雨中行走模型
人在雨中行走时的淋雨量问题
人在雨中行走时的淋雨量问题人在雨中行走时的淋雨量问题一．模型假设 1.把人看做一个长方体；2.雨滴下落的速度，方向保持不变；3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。
4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。
即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）二．符号说明1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。
2.D 为人在雨中行走距离。
3.R 为人在雨中行走速度3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。
4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。
三．模型建立本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。
我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。
即最佳行走速度。
以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。
则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。
得到θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。
进一步得到θcos V R V +=相.人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h RD ；进一步得总淋雨量W(R ）=()θθsin 33cos 21V h h V R h h RD ++。
分析：1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到}sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到()θθsin 33cos 21)(V h h V R h h RD R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh RV h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh RV h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：2)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。
雨中行走问题模型
数学建模之雨中行走问题模型摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。
就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。
在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少；若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
关键词：淋雨量，数学模型，降雨的方向。
正文1.问题的提出要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。
（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）2.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积、单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v3.合理假设3.1模型的假设（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为(,,)x y z v v v v =,人行走的距离为d=100米。
雨中行走数学建模
雨中行走问题的分析吴珍数学与应用数学二班 A班冯奎艳数学与应用数学二班 A班杨彦云数学与应用数学二班 A班摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。
然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。
关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量一、问题重述一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。
那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。
现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。
按以下步骤进行讨论:(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,问速度多大时,总淋雨量最少。
(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,问速度多大时,总淋雨量最少。
(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。
二、问题分析人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。
把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。
为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P (模型建立部分会做具体阐述)的概念。
对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
