高等数值分析
高等数值分析作用欧拉法与阿达姆斯法
求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。
Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。
显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。
为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。
常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。
这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。
因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。
高等数值分析课程设计
高等数值分析课程设计一、题目背景高等数值分析是计算数学领域的一门重要课程，它主要研究数值计算中的算法、误差分析、收敛性和稳定性等基本问题，涵盖了线性代数、数值微积分、常微分方程数值解等数学分支学科。
本文将介绍一项高等数值分析课程的设计，以增强学生对课程的理解和能力。
二、设计目标2.1 教学目标本课程设计旨在帮助学生：•掌握常见的数值分析算法；•熟悉各种算法的误差分析和收敛性；•能够独立设计和实现数值计算程序；•培养学生解决实际问题的能力。
2.2 实现目标为了实现教学目标，本课程设计将遵循以下原则：•采用案例分析和实例演示的方式，将数学理论与实际应用相结合；•强调算法的实现方法和效率分析；•通过小组合作的方式完成实践任务，培养学生的团队合作能力；•开设课程论文撰写指导和实践报告撰写指导课程，提高学生的学术写作能力。
三、课程内容本课程的教学安排如下：3.1 理论讲授•数值线性代数•数值微积分•常微分方程数值解•偏微分方程数值解3.2 实践任务•实现线性方程组求解算法•实现求解非线性方程的算法•实现常微分方程数值解算法•实现偏微分方程数值解算法3.3 课程论文和实践报告撰写要求每个学生提交一篇课程论文和一份实践报告，内容包括理论和实践部分。
论文部分主要包括：•算法的理论分析和数学推导；•算法的实现方法和效率分析；•算法的收敛性和稳定性分析。
实践报告部分主要包括：•实践任务的设计和实现方法；•算法实现的过程与结果分析；•算法的应用和实用性分析。
四、教学评估本课程的教学评估主要包括以下几个方面：4.1 学生成绩评估学生成绩评估包括平时分、实验成绩、论文得分和考试成绩。
其中，实验成绩和论文得分占总成绩的比重大于考试成绩。
4.2 教学效果评估教学效果评估将从以下几个方面进行：•学生数学知识的掌握程度；•学生对数值计算的算法和方法的理解程度；•学生的编程能力和算法实现的水平；•学生实践能力和团队协作能力的培养。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
高等数值分析法
xi+1 xi tf ( xi ,ti ) xi t ( xi )
x(t) 1.0000 1.2500 1.5625 1.9531 2.4414
exp(t) 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183
第一节 拉格朗日插值
一般插值问题
拉格朗日线性插值
拉格朗日插值公式 算法设计
一、微分方程导论
dy 1 et dt
是一个微分方程，因为它包含“未知函数”y=y( t )的 导数dy/dt .
