控制系统的状态空间模型详细讲解4

y1 x1 输出方程： y2 x2
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写成矩阵形式：
A
0 0 0 0 k1 k1 X M1 M1 k1 k1 k2 M2 M2
代入上式并整理得： x1 x3 x x 4 2 状态方程： k1 k1 B1 B2 1 x1 x2 x3 x4 u x3 M1 M1 M1 M1 M1 k1 k1 k2 B1 B1 B2 x1 x2 x3 x4 x4 M2 M2 M2 M2
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动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[基本概念]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。 状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小变量组。 完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入 的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。 最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描 述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
y j j ( x1, x2 , , xn ; u1, u2 , , um ),
j 是线性或非线性函数。
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j 1,2,..., p
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1.2 状态空间表达式的建立
1、由系统物理模型建立动态方程
(详见课本1.1.3节内容)
2、由微分方程建立动态方程 3、由传递函数建立动态方程
（系统的实现问题，详见1.3.2节内容）
4、由结构图建立动态方程
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一、从系统物理模型建立动态方程
核心问题——合理选择系统的状态变量 通常有三种规则：
M 2 y2 k1 ( y1 y2 ) B1 ( y1 y2 ) B2 y2 k2 y2
M1 y1 f B1 ( y1 y2 ) k1 ( y1 y2 )
x1 y1 , x2 y2 , x3 y1 v1, x4 y2 v2 , u f
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令x1 i1、x2 i2、x3 uc， 则系统的状态方程为： R1 R1 L L1 1 x1 R1 R2 x R1 2 L L2 2 x3 1 0 C 输出方程为： A y 0 0 0 1 L2 0 1 x1 L1 x2 0 u x 0 3 B
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现代控制理论与经典控制理论的对比（1）
经典（频域法） 理论基础 现代（时域法）
以常微分方程稳定性理 常微分方程稳定性理论； 论和Fourier变换为基础 状态空间分析；泛函分析、 的根轨迹和奈奎斯特判 微分几何等现代数学工具 据理论 传递函数（研究系统外 部特性，不完全描述） 状态空间表达式（深入系 统内部，是内部描述，完 全描述）
疑问？
现代控制理论，那有没有其它的控制理论 分支呢？更早的控制理论是什么？ 现代控制理论和自动控制理论都是关于 “控制”的理论，两者有何联系和区别？ 为什么要研究现代控制理论（研究价值）？
201重要性 控制理论的产生与发展 现代控制理论的研究内容 现代控制理论与经典控制理论的差异 现代控制理论的应用与挑战
输出方程的通式为：
y1 c11 x1 c12 x2 y2 c21 x1 c22 x2 ym cm1 x1 cm 2 x2
可简记为
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c1n xn d11u1 d12u2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 cmn xn bm1u1 d m 2u2
数学模型
适用对象
仅适用于单输入单输出 可推广至：多输入多输出 系统（SISO），线性、 系统，非线性、时变系统 定常系统
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第一章 连续控制系统状态空间描述
1、状态变量和状态变量模型
状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、 状态空间表达式 状态结构图
2、状态空间表达式的建立
b11 b B 21 bn1 b12 b22 bn 2 b1r b2 r , bnr
n r维输入矩阵, 表征输入对每个变量的作用
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y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
c11 c12 c1n c c c 22 2n C 21 , cm1 cm 2 cmn
线性系统是实际非线性对象的线性化近似； 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路。
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[系统动态方程的模拟结构图]： 常用符号： 积分器

比例器
ki
加法器

模拟结构图：
D
U
B
X



A
X
C

Y
SISO System
MIMO System
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X AX BU Y CX DU
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状态方程的通式为：
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12 u2 b1r ur x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22 u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2 u2 bnr ur x
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状态空间模型表达式
u1 u2 y1
ur
状态变量 （x1,x2,…,xn）
y2
ym
Fig.1 MIMO 系统
动态方程
状态方程：x (t ) f ( x (t ), u(t ), t ) 状态空间模型表达式 输出方程：y (t ) ( x (t ), u(t ), t )
注：f()和 （）分别是n维和p维的向量函数
动态系统模型、微分方程、传递函数、状态结构图
3、传递函数矩阵的建立 4、状态空间表达式的四种标准型及转换
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1.1 状态空间模型的基本概念
两类系统：
输入 代数方程 输出 例：比例放大器
输入 初始状态
动态系统或 动力学系统
微分方程
输出 例：带有储能元件的电路
di (t ) L u (t ) dt
状态空间：以状态变量x1 ( t ), x2 ( t ),...,xn ( t ) 为坐标轴所构成的 n维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量X ( t ) 是状态空间的一个 点。 状态轨迹：以 X ( t ) X ( t0 ) 为起点，随着时间的推移， X ( t ) 在 状态空间绘出的一条轨迹。
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状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
xi fi ( x1, x2 ,
, xn ; u1, u2 ,
, um ),
i 1, 2,..., n
fi 是线性或非线性函数。
选择系统中储能元件的输出物理量 选择系统的输出及其各阶导数 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量
注意事项：
同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同； 两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。
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例1：求图示RLC回路的状态空间表达式
分析如下系统：
方法：
1、根据物理定律建立系统的物理模型。 2 选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型 转化为状态方程和输出方程。
T
其中：
x x1
u u1 u2
y y1
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ur , r 1维输入向量
T
y2
ym , m 1维输出向量
T
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x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
a11 a12 a1n a a a 2n A 21 22 , n n维系统矩阵, 表征各状态变量间的关系 a a a nn n1 n 2
几种典型系统的动态方程
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线性时变系统的状态空间表达式
x (t ) A(t ) x (t ) B(t ) u(t ) y (t ) C (t ) x (t ) D(t ) u(t )
可记为
( A(t), B(t), C(t), D(t ))
x2 xn , n 1维状态向量
SISO线性定常系统的状态空间表达式
x (t ) Ax bu y(t ) cx
b为nX1维， c为1Xn维
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为描述系统方便，经常用 ( A, B, C, D) 代表一个动 力学系统。 状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别 的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯 一。 主要研究线性时不变系统的分析和综合问题：
d 2 y (t ) dv(t ) ma m 2 m f (t ) dt dt f (t ) v(t ) t v(t0 ) m 1 f (t ) 2 y (t ) y (t0 ) v(t0 )t t 2 m