《等腰三角形中的分类思想》
2020年中考数学专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想
专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。
等腰三角形中的分类讨论思想
等腰三角形中的分类讨论思想作者：李贵生来源：《初中生之友·中旬刊》2012年第09期在解决等腰三角形问题时，由于等腰三角形的特殊性，为了解题方便，可以将问题分为不同种类，然后逐类解决，从而达到解决问题的目的，这一思想方法称为分类讨论的思想方法。
下面结合例题介绍分类讨论思想在等腰三角形中的应用，供同学们参考。
一、三角形的形状不确定等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°分析根据题意满足条件的三角形可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形。
解（1）当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，它与另一腰的夹角为30°，则顶角∠C为60°，如图1—1。
（2）当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在腰的延长线上，它与另一腰的夹角为30°，则顶角的补角是60°，顶角的度数为120°，如图1—2。
综上所述，顶角的度数为60°或120°。
故答案选D。
点评因为三角形的形状不确定，因此，所对应的三角形的顶角的度数也就不一样。
二、线段未确定在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析线段OA可以是底边，也可以是腰。
解如图2所示，若OA为底，则P1（1，0）；点评以上解答是按OA为边时的情况讨论，当然也可以按A为顶角的顶点和O为顶角的顶点的情况讨论。
三、角未确定已知等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角是_______。
分析题目中没有指出80°角是等腰三角形的底角还是顶角，因此，需要分两种情况求解。
四、边未确定已知AD为等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求这个三角形内角的度数。
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
初中等腰三角形综合知识归纳
初中等腰三角形综合知识归纳几何是数学学习中的一道难题，想要学好初中等腰三角形，没有那么容易。
为了帮助大家更好的学习初中等腰三角形。
以下是店铺分享给大家的初中等腰三角形综合知识，希望可以帮到你!初中等腰三角形综合知识1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
等腰三角形问题的求解误区一、腰和底不分例1、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______.误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则x+4×2=14，，∴x=6，所以底边长为6.思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论：(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4+4>6，6-4 <4，满足三角形三边关系定理;(2)当底是4时，另两边长是5，5，又5+4>5，5-4 <5，满足三角形三边关系定理.所以等腰三角形的底边为4或6.二、顶角和底角不分例2、已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是( )(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°.思路分析等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论：(1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°;(2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y+70×2=180，∴y=40，所以另外两个内角的度数是70°、40°.故选C点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论.另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在.三、顶角顶点和底角顶点不分例3、如图2，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5误区警示若三角形是等腰三角形，则OP=OA，所以符合符合条件的动点P有两个.思路分析根据题意，结合图形，分三种情况讨论：(1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO=OA，符合条件的动点P有一个;(2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP=OA，符合条件的动点P有两个;(3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP=AO，符合条件的动点P有一个;综上所述，符合条件的动点P的个数共4个.故选C.点拨判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整.四、锐角三角形和钝角三角形不分例4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_______.误区警示不少学生想当然地误解为：如图所示，图3(1)中顶角为50°.思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角为50°;(2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三角形外，此时顶角为130°.故顶角为50°或130°.点拨等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论.初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
分类思想在等腰三角形中的应用
考 ； 问 过 少 过 疏 ， 使 整 个 课 堂 缺 少 师 生 间 的交 流 和 提 则
互 动 ， 目不 利 于 教 师 了解 和 调 控 学 生 的 状 态 。 以 ， 并 所 课 堂 提 问 要 适 度 适 时 ， 不 要 太 多 ， 不 要 太 少 ， 把 握 好 既 也 要
法 。 要 求 学 生 能 把 某 个 较 为 复 杂 的 问 题 经 过 严 谨 周 密 它
的 思 考 ， 定 一 个 分 类 标 准 ， 按 同 一 个 标 准 把 它 分 别 确 并
为若 干 类 较 为 简 单 的情 况 ，然 后 逐 一 讨 论 研 究 解 决 ， 使 研 究 的结 果 不 重 复 ， 遗 漏 ， 等 腰 三 角 形 中 由 于 边 。 不 而 角
张 ， 易 造 成 学 生 的 疲 劳 和 不 耐 烦 ， 利 于 学 生 深 入 思 容 不
位 学 生 的 微 妙 变 化 ， 过 信 息 反 馈 ， 捉 那 些 容 易 被 通 捕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
忽 视 的 思 想 浪 花 ， 过 不 同 层 次 的 问题 ， 动 起 全 体 学 通 调 生的学 习兴趣 ， 每个 学 生都能得 到提 高 。 使
等 角 对 等 边 。“ 线 合 一 ” 。 三 等 师 ： 好 。 了进 一 步 认 识 和 研 究 它 ， 想 请 一 名 同 很 为 我 学 上黑板来 画一个 等腰 三角形 。
（ 中 一 名 学 生 自告 奋 勇 上 黑 板 ， 画 了 一 个 顶 角 其 他 为 锐角 的等腰 三角形 ） 师 ： 其 他 同学 想 一 想 ， 还 有 什 么 要 补 充 的 吗 ？ 请 你 生 ３ 他 画 的 不 全 面 ， 们 所 碰 到 的 等 腰 三 角 形 其 实 ： 我 还应该有 等腰直角三 角形和顶角为钝 角的等腰三角形 。
专题14图形中的等腰三角形分类讨论（解析版）
专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。
【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。
1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。
初中数学《等腰三角形分类讨论思想》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《等腰三角形分类讨论思想》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
5年
教学内容分析
教学内容
对等腰三角形的边角进行分类
教学目标
借助等腰三角形的特点，理解分类讨论思想的应用
教学重点与难点
分类讨论的原因和分类的方法
.......