由于只有独立变量t出现在上式的右端，因此 的 不定积分就是方程的一个解。可由积分公式求解 y( t )
error 0.0000 0.0265 0.0523 0.0774 0.1019
区间离散化 求y
t
y
t0
y0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
…
tn
Euler’s Method
t
x(t) Initial condition
t0
t1
t2
t
x(ti)
t3
t4
t5
t6
…
tn
x
x0
Solution known to here x(t0)
x(ti+1) Solution desired at this point
error
xi
t
ti ti+1 t
Example
First-order initial value problem
大连理工大学高等数值分析主要内容总结
高等数值分析主要内容总结1. 矩阵部分(1) 矩阵变换a) Householder 变换（反射变换/镜像变换）定义设ωϵC n是一个单位向量，令H(ω)=I−2ωωH(1)则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。
H具有以下性质：H H=H (Hermite矩阵),H H H=I (酉矩阵)H2=I (对合矩阵), H−1=H (自逆矩阵)det(H)=−1, diag(I,H)也是一个Householder矩阵定理设uϵC n是一个单位向量，则对于任意的xϵC n，存在Householder矩阵H=I−2ωωH，使得Hx=au，其中|a|=‖x‖2（a不唯一）。
当x=0时，ω可任取；当x=au≠0时，取ωH x=0；当x≠au时，应取ω=x−au。
‖x−au‖2b) Givens 变换（旋转变换）定义 设c,sϵC ，|c |2+|s |2=1，记n 阶矩阵T kl =[1⋱1c̅s̅1⋱1−sc1⋱1](k ) (l)(2)称为Gives 矩阵或初等旋转矩阵。
Givens 矩阵为酉矩阵，且det (T kl )=1。
定理 对于任意向量xϵC n ，存在Givens 变换T kl ，使得y =T kl x 的第k 个分量为非负实数，第l 个分量为0，其余分量不变。
当|x k |2+|x l |2=0时，取c =1，s =0，则T kl =I 。
当|x k |2+|x l |2≠0时，取c =k √|x k |2+|x l |2，s =l√|x k |2+|x l |2。
(2) 矩阵分解-QR 分解（正交三角分解/酉三角分解）定义 设AϵC n×n ，如果存在n 阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）Q 和n 阶上三角矩阵R ，使得A =QR ，则称A =QR 为A 的QR 分解。
当AϵR n×n 时，则称为A 的正三角分解。
定理 任意一个满秩实（复）矩阵A ，都可唯一地分解为A =QR 。
高等工程数学数值分析重点方法_doc
高等工程数学数值分析重点方法_doc迭代法 1、证明矩阵 A=111aaa aa a 对于-1/2<a<a<="" 2是收敛的。
="" 2是正定的，而雅可比迭代只对-1="" p="" 证明：当-1="">11det aa =1-a 2>0，det(A)=(1-a)2(1+2a)>0 故A 是正定的。
又雅可比法迭代矩阵B J =------000aaa aa a det(λI-B J )=λλλaaa aaa =λ3-3λa 2+2a 2=(λ-a)2(λ+2a)故)(J B ρ=a 2，故当-1/2<a<="" p="">2、求证lim k k A A →∞=的充要条件是对任何向量x ，都有lim k k A x Ax →∞=。
证明：必要条件由lim k k A A →∞=，知()lim k ij ij k a a →∞=，从而有k A A -→0（k →∞）。
故对任意的x ，有0k k A x Ax A A x -≤-→（k →∞）则k A x Ax →，lim k k A x Ax →∞=。
充分条件对任意的nx R ∈，有k A x Ax →（k →∞），取(0,,0,1,0,,0)T i x = (1,2,,)i n =()()()12(,,,)k k k Tk i i i ni i A x a a a Ax =→ （k →∞） 12(,,,,)Ti i i ni Ax a a a =故()k ji ji a a →(1,2,,;1,2,,)j n i n == 即k A A →，lim k k A A →∞=。
3、设求解方程组Ax=b 的雅可比迭代格式为(1)()k k x Bxf +=+，(0,1,2,)k = 。
高等数值分析
13
模型误差
在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别.
在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差.
观测误差
截断误差
14
舍入误差
在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因 计算机受到机器字长的限制,它所能表示 的数据只能有一定的有限位数,如按四舍 五入规则取有限位数,由此引起的误差
3 . 14159265 3 .1415927
15
数值计算中的几种误差都是难以避免的.数学模型 一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是 截断误差和舍入误差
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
9
数值方法:
是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式
10
研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性
4
在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.