数学模型论文雨中行走(1)
队号：第四队成员：刘桂清、徐丽蓉、林雪梅指导老师：刘于江老师雨中行走少淋雨问题真题摘要建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
关键词：少淋雨；雨速的水平分量；夹角；人速1.问题的重述当下雨时，假如你当时没带雨伞你又不得不从A地走到B地，该如何行走才能少淋到雨呢？针对这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，人在顺风行走时，你以雨速的水平分量的速度走时，雨的夹角至少是多少？进而近一步讨论，在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）把人体看作长方体，底边长a米、宽为b米;高为h米；（2）风速保持不变,人速以V（m/s）匀速行走;（3）人从A地行走到B地，路程为L=1000米；2.2符号说明a 人体的宽度 (m)b 人体的厚度 (m)h 人体的身高 (m)V 人的速度（m/s）ν风速（雨速）（m/s）L 人行走的路程 (m)θ下雨的方向与人的夹角t 人在雨中行走的时间 (s)ρ降雨密度3.模型的建立与求解（1）考虑人在顺风行走时，此种情况下，如图：人淋雨的部位有头、背后，则：头顶的淋雨量：C1=VLabθρνcos侧面的淋雨量：C2=VVLbh)sin(θνρ-总淋雨量： C=C1+C2=VVhaLb)]sin(cos[θνθνρ-+结论：可以看出总淋雨量与速度.角度有关，且与人的速度成反比，当V=νsinθ时，即=θarcsinνV,总淋雨量C最小。
所以，上述情况就转化为与θ有关的问题：（1）当0=θ时C=VhV a Lb )(+νρ=ρρνLbh VLab +结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
（2）当4πθ=时C=VV h a Lb )]22(22[ννρ-+=VLab νρ22+h Lb ρ-Vh Lb νρ22=(Vh Lbb a ρ22)1-+h Lb ρ结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
关于雨中行走模型
关于雨中行走模型第六讲建模方法论(5)——建模实例(一)雨中行走问题夏季的某天，你去某地办事，接近目的地时，天空突然下起了大雨，糟糕的是你没有带雨具，且难以找到避雨的地方。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能的快走(跑)，以减少雨淋时间。
这样做合理吗,试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能最大限度地减少雨淋的程度，即确定最优行走策略。
问题分析问题是在给定的降雨条件下，设计一个在雨中行走的策略(调整行走速度)，使得你被雨水淋湿的程度最低。
所谓被雨水淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有:降雨的大小、风(降雨)的方向、路程的远近和行走的速度。
为了简化问题的研究，我们先做以下假设: 模型假设1(降雨的速度(即雨滴降落的速度)和降雨强度保持不变;2(行走速度恒定;3(风速及风向始终保持不变(这三项都是均匀化假设)。
4(把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体(理想化)。
5(淋在身上的雨水被完全吸收(极端化)。
6(不考虑降雨的角度的影响，也就是说在行走的过程中身体的上方及前后左右都将淋到雨水。
7(设定变量和参数雨中行走的距离(单位:米):D;雨中行走的速度(单位:米/秒):v;人体的高度、宽度、厚度(单位:米):h，w, d被淋雨水总量(单位:升):C;降雨强度(单位:厘米/小时):I;2 身体被雨淋的面积(单位:米):S;雨中行走时间(单位:秒):t=D/v.其中，降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度，用以刻划降雨的大小。
在本问题中，D，d,w,h从而S是问题的参数;v,t,I是问题中的变量。
C是因变量，而v是决策变量。
模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
模型的建立与求解按上面的分析与假设，容易知道:在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。
考虑到量纲一致性，并注意到I、v、D为常数，我们有C(v)=tS(米)=(米)=模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优行走策略是尽可能的快跑。
《雨中行走问题》课件
行人行走的方向
行人行走的速度
雨滴对行人产生的冲击力会影响行人的行走速度和稳定性。
雨滴的冲击力
雨滴的湿度
雨滴的能见度
雨滴的湿度会影响行人的舒适度，进而影响其行走意愿和速度。
雨滴的能见度降低会影响行人的视线和判断力，从而影响其行走安全。
03
02
01
03
CHAPTER
机器学习算法
利用大量的历史数据和实时数据，不断优化和改进系统的行走策略。
数据驱动
适用于数据充足且需要高度智能化的雨中行走问题，如复杂环境、不确定因素等。
适用场景
04
CHAPTER
雨中行走问题的未来研究方向
雨滴对行人的影响
雨滴下落对行人的行走速度、步态和舒适度有何影响？
1
2
3
如何建立一个能够准确描述雨中行走动态过程的数学模型？
在健康和安全领域，研究雨中行走问题可以帮助提高行人的安全意识和行为，减少事故风险。
02
CHAPTER
雨中行走问题的数学模型
雨滴下落的速度取决于风速、重力加速度以及空气阻力等因素。
雨滴下落的速度
雨滴下落的方向与风向、气压等气象条件有关，同时也受到地形、建筑物等因素的影响。
雨滴下落的方向
行人行走的速度取决于其步频、步长以及身体状况等因素。
05
CHAPTER
结论
雨中行走问题涉及到人类日常生活中的实际问题，对解决该问题具有实际意义。
研究雨中行走问题有助于提高人们对于行走行为和环境因素的认知，促进相关领域的发展。
解决雨中行走问题可以为人们提供更加安全、舒适和高效的行走方式，提高生活质量。
