Delaunay三角剖分算法
上下扫描线的delaunay三角剖分算法
上下扫描线的delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分是一种广泛应用于计算几何和数值分析的算法，它主要用于生成二维平面上的三角形网格。
Delaunay三角剖分具有很多优良的性质，例如空外接圆性质和最小角最大性质等。
上下扫描线的Delaunay三角剖分算法是一种高效的Delaunay三角剖分算法，其基本思想是利用扫描线从上到下或从下到上扫描整个区域，并在扫描过程中对点进行插入和删除操作，从而生成Delaunay三角剖分。
具体步骤如下：
1. 将所有点按照y坐标从大到小排序。
2. 从上到下扫描整个区域，对于每个扫描到的点，将其插入到Delaunay三角剖分中。
具体做法是：找到该点的最近点，然后删除该点，并将该点和最近点之间的线段加入到Delaunay三角剖分中。
3. 重复步骤2，直到扫描完所有点。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为点的数量。
这是因为需要将所有点排序，并且每次插入一个点都需要在已排序的点中进行二分查找。
需要注意的是，该算法只能处理凸多边形的边界，如果存在凹多边形或自相交的情况，需要使用其他算法进行处理。
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间的Delaunay三角剖分可以使用分治算法来实现。
分
治算法是一种将问题分解成更小的子问题来解决的算法思想。
以下是三维空间Delaunay三角剖分的分治算法的基本步骤：
1. 将输入的点集P按照x坐标进行排序，得到有序点集P_x。
2. 对P_x进行分割，将点集分成两部分，左边部分为P_l，右
边部分为P_r。
3. 递归调用Delaunay三角剖分算法，分别对P_l和P_r进行处理。
这两个子问题可以分别在不同的处理器或线程上进行处理，从而加快算法的执行速度。
4. 将子问题的结果合并，得到整体的Delaunay三角剖分结果。
在递归调用Delaunay三角剖分算法时，同样的分治策略可以
应用到三维空间中。
对于每一个子问题，可以按照y坐标对点集进行排序，然后再递归地将子问题分割成更小的子问题。
当子问题中的点个数达到一个阈值时，可以使用其他的三维空间Delaunay三角剖分算法进行解决，如增量法或基于四面体的
方法。
通过使用分治算法，可以将大问题划分成许多小问题，并行地解决这些小问题，从而提高算法的执行效率。
同时，在三维空间中使用分治算法可以减少问题的复杂性，使得算法更易于实现和理解。
带断层地震数据的Delaunay三角剖分算法
１２ 提 高三 角 网 的质 量 ．
由于地震 数据 比较 稠密 ，网格结 点无需 过散 乱 点 ，为了使 数据均匀 采样 ， 求三角 网相对均匀 。这 要 对 网格 的加密过程 有一定 的要求 。 常用生成加 密节点 的方 法有重心 布点法和最长边 中点布点法 。 常用 方法 存在 同一个缺点 ：同一尺度下 的加 密方法 ， 出现狭 会 长 的 、密度不 均 的三 角形 。文 献 【】 出了变尺度 加 ６提 密方 案 。该方案 的思 想是 ：先破坏 相对大 的三角形 ， 然后 逐次减小判 断三角形大小 的尺度 ， 到所 有三角 直 形都 符合要求 。 里在加密过程 中 ， 这 采用该方案 的思
非 约束 Ｄ ｌ ｎ ｙ三角 网 ，其次强行嵌 入约束边 。建 ｅ ｕａ ａ
网所耗 时间主要在 于搜索 当前数据 点影响 的三角形 。
规则 三角形构造地质模 型的方法 。 Ｉ Ｔ Ｎ可 以比较精确
地表 达边界和断层 ， 一种 比较理想 的表达三 维表面 是
为避免全 局搜索 ， 对数据边界进 行初剖分 ， 先 所得 三 角形覆 盖了数据 区域 。而在加密 过程 中， 根据 当前 加 密步 长计 算出数据点 的影响矩形 区域 Ｒ， 只有 当三角 形在 尺 内时 ， 才进行三角 形的外接 圆判 断 ， 高建 网 提 效率 。 据结构方 面 ， 数 三角 网格 的构建是个动态 添加
Ｘｉ ｎ７ ０ ５ ， ｈｎ ） ＇ １ ０ ４ Ｃ ｉａ ａ
Ａｂｓ ｒ ｔ ｔ ａｃ ：Ｈ ｕｇ ｅ ｓ ｃ ｄａ ａ ｇｒｄｄｉ ｓａ ｃｏ ｍ ｏｎ ｍ ｅｈｏｄ ｔ ｒ ｃ ｓ ｔ ｅ — ｉ ｅ ｉ ｎａ ｅ ｅ ｓ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｎｇ ｉ ｍ ｔ ｏ ｐ ｏ ｅｓ ｈｒ ｅ ｄ ｍ ｎｓｏ ｌｇ ｏｇｒ ｐ ｃ ｌｍ ｏ ｌｎｇ． ａ ｈｉ ａ ｄｅ ｉ Ｆａ ｔｉ ｉ ｅ ｓ ｌｇ ｇｒ ｐ ｃ ｐ ｎｏ ｅ ｕｌ ｓａ ｕｎ ｖ ｒ ａ ｅｏ ａ ｈｉ ｈｅ ｍ ｎｏｎ．Ｄｅ ａ ｌ ｕｎａ ｒａ ｙ ｔ ｎｇｕ ａ ｉ ｅｇ ｂｙ ｅ ａｔ ｉｈ ｆ ｕ ｔ ｓｒ ｌ ｔｖｅ ｙ ｃ ｉ ｌ ｔｏｎ ｍ ａ ｔ ｓ ｄ ａ ｗ ｔ ａ ｌｓｉ ｅ ａ ｉ ｌ ｏｍ —
Delaunay三角剖分
public Tin(Point_T p1, Point_T p2, Point_T p3) { pthree[0] = p1; pthree[1] = p2; pthree[2] = p3; lthree[0] = new Line_T(p1, p2); lthree[1] = new Line_T(p2, p3); lthree[2] = new Line_T(p3, p1); } }
envpts.Add(pts[0]); envpts.Add(pts[pts.Count - 1]); othpts.Remove(pts[0]); othpts.Remove(pts[pts.Count-1]); pts.Sort(comxandy); if(!envpts.Contains(pts[0])) { envpts.Insert(1, pts[0]); } if (!envpts.Contains(pts[pts.Count - 1])) { envpts.Add(pts[pts.Count - 1]); } othpts.Remove(pts[0]); othpts.Remove(pts[pts.Count-1]); //构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框 int i = 0; int tag = 0; bool over = true; while(i<envpts.Count) { Line_T cline; if (i==envpts.Count-1) { cline = new Line_T(envpts[i], envpts[0]); } else { cline = new Line_T(envpts[i], envpts[i + 1]); } double dismax=0; for (int j = 0; j < othpts.Count ;j++ ) { if (IsLeftPoint(othpts[j], cline)) { double distance = PointToLine(othpts[j], cline); if (distance > dismax) { dismax = distance; tag = j;
Delaunay三角剖分的快速重建算法
潘 荣 丽
山东省 劳动厅 服务 技Ｘ 学校 山东 济 南 －
【 要 】 文 描述 了一种Ｄ ｌｕａ 角 剖分 的快 速 重建 算 法 ， 以节省 三角 网格 存 储和 传 输 时 摘 本 ｅ ｎｙ ａ 用