20
(2) 作减法时应避免相近数相减
两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失
5 4 . 999958 10 1 cos 0 . 01
由于
高等数值分析第二章答案
第二章习题参考答案1.解： 由于20Ax b−≥，极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。
令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−，对于任意的n R y x ∈,和实数α，)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。
在*)(x x ϕ反之，若必有处达到极小，则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。
以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。
等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下：),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出（由取得极小值。
使求出取的负梯度方向，且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下：1）)(000Ax b A r A R x T T n −=∈，计算给定； 2）L ,2,1,0=k 对于）转到否则数。
为一事先给定的停机常则停止；其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1） 正定性由对称正定矩阵的性质，(),0x Ax ≥（当且仅当x ＝0时取等号），所以 ()12,0Axx Ax =≥（当且仅当x ＝0时取等号）2） 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3）o1方法（一）A 是对称正定矩阵，得到(,())0x y A x y λλ++≥，把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此，1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。
高等数值分析 大纲
高等数值分析Advanced Numerical Analysis32学时（其中，讲授： 32 学时；实验： 0学时；实习： 0 学时）； 2 学分一、课程简介本课程是应用数学学科研究生的学位课程。
本课程在本科《数值分析》的基础上进一步讲授现代科学与工程计算中的数值计算方法及原理。
主要内容包括数值计算原理，数值逼近与数值积分，数值代数，常微分方程数值方法等。
本课程的任务是使学生了解现代的大规模问题的科学计算方法，掌握相应算法的基本理论、基本技能。
目的是拓广应用数学等理工类学科研究生的知识面，提高学生的科学计算能力。
二、预修课程及适用专业预修课程：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）、计算方法。
适应专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计三、课程内容及学时分配§1 数值计算原理与计算精确度（讲课4学时）数值计算的一般原理，数值计算的精度分析，并行算法。
§2 数值逼近与数值积分（讲课8学时）多项式逼近与有理逼近；多项式插值与样条插值；三角插值与快速Fourier变换；高斯型求积公式；奇异积分、多重积分简介。
§3 线性方程组的数值解法（讲课8学时）病态方程组与条件数；大型稀疏线性方程组的直接方法；超松弛迭代法；极小化方法。
§4 非线性方程组的数值解法（讲课4学时）基本概念：压缩映射原理；牛顿法和拟牛顿法。
§5 矩阵特征值问题的计算方法（讲课4学时）基本概念；正交变换与矩阵分解；幂迭代法；QR算法；豪斯霍尔德方法。
§6 常微分方程数值方法（讲课4学时）基本概念；初值问题数值方法；刚性方程组数值解法；边值问题数值方法。
四、教学方式及要求本课程以课堂讲课为主，以Matlab软件为平台，教学中穿插数值试验。
每一教学章节后加一节讨论课，作为辅助教学手段。
基本要求是掌握现代数值计算的基本原理和常用方法。
五、考核方法该课程考核分为三部分：考试、考查和平时考核。
高等数值分析大纲