通过改进雨具的材料、结构和使用方式，提高雨具的防水性能和舒适度。
雨中行走问题数学模型案例
雨中行走问题数学模型案例
一个常见的数学模型案例是“雨中行走”问题。
在这个问题中，假设有一个人需要从一个地方到另一个地方，但是正在下雨。
人可以以一定的速度行走，但是会因为雨水而放慢速度。
问如何确定最快的路线，使得从起点到终点的时间最短。
为了建立这个数学模型，可以采用以下假设和变量：
1. 假设下雨时，人的行走速度是正常时的百分之多少，这个值称为“减速因子”。
假设减速因子为x%，则雨中行走的速度为正常速度的x%。
2. 假设人在雨中行走时的速度是与雨水的强度相关的。
可以假设速度与雨水强度成正比，即速度v与雨水强度I之间存在关系v = kI （其中k为比例常数）。
3. 假设人在雨中行走的路径是直线。
1
根据上述假设和变量，可以建立以下数学模型：
1. 定义起点和终点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 定义每个点（x，y）处的雨水强度I。
3. 计算人在一段距离（Δx，Δy）内花费的时间t：t = l / (v * x / 100)，其中l是距离，v是速度，x是减速因子。
4. 计算从起点到终点的路线上每个点（x，y）的雨水强度I。
5. 根据模型3计算从起点到终点的每个区间的时间t，并将它们的
和作为总时间T。
6. 通过改变减速因子x，并重新计算总时间T，找到最小的总时间
对应的减速因子x，确定最快的路线。
这样，通过数学模型，可以帮助人们确定在雨中行走时最快的路线。
2。
淋雨模型建模
雨中行走淋雨量分析摘要当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。
摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。
事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下的速度和淋雨量关系做出分析探究。
在问题一中，因为已经假设雨淋遍全身，且速度为最大，所以由题目的已知条件，直接列方程求解。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
解决该问题的过程中，本文利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，结合题目中的已知条件，列出方程求解。
针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
类似于问题二，此题中也利用了一些物理知识。
在问题四中，绘制出“淋雨量—速度”图像，方便于快速直观地得到两者关系。
问题五是前几问的深入，将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法基本相同，只是增加了空间角，建立空间坐标轴，本质没有区别。
考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶，分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。
本文的特点是在建立模型的基础上层层深入，配合图形，简单明了。
同时，基于本文是建立在严谨的计算之上的，具有一定的可靠性，在很大程度上具有参考价值。
关键词：淋雨量 速度选择 行走速度 长方体一、问题描述生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量，将人体简化成一个长方体，高a =1.5米，宽b =0.5米，厚c =0.2m ，跑步距离d =1000m ，跑步最大速度 =5m/s ，雨速u =4m/s ，降雨量w =2㎝/h =65.55610/m s -⨯，记跑步速度为ν 。
数学建模 雨中行走问题
数学模型论文学校：班级：姓名：学号：雨中行走问题摘要当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。
但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。
在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。
那么模型也可算出淋雨量。
当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成θ角。
因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。
便可根据题的要求解出模型。
当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成α角。
因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。
可分几种情况分别来说。
关键词人速；雨速；风向；夹角1.问题的重述当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。
2.问题的分析当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。
人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。
从而使人所淋到的雨量有所不同。
3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。
（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cm h）。
（3）风速保持不变。
v m s跑完全程D。
（4）以定速度()3.2符号说明h人体的身高（m）w 人体的宽度(m)d 人体的厚度(m)D 人跑步的全程(m)v 人跑步的速度(m/s)i 降雨强度(cm/h)c 人在跑步中的淋雨总量(L)s 人在雨中会被雨淋的面积 (㎡)t 人在雨中跑步的时间 (s)v 雨滴下落速度 (m/s)θ 雨滴反方向与人速度方向的夹角ρ 雨滴密度4.模型的建立与求解（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。