说明：问题1、2形成对比，体会问题2为什么要进行分类讨论。
........
学生通过分析交流，初步体会分类思想。
......
板书设计
1、等腰三角形中，已知一角（顶角或底角），.......
2、等腰三角形中，已知一边（底边或腰），.........
教学反思
1、复习旧知，点明主题。
2、设计题目有梯度，符合学生认知。
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、复习巩固、引入新课
1、△ABC中，AB=AC,∠A=80°，则底角为____________.
2、等腰△ABC中，∠A=80°，则底角为____________.
3、等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则另外两边长为__________.
二、学习新知、提升方法
学科核心素养分析
1、加强数学Biblioteka 维、方法的训练，形成学生数学探究能力。
2、提高分析问题、解决问题的能力以及空间想象能力。
学生学情分析
学生已经对等腰三角形的定义以及边角的性质有了一定的认识和掌握，能够简单地进行等腰三角形的分类计算，但是对于等腰三角形的分类作图没有接触，故在图中准确作图有一定的困难。
关于等腰三角形的分类讨论教学
探索篇•方法展示关于等腰三角形的分类讨论教学管甜甜（江苏省南京市第二十九中学致远初级中学，江苏南京）摘要：分类讨论是初中数学的重要思想方法，在等腰三角形、函数、方程等内容当中都有所应用，用这种方法的关键是分类的依据要清晰，另一个关键是要对结论进行验证，验证的标准是得出的这个结论能不能满足已知条件。
关键词：等腰三角形；分类讨论；教学实践等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质比较多，恰当地分类可以提高学生分析问题和解答问题的能力。
以下笔者总结了等腰三角形问题中常见的几种需要分类讨论的情况，希望给予学生一定的帮助。
一、关于等腰三角形边的分类当题目当中给出了三角形的边长，但是没有明确地说哪个边是腰、哪个边是底时，这个时候就需要进行分类了，可以分为两种情况进行讨论：第一种情况是设这个边为腰；第二种情况是设这个边为底。
这只是理论上的假设，而实际上这样求出来的两组边长能否组成一个三角形，还要进行验证，而进行验证的标准就是三角形的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5。
这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5。
例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
期末复习专题等腰三角形中的分类讨论
50°
50°
B
2、以BC为一边
1、以AC为一边
C A
B A
C
A
C
3、以AB为一边
B C
A
C B
CB
A
B
A
B
C
A
B
主要思想：
不重复不遗漏!
1.角的分类:顶角、底角 2 .边的分类：腰、底边
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时，
如图，与（1）类似地也可以求得
C
D’ B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，AADD NhomakorabeaB
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
C
C
D
A
E
B
【初中数学】人教版八年级上册专题训练（四） 等腰三角形问题中的分类讨论思想(练习题)
人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中的分类讨论思想(159)1.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．2.已知一个等腰三角形一边上的高等于这边的一半，求这个三角形顶角的度数．3.等腰三角形的一个外角是60∘，则它的顶角的度数是4.若等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为．5.若等腰三角形的一个外角等于110∘，则这个三角形的三个角分别为6.若实数x，y满足|x−4|+√y−8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为．7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48∘，则该等腰三角形的底角的度数为．8.在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60∘，则另两个角是唯一确定的(60∘，60∘)；已知一个角是90∘，则另两个角也是唯一确定的(45∘，45∘)；已知一个角是120∘，则另两个角也是唯一确定的(30∘，30∘)．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是的(填“正确”或“错误”)．9.等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若三角形ABC的边长为1，AE=2，求线段CD的长．10.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30∘，求这个三角形的三个内角的度数．11.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A.12B.9C.12或9D.9或712.如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A,B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有（）A.3个B.4个C.5个D.6个13.在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案1.【答案】:如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD，设AB=x，BC=y，(1)当AC+AD=15，BD+BC=12时，则{x2+x=15，x 2+y=12，解得{x=10，y=7.(2)当AC+AD=12，BC+BD=15时，有{x2+x=12，x2+y=15，解得{x=8，y=11.且这两种情况下三角形的三边都符合三角形的三边关系，故这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.2.【答案】:(1)若这一边为底边，如图①，AB=AC，AD⊥BC，AD=BD=CD，则△ABD和△ACD均为等腰直角三角形，所以∠BAC=45∘+45∘=90∘；(2)若这一边为腰，①当顶角为锐角时，如图②，AB=AC，CD⊥AB，CD=12AB=12AC，则顶角∠A=30∘；②当顶角为钝角时，如图③，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长线于点D，因为CD=12AB=1AC，2所以∠DAC=30∘，所以∠BAC=150∘.综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为90∘或30∘或150∘.【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.3.【答案】:120∘【解析】:等腰三角形的一个外角为60∘，则与它相邻的内角为120∘.因为三角形内角和为180∘，如果这个内角为底角，内角和将超过180∘，所以120∘的角只可能是顶角．故答案为120∘4.【答案】:6，4或5，5【解析】:若6为腰长，则底边长为4,三边长6，6,4可以构成三角形；若6为底边长，则腰长为5，三边长5,5，6也可以构成三角形．故答案为6，4或5，55.【答案】:70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘【解析】:当顶角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘；当底角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，70∘，40∘.所以这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘6.【答案】:20【解析】:由|x−4|+√y−8=0，x−4≥0，√y−8≥0，可得x−4=0，√y−8=0，求解可得x=4，y=8，于是此等腰三角形的三边长为4，4，8或8，8，4.由于4+4=8，利用三角形的三边关系，可得4，4，8不符合题意，同理可得8，8，4符合题意，故等腰三角形的周长为8+8+4=207.【答案】:69∘或21∘【解析】:分两种情况讨论：①若∠A<90∘，如图(a)所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90∘.∵∠ABD=48∘，∴∠A=90∘−48∘=42∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−42∘)=69∘.②若∠A>90∘，如图(b)所示：同①可得：∠DAB=90∘−48∘=42∘，∴∠BAC=180∘−42∘=138∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−138∘)=21∘.综上所述，等腰三角形底角的度数为69∘或21∘8.【答案】:错误【解析】:举一个反例即可．如当等腰三角形一个角的度数是50∘时，若这个50∘的角为顶角，则另两个角是65∘，65∘；若这个50∘的角是底角，则另一个底角为50∘，顶角为80∘.综上所述，另两个角是65∘，65∘或50∘，80∘.因此另两个角的度数不是唯一确定的．故马彪同学的结论是错误的9.【答案】:当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图①所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFB=90∘.∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=12EB=32，∴CF=FB−BC=12，∴CD=2CF=1.当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图②所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFC=90∘. ∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AE−AB=2−1=1，∴FB=12BE=12，∴CF=BC+FB=32，∴CD=2CF=3.综上，CD的长为1或3【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.10.【答案】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘,则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30,解得x=52.5或x=48或x=30,所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.【解析】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘, 则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30, 解得x=52.5或x=48或x=30, 所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.11.【答案】:A【解析】:∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2时，则2+2<5，此时不成立，当腰长为5时，能组成三角形，则这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 故选A12.【答案】:C13.【答案】:D【解析】:如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于点B,C；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交x轴于一点D(点O除外)，∴以OA为腰的等腰三角形有3个；当以OA为底时，作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个．综上所述，符合条件的点P共有4个。