高等数值分析大纲绪言（1学时）一、样条函数及其应用（11学时，参[1]，[2]，[3]，[8]）1．样条函数空间2．B样条函数3．样条函数的性质(1)极小范数性质(2)最佳逼近性质(3)变缩性质(4)B样条函数的性质4．具有重节点的B样条函数5．三次样条插值的B样条表示6．样条函数的应用(1)数值微分(2)数值积分(3)常微分方程的样条函数解法二、最佳逼近（7学时，参[3]，[4]）1．契比晓夫多项式2．线性赋范空间的最佳逼近3．最佳一致逼近4．里米兹方法三、有限Fourier分析（6学时，参[4]，[3]）1．Fourier分析2．离散Fourier变换3．快速Fourier变换4．FFT在卷积中的应用四、迭代法和离散动力系统*（6学时，参[5]）1．基本概念2．Logestic模型3．符号动力系统和拓扑共轭4．Newton法和动力系统五、常微分方程差分方法（8学时，参[5]，[6]）1．单步法2．多步法3．刚性方程4．微分方程数值算法的动力学性质六、变分原理与边值问题（6学时，参[5]，[6]，[7]）1．变分问题举例2．变分法的基本概念3．Euler方程4．边值问题的等价变分问题5．里兹-加辽金（Ritz-Galerkin）方法6．有限元方法简介参考文献[1] 王省富．样条函数及其应用．西安：西北工业大学出版社，1989[2] 李岳生，齐东旭．样条函数方法．北京：科学出版社，1979[3] 黄友谦，李岳生．数值逼近(第二版)．北京：高等教育出版社，1987[4] 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海：复旦大学出版社，1996[5] 蔡大用，白峰衫．高等数值分析．北京：清华大学出版社，1997[6] 武汉大学，山东大学．计算方法．北京：高等教育出版社，1979[7] 南京大学．偏微分方程数值解法．北京：科学出版社，1979[8] 李岳生．样条与插值．上海：上海科技出版社，1983。
高等数值分析第一次实验
一.1.首先构造1000阶正交阵Q 和bB=unidrnd(1000,1000,1000)[Q,R]=qr(B)并且将变量Q 储存为.mat 文件，便于随时调用。
2. A1、A2A1：load('正交Q.mat')N=1000v1=[]v1(1)=10^6v1(2:N-1)=linspace(1000,100,N-2)v1(N)=10^-3A1=Q*diag(v1)*Q'A2:load('正交Q.mat')N=1000v1=[]v1(1:N)=linspace(1000,1,N)A=Q*diag(v1)*Q'A1、A2条件数：9^101=κ、3^102=κ特征值分布：A1：001.01000973.9991000100000>>⋅⋅⋅>>>A2：129989991000>>⋅⋅⋅>>>3. CG 算法：N=1000;x=zeros(N,1);r=[];p=[];r(:,1)=b-A*x;p(:,1)=r(:,1);k=1;for k=1:Nak=r(:,k)'*r(:,k)/(p(:,k)'*(A*p(:,k)));x=x+ak*p(:,k);r(:,k+1)=r(:,k)-ak*(A*p(:,k));bk=r(:,k+1)'*r(:,k+1)/(r(:,k)'*r(:,k));p(:,k+1)=r(:,k+1)+bk*p(:,k);k=k+1;endy=[]for k=1:ky(:,k)=log10(norm(r(:,k),2)/norm(b,2)) %Ïà¶Ô²ÐÁ¿plot(0:k-1,y,'b-')gridendxlabel('step')ylabel('lg(morm(rk))')4.数值性态用A1计算，得到收敛曲线：横坐标是运算步数，纵坐标是对每步的相对残量取对数用A2进行计算，得到收敛曲线：当步数=阶数时，对A1，14010-=e r k ；对A2，8010-=e r k ，但在计算过程中k r 小于机器精度时，计算已经失真，实际在第1000步时对A1，06-7.2689e =k r ，A210-1.8979e =k r 。
高等数值分析教学设计 (2)
高等数值分析教学设计1. 简介高等数值分析是一门涉及计算数学和计算机科学的学科，旨在研究有限、无限、离散或连续数学问题的计算方法。
本文旨在探讨如何设计一门高等数值分析的教学课程，以提高学生的数学计算能力和解决实际问题的能力。
2. 教学目标本课程的教学目标包括以下几个方面：•熟练掌握有限元分析、差分方法、数值积分、解常微分方程等数值计算方法，了解它们的基本理论和数学模型；•学习相关软件，并能灵活运用 MATLAB、Python 等数值分析软件进行实际问题的计算；•培养解决实际问题的能力，通过完成案例分析和课程项目的设计，独立完成数学计算、数据处理和结果分析。
3. 教学内容本课程的主要内容分为三个部分：理论讲解、软件应用和实践案例。
具体内容包括：3.1 理论讲解•数值计算基础：数值误差、截断误差、舍入误差、阶梯误差等；•数值方法问题：插值问题、数值积分问题、初值问题、边值问题等；•常微分方程初步：初值问题、边值问题、显式方法、隐式方法、稳定性等；•偏微分方程初步：有限元方法、差分方法、有限体积方法等。
3.2 软件应用•MATLAB 环境：MATLAB 基础、线性代数、非线性问题、信号处理、图像处理等；•Python 环境：Python 基础、numpy、scipy、matplotlib 等模块的使用。