雨中行走问题数学建模
雨中行走问题数学建模摘要：1.引言：雨中行走的背景和问题描述2.数学建模的基本概念和方法3.雨中行走问题的数学模型建立4.雨中行走问题的求解方法5.雨中行走问题的实际应用6.结论：数学建模在解决实际问题中的重要性正文：1.引言雨中行走是一个日常生活中常见的场景，然而，在雨中行走时，人们往往会面临一个问题：如何选择一条路径，使得行走的时间最短或者淋雨的程度最小？这个问题看似简单，实际上涉及到复杂的数学问题。
数学建模就是利用数学方法来解决实际问题，它已经成为各个领域解决实际问题的重要手段。
本文将从雨中行走这个问题出发，介绍数学建模的基本概念和方法。
2.数学建模的基本概念和方法数学建模是运用数学理论、方法和工具对实际问题进行抽象、描述和求解的过程。
它主要包括以下几个步骤：（1）问题分析：了解问题的背景，明确问题的目标，为建立数学模型奠定基础。
（2）建立模型：根据问题分析的结果，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
（3）求解模型：运用数学方法求解模型，得到实际问题的解。
（4）模型检验：将求解得到的结果反演到实际问题中，检验模型的有效性和准确性。
（5）模型应用：将求解结果应用到实际问题中，为实际问题的解决提供理论依据。
3.雨中行走问题的数学模型建立为了解决雨中行走问题，我们首先需要建立一个数学模型。
假设一个人要从A 地走到B 地，途中会遇到降雨，降雨的强度可以用降雨量表示。
假设这个人的行走速度为v，降雨量为r，那么，他走完这段路程所需的时间为t=d/v，其中d 表示A 地到B 地的距离。
另外，他在行走过程中淋雨的量为Q=rt，其中r 表示降雨的强度，t 表示行走的时间。
4.雨中行走问题的求解方法为了求解雨中行走问题，我们需要构建一个目标函数，用来描述行走时间和淋雨量的关系。
假设我们的目标是最小化行走时间，那么目标函数可以表示为：min t。
根据目标函数，我们可以建立一个线性规划模型，用来求解雨中行走问题。
在雨中行走速度与淋雨量的关系
在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究鲁妙然提要：本文通过建立模型，简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，希望对生活有所帮助。
关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数正文：1.引言生活中我们经常遇到这样的情况：外面在下雨，我们没带伞但又必须冒雨经过一段路程，这就让我产生了一个疑问：在雨中究竟是跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段路程，跑步花的时间短，但单位时间内淋的雨量可能更多。
本文试对该问题做一个相对具体的分析。
2.建立流密度场模型首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，气压影响较大，情况很复杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气压变化的情况，并且降雨量同一时刻在所选区域内处处相同。
一般冒雨出行距离不会太远，大约在几百米左右，这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，所以可认为在该区域内不同地点同一时刻风向一致（当然若正好处在天气系统边界上就可能会不一致，但所选区域尺度极小，所以恰好处在天气系统边界上概率不大）。
我们定义“雨滴流密度”：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方向的面积微元的某一指定尺寸的雨滴数目与面积的比值，用字母j 表示，有v n v dsnds j ==，其中v 是在该处附近雨滴的速度，n 是该处附近雨滴的数密度。
（这个定义参照电流密度）。
需注意的是同一位置同一时刻的n 是雨滴直径的函数，及不同大小的雨滴数密度是不同的，下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴（认为尺寸与之差异微小的的雨滴看作尺寸与之相同）的情况，因为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。
所有尺寸雨滴的总淋雨点数N 乘以每个水滴的含水量求和（)(ρV N V ⋅∑）即得总淋雨量。
后面的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，而不同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，因为一般的雨滴直径最大不超过5mm ，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸的雨滴行为，就可以代表全部了。
模型参考.ppt
又设包含试剂A 的组数为c ,包含A 的 2－组合为
c
C
1 3
(个).
又
2C
2 n
个 2－组合中包含 A 的 2－组合有
2(n 1) 个.
2n 1 3C ……(2)
数学模型：
n 种试剂满足条件的试验方案存在的必要条件为：
nn 1 2n 1
1.
6 , 3 为整数,且n 4 .
现在要把以上2Cn2个2－组合分成 b
组,每一组有
C
42个2－组合,且这C
2 4
6
个2－组合恰好由4种试剂构成.
［模型的建立及求解］
①
如果满足
条件的试验方案存在.
且2C
2 n
个 2－组合分
成b 组,则
bC42 2Cn2 …………… (1)
② 若试验方案存在,则在n 种试剂中取定一种试剂 A.
§4 生 活 中 的 建 模 问 题
一. 组 织 春 游 问 题 ［问题的提出］
某校组织春游,可以租用两种型号的客车：45座客车和60 座客车.已知45座客车的租金为每辆250元,60座客车的租金 为每辆300元；又若单独租用45座客车若干辆,则刚好坐满； 若单独租用60座客车,可少租一辆且余30个座位.
［问题的分析］
设 n 种化学试剂为1,2,3,, n .试验条件为：
① 每一组安排4种试剂； ② 任意两种试剂都恰好有两次被安排在同组中进行试验.