间。该算 法 既可 以在 基 于均匀 网格 的Ｄ ｌ ｎｙ 角化过 程 中， ｅａ ａ ｕ 直接 生成 点集序 列 ， 可 以推广 也 到 其他Ｄ ｌｕ ａ ＿ 角剖分 方 法 的输 出结 果 ， ｅ ｎｙ ａ ￣ 在Ｏ（ 的时 间 内生成点集 序 列。 简单遍 历这 个 点 ｎ） 集 序列就 可 以在０（ ） ／ 的时 间 内重建Ｄ ｌｕ ａ 角 剖分 。 与 以前 的算 法相 比． 算法具 有 重建 ＇ ｔ ｅ ｎｙ ａ 该 操 作简 单 、 行速度 快 、 执 拓扑信 息 完全 隐藏在 点集 序列 中、 需要增 量插入 操作 等特 点 。 不
的 一 个 重 要 问 题 。 着 广 泛 的应 用 背 景 ， 虚 拟 有 在 现 实 、 理 信 息 系统 （ Ｉ ） 许 多 方 面都 有 着 很 地 ＧＳ 等 重 要 的 意 义 。 实 际 应 用 中经 常 包 含 几 百 万 个 点
和 三 角 形 ，必 须 进 行 数 据 压 缩 才 能 适 应 现 有 的
④ 如 果Ｐ 属于 “ ” 洞 的情 况 （ Ｐ已经 出现 过 ， 不 但
等 于Ｑ． ｘ￣ ｒｖｏｓ ， ｅ ｔ ． ｅｉｕ ） 则把 Ｑ移 到Ｑ的末 尾 ， ｎ ＮＱ ｐ 输
出标 志
把 数 据点分 布 的平 面区 域划分 成 网格 ， 网格 使
单 元数 和 点数 大致 相 同。根 据点 的坐标 值 ， 把所 有 的点放 进 相应 的 网格 单 元 中。 靠 近 中间的 网格单 在 元 中找到一 个初 始点 ， 然后 找 一个距 离 初 始点最 近 的点 ． 把这 两个 顶点 填加 到一 个链 表Ｑ中
delaunay三角网生长准则及算法
Delaunay 三角网是Voronoi(或称thiessen多边形,V 图)图的伴生图形◆Delaunay 三角网的定义:由一系列相连的但不重叠的三角形的集合, 而且这些三角形的外接圆不包含这个面域的其他任何点。
◆Voronoi图的定义：Voronoi图把平面分成N 个区，每一个区包括一个点，该点所在的区域是距离该点最近的点的集合。
◆Delaunay三角网的特性：◆不存在四点共圆；◆每个三角形对应于一个Voronoi图顶点；◆每个三角形边对应于一个Voronoi图边；◆每个结点对应于一个Voronoi图区域；◆Delaunay图的边界是一个凸壳；◆三角网中三角形的最小角最大。
空外接圆准则最大最小角准则最短距离和准则在TIN中，过每个三角形的外接圆均不包含点集的其余任何点在TIN中的两相邻三角形形成的凸四边形中，这两三角形中的最小内角一定大于交换凸四边形对角线后所形成的两三角形的最小内角一点到基边的两端的距离和为最小Delaunay三角剖分的重要的准则张角最大准则面积比准则对角线准则一点到基边的张角为最大三角形内切圆面积与三角形面积或三角形面积与周长平方之比最小两三角形组成的凸四边形的两条对角线之比。
这一准则的比值限定值，须给定，即当计算值超过限定值才进行优化Delaunay三角剖分的重要的准则不规则三角网(TIN)的建立●三角网生长算法就是从一个“源”开始，逐步形成覆盖整个数据区域的三角网。
●从生长过程角度，三角网生长算法分为收缩生长算法和扩张生长算法两类。
方法说明方法实例收缩生长算法先形成整个数据域的数据边界（凸壳），并以此作为源头，逐步缩小以形成整个三角网分割合并算法逐点插入算法扩张生长算法从一个三角形开始向外层层扩展，形成覆盖整个区域的三角网递归生长算法逐点插入算法分割合并算法12121212递归生长算法333TIN 建立过程中的几个问题:◆邵春丽.DELAUNAY 三角网的算法详述及其应用发展前景◆鲍蕊娜，等:基于凸壳技术的Delaunay 三角网生成算法研究◆于杰等：Delaunay 三角网构建方法比较研究周围点的提取 点在三角形中的查找 空外接圆判断准则 线段求交问题。
delaunay方法
delaunay方法
Delaunay方法，又称为Delaunay三角剖分，是前苏联数学家Delaunay在1934年提出的一种三角剖分方法。
该方法满足所谓的“最大-最小角”优化准则，即所有最小内角之和最大，从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况。
这种方法在二维情况下可以描述为：对于给定的平面点集，只存在着唯一的一种三角剖分方法，满足Delaunay三角剖分的条件，即任意一个三角形的外接圆内不包括其他结点。
Delaunay三角剖分方法在各种二维三角剖分中具有全局和局部最优性。
它可以应用于数值模拟的网格生成，尤其在复杂外形的非结构网格生成中有广泛应用。
此外，Delaunay 三角剖分方法还可以推广至多维问题，例如在三维情况下，四面体的外接球内不包含其他节点。
在具体实施过程中，三维情况下的Delaunay三角化可以包括以下步骤：在三维空间内定义一个大的凸壳区域以覆盖所有将要插入的点；根据网格步长分布要求在凸壳区域内引入一个新点；标记将被删除的四面体（其外接球包含新点的所有四面体）；建立空洞边界（由被标记的四面体组成的凸壳的外边界）；在剩余四面体中查找被标记四面体的邻居以
建立有效的空间连续性；利用空洞边界上每个三角形的三个顶点与新点组成新的四面体；建立空洞外原四面体和新生成的四面体的邻居关系。
带内外边界约束的平面点集Delaunay三角剖分
｛
ｉｔｎ ｅ ； ／ ｎ ｄｘ ／ 三角形 的索引 ｉ
ｉ ｔｎ ｄ Ａ ，ｎ ｄ Ｂ，ｎ ｄ Ｃ； ｎ ｏ ｅ ｏｅ ｏｅ
／ 三角 形三 个顶 点 的索 引 ／
ｉ ｔｔｉｎ ｌＡ ，ｔｉｎ ｌＢ，ｔｉｎ ｌＣ； ｎ ｒａ ｇ ｅ ｒａ ｇ ｅ ｒａ ｇ ｅ
第 ３期
王 中辉 等 ： 内外边界约束 的平面点集 Ｄｅ ｕ ａ 带 ｌ ｎ ｙ三角剖分 ａ
２ 算 法描述
２ １ 算 法 的主 要流 程 ．
Байду номын сангаас
本文算法 的主要流程如图 １ 所示．
图 １ 算 法 流 程 图
Ｆ ｇ １ Ｔ ｅ ｆ ｗｃ ａ ｔｏ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｉ． ｈ ｏ ｈ ｒ ｆｔ ｌｏ ｉ ｌ ｈ ｈ
，
剖分方法口 ］按平面点集的数据分布特征 ， ｅ ｕ ． Ｄｌ— ａ
ｎｙ ａ 三角剖分可 以分为无约束与约束剖 分两种［． ３ ］
本文研究 了带 内外 边界约束 的平 面点集 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ ａ 三角 剖分 问题 ， 在 有 限元 分 析 、 见 性 计 算 、 面 它 可 曲 重建等领域均有广泛 的应用 ， 目前关 于这方面的 但 算法并不多． 简宪华等人通过不断地在 约束 边界上 插 人 新点 （ 中点 ） 进行 Ｄ ｌｕ ａ 角剖 分 ， 得最 终 ｅａｎ ｙ三 使 所有 的约束边界都位于剖分结果 的边集 中［． ４ 该算 ］ 法虽然较好地实现 了带 约束 的平 面点集 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ ａ
２２ 初 始 Ｄ ｌｕ ａ 角 网的构 建 ． ｅａｎ ｙ三
本文使用 Ｗａｓｎ ｔ 算法［构建约束 边界点与离 ｏ ５ ］ 散点组成的初始 Ｄ ｌ ｎ ｙ ｅ ｕ ａ 三角网， ａ 并将生成 的三角
delaunay 三角剖分 步骤
delaunay 三角剖分步骤1. Delaunay三角剖分是用于将点集分割成不规则三角形的方法。
The Delaunay triangulation is a method for dividing a set of points into irregular triangles.2.首先选择一个点作为起始点。
First, select a point as the starting point.3.然后选择另外两个点与起始点构成一个三角形。
Then select two other points to form a triangle with the starting point.4.接着选择一个未被包含在任何三角形内的点。