3.3 实践案例•经典例子：求解非线性方程、数值积分、初值和边值问题的计算；•应用案例：求解物理问题、金融问题、工程问题中的数学模型及解决方案；•课程项目：独立设计数学计算问题，并进行数据处理和结果分析。
4. 教学方法本课程的教学方法主要包括听课讲解、课堂练习、小组讨论、案例分析和课程项目。
具体方法如下：•在理论讲解部分，采用PPT或黑板等方式阐述原理并进行讲解；•在软件应用部分，学生需要自主安装相应软件并获取帮助，教师提供指导；•在实践案例和课程项目中，学生需要自主分析和解决实际问题，教师提供指导和评估。
清华大学高等数值分析 第一次实验作业
高等数值分析实验作业一
附件：主要算法代码
CG 法 CG.m function [x,Error,i,flag]=CG(A,b,x,ErrSet,uplimit) [m,n]=size(b); if m<n
b=b'; end [m,n]=size(x); if m<n
x=x'; end r=b-A*x; p=r; i=1; temp_rkrkplus=r'*r; Error=sqrt(temp_rkrkplus)/norm(b,2); while 1
Lanzcos算法的收敛曲线 (阶数n=1002)
100 m=10 m=50 m=100 m=400 m=800
10-5
||rk||/||b||
-10
10
-15
10 0
20
40
60
80
100
120
140
160
迭代次数
图5 对不同的m，Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
高等数值分析实验作业一
结论：如果 A 只有 m 个不同的特征值，则 Lanczos 方法至多 m 步就可以找到精 确解。实验中，在 m 较大的时候，算法收敛较快，迭代次数远小于 m。当 m 较 小时，可能需要接近于 m 步才能找到准确解。
2. 对于同样的例子，比较 CG 和 Lanczos 的计算结果。 解：（1）构造 1002 阶正定矩阵 A：
（2）Lanczos法求解Ax=b，A良态： 利用matlab编程实现CG算法。b = ones(1002,1)，x0 = zeros(1002, 1)。计算 每一步迭代的残差rk相对于初始残差的2范数。相对残差2范数的对数值与 迭代步数的关系曲线如图3所示：
(完整版)高等数值分析48课时教案
高等数值分析48课时教案
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
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2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
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2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
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2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
11。
高等教育数值分析教案
高等教育数值分析教案Ch1、引 论 §1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。
2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。
例如Cooley 和Tukey1965年提出FFT ，NN N 22log 2，N=32K ，1000倍。
1、分析用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组的计算量。
解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组需计算1n +个n 阶行列式，而用定义计算n 阶行列式需()!1n n -次乘法，故总计共需()()()()1!11!1n n n n n +-=+-。
此外，还需n 次除法。
当20n =时，计算量约为()()201!19.710n n +-=⨯次乘法。
即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。
可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。
§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差；(4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。
数值分析主要研究截断误差与舍入误差。
例2、根据Taylor 展式)(!!212x R n x x x e n nx++⋅⋅⋅+++=计算1-e (误差小于0.01)。