等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)--常见几何模型全归纳之模型解读
等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰△ABC方法：两圆一线具体图解：①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C在⊙A上(B，C除外)②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B，点C在⊙B上(A，E除外)③当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上(D除外)1(2023秋·河北张家口·八年级统考期末)△ABC是等腰三角形，AB=5,AC=7，则△ABC的周长为()A.12B.12或17C.14或19D.17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当△ABC的腰为5时，△ABC的周长5+5+7=17；当△ABC的腰为7时，△ABC的周长5+7+7=19．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．2(2023春·四川巴中·七年级统考期末)等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，则其它两边长是()A.8cm，16cmB.12cm，12cmC.8cm，16cm或12cm，12cmD.12cm，8cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得．【详解】解：∵等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，∴①当底边长为8cm时，其它两边长是32-82=12(cm)，②当腰长为8cm时，其它两边长是8cm或32-2×8=16(cm)，8+8=16，此时三边不能构成三角形，综上，其它两边长是12cm，12cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点．3(2023秋·广东八年级课时练习)若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是()A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=36°，∴当∠A是顶角时，∠C=∠B=180°-36°2=72°；当∠A是底角时，①当∠B=∠A=36°时，则∠C=180°-2×36°=108°；②∠C=∠A=36°；综上所述，∠C的度数是36°或72°或108°，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．4(2022秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为．【答案】30°或150°【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，如图(1)所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；如图(2)所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即顶角为150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．5(2023秋·江苏·八年级专题练习)在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰△ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．6(2023·重庆市八年级期中)如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ =90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．7(2022秋·江苏徐州·八年级校考期中)如图，∠AOB=70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC=PC，②当PO=PC，③当OP=OC，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，①当OC=PC时，∴∠COP=∠CPO=70°∴∠OCP=180°-∠OPC-∠COP=40°．②当PO=PC时，∠OCP=∠COP=70°；③当OP=OC时，∠OCP=180°-∠AOB2=55°；综上所述，∠OCP的度数为70°或40°或55°．故答案为：70或40或55．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．8(2023·安徽阜阳·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，若点A0,4，B3,0，则AB=5.请在x轴上找一点C，使ΔABC是以AB为腰的等腰三角形，点C的坐标为.【答案】-3,0、-2,0或8,0【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC．【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C(-3，0);②当AB=BC=5时，若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2，此时点C的坐标为(-2，0);若点C在B点右侧，CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为(8,0).综上所述，满足条件的点C有3个.故答案为：-3,0、-2,0或8,0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C 必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中．9(2023·江苏苏州·八年级校考期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P 在BC 上，且满足PA =PB ，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值：(3)在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或95或3【分析】(1)设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，利用勾股定理求出AC =3cm ，在Rt △ACP 中，依据AC 2+PC 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．(2)如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，依据AD 2+PD 2=AP 2，列方程求解即可得到t 的值．当点P 与点B 重合时，点P 也在∠ABC 的角平分线上，此时，t =AB 2=52．(3)分四种情况：当P 在AB 上且AP =CP 时，当P 在AB 上且AP =CA =3cm 时，当P 在AB 上且AC =PC 时，当P 在BC上且AC =PC =3cm 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t 的值．【详解】(1)解：如图，设PB =PA =xcm ，则PC =4-x cm ，∵∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，∴AC =AB 2-BC 2=3cm ，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AC 2+PC 2=AP 2，∴32+4-x 2=x 2，解得x =258，∴BP =258，∴t =AB +BP 2=5+2582=6516；(2)解：如图所示，当点P 在AC 上时，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵BP 平分∠ABC ，∠C =90°，PD ⊥AB ∴PD =PC ，∠DBP =∠CBP ，在△BCP 与△BDP 中，∠BDP =∠BCP∠DBP =∠CBP BP =BP，∴△BDP ≌△BCP AAS∴BC =BD =4cm ，∴AD =5-4=1cm ，设PD =PC =ycm ，则AP =3-y cm ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得AD 2+PD 2=AP 2，∴12+y2=3-y2，解得y=43，∴CP=43，∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=AB2=52．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．(3)解：分四种情况：①如图，当P在AB上且AP=CP时，∴∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP=AP，∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，∴t=AP2=54．②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，∴t=AP2=32．③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，∴AP=2AD=185cm，∴t=AP2=95．④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，∴t=AB+BP2=62=3．综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键．10(2022春·四川成都·八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A-2，6的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P 作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y y≠0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x+4，D-5，0(2)y=32m+3，-2<m<4(3)存在，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0【分析】(1)据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设直线AB解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD 的值，从而求出D点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值，就可以求出F点的坐标．