Then select a point that is not included in any triangle.5.在所有的三角形中寻找能将这个新点包含进去的三角形。
Find a triangle among all the triangles that can include this new point.6.如果找到了这样的三角形，将这个三角形和新点围成的区域删除。
If such a triangle is found, remove the area enclosed by this triangle and the new point.7.在新的边缘上寻找新的三角形。
Find new triangles on the new edges.8.重复以上步骤，直到所有的点都被包含在三角形内。
Repeat the above steps until all points are included in triangles.9. Delaunay三角剖分具有无重叠、最小化夹角和最大化最小角的性质。
Delaunay triangulation has the properties of non-overlapping, minimizing angles, and maximizing minimum angles.10.可以使用Delaunay三角剖分来进行网格生成和空间分析。
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用一、本文概述随着计算几何和计算机图形学的发展，三维空间Delaunay三角剖分算法已成为一种重要的空间数据处理和分析技术。
本文旨在全面深入地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的原理、实现方法以及应用领域。
本文将对三维空间Delaunay三角剖分算法的基本概念和性质进行详细的阐述，包括其定义、性质、特点以及与其他三角剖分算法的比较。
接着，本文将重点探讨三维空间Delaunay三角剖分算法的实现方法，包括增量法、分治法和扫描转换法等，并分析它们的优缺点和适用范围。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法在各个领域的应用进行详细的介绍和分析。
这些领域包括计算机科学、地理信息系统、地质学、气象学、生物医学等。
通过具体的应用案例，本文将展示三维空间Delaunay三角剖分算法在实际问题中的应用价值和效果。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法的未来发展方向进行展望，探讨其在新技术和新领域中的应用前景和挑战。
本文旨在全面系统地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的理论和实践，为其在实际问题中的应用提供有力的支持和指导。
二、三维空间Delaunay三角剖分算法的基本原理Delaunay三角剖分算法是一种广泛应用于二维空间的数据处理算法，它的核心目标是将一组离散的二维点集剖分为一系列互不重叠的三角形，且这些三角形满足Delaunay性质。
简单来说，Delaunay 性质要求任何一个三角形的外接圆内部不包含该三角形之外的任何数据点。
初始化：为每个点分配一个初始的三角形。
这通常是通过连接每个点与它的两个最近邻点来完成的，形成一个初始的三角形网格。
合并三角形：接下来，算法会尝试合并相邻的三角形，以形成更大的三角形。
在合并过程中，算法会检查新形成的三角形是否满足Delaunay性质。
如果满足，则合并成功；如果不满足，则放弃合并，并标记这两个三角形为“已处理”。
delaunay-三角剖分算法
一、概述Delaunay 三角剖分算法是计算机图形学领域中常用的一种算法，它可以将给定的点集进行高效的三角剖分，用于构建网格、进行地理信息系统分析、建立三维模型等应用。
本文将对该算法的原理、实现和应用进行介绍。
二、算法原理1. 待剖分点集在进行Delaunay三角剖分之前，需要准备一个点集，这个点集是待剖分的对象。
点集的数量取决于具体的应用，可以是二维平面上的点，也可以是三维空间中的点。
2. Delaunay 三角形在进行三角剖分时，Delaunay 三角形是一种特殊的三角形，满足以下性质：a. 任意一个点要么位于Delaunay 三角形的外接圆内部，要么位于外接圆的边上；b. 任意两个Delaunay 三角形之间的外接圆不相交。
3. Delaunay 三角剖分Delaunay 三角剖分是将给定点集进行三角剖分的过程，它的目标是构建满足Delaunay 三角形性质的三角形集合。
三、算法实现1. 基于增量法的实现增量法是Delaunay 三角剖分的一种经典算法，它的基本思想是逐步增加点，并根据Delaunay 三角形的性质进行调整。
具体步骤如下： a. 初始化：选择一个超级三角形包含所有点集，作为初始三角剖分；b. 顺序插入点：逐个将待剖分点插入到当前三角剖分中，并进行调整；c. 边界检测：检测新增的边界是否需要进行修正；d. 优化处理：对新增点周围的三角形进行优化调整。
2. 时间复杂度分析增量法的时间复杂度主要取决于点集的数量和点的分布情况，一般情况下，其时间复杂度可以达到O(nlogn)。
四、算法应用1. 图形渲染在计算机图形学中，Delaunay三角剖分常用于构建网格、进行三维渲染等。
它可以有效地分割空间，使得渲染效果更加真实。
2. 地理信息系统地理信息系统中常常需要对地理数据进行空间分析，Delaunay三角剖分可以帮助构建地理网格，进行地形分析、资源评估等。
3. 三维建模在三维建模领域，Delaunay三角剖分可以用于构建复杂的三维模型，并支持模型的分析、编辑等功能。
基于Delaunay三角网的任意多边形三角剖分算法研究
青 岛 ２ ６ ７ ） ６ ０ １ （ 国石 油 化 工 股 份 有 限 公 司 青 岛 安全 工 程研 究 院 中
摘
要
文章通过分析现有 多边形三角剖分算法 ， 出一种基于 Ｄｅ ｕ ａ 给 ｌ ｎ ｙ三角 网的任意复杂多边形 三角剖分 的改进 算法。算法首先 ａ
忽略多边形顶点与边线间的逻辑关系 ， 将其看做散乱 顶点的集合 ， 然后采用 Ｄｅ ｕ ａ ｌ ｎ ｙ三角化方法对点集进行合 理剖分 ， ａ 再依据多边形顶点
及 边 线 间 的 逻 辑 关 系 ， 将 那 些 不 合 理 的三 角 网剔 除 ， 终 重新 组 合 出符 合要 求 的三 角 网格 。 逐一 最 关键词 Ｄ ｌｕ ａ ；任 意 多 边 形 ； 角 剖 分 ；三 角 网 格 ｅａ ｎ ｙ 三
Ａｂｓ ｒｃ Ｔｈ ｐ ｒｉ ｒ ｄｕ ｅ ｎ ｉ ｒ ｖ ｄ ａｇ ｒｔ ｍ ｏ ｈ ｒａ ｇ ｌｔｏ ｆａ ｂｔａ ｙ ｐ ｌｇ ｎ ａ ｅ ｎ ｔ ｅＤｅａ ｎ ｙｂｙａ ａｙ ｉｇ ｔａ ｔ ｅｐａ ｅ ｎｔｏ ｃｓａ ｍｐ ｏ ｅ ｌｏ ｉｈ ｆｒｔ ｅｔｉｎ ｕａ ｉｎ ｏ ｒ ｉｒ ｒ ｏｙ ｏ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｌｕ ａ ｎ ｌｚｎ
ｔ ｘ ｓ ｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｆ ｈ ｒａ ｇ ｌ ｔｏ ｆｔ ｅ ｐ ｌ ｇ ｎｓ Ｔｈ ｓ ａｇ ｒ ｔ ｍ ｉｓ ｌ ｅ ｒ ｅ ｈｅ ｐ ｙ ｏ ｅ ｔｃ ｓａ ｃ ｔｅ ｅ ｏ ｎ ｓ ｂ ｇ ｏ ｈｅ ｅ ｉ ｔ ｌ ｏ ｉｈ ｏｒｔ ｅ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｉｎ ｏ ｈ ｏ ｙ ｏ ． ｉ ｌ ｏ ｉｈ ｆｒ ｔｙ ｒ ｇａ ｄ ｓｔ ｏｌ ｇ ｎ ｖ ｒ ｉｅ ｓ ｓ ａ ｔ ｒ ｄ ｐ ｉ ｔ ｙ ｉ ｎ ｎ
