20．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键 解析：
()1
1332
n n +-- 【分析】
根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】
由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，
因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，
所以11333n n n a -+=⨯=，所以31n
n a =-，
所以123
3333n n S n =+++
+-
3(13)13
n n -=--
()1
1332
n n +=
--. 故答案为：()1
1332
n n +-- 【点睛】
关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.
三、解答题
21．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：
（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题
（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，
则
由,可得
∵
，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，
当且仅当
时，等号成立
∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 22．（1）3；（2）[2,)-+∞ 【分析】
（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.
（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452
x x a x -+≥-
-求解. 【详解】
（1）()()()()2
23221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ，
因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-， 所以1230+=-=x x a ， 解得3a =
（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立， 所以()()
2
245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立，
因为2x >， 所以20x ->
所以245
2
x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立，
而24512222-+⎛
⎫-=--+≤- ⎪
--⎝⎭
x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号， 所以 2a ≥-，
所以a 的取值范围[2,)-+∞. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
23．45A =︒
【分析】
利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】
由题设可设)
2,,1(0)a k b c k k ==
=
>，
由余弦定理得，
222
2
2
2
644cos 22
k k k b c a
A bc
+-+-=
=
=
， 而A 为三角形内角，故45A =︒. 24．
（1）2π3；（2）
2
. 【分析】
（1
）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.
（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a
c +=. 【详解】
解：（1sin (2
cos )A a B =+， sin sin (2cos )A B A B =+. ∵(0π)A ∈
，
，∴sin 0A >， ∴
cos 2B B -=，∴π
2sin 26
B ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，
∴ππ62B -
=，∴2
π3
B =. （2）因为
ABC
S =
，∴12πsin 23ac =
，∴2ac =. 又∵2222
2cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-，
∴a c +=
∴
11a c a c ac ++==
. 25．（1）选①②③均有2n
n a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)
n n T n n +=
-++． 【分析】
（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （2）求得22211111
()(2)22
n n n b log a log a n n n n +=
==-⋅++，由数列的裂项相消求和，化
简整理可得所求和． 【详解】
（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，
设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，
则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），
所以2n
n a =；
选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，
可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，
则122n n S ++=，即为1
22n n S +=-，
当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，
12a =也满足上式，
所以2n
n a =，*n N ∈；
选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），
当2n 时，12
121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），
由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=， 又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，
故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2n
n a =，*n N ∈； （2）由（Ⅰ）可得2n
n a =，22211111
()(2)22
n n n b log a log a n n n n +=
==-⋅++，
所以1111111111
(1)232435
112
n T n n n n =
-+-+-++
-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)
n n n n n +=+--=-++++． 【点睛】
方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：
1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．
26．（1）21n a n =-，2
n s n =；（2）21
n n
T n =
+. 【分析】
（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法即可求出. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则3171+25
76
7+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩
，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，
()
21+212
n n n S n -=
=； （2
）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪⎝⎭
， 111
11221223
11
n n
T n n n ⎛⎫∴=-+-+
+
-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和.。