n 种试剂的 2－组合（或 2－子集）有Cn2 个.由于恰好
有两次被安排在同组中,所以有如下2Cn2 个 2－组合：
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7)
雨中行走模型2 优质课件
(3) 每个抛物线的长度为 ，起跳时垂直速度与水平速度分别
记为
，从起跳到落L 0地的时间为 ，人在雨中奔跑的总
距离为u1,u2 ，不妨假设 为 的整倍数t0 。由物理学的抛体运
动定律可L 得
L L0
。
模型建立 t0 2u1 / g, l0 u2t0 2u1u2 / g
计算人在每个方向上的淋雨量：
人跑完全程所需时间为 t L / u2 。设在这段时间内 S2 面上 的淋雨量记为 my ，易见 my vyS2tQ 。利用相对直角坐标系 得到该方向的相对速度为 v2 u2 v2 cos 。据此求得
my
(1
v2
cos u2
)LQS2
同理可以求出左（右）侧面的淋雨量
mx
v2 LQS1 u2
模型解释
在上面的分析中，我们得到了几种情况下的淋雨量与奔跑 速度之间的关系，下面解释它们的实际含义。
条件 [ / 2, ]表示雨是前面或侧面打来的，此时奔跑得越快， 淋雨越少；
条件 S1 sin S2 cos 等价于 m3 m2 ，其含义是体侧淋到的雨 不少于后背淋到的雨，
， ， 条件 S1 sin S2 cos
雨中行走模型
下雨天忘记带伞总是件不愉快的事，因为 你往往不得不硬着头皮跑回家，弄得一身湿。 怎样才能在跑动中少淋雨，自然是一件非常重 要的事，本节试图从定性的角度，分析奔跑速 度与淋雨量的关系。
雨中行走模型
模型假设
淋雨量与人的形体有关，而人体是不规则的立体形状， 因此为了计算淋雨量，有必要对人体形状做些假设。为了简 化计算，我们先给出几个相关的假设。
m
f1(u2 )
f3 (u2 ) QL S3v1 S1v2 sin
数学建模数学建模之雨中行走问题模型
数学建模雨中行走模型系别：班级：姓名：学号：正文：数学建模之雨中行走问题模型摘要：考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
① 当αsin r v <时,淋在背上的雨量为[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量()[]v v r h dr pwD C -+=ααsin cos .② 当αsin r v =时,此时02=C .雨水总量αcos v pwDdr C =,如030=α,升24.0=C这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当αsin r v >时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C αsin 2-= 关键词：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度1.问题的重述人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算θ=0，θ=090时的总淋雨量；三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w , α之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。
雨中行走数学建模报告
中国地质大学（武汉）China University of Geosciences（Wuhan）数学建模课程作业———雨中行走问题小组成员：姓名班级学号张蓓 121131 20131002378徐静茹 121132 20131004282解傲月 123131 20131002866一、 建模准备建模题目： 雨中行走的数学模型一个雨天，你有急事需要从家中到学校去。
学校离家仅lOOOm ，而且情况紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
如果刚刚出发雨就下起来了，但你也不再打算回去了。
一路上，你将被雨水淋湿。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能的快走，以减少淋雨的时间和淋雨量，事实是不是总是如此呢？试组建数学模型来探讨雨中行走的测略，以尽量减少淋雨量。
建模目标：在给定的降雨条件下，试组建数学模型来探讨雨中行走的测略，以尽量减少淋雨量。
题目分析：影响结果的主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，风向，路程的远近，行走的速度。
二、创建模型假设及物理量符号标注1.将人体视为身高h 米，宽度 w 米，厚度d 米的长方体，人体所受淋雨总量用C 升来记。
2.降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。
在这里可视其为一常量。
3.外部风速保持不变。
4.你一定常的速度 v 米/秒跑完全程D 米。
三、 模型建立与计算1.不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
淋雨的面积：）（米2 wd +2dh +2wh = S ， 雨中行走的时间：（秒）v D t = 降雨强度： （升）S × 3600 / I × / v)10(D = ) 米( S 0.01× 3600) / (I ×t = C ⨯ 模型中 D ,I ,S 为参数，而v 为变量。
结论，淋雨量与速度成反比。
这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
s) / (m 3600)I (0.01/ = )时/ 米( 0.01I= )时/ 厘米( I若取参数D=1000米,I=2厘米/小时,h=1.50米, w=0.50米,d=0.20米,即2米2.2= S 。
雨中行走问题(数学问题解决)
雨中行走问题(数学问题解决)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN科目：数学问题解决摘要：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你不准备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你也不打算再回去了。
一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
通过建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及是否在同一平面等情况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。