C# Delaunay三角剖分
Delaunay三角剖分在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分。
首先，我们来了解一下Delaunay边。
Delaunay边的定义为：假设E中的一条边e（其端点为a,b），若e满足条件：存在一个圆经过a,b两点，圆内不含点集中任何其他的点，这一特性又称空圆特性，则称之为Delaunay边：Delaunay三角剖分的定义为：如果点集的一个三角剖分只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合下面两个重要的准则：1）空圆特性：Delaunay三角网是唯一的，在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在；2）最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。
从这个意义上讲，Delaunay 三角网是“最接近于规则化的”的三角网。
具体来说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。
经典的Delaunay剖分算法主要有两类[1]：1）增量算法：又称为Delaunay空洞算法或加点法，其思路为从一个三角形开始，每次增加一个点，保证每一步得到的当前三角形是局部优化的三角形。
2）局部变换法：又称为换边或换面法，其思路为构造非优化的三角网，然后对两个共边三角形形成的凸四边形迭代换边优化。
迄今为止关于Delaunay剖分已经出现了很多算法，主要有分治算法、逐步插入法、三角网生长法等。
其中三角网生长算法由于效率较低,目前较少采用; 分治算法最为高效,但算法相对比较复杂;逐点插入法实现简单,但它的时间复杂度差[2]。
特别是近些年，随着计算机水平的不断提升，又出现了各种各样的改进算法。
本节将主要根据逐步插入法的原理，通过对给予的数据高程点进行Delaunay三角剖分。
其基本步骤为：1）获取点集坐标数组；2）获取点集外围边界；3）根据边界及内部点生成三角网。
Delaunay三角剖分的几种算法综述
Ｄｅ ｕ ａ － 剖 分 ｌ ｎｙ５ ａ
约束三 角剖分
、
引 言
Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕ ａ 三角剖 分广泛地应用在 有限元分析 、 ａ 信息可视化 、 计算机 图形学等领域 。Ｄ ｌ ｎｙ ｅ ｕ ａ 三角 网具有 优 良的几 何特性 ， ａ 如空外 圆性 质 、 最 小角最大 的性质等 ， 公认的最 优三角 网ｕ 当前 ， 是 。 构建三角 网的算 法 可以分为 ３ ： 类 分治法 、 逐点插 入法和三角 网生长法。分治法 的效 率 最 高 ； 逐点插入法实现简单高效 ， 占用内存较小 ， 但它 的时 间复杂度差 ， 三角网生长法 由于效率 相对较低 ， 前采用较少 。约束 Ｄ ｌ ｎ ｙ 目 ｅ ｕ ａ 三 ａ 角剖分 具 Ｄ ｌ ｎｙ 慊 ｅ ｕ ａ 三角剖分的优点 ， 广泛应用在地学及计算机领 ａ 并 域 。Ｄｅ ｕ ａ 剖分是一种三角剖分 的标准 ， ｌ ｎｙ ａ 实现它有多种算法 。 二 、 ｅａ ｎ ｙ Ｄ ｌｕ ａ 三角剖分的常见算法 １ ａ ｓｎ ． ｗ ｏ 算法 Ｌ 逐点插入 的Ｌ ｗ ｏ 算法是 Ｌ ｗ ｏ 在 １７ 年提出的 ， ａ ｓｎ ａ ｓｎ ９ ７ 该算法思路简 单， 易于编程实 现。基本原 理为 ： 首先 建立一个 大的三角形或 多边形 ， 把所有数据点包 围起来 ， 向其 中插入一点 ， 点与包含它的三角形三个 该 顶点 相连 ， 形成 三个新 的三角形 ， 后逐个对 它们进行空外 接圆检测 ， 然 同时用 Ｌ ｗ ｏ 设计 的局部优化 过程 Ｌ Ｐ 行优化 ， ａｓ ｎ Ｏ进 即通过 交换对角线 的方法来保证所形成 的三角 网为 Ｄ ｌｕ ａ 三角 网。 ｅ ｎｙ ａ 上述 基 于散点 的构 网算 法理 论严 密 、 唯一性好 ， 网格 满足 空 圆特 性 ， 为理想 。由其逐点 插入 的构网过程 可知 ， 到非 Ｄ ｌ ｎｙ 较 遇 ｅａ ａ 边时 ， ｕ 通过删 除调 整 ， 可以构造形成新 的 Ｄ ｌｕ ａ 边 。在完成 构网后 ， ｅａｎｙ 增加新 点时 ， 无需对所 有的点进行重新构 网， 只需对 新点的影响三角形范 围进 行局部联 网 ， 局部联 网的方 法简单易 行。 同样 ， 且 点的删除 、 移动也可 快速动态地进行 。但 在实际应用 当中， 当点集较 大时构网速度也较慢 ， 如果点集范 围是非 凸区域或者存在 内环 ， 则会产生非法三角形 。
Delaunay三角剖分
Delauney三角网剖分算法原理：分为三步：一、凸包生成：1）求出如下四点：min(x-y)、min(x+y)、max(x-y)、max(x+y)并顺次放入一个数组，组成初始凸包；2）对于凸包上的点I，设它的后续点为J，计算矢量线段IJ右侧的所有点到IJ的距离，求出距离最大的点K；3）将K插入I,J之间，并将K赋给J；4）重复2，3步，直到点集中没有在IJ右侧的点为止；5）将J赋给I，J取其后续点，重复2，3，4步，当遍历了一次凸包后，凸包生成完成。
二、环切边界法凸包三角剖分：在凸包数组中，每次寻找一个由相邻两条凸包边组成的三角形，在该三角形的内部和边界上都不包含凸包上的任何其他点，然后去掉该点得到新的凸包链表，重复这个过程，最终对凸包数组中的点进行三角剖分成功。
三、离散的内插：1）建立三角形的外接圆，找出外接圆包含待插入点的所有三角形，构成插入区域；2）删除插入区域内的三角形公共边，形成由影响三角形顶点构成的多边形；3）将插入点与多边形所有顶点相连，构成新的Delaunay三角形；4）重复1，2，3，直到所有非凸包上的离散点都插入完为止。
功能实现流程：1. 在绘图菜单栏下添加一个子菜单项为Delauney，并且在工具栏上添加一个工具项。
设置text为Delaunay三角剖分，name为delaunay等属性，添加单击事件，并为单击事件代码2.为事件函数添加如下代码Graphics gra = panel1.CreateGraphics();List<Point_T> pts = new List<Point_T>();foreach (Geometry_T geo in choosegeos.Geofeatures){if (geo.GetType() == typeof(Point_T)){Point_T pt = (Point_T)geo;pts.Add(pt);}}List<Tin> deltins = DelauneyTin(pts);//根据多点构建delauney三角网foreach (Tin tin in deltins){Point[] ctin = new Point[3];for (int i = 0; i < 3; i++){cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y); ctin[i] = cp;}gra.DrawPolygon(Pens.Red, ctin);}3．