【详解】(1)解：∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，∵直线AB经过A-2，6，∴2+n=6，∴n=4，∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B4，0，∴OB=4，∵△ABD的面积为27，A-2，6，∴S△ABD=12×BD×6=27，∴BD=9，∴OD=5，∴D-5，0，∴直线AB的解析式为y=-x+4，D-5，0(2)解：设直线AD的解析式为y=ax+b，∵A-2，6，D-5，0∴-2a+b=6-5a+b=0，解得a=2b=10．∴直线AD的解析式为y=2x+10；∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P m，-m+4，∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，解得x=-m-62，∴E-m-62,-m+4，∴PE的长y=m--m-62=3m2+3；即y=32m+3，-2<m<4；(3)解：在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，①当∠FPE=90°时，如图①，有PF=PE，PF=-m+4，PE=32m+3，∴-m+4=32m+3，解得m=25，此时F25,0；②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，∴EF=-m+4，∴-m+4=32m+3，解得：m=25，∴点E的横坐标为x=-m-62=-165，∴F-165,0；③当∠PFE=90°时，如图③，有FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= 12PE．∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=1232m+3，解得：m=107，∴PR=FR=-m+4=-107+4=187，∴点F的横坐标为107-187=-87，∴F-87,0．综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为25,0或-165,0或-87,0．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练1(2023春·四川成都·七年级统考期末)等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则这个三角形的周长为()A.22cmB.17cm或13cmC.13cmD.17cm或22cm【答案】A【分析】分4cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，因为4+4<9,故不能组成三角形；②4cm是底边长时，三角形的三边分别为4cm、9cm、9cm，能组成三角形，周长=4+9+9=22cm，综上所述，这个等腰三角形的周长是22cm．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2(2023·浙江·八年级课堂例题)如图，P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠OAP的度数一定不可能是()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【分析】分AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=30°，故∠A=120°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO=12180°-30°=75°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=30°，综上可知：∠A不可能为60°；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3(2023·福建龙岩·八年级校考期中)在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB=AC时，符合条件的点有2个；当BC=BA时，符合条件的点有1个；当CB=CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4(2023·江苏八年级期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点(小正方形的顶点叫做格点)，若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有()A.0个B.2个C.4个D.8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5(2023·山东日照·八年级统考期末)如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6(2022·山东青岛·统考二模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为1,3，若M为x 轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6．若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，得出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=8，AC=6，由勾股定理的：AC=AC2+BC2=62+82=10，如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8(2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,1，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，OA=12+12=2，当AO=OP1，AO=OP3时，P1(-2，0)，P3(2，0)，当AP2=OP2时，P2(1，0)，当AO=AP4时，P4(2，0)，故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9(2022·四川广元·八年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)．③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．10(2023春·山东泰安·七年级统考期末)等腰三角形的一角为30°，则其顶角的大小是．【答案】120°或30°【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可．【详解】解：分两种情况：当30°的角是底角时，180°-30°×2=120°，则顶角度数为120°；当30°的角是顶角时，则顶角为30°；故答案为：120°或30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11(2023·四川凉山·八年级校考期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则底角是．【答案】27°或63°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=36°，∴∠A=90°-∠ABD=54°，∴∠ABC=∠C=12180°-54°=63°；②当高在三角形外部时，如图：∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵∠ABD =36°，∴∠DAB =90°-36°=54°，∴∠ABC =∠C =12∠DAB =12×54°=27°．∴综上所述，底角是27°或63°．故答案是：27°或63°．【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．12(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k ．若k =2，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】90【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵k =2，∴设顶角=2α，则底角=α，∴α+α+2α=180°，∴α=45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．13(2023春·四川达州·八年级校考阶段练习)如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是．【答案】6，9或8，5【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是12-9=3，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：12-9=3，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为x +3，由题意可得，x +3+2x =12+9，解得：x =6，x +3=6+3=9，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为x -3，由题意可得，x -3+2x =12+9，解得：x =8，x -3=8-3=5，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，2)，在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点(O 除外)；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15(2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A -C -B -A 运动，设运动时间为t 秒t >0 ，当点P 在边AB 上，当t =s 时，△BCP 是等腰三角形．【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵∠ACB =90°，AB =10cm ，AC =8cm ，∴由勾股定理得：BC =AB 2-AC 2=102-82=36=6(cm )，当P 在BA 上时，①当BC =BP =6cm 时，如图，∴t =8+6+6 ÷1=20s ；②当BC =CP =6cm 时，过CD ⊥PB 于点D ，如图，∴BD =DP =12BP ，∵S △ABC =12AC ∙BC =12AB ∙CD ，∴CD =AC ∙BC AB=6×810=4.8，在Rt △CBD 中，由勾股定理得：BD =BC 2-CD 2=62-4.82=3.6cm ，∴BP =2BD =2×3.6=7.2cm ，∴t =8+6+7.2 ÷1=21.2s ，③当BP =CP ，如图，∵∠ACB =90°，BP =CP ∴CP =BP =12AB =5cm ∴t =8+6+5 ÷1=19s 综上可知：t 的值为：19或20或21.2．，故答案为：19或20或21.2．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．