一．问题的提出对于雨中行走这个实际的问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步讨论。
我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。
显然它可以按确定性模型处理。
分析参与这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③路程的远近与你跑的快慢。
二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完全程；3、风速始终保持不变；4、把人体看成一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。
参数与变量：:d雨中行走的距离；t雨中行走的时间；::v雨中行走的速度；:a你的身高；:b你的宽度;:c你的厚度；:q你身上被淋的雨水的总量；:w降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积22s ba ca bc=++是不变的，可认为是问题的参数。
雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间/t d v=及降雨强度的大小在问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。
考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：()3(/3600)0.01()/(/3600)10() q t w S d v w S=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅米升模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
雨中行走模型的不足与改进
雨中行走模型的不足与改进
雨中行走模型的不足主要有两方面：
1. 模型的真实性不足：当前的雨中行走模型虽然可以模拟雨天环境，但在真实性上仍存在不足。
例如，模型中的雨滴大小、密度、速度等参数可能与实际情况不完全相符，导致行走模拟结果与实际经验有所出入。
2. 环境因素缺失：目前的雨中行走模型主要考虑了雨滴对行人行走的影响，但未考虑其他环境因素对行走的影响，如地面湿滑程度、视线受阻等。
这些因素在实际雨天行走中对行人安全具有重要影响，因此在模型中应予以更加全面的考虑。
为了改进雨中行走模型，我们可以采取以下措施：
1. 数据采集与分析：通过收集真实雨天行走的数据，并对这些数据进行分析和总结，以获取更准确的雨天行走参数。
例如，可以通过统计雨滴大小、密度、速度等，进而优化模型的参数设置。
2. 多元化模型设计：考虑到雨天行走的多种不同场景，可以设计多个模型来适应不同情况。
例如，可以在模型中加入不同类型和强度的雨滴，以及不同地面材质的湿滑程度等因素，以更真实地模拟不同情况下的行走条件。
3. 进一步研究环境因素：除了考虑雨滴对行人行走的影响外，还应进一步研究其他环境因素对行走的影响。
例如，可以考虑模拟地面的湿滑程度对行走的影响，或加入障碍物模拟视线受阻的情况等。
通过以上改进措施，我们可以逐步提升雨天行走模型的真实性和准确性，提供更好的参考和指导信息，以帮助人们在雨天安全出行。
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2）给出单位重量价格c与w的关系，画出 它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小，解释实际意义 是什么。 主要参考文献： 姜启源 ：数学模型.高等教育出版 社（第二版），1993.8
模型建立与求解： 由热传导过程的物理定律： Q
Q K1
K T d
，得到 （1） （2）
一、建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一 个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的 程度最少。 主要因素 ：淋雨量，降雨的大小，降雨的 方向（风），路程的远近，行走的速度。
二、模型假设及符号说明
1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米， 厚度d米。淋雨总量用C升来记。 2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述， 降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。 在这里可视其为一常量。 3、风速保持不变。 4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。
Dwdpr cos 2)当v r sin 时，C取最小值C= r sin 4 6.95 10 0.8cos 再次代入数据，得C 4sin 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速 特例，若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以
0
度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。
T1 Ta T Tb T T2 K2 a K1 b d l d
Q ' K1
T1 T2 2d
从（1）中消去 Ta , Tb ，可得
Q K1 (T1 T2 ) K1 l ,S h ,h d ( S 2) K2 d
（3） （4）
Q 2 Q S 2
显 然 Q Q ， 且 S 越 大 ， 比 例 越 悬 殊 ，
300的角度从背后落下，你应该以2m / s的速
度行走。
此时，淋雨量为C=0.24升。这意味着你刚 好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即
v r sin 时，你不断地追赶雨滴，雨水将 Dpwh(v r sin ) 淋湿你的前胸。淋雨量是C= v d cos r sin h 淋雨总量为C=Dpwr ( ) v v 1)当d cos r sin 0, v尽可能大时，C才可能小。
原因：不考虑降雨方向的假设，使问题 过于简单化。 2、考虑降雨方向 若记雨滴下落速度为r (m / s ), 雨滴的密度 为p,( p 1), I 表示在一定的时刻在单位体 积的空间内由雨滴所占的空间的比例数， 也称为降雨强度系数，即I rp。
I p r
当P=1时，那就是大大的雨 设雨滴下落的速度为r（米/ 秒）,降水强度I（单位时间平 面上的降水厚度）为（厘米/ 时）,且,r、I为常量.