三角形TIN的数据结构public class Tin{Point_T[] pthree = new Point_T[3];Line_T[] lthree = new Line_T[3];public Line_T[] Lthree{get { return lthree; }set { lthree = value; }}public Point_T[] Pthree{get { return pthree; }set { pthree = value; }}public Tin(){ }public Tin(Point_T p1, Point_T p2, Point_T p3){pthree[0] = p1;pthree[1] = p2;pthree[2] = p3;lthree[0] = new Line_T(p1, p2);lthree[1] = new Line_T(p2, p3);lthree[2] = new Line_T(p3, p1);}}4.圆的数据结构public class Circle_T:Geometry_T{private Point_T cpt;public Point_T Cpt{get { return cpt; }set { cpt = value; }}double radius;public double Radius{get { return radius; }set { radius = value; }}public Circle_T(){ }public Circle_T(Point_T pt, double r){cpt = pt;radius = r;}}5.实现Delaunay三角剖分算法1）public List<Tin> DelauneyTin(List<Point_T> pts)//根据多点构建delauney三角网；分三步：构建凸包；凸包剖分；离散点内插{Graphics gra = panel1.CreateGraphics();List<Tin> deltins = new List<Tin>();List<Point_T> envpts = EnvelopeTin(pts);//构建凸包//for (int i = 0; i < envpts.Count - 1; i++)//{// gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[i].X,(int)envpts[i].Y), new Point((int)envpts[i + 1].X, (int)envpts[i + 1].Y));//}//gra.DrawLine(Pens.Black, new Point((int)envpts[0].X, (int)envpts[0].Y), new Point((int)envpts[envpts.Count - 1].X, (int)envpts[envpts.Count - 1].Y));List<Point_T> dispts = new List<Point_T>();//非凸包上的离散点foreach (Point_T pt in pts){if (!envpts.Contains(pt)){dispts.Add(pt);}}List<Tin> envtins = EnvelopeDivision(envpts);//凸包剖分//foreach (Tin tin in envtins)//{// Point[] ctin = new Point[3];// for (int i = 0; i < 3; i++)// {// cp = new Point((int)tin.Pthree[i].X, (int)tin.Pthree[i].Y);// ctin[i] = cp;// }// gra.DrawPolygon(Pens.Blue, ctin);//}deltins = TinInsert(envtins, dispts);//离散点内插return deltins;}2）public List<Point_T> EnvelopeTin(List<Point_T> pts)//构建凸包{List<Point_T> envpts = new List<Point_T>();List<Point_T> othpts = new List<Point_T>();foreach (Point_T pt in pts){othpts.Add(pt);}//构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框CompareXaddY comxandy = new CompareXaddY();CompareXsubY comxsuby = new CompareXsubY();pts.Sort(comxsuby);envpts.Add(pts[0]);envpts.Add(pts[pts.Count - 1]);othpts.Remove(pts[0]);othpts.Remove(pts[pts.Count-1]);pts.Sort(comxandy);if(!envpts.Contains(pts[0])){envpts.Insert(1, pts[0]);}if (!envpts.Contains(pts[pts.Count - 1])){envpts.Add(pts[pts.Count - 1]);}othpts.Remove(pts[0]);othpts.Remove(pts[pts.Count-1]);//构建以x-y，x+y最大最小值组成的初始矩形框int i = 0;int tag = 0;bool over = true;while(i<envpts.Count){Line_T cline;if (i==envpts.Count-1){cline = new Line_T(envpts[i], envpts[0]);}else{cline = new Line_T(envpts[i], envpts[i + 1]);}double dismax=0;for (int j = 0; j < othpts.Count ;j++ ){if (IsLeftPoint(othpts[j], cline)){double distance = PointToLine(othpts[j], cline);if (distance > dismax){dismax = distance;tag = j;over = false;}}}if (over){i++;}else{//envpts.RemoveAt(i);envpts.Insert(i+1, othpts[tag]);over = true;}}return envpts;}public List<Tin> EnvelopeDivision(List<Point_T> pts)//凸包剖分{List<Tin> envtins = new List<Tin>();List<Point_T> cpts = new List<Point_T>();foreach (Point_T pt in pts){cpts.Add(pt);}while (cpts.Count > 2){int tag = 0;double minangle = 120;for (int i = 0; i < cpts.Count; i++){double angle;if (i == 0){angle = CalcuAngle(cpts[cpts.Count - 1], cpts[i], cpts[i + 1]);}else if (i == cpts.Count - 1){angle = CalcuAngle(cpts[i-1], cpts[i], cpts[0]);}else{angle = CalcuAngle(cpts[i-1], cpts[i], cpts[i + 1]);}if ((angle - 60) < minangle){minangle = angle - 60;tag = i;}}int btag=tag-1;int atag=tag+1;if (tag == 0){btag = cpts.Count - 1;}else if (tag == cpts.Count - 1){atag = 0;}Tin ctin = new Tin(cpts[btag], cpts[tag], cpts[atag]);envtins.Add(ctin);cpts.RemoveAt(tag);}return envtins;}public List<Tin> TinInsert(List<Tin> tins, List<Point_T> pts)//离散点内插 {List<Tin> deltins = new List<Tin>();List<Tin> ctins = new List<Tin>();//临时凸包foreach (Tin tin in tins){ctins.Add(tin);}foreach (Point_T pt in pts)//对离散点遍历，内插{List<Point_T> cpts = new List<Point_T>();//临时点集foreach (Tin tin in ctins)//找到外接圆包含离散点的三角形{Circle_T ccir = DelauneyCicle(tin);//构造外接圆if (IsPointInCircle(pt, ccir))//点是否包含在圆内{//for (int i = 0; i < 3; i++)//{// if (!cpts.Contains(tin.Pthree[i]))// {// cpts.Add(tin.Pthree[i]);//记录当前点// }//}deltins.Add(tin); //记录保存当前三角形}}//List<Point_T> ecpts = EnvelopeTin(cpts);//求点集（外接圆包含离散的三角形）的凸包？，接下来，插入点，构建新三角网//for (int j = 0; j < ecpts.Count;j++ )//{// Tin tin;// if (j == ecpts.Count-1)// {// tin = new Tin(ecpts[j], ecpts[0], pt);// }// else// {// tin=new Tin(ecpts[j],ecpts[j+1],pt);// }// ctins.Add(tin);//}List<Line_T> eli = BorderTin(deltins);foreach (Line_T line in eli){Tin tin = new Tin(line.Frompt, line.Topt, pt);ctins.Add(tin);}foreach (Tin tin in deltins)//改变临时三角网（删除deltins保存的三角网）{ctins.Remove(tin);}deltins.Clear();}return ctins;}3）public bool IsLeftPoint(Point_T pt, Line_T line)//点在线的左边;叉积大于{bool yes = false;if ((pt.X - line.Frompt.X) * line.ParaA + (pt.Y - line.Frompt.Y) * line.ParaB > 0){yes = true;}return yes;}public double CalcuAngle(Point_T fp, Point_T mp, Point_T tp)//首，中，尾三点构成的夹角{double angle = 0;Point_T vector1 = new Point_T(fp.X - mp.X, fp.Y - mp.Y);Point_T vector2 = new Point_T(tp.X - mp.X, tp.Y - mp.Y);angle = Math.Acos((vector1.X * vector2.X + vector1.Y * vector2.Y) /(Math.Sqrt(vector1.X * vector1.X + vector1.Y * vector1.Y) *Math.Sqrt(vector2.X * vector2.X + vector2.Y * vector2.Y)));return angle;}public Circle_T DelauneyCicle(Tin tin)//构建三角形的外接圆{double x1 = tin.Pthree[0].X;double x2 = tin.Pthree[1].X;double x3 = tin.Pthree[2].X;double y1 = tin.Pthree[0].Y;double y2 = tin.Pthree[1].Y;double y3 = tin.Pthree[2].Y;double x = ((y2 - y1) * (y3 * y3 - y1 * y1 + x3 * x3 - x1 * x1) - (y3 - y1) * (y2 * y2 - y1 * y1 + x2 * x2 - x1 * x1))/ (2 * (x3 - x1) * (y2 - y1) - 2 * ((x2 - x1) * (y3 - y1)));double y = ((x2 - x1) * (x3 * x3 - x1 * x1 + y3 * y3 - y1 * y1) - (x3 - x1) * (x2 * x2 - x1 * x1 + y2 * y2 - y1 * y1))/ (2 * (y3 - y1) * (x2 - x1) - 2 * ((y2 - y1) * (x3 - x1)));Point_T cpt = new Point_T(x, y);double radius=Math.Sqrt(Math.Pow((x1-x),2)+Math.Pow((y1-y),2));Circle_T cir = new Circle_T(cpt,radius);return cir;}public bool IsPointInCircle(Point_T pt, Circle_T cir){if(Math.Sqrt(Math.Pow((pt.X-cir.Cpt.X),2)+Math.Pow((pt.Y-cir.Cpt.Y),2))<cir.Radius) {return true;}elsereturn false;}public List<Line_T> BorderTin(List<Tin> tins){List<Line_T> borli = new List<Line_T>();for (int i = 0; i < tins.Count; i++){for (int t = 0; t < 3; t++){bool tag = false;Line_T cl = tins[i].Lthree[t];for (int j = 0; j < tins.Count; j++){if (j!=i&&IsContainByTin(cl, tins[j])){tag = true;}}if (!tag)borli.Add(cl);}}return borli;}public bool IsContainByTin(Line_T li, Tin tin){for (int i = 0; i < 3; i++){if ((li.Frompt == tin.Lthree[i].Frompt || li.Frompt ==tin.Lthree[i].Topt) && (li.Topt == tin.Lthree[i].Topt || li.Topt ==tin.Lthree[i].Frompt)){return true;}}return false;}6.实现两个排序类CompareXsubY（x-y排序）和CompareXaddY（x+y 排序），仿照CompareX写功能操作步骤：先在面板上绘制多个点；框选部分点；按下实现Delaunay三角网剖分工具，Delaunay三角网剖分成功。
