雨中行走模型
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0 0 -4
0.8sin(90 + )+6cos(90 + ) C=6.95 10 （ +1.5） v =6.95 10-4 （（0.8cos 6sin）/v+1.5）
0
当0 90 时，C可能取负值，这是不可能的。
出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对 雨从你的前面落到你身上的情形，对于这种情况还 需再讨论。 1）当行走的速度慢于雨滴的水平运动速度， 即v r sin ，雨滴将淋在你背上，而淋在背上的雨 Dpwh( r sin v ) 水量是C= v Dpw( dr cos h( r sin v )) 淋雨总量为C v
一、建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一 个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的 程度最少。 主要因素 ：淋雨量，降雨的大小，降雨的 方向（风），路程的远近，行走的速度。
二、模型假设及符号说明
1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米， 厚度d米。淋雨总量用C升来记。 2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述， 降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。 在这里可视其为一常量。 3、风速保持不变。 4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。
K1 4 103 ~ 8 103 （焦耳/CM·秒·度） ，
K1 16 ~ 31。 K2
K 2 2.5 104 （焦耳/CM·秒·度） ，于是
K1 做最保守的估计，即取 16 ，由（3） 、 （4）即有 K2
Q 1 l ,h Q 8h 1 d
（5）
300的角度从背后落下，你应该以2m / s的速
度行走。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
此时，淋雨量为C=0.24升。这意味着你刚 好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即
v r sin 时，你不断地追赶雨滴，雨水将 Dpwh(v r sin ) 淋湿你的前胸。淋雨量是C= v d cos r sin h 淋雨总量为C=Dpwr ( ) v v 1)当d cos r sin 0, v尽可能大时，C才可能小。
T1 Ta T Tb T T2 K2 a K1 b d l d
Q ' K1
T1 T2 2d
从（1）中消去 Ta , Tb ，可得
Q K1 (T1 T2 ) K1 l ,S h ,h d ( S 2) K2 d
（3） （4）
Q 2 Q S 2
显 然 Q Q ， 且 S 越 大 ， 比 例 越 悬 殊 ，
2）给出单位重量价格c与w的关系，画出 它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小，解释实际意义 是什么。 主要参考文献： 姜启源 ：数学模型.高等教育出版 社（第二版），1993.8
模型建立与求解： 由热传导过程的物理定律： Q
Q K1
K T d
，得到 （1） （2）
注：关于模型的检验，请大家观察、 体会并验证。 雨中行走问题的建模 过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
学生练习与实践
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装 商品便宜这种现象吗？比如田七牙膏50g装的 每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单 位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构 造模型解释这种现象。 1）分析商品价格c与商品重量w的关系，价 格由生产成本，包装成本和其他成本等决定， 这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积 成正比，还有与w无关的因素
雨滴下落的反方向
d h
w
θ
人前进的方向
因为考虑了降雨的方向，淋雨的部位只有顶部和 前面，分两部分计算淋雨量： Dwdpr sin D 1）顶部的淋雨量C1 ( 表示在雨 v v 中行走的时间，wd 表示顶部面积，r sin 表示雨滴 垂直下落的速度) Dwhp( r cos v ) 2）前表面淋雨量C2 v Dpw(dr sin h( r cos v )) 淋雨总量C=C1 C2 v
雨中行走策略
一个雨天，你有件急事需要从家中到学 校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情 紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰 一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨 就大了，但你不打算再回去了，一路上，你 将被大雨淋湿。 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中 尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果 考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力 地快跑是不是最好的策略？试建立数学模型 来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
Dwdpr cos 2)当v r sin 时，C取最小值C= r sin 4 6.95 10 0.8cos 再次代入数据，得C 4sin 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速 特例，若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以
0
度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。
三、模型建立与计算
1、不考虑降雨方向的情况。（你的前后左右和 上方都淋雨） 淋雨面积：S 2 wh 2dh wh(米2 ) D 雨中行走的时间：t (秒) V 0.01I 降雨强度：（ I cm/h）=0.01I (m / h ) (m / s) 3600
0.01SIt 10 DIS 3 淋雨总量：C= (米 ) （升） 3600 3600V （模型中D，I，S为参数，而V 为变量。） 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证 了尽可能快跑能减少淋雨量。 若取D 1000m，I 2cm / h，h 1.5m， w 0.5m，d 0.2m，计算 S 2.2m 。
可能大时淋雨量达到最小。 假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 14.7 10 m 1.47升
3 4
3）当900 1800 时，雨滴将从后面向你落下。 C=6.95 10 （（0.8sin +6cos）/v+1.5）
-4
令 = +900，则0 900 ,
原因：不考虑降雨方向的假设，使问题 过于简单化。 2、考虑降雨方向 若记雨滴下落速度为r (m / s ), 雨滴的密度 为p,( p 1), I 表示在一定的时刻在单位体 积的空间内由雨滴所占的空间的比例数， 也称为降雨强度系数，即I rp。
I p r
当P=1时，那就是大大的雨 设雨滴下落的速度为r（米/ 秒）,降水强度I（单位时间平 面上的降水厚度）为（厘米/ 时）,且,r、I为常量.