注：关于模型的检验，请大家观察、 体会并验证。 雨中行走问题的建模 过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
学生练习与实践
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装 商品便宜这种现象吗？比如田七牙膏50g装的 每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单 位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构 造模型解释这种现象。 1）分析商品价格c与商品重量w的关系，价 格由生产成本，包装成本和其他成本等决定， 这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积 成正比，还有与w无关的因素
2）当d cos r sin 0, v尽可能小时，C才可能小。 而v r sin 时，只有v r sin ，C才可能小。 取v 6m / s, 300时，则淋雨量C=0.77升。 结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时 的策略很简单，应以最大的速度向前跑，若雨是 从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于雨滴速度的水平分量。
K1 4 103 ~ 8 103 （焦耳/CM·秒·度） ，
K1 16 ~ 31。 K2
K 2 2.5 104 （焦耳/CM·秒·度） ，于是
K1 做最保守的估计，即取 16 ，由（3） 、 （4）即有 K2
Q 1 l ,h Q 8h 1 d
（5）
0 -4
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能 大时淋雨量达到最小。
假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 11.3 10 m 1.13升
3 -4 6.65 10 （1.5+（0.4 3+3） 0 2）当 60 时，C= ） V 结果表明：淋雨量是，你有件急事需要从家中到学 校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情 紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰 一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨 就大了，但你不打算再回去了，一路上，你 将被大雨淋湿。 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中 尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果 考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力 地快跑是不是最好的策略？试建立数学模型 来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
可能大时淋雨量达到最小。 假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 14.7 10 m 1.47升
3 4
3）当900 1800 时，雨滴将从后面向你落下。 C=6.95 10 （（0.8sin +6cos）/v+1.5）
-4
令 = +900，则0 900 ,
0 0 -4
0.8sin(90 + )+6cos(90 + ) C=6.95 10 （ +1.5） v =6.95 10-4 （（0.8cos 6sin）/v+1.5）
0
当0 90 时，C可能取负值，这是不可能的。
出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对 雨从你的前面落到你身上的情形，对于这种情况还 需再讨论。 1）当行走的速度慢于雨滴的水平运动速度， 即v r sin ，雨滴将淋在你背上，而淋在背上的雨 Dpwh( r sin v ) 水量是C= v Dpw( dr cos h( r sin v )) 淋雨总量为C v
2
你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算 得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而 可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒， 但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。 这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符 合实际。
原因是什么呢？
雨滴下落的反方向
d h
w
θ
人前进的方向
因为考虑了降雨的方向，淋雨的部位只有顶部和 前面，分两部分计算淋雨量： Dwdpr sin D 1）顶部的淋雨量C1 ( 表示在雨 v v 中行走的时间，wd 表示顶部面积，r sin 表示雨滴 垂直下落的速度) Dwhp( r cos v ) 2）前表面淋雨量C2 v Dpw(dr sin h( r cos v )) 淋雨总量C=C1 C2 v
若取r 4m / s, I 2 3600cm / s, p 1.39 106
4
6.95 10 则C (0.8sin 6cos 1.5v ) v 可以看到：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定，如何选择v，使得C最小。 1）当 90 时，C=6.95 10 (0.8 / v 1.5)
三、模型建立与计算
1、不考虑降雨方向的情况。（你的前后左右和 上方都淋雨） 淋雨面积：S 2 wh 2dh wh(米2 ) D 雨中行走的时间：t (秒) V 0.01I 降雨强度：（ I cm/h）=0.01I (m / h ) (m / s) 3600
0.01SIt 10 DIS 3 淋雨总量：C= (米 ) （升） 3600 3600V （模型中D，I，S为参数，而V 为变量。） 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证 了尽可能快跑能减少淋雨量。 若取D 1000m，I 2cm / h，h 1.5m， w 0.5m，d 0.2m，计算 S 2.2m 。