16(2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当t =s 时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形．【答案】5或8【分析】△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AB =BP 时；②当AB =AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，∴BC =AB 2-AC 2=52-32=4cm ，①当AB =BP 时，如图1，则t =5；②当AB =AP 时，BP =2BC =8cm ，t =8故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．17(2022·河南平顶山·八年级期末)如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD =BD ，点E 是线段AB 上的动点(与A 、B 不重合)，连接DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为．【答案】4或43##43或4【分析】现根据已知条件得出∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．【详解】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=AB2-BC2=122-62=63，∵∠CBD=30°，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=23，BD=2CD=2×23=43=AD；(1)当BE=BD=43时，如图：(2)当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴∠EDB=∠ABD=30°，∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，∴△ADE为直角三角形，又∵∠A=30°且AD=43，∴DE=4，∴BE=4；(3)当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；综上所述，BE为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．18(2023·上虞市初二月考)在如图所示的三角形中，∠A=30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB =BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19(2022·浙江·八年级专题练习)已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ΔACP为等腰三角形．(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点P1、P2、P3即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意△ACP是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．20(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．(1)如图，求作△ABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．(3)等边三角形的巧妙点的个数有()A.2个B.6个C.10个D.12个【答案】(1)见解析；(2)6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；(3)C．【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；(2)分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；(3)根据(2)中作图方法画出图形，即可得答案．【详解】(1)点P为所求，(2)如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=12∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40°∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°，∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°，(180°-∠P2BC)=40°，同理可得：∠BP3C=40°，∴∠BP2C=12∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40°∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．(3)如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．21(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA-6+OB-82=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为245，求线段AB的长；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A(0，6)，B(8，0)；(2)AB=10；(3)存在，(-8，0)、(-2，0)、(18，0)．【分析】(1)由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；(2)根据S△OAB=12AB∙d=1 2∙OA∙OB求解可得；(3)先设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．(1)∵OA-6+OB-82=0∴OA-6=0OB-8=0∴OA=6OB=8则A点的坐标为A(0，6)，B点的坐标为(8，0)(2)∵S△OAB=12AB∙d=12∙OA∙OB，d=245∴AB=OA∙OBd=6×8245=10(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形设点P(a，0)，根据A(0，6)，B(8，0)得PA2=a2+62，PB2=a-82，AB2=102=100①若PA=AB，则PA2=AB2，即a2+62=100，解得a=8(舍)或a=-8，此时点P(-8，0)；②若AB=PB，即AB2=PB2，即100=a-82解得a=18或a=-2，此时点P(18，0)或(-2，0)；综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(-8，0)或(18，0)或(-2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键。
等腰三角形中的数学思想
等腰三角形中的数学思想数学思想是数学知识的精髓，在学习等腰三角形时如能合理地运用数学思想解题，则会给解题带来极大的方便，现举例说明，供同学们学习时参考。
一、 整体思想例1 在△ABC 中，已知AB=AC ，则∠B+21∠A= 。
分析：画出草图如图1，由AB=AC ，可得∠B=∠C ，可考虑将∠B+21∠A 同时扩大2倍，得2∠B+∠A ，问题便可解决。
解：由AB=AC 得∠B=∠C因为∠A+∠B+∠C=180°所以2∠B+∠A=180°所以∠B+21∠A=90° 点评：本题中，将（∠B+21∠A ）视为整体，是解决题的关键。
二． 分类讨论思想例2 （重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A 、20°B 、120°C 、20°或120°D 、36°分析：应分类讨论等腰三角形顶角与底角的比为1：4和等腰三角形底角与顶角的比为1：4。
解：设等腰三角形的顶角为α（1） 若等腰三角形顶角与底角的比为1：4，则α+4α+4α=180° α=20°（2） 若等腰三角形底角与顶角的比为1：4，则α+41α+41α=180° α=120° A BC 图1故应选C 。
例3 已知等腰三角形的两边长为7、4，则它的周长等于 。
分析：应分类讨论7是腰长还是底边长。
解：①若等腰三角形的腰长为7，则它的周长为7+7+4=18②若等腰三角形的底边长为7，则它的周长为7+4+4=15。
故应填18或15。
点评：解与等腰三角形有关的问题，一定要考虑周到，要正确运用分类讨论思想，对所有可能的情况进行分析。
三、方程思想例4 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm 和15cm 的两部分，求三角形的各边长。
分析：画草图如图2，腰AC 上的中线BD 把△ABC 的周长分成为12cm 和15cm 两部分列方程可解决问题解：设AB=xcm ，则AD=DC=21xcm ，以下分两种情况讨论 ①若AB+AD=12cm ，则x+21x=12，x+8，AB=AC=8cm ，DC=4cm ，BC=15-4=11cm ，此时AB+AC ＞BC 符合题意。
等腰三角形中的分类讨论思想
3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个 三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. (1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，如 图①所示． ∵∠DBC＝25°， ∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°. ∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°. (2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的 内部时，
4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论： (1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE＝40°，则∠A＝50°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D， ∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°. 故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD 把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD. (1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5－3＝2(cm)． 但是当AB＝2 cm时，三边长分别为 2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去． 故腰长为8 cm.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF. ∴△OMF≌△OBE(ASA)． ∴BE＝MF. ∵AF＝1，∴FM＝1. ∴BE＝1. (2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交 AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4， ∴BE＝FM. ∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3. 综上所述，BE的长为1或3.