若取r 4m / s, I 2 3600cm / s, p 1.39 106
4
6.95 10 则C (0.8sin 6cos 1.5v ) v 可以看到：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定，如何选择v，使得C最小。 1）当 90 时，C=6.95 10 (0.8 / v 1.5)
0 -4
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能 大时淋雨量达到最小。
假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 11.3 10 m 1.13升
3 -4 6.65 10 （1.5+（0.4 3+3） 0 2）当 60 时，C= ） V 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽 4
2
你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算 得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而 可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒， 但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。 这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符 合实际。
原因是什么呢？
2）当d cos r sin 0, v尽可能小时，C才可能小。 而v r sin 时，只有v r sin ，C才可能小。 取v 6m / s, 300时，则淋雨量C=0.77升。 结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时 的策略很简单，应以最大的速度向前跑，若雨是 从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于雨滴速度的水平分量。
0.8sin(90 + )+6cos(90 + ) C=6.95 10 （ +1.5） v =6.95 10-4 （（0.8cos 6sin）/v+1.5）
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当0 90 时，C可能取负值，这是不可能的。
出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对 雨从你的前面落到你身上的情形，对于这种情况还 需再讨论。 1）当行走的速度慢于雨滴的水平运动速度， 即v r sin ，雨滴将淋在你背上，而淋在背上的雨 Dpwh( r sin v ) 水量是C= v Dpw( dr cos h( r sin v )) 淋雨总量为C v
一、建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一 个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的 程度最少。 主要因素 ：淋雨量，降雨的大小，降雨的 方向（风），路程的远近，行走的速度。
二、模型假设及符号说明
1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米， 厚度d米。淋雨总量用C升来记。 2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述， 降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。 在这里可视其为一常量。 3、风速保持不变。 4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。
K1 4 103 ~ 8 103 （焦耳/CM·秒·度） ，
K1 16 ~ 31。 K2
K 2 2.5 104 （焦耳/CM·秒·度） ，于是
K1 做最保守的估计，即取 16 ，由（3） 、 （4）即有 K2
Q 1 l ,h Q 8h 1 d
（5）
300的角度从背后落下，你应该以2m / s的速
度行走。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
此时，淋雨量为C=0.24升。这意味着你刚 好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即
v r sin 时，你不断地追赶雨滴，雨水将 Dpwh(v r sin ) 淋湿你的前胸。淋雨量是C= v d cos r sin h 淋雨总量为C=Dpwr ( ) v v 1)当d cos r sin 0, v尽可能大时，C才可能小。
T1 Ta T Tb T T2 K2 a K1 b d l d
Q ' K1
T1 T2 2d
从（1）中消去 Ta , Tb ，可得
Q K1 (T1 T2 ) K1 l ,S h ,h d ( S 2) K2 d
（3） （4）
Q 2 Q S 2
显 然 Q Q ， 且 S 越 大 ， 比 例 越 悬 殊 ，
2）给出单位重量价格c与w的关系，画出 它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小，解释实际意义 是什么。 主要参考文献： 姜启源 ：数学模型.高等教育出版 社（第二版），1993.8
模型建立与求解： 由热传导过程的物理定律： Q
Q K1
K T d
，得到 （1） （2）
注：关于模型的检验，请大家观察、 体会并验证。 雨中行走问题的建模 过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
学生练习与实践
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装 商品便宜这种现象吗？比如田七牙膏50g装的 每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单 位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构 造模型解释这种现象。 1）分析商品价格c与商品重量w的关系，价 格由生产成本，包装成本和其他成本等决定， 这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积 成正比，还有与w无关的因素