图形算法-Delaunay三角剖分算法
[图形算法]Delaunay三角剖分算法1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义如何把一个散点集合剖分成不均匀的三角形网格，这就是散点集的三角剖分问题，散点集的三角剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。
该问题图示如下：1.1.三角剖分定义【定义】三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。
那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。
1.2. Delaunay三角剖分的定义在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。
先从Delaunay边说起：【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
1.3.Delaunay三角剖分的准则要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。
如下图所示：2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。
从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。
具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。
如下图所示：1.4.Delaunay三角剖分的特性以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法
matlab delaunay算法提取离散点边界的方法MATLAB Delaunay算法提取离散点边界的方法在现代科学和工程领域，我们经常会遇到需要处理离散点数据的情况。
地理信息系统、医学图像处理、地震学和遥感技术等领域都需要对离散点数据进行分析和处理。
而其中一个常见的问题就是如何从离散点数据中提取边界。
在MATLAB中，我们可以使用Delaunay算法来解决这个问题。
下面，我将深入探讨MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法并共享我的个人观点和理解。
1. Delaunay算法简介Delaunay三角剖分是一种将离散点集合转换为三角形网格的方法，它具有许多重要的性质，其中之一就是能够有效地提取离散点的边界。
在MATLAB中，我们可以使用`delaunay`函数来进行Delaunay三角剖分，该函数返回离散点的连接信息，也就是三角形的顶点索引。
接下来，我们可以根据这些连接信息来提取边界。
2. 提取离散点边界的方法在MATLAB中，我们可以通过以下步骤来提取离散点数据的边界：2.1 构建Delaunay三角形我们使用`delaunay`函数对离散点数据进行三角剖分，得到三角形的连接信息。
2.2 寻找边界三角形接下来，我们需要寻找属于边界的三角形。
一种简单的方法是遍历所有三角形，对每个三角形的边界进行检查，如果有边是不被其他三角形共享的，则将该三角形标记为边界三角形。
2.3 提取边界我们可以根据边界三角形的连接信息，提取离散点数据的边界。
这可以通过简单地将边界三角形的顶点连接起来来实现。
3. 我对提取离散点边界的方法的理解从我个人的角度来看，MATLAB中使用Delaunay算法提取离散点边界的方法具有一定的优势。
Delaunay三角剖分可以很好地保持三角形的形状，因此提取的边界也比较准确。
MATLAB提供了丰富的函数和工具，使得实现这一方法变得相对简单。
不过，需要注意的是，这种方法可能对于特定形状和分布的离散点数据并不适用，因此在实际应用中需要谨慎选择。
简单多边形的动态Delaunay三角剖分算法
简单多边形的动态Delaunay三角剖分算法罗小华;付文超;管培祥;张传林【期刊名称】《暨南大学学报（自然科学与医学版）》【年(卷),期】2011(032)001【摘要】A simple dynamic polygon triangulation algorithm is proposed, its time complexity is O(n).The correctness of the algorithm is proved, and a dynamic triangular mesh generation software is developed. Finally it tested the robustness of the software through a large number of data.%提出了一种简单多边形的动态Delaunay三角剖分算法,其时间复杂度为O(n).从理论上证明了算法的正确性,并利用Python语言开发了一款动态Delaunay三角网生成软件,最后通过大量数据测试了该软件的健壮性并得到实例证实.【总页数】6页(P26-30,35)【作者】罗小华;付文超;管培祥;张传林【作者单位】暨南大学信息科学技术学院,广东,广州,510632;暨南大学信息科学技术学院,广东,广州,510632;暨南大学信息科学技术学院,广东,广州,510632;暨南大学信息科学技术学院,广东,广州,510632【正文语种】中文【中图分类】TP391.4【相关文献】1.简单多边形内线燃烧动态轨迹算法 [J], 张云辉;高满屯;吴建军;王淑侠;张燕2.基于最小距离简单多边形的Delaunay三角剖分算法 [J], 刘小龙;杨维芳3.简单多边形快速Delaunay三角剖分算法 [J], 刘建新;卢新明;岳昊4.一种简单多边形Delaunay三角剖分的约束生长算法 [J], 刘少华;陈华军;罗小龙5.面向并行的动态增量式Delaunay三角剖分算法 [J], 杨昊禹;刘利;张诚;于灏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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1.2. Delaunay三角剖分的定义
Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端a,b），e若满足下 列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点， 圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其 他的点，这一特性又称空圆特性。三角剖分的补充.ppt Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含 Delaunay边，那么该三角剖分称Delaunay三角剖分。
1.4.Delaunay三角剖分的特性
以下是Delaunay剖分所具备的优异特性： 1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段 (三角形的边)皆不相交。 2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得 到一致的结果。 3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的 对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内 角中最小的角度不会变大。