等腰三角形分类讨论的一点思考与实践
等腰三角形分类讨论的一点思考与实践摘要：数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。
分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”的思想和归类整理思想这两个部分。
在初中数学教学中，如果教师对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步培养学生的思维能力及数学素养。
就此笔者在本文中对分类讨论在等腰三角形中的运用作了一些思考和实践。
关键词：数学思想分类讨论等腰三角形在数学课堂中进行数学思想方法的教学，不仅能够提高课堂教学效益，有利于学生素质的提高，也是数学核心素养的一个重要内容。
而分类讨论思想是在中学阶段需要掌握的重要思想方法。
在初中几何题目中出现分类讨论比较多的是与等腰三角形有关的知识。
浙教版数学八上第二章学习等腰三角形，而等腰三角形是一种既特殊又重要的三角形，就因为这种特殊性，处理问题时很容易出现错误。
即使到了初三也会出现很多有关等腰三角形分类讨论的问题。
虽然平时的教学中也经常渗透数学思想，但等腰三角形分类的标准比较多，而且经常同一题中出现多次分类，这使很多学生遇到此类题就很茫然，经常出现漏解等。
就此笔者认为在等腰三角形这章的教学中很有必要让学生理解等腰三角形的各种分类及为什么要分、怎么分等。
这不仅有助于等腰三角形各个知识点的理解，更为以后知识的迁移及再创造打下坚实的基础。
一、分类讨论的重要性1.分类讨论在初中数学解题中的重要作用。
分类讨论本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。
其在教学中具体表现为对题目“化整为零”，一个一个地进行击破，这样就实现了积零为整的教学方式。
它不仅是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时更是一种有效的解题策略。
在解答数学题时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答的情况，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化。
分类讨论思想在等腰三角形中的运用
金 色年 华
数 学教 学
分类讨论思 想在等腰 三角形 中的运用
谭 利 民
ｆ 南江县长赤 中学 ， 四川 南江 ６ ５ ０ ） ３６ ３
［ 摘要１ 在解答某些数 学问题时， 有时会遇到多种情况， 需要对各种情况加以分类， 并逐类求解， 然后综合得解， 这就是分类讨论法。
一
需 要分类讨论 。三 角形 的三边长必须满足 ： 任意两边之 和大于第 三边 ； 意两边之 差小 于第 三边。 任
三、 当高 的位置 关 系不确 定 时 。 必须 分类讨 论
例 ４ 等腰 三角形 一腰 上的高线 与另一 腰的夹 角是 ４ 。求顶 ： Ｊ， Ｄ 角 的度数 。 分析 ： 目中没指 明是 什么三角形 ， 题 应分类讨 论。 解 ： １如 图 １ （） 所示 ， ＡＡ Ｃ 若 Ｂ 是锐角三 角形 ， Ａ ＝ Ｃ， Ｄ上 且 ＢＡ Ｂ
个内角的度数 ；
Ｂ
Ｂ
图 ｌ
ｃ
分析 ： 目没有 指明“ 题 顶角是底 角的 ４ ” 还是 “ 倍 ， 底角 是顶角 的４ ” 倍 因此必须进 行分类讨 论。
解 ：１ 当底 角是顶 角的４ （） 倍时 ， 顶角为 ｘ 则底 角为４ ， 设 ， ｘ
・
． ．
综上所述 ， 角是 １０或 ５ ０ 顶 ３ 。 ０。
数学 中的分类讨论 思想是一种 比较重要 的数 学思想 ， 通过加强数 学分类讨 论思 想的训 练 ， 有利 于提高学 生对数 学学 习的兴趣 ， 培
养学生思维 的条 理性 、 缜密性 、 学性 ， 科 下面就 以等腰 三角形为例 谈谈分类讨 论思想的运用。 等腰三角形是一 种特殊 的三角形 ， 就边 而言 ， 有两种边 ， 即腰 和底边 ； 角而 言 ， 两种角 ， 就 有 即顶角和底 角 。因此 ， 在研 究等腰 三角形的问题 时 ， 比较常用 的思想 当属于分类讨论思想 。
分类讨论思想在等腰三角形中的应用教案
一一讨论，不重不漏
通过这个问题的解决，学生们对几何图形的分类讨论有了进一步的体验，经历了思考、讨论、总结等过程，使学生不断回顾自己的思考方式并对其进行修正。在潜移默化中对几何图形分类讨论有了感性认识。
通过本题的计算使学生们进一步体会分类讨论的原则一一分类，不重不漏。
四、自主小结
引导学生对本节课所学的知识从以下几个方面进行小结：
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，求这个三角形的各个内角的度数。
小结：什么时候需要分类讨论？
通过条件的叙述，图形、位置关系或数量关系不唯一确定时，需要分类讨论。
通过前两道题的计算让学生初步了解在等腰三角形中存在着问题的条件不确定时需要分类讨论，并明确分类的标准（遇边分和遇角分），第三题的设置让学生体会当图形位置关系不确定时也许分类讨论。
课题
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
学习
目
标
1.通过对等腰三角形有关问题的探究，提高学生对分类讨论思想方法的运用能力，归纳、整理出分类讨论的一般方法。
2.培养运用数形结合思想解决问题的能力。
3.提高学生对提出问题、分析问题、解决问题的能力，能从数学的角度去思考问题积极探索和研究，养成严谨的科学态度和不断进取的精神。
二探索发现：
例1.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知点A(2，1)，请你在x轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形。
分析：问题的解决要分三种情况进行讨论：
1.若OA为腰，点A为△AOP顶角的顶点。
2.若OA为腰，点O为△AOP顶角的顶点。