雨滴下落的反方向
d h
w
θ
人前进的方向
因为考虑了降雨的方向，淋雨的部位只有顶部和 前面，分两部分计算淋雨量： Dwdpr sin D 1）顶部的淋雨量C1 ( 表示在雨 v v 中行走的时间，wd 表示顶部面积，r sin 表示雨滴 垂直下落的速度) Dwhp( r cos v ) 2）前表面淋雨量C2 v Dpw(dr sin h( r cos v )) 淋雨总量C=C1 C2 v
雨中行走策略
一个雨天，你有件急事需要从家中到学 校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情 紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰 一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨 就大了，但你不打算再回去了，一路上，你 将被大雨淋湿。 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中 尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果 考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力 地快跑是不是最好的策略？试建立数学模型 来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
Dwdpr cos 2)当v r sin 时，C取最小值C= r sin 4 6.95 10 0.8cos 再次代入数据，得C 4sin 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速 特例，若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以
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度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。
三、模型建立与计算
1、不考虑降雨方向的情况。（你的前后左右和 上方都淋雨） 淋雨面积：S 2 wh 2dh wh(米2 ) D 雨中行走的时间：t (秒) V 0.01I 降雨强度：（ I cm/h）=0.01I (m / h ) (m / s) 3600
0.01SIt 10 DIS 3 淋雨总量：C= (米 ) （升） 3600 3600V （模型中D，I，S为参数，而V 为变量。） 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证 了尽可能快跑能减少淋雨量。 若取D 1000m，I 2cm / h，h 1.5m， w 0.5m，d 0.2m，计算 S 2.2m 。
可能大时淋雨量达到最小。 假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 14.7 10 m 1.47升
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3）当900 1800 时，雨滴将从后面向你落下。 C=6.95 10 （（0.8sin +6cos）/v+1.5）
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令 = +900，则0 900 ,
原因：不考虑降雨方向的假设，使问题 过于简单化。 2、考虑降雨方向 若记雨滴下落速度为r (m / s ), 雨滴的密度 为p,( p 1), I 表示在一定的时刻在单位体 积的空间内由雨滴所占的空间的比例数， 也称为降雨强度系数，即I rp。
I p r
当P=1时，那就是大大的雨 设雨滴下落的速度为r（米/ 秒）,降水强度I（单位时间平 面上的降水厚度）为（厘米/ 时）,且,r、I为常量.
若取r 4m / s, I 2 3600cm / s, p 1.39 106
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6.95 10 则C (0.8sin 6cos 1.5v ) v 可以看到：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定，如何选择v，使得C最小。 1）当 90 时，C=6.95 10 (0.8 / v 1.5)
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结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能 大时淋雨量达到最小。
假设你以6m / s的速度在雨中猛跑，则计算得 C 11.3 10 m 1.13升
3 -4 6.65 10 （1.5+（0.4 3+3） 0 2）当 60 时，C= ） V 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽 4
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你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算 得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而 可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒， 但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。 这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符 合实际。
原因是什么呢？
2）当d cos r sin 0, v尽可能小时，C才可能小。 而v r sin 时，只有v r sin ，C才可能小。 取v 6m / s, 300时，则淋雨量C=0.77升。 结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时 的策略很简单，应以最大的速度向前跑，若雨是 从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于雨滴速度的水平分量。