在完成构网后，增加新点时，无需对所有的 点进行重新 构网，只需对新点的影响三角形 范围进行局部联网，且局部联网的方法简单 易行。同样，点的删除、移动也可快速动态 地进行。但在实际应用当中，这种构网算法 当 点集较大时构网速度也较慢，如果点集范 围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法一个超级三角形，包含所有散点，放入三角 形链表。 2、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出 其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三 角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影 响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在 Delaunay三角形链表中的插入。
3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。 将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小 角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到 的数值最大。 5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会 影响临近的三角形。 6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形 成一个凸多边形的外壳。
1.5.局部最优化处理
理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的 局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即可确保 成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示： 1.将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。 2.以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是 否在三角形的外接圆之内。
3.如果在，修正对角线即将对角线对调，即完 成局部优化过程的处理。 LOP处理过程如下图所示：
2.Delaunay剖分的算法
Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多 种算法。 wson算法 逐点插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出，该 算法思路简单，易于编程实现。 基本原理为：首先建立一个大的三角形或多边形， 把 所有数据点包围起来，向其中插入一点，该
Delaunay三角剖分算法
1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义 如何把一个散点集合剖分成不均匀的三 角形网格，这就是散点集的三角剖分问题， 散点集的三角剖分，对数值分析以及图形 学来说，都是极为重要的一项预处理技术。 该问题图示如下：
1.1.三角剖分定义
三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e 是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的 集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个 平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。 3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的 合集是散点集V的凸包。三角剖分的补充
合成算法的基本步骤
把点集V 以横坐标为主, 纵坐标为辅按升序排序, 然后递归地执行以下步骤: if V 中数据量大于一给定值, 把V 分为近似相等的两个子集V L 和V R ; 在V L 和V R 中用逐点插入法生成三角网; 找出连接V L 和V R 中两个凸壳的底线和顶线; 由底线至顶线合并V L 和V R 中两个三角网; else
1.3.Delaunay三角剖分的准则
要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个 重要的准则： 1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意 四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三 角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图 所示：
2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角 剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最 小角最大。从这个意义上讲，Delaunay 三角网是 “最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指 在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在 相互交换后，六个内角的最小角不再增大。如下 图所示：
a) b) c) d)
生成基本三角网; end
点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的 三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时 用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过 交换对角线的方法来保证所形成的三角网为 Delaunay三角网。 上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网 格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插 入的构网 过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整， 可以构造形成新的Delaunay边。
3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。 将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。 4、循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。 这一算法的关键的第2步图示如下：
合成算法介绍
三角网生长法在80 年代中期以后的文献中已很少见, 较多的是分治算法和逐点插入法。而后两类算法又 各有其长处及短处。 逐点插入法虽然实现比较简单, 占用内存较小, 但它 的时间复杂度差, 即运行速度慢。 分治算法从时间复杂度方面看, 它最好。但由于递 归执行,它需要较大内存空间。在较低档的计算机平 台上, 速度慢和占用大空间都是令人难以接受的。 @ 这里, 我们提出并实现了一种合成算法, 它把逐点插 入法植入到了分治算法中, 互相取长补短, 体现了它 们的综合优势, 从而达到了较好的时空性能。