3.若OA为底边，则点P为△AOP顶角的顶点。
解：
（1）
（2）
（3）
小结：分类讨论的一般步骤
人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
第十三章 轴对称
专题训练(四) 等腰三角形 问题中的分类讨论思想
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一 当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
( )C
A．50°
B．80°
C．50°或80° D．40°或65°
2．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应
∴∠B＝∠C＝21∠DAB＝25°
8．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为差为3 cm的 两部分，求腰长．
解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则(2x＋x)－(5＋x)＝3或(5＋x)－ (2x＋x)＝3，解得：x＝4或x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三边长为8， 8，5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2，2，5，2＋2 ＜5，不符合三角形三边关系定理；故腰长为8 cm
该为
70°，55°，5西州)一个等腰三角形一边长为 4 cm，另一边长为 5 cm， 那么这个等腰三角形的周长是( C )
A．13 cm B．14 cm C．13 cm 或 14cm D．以上都不对
4．(2016·安顺)实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的值为两 边长的等腰三角形的周长是( B )
9．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，2)，在x轴上确定点P， 使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( ) A
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或 AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P的个数为( )B A．5个 B．6个 C．4个 D．3个
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《等腰三角形中的分类思想》
一、教材分析:
等腰三角形是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级上册第十二章“轴对称”第三节的内容。
它是一个特殊的三角形，两腰相等且两底角相等。
它的性质可以用来解决很多几何问题，但也正是因为它有这样的特性，与它相关的问题会因为条件的不确定而出现多解。
因此，在解等腰三角形边、角问题时，常常要运用分类思想。
在等腰三角形复习课中，将分类讨论作为一个专题复习很有必要。
二、学情分析：
八年级的学生已经有了一些几何知识的积累，在本节课以前，学生已经学习了有关等腰三角形的一些知识，如等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等。
对于等腰三角形中的分类讨论，有时学生感到似乎比较简单,但要真正完整解答,却并非容易。
学生遇到的最常见问题是漏解，有些同学甚至从初学阶段到最后的复习阶段都反复出现同样的错误。
要解决这一问题，除了认真仔细，更重要的是要学会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。
三、教学目标：
（一）知识与技能目标：
1、培养分类讨论的思想；
2、会运用分类讨论的思想来解决等腰三角形有关问题。
（二）过程与方法目标：
1、让学生在知识点复习、归纳以及充分的变式训练过程中，体会分类思想；
2、在上述过程中，发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。
（三）情感态度与价值观：
1、培养学生积极参与、合作交流的意识；
2、在分类讨论的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。
四、教学重点：
1、了解等腰三角形边、角分类讨论的情况；
2、会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。
五、教学难点：
会运用分类思想解等腰三角形综合题
六、教学思路：
首先，通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论。
接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况。
最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。
七、教具准备：
内角为110°、20°、50°的三角形纸板、三角板、PPT 课件、电脑、投影仪等。
八、教学过程：
一、［教学环节］温故而知新
［教学内容］问题：请同学们根据知识点流程图，按箭头方向，将屏幕中的条件添加到最合适位置。
［教师活动］1、展示一幅等腰三角形边、角知识点流程图，让学生添加合适条件。
2、由等腰三角形边、角的特殊性导入新课。
［学生活动］1、观察流程图，思考问题。
［设计意图］通过复习相关知识点，让学生明白等腰三角形边、角的特殊性，顺利导入新课。
2、根据箭头方向选择最合适的条件。
二、变式探究
［教学内容］【既快又准】
1、△ABC中，已知：AB=AC，
①若∠A=40°，则△ABC的另两个角的度数为；
②若有一个角为40°，则△ABC的另两个角的度数为；
③若有一个角为140°，则△ABC的另两个角的度数为；
2、在△ABC中，已知：AB=AC
①AB=2，BC=3，则△ABC的周长为；
②若有两边长为2、3，则△ABC的周长为；
③若有两边长为2、5，则△ABC的周长为；
［教师活动］1、提示学生画出草图，帮助解题。
2、提醒学生注意题目间的联系与区别。
3、提问:为何出现两个答案？如何分类讨论？
4、提醒：求出三角形边长后，应记得判断是否能构成三角形。
并复习如何判断三条线段能否构成三角形。
5、小结：在解等腰三角形边、角问题时，要注意分类讨论，防止掉入数学的“陷阱”。
［学生活动］
1、通过观察、比较习题，画出草图，了解分类情况，自主得出答案。
2、共同回顾“三条线段能构成三角形”的判断方法：任意两条之和大于第三条。
归纳技巧：只要最短两条之和大于第三条即可。
［设计意图］1、通过针对性的变式训练，让学生了解等腰三角形边、角分类情况。
2、鼓励学生发表自己对问题的理解，大胆说出解题思路，锻炼学生思维，培养语言表达能力。
三、巩固提高
［教学内容］
【小试牛刀】
1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则其顶角的度数为_________。
2.若等腰三角形的底边为5，其周长被一腰上的中线分成差为2的两部分，求腰长。
【挑战自我】
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形。
［教师活动］1、要求学生根据题目意思，画出符合条件草图，写出解题过程。
2、提问：等腰三角形按角的大小可分为几类？等腰三角形周长被一腰上的中线分成的两部分指的是哪两部分？
1、提示：注意分类讨论，找出所有符合要求的图形。
2、指出学生错误做法，提醒要认真审题、理解题目意思。
3、让学生展示结果，说出方法，与大家分享。
［学生活动］
1、思考问题，根据题意画出草图，得出答案。
2、思考，质疑，发表自己的见解，得出不同结果。
［设计意图］
1、鼓励学生发表自己对问题的理解，展示解题过程，说出解题思路，锻炼学生思维，培养书写和语言表达能力。
2.鼓励学生敢于质疑发表不同意见和看法，培养分析问
题能力。
３、培养学生团结协作意识。
４、让学生学会用分类思想解决问题。
四、体会、分享
［教学内容］1、通过本堂课的探索,你有何收获?
2、反思一下你所获成功的经验, 与同学交流!
［教师活动］1、归纳总结今天所学内容。
2、引出下一节课《等腰三角形中的转化思想》。
［学生活动］学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法
［设计意图］通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。
五、布置作业
［教学内容］《等腰三角形》练习卷
（其中的思考题，学生可以根据自己的情况选择完成）［教师活动］1、针对学生认知的差异设计了有层次的作业题。
2、为了下一节的学习，设计了有关等腰三角形中的转化思想的习题。
［学生活动］根据自己的实际情况选择完成相应作业。
［设计意图］1、既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。
2、为了下一节的学习，起到很好的铺垫作用。
九、教学反思：
（一）反思教学设计
本节课在教学过程中设计的一系列的教学环节，充分体现了新课改的理念。
设计力图贯彻“以学生发展为本”的教育理念，采用“以教师为主导，学生为主体”的现代教学思想。
并结合多媒体，使教学过程更加直观，学生更易于比较知识点间的联系与区别，从而掌握知识点。
本教学设计充分体现了知识的发生、形成和发展的过程，通过知识点复习、变式训练等，引导学生发现等腰三角形边、角问题中蕴含的分类思想，突出重点，突破难点，抓住关键，得出结论。
在教学过程中提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与结论让学生归纳，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。
如此教学设计，对于学生良好思维品质的形成有重要的作用。
本节课首先通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论，从而顺利导入新课。
接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况，培养学生分类讨论意识。
最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。
（二）反思学情分析
如何进行学情分析才能得到客观准确的结果呢？我觉
得要明确分析的对象：
1、分析学生原有的知识基础。
由于数学是一门前后知识关联性很强的学科，所以教师首先要了解与本堂课教学内容相关联的知识有哪些？学生的掌握情况如何？这是教学
时引入和设计例题的关键。
2、分析学生的思维特点。
数学是一门逻辑思维能力要求较高的学科，教师只有了解了学生的思维特点才能制定出适合的教学方案。
3、分析学生在学习过程中可能会遇到的困难。
我在课前尽可能完整地估计出学生在学习过程中会遇到的各种困难，这样就可以针对每一种问题采取不同的应对策略。
（三）反思教学过程得失
从总体效果来看，本堂课教学较好地完成了预期目标。
我们知道，教师不是知识的占有者，也不是课堂上的主宰者，而是学习共同体的一员，在教学过程中难免会出现一些问题。
虽然课前我做了大量的准备工作，但在这节课当中，还是存在了一些不足之处：1、这是一节复习课，课堂上没能把学生的热情充分调动起来；2、在“小试牛刀”环节的第2题，学生板演花费时间过长，导致后面环节时间比较紧张；
3、因为时间关系，最后一题构造等腰三角形时，没有充分展示学生的错解；学生小结收获时，没能充分交流。
总之，
新课程改革给教师和学生带来了更为广阔的发展天地，让我们能更好的展示自己的个性。
只要勇于尝试，锐意进取，一定会取得更大的进步！。