解：)(!5)1(!4)1(!3)1(!2)1()1(1554321x R e+-+-+-+-+-+=-12012416121-+-≈(截断误差)3667.0≈ (舍入误差)。
高等数值分析报告
高等数值分析报告
1. 引言
本报告旨在介绍高等数值分析的基本概念，并分析其在科学研究和工程计算中的重要性。
高等数值分析是一种使用数学模型和数值技术来研究和解决复杂问题的方法。
它是一种计算机科学的分支，主要应用于科学研究和工程计算。
2. 概述
高等数值分析是一种使用数学模型和数值技术来研究和解决复杂问题的方法。
它是一种计算机科学的分支，主要应用于科学研究和工程计算。
高等数值分析的主要任务是使用数学模型来描述和分析复杂的实际问题，并使用数值技术来解决这些问题。
高等数值分析的主要工具是数学模型和数值技术。
数学模型可以用来描述复杂的实际问题，并用来分析问题的性质。
数值技术可以用来计算出问题的解决方案。
3. 应用
高等数值分析在科学研究和工程计算中有着重要的应用。
它可以用来模拟物理现象，如流体流动、热传导、空气动力学和电磁场等，以及生物、化学和社会系统等。
它还可以用来解决工程设计问题，如结构分析、优化设计、机械动力学、机器人控制等。
4. 结论
高等数值分析是一种使用数学模型和数值技术来研究和解决复杂问题的方法。
它在科学研究和工程计算中有着重要的应用，可以用来模拟物理现象，以及解决工程设计问题。
因此，高等数值分析对于科学研究和工程计算都有重要的意义。
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下面是B卷内容，总共六道题
: 1.用Givens变换QR分解一个3*2的矩阵，并求解一个最小二乘
A=[ sqrt(2) 0; 1 -1; 1 1] b=(sqrt(2),1,1)';
: 2.证明：对于Minres和Gmres
: (1)A有k个特征值时，至多k步收敛
: (2)A有n个不同的特征值，r0由k个属于不同特征值的特征向量构成时，k步收敛
: 3.A为m*n矩阵，m>n
: (1)用完全QR分解，不完全QR分解以及SVD表示A+
: (2)用完全QR分解以及SVD得到min||Ax-b||问题的xls和rls，并加以证明
: 4.
: (1)证明Arnoldi过程中断时找到准确解
: (2)证明Arnoldi过程中断时不会发生方法中断
: (3)当A为正定对称阵时，证明Lanczos方法不会发生方法中断（即W'AV非奇异，讲义上有的
: ）
: 5.A=uv'。
u,v均为向量，A的秩为1
: (1)证明u'v为A的特征值
: (2)A还有哪些其他的特征值？（答案：0）
: (3)用幂法求A的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案：1步）
: 6.关于CG的问题
: (1)类似于推导alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了
对于phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b ,
x_{k+1}= x_k + alpha * p_k.
alpha多少时最优？证明x_{k+1}= x_k + alpha * p_k。
: (2)当A=I-BB'时，其中B的秩为p，用CG求解Ax=b问题，最多几步可收敛？为什么？
: （答案：min(p+1,n)）
不难。
过去的大致分几种题目：
2-3道计算题；
1-2道论述题：比如精化的Arnoldi方法的步骤什么的
然后还有证明题吧。
都是很常规的，不是特别难。
QR分解的householder和Givens变换一定要手动去算一下，这个一般会有计算题。
然后还有幂法也要会算。
再有就是会插值和逼近。
6*10分。
总共60分。
以前都这样。
PS：我也是那个班的^^
【在 fxj09 (江哥) 的大作中提到: 】
: 各位前辈好！有没有人上过贾仲孝老师的高等数值分析啊，考试难吗？有没有谁有以前的试题啊？
: 谢谢！
--
要把今天活得像明天就要死去一样……
这门课的重心放在了矩阵计算方面，这也是贾老师的研究方向。
前半个多学期主要讲解线性方程组的求解，从各类重要的矩阵分解这些基本概念，到最速下降法、CG算法和预处理CG，LANCZOS、MINRES、Arnoldi、GMRES算法；脉络是对称到非对称矩阵，正交投影到斜投影。
重点放在了Galerkin原理和Kryov子空间介绍，都是迭代方法了，这也是当代求解大规模矩阵问题的主要思路，把一个大规模的矩阵投影到一个很小的子空间上考虑问题，不同的投影方法有不同的优势，算法上的些微差别可能带来计算量、稳定性上的巨大差异。
线性方程组的解法现在已经比较成熟了，MATLAB里程序很多。
但是特征值问题就远没有那么好了，问题更加复杂，比如收敛性的实用判断准则是90年代中才有的。
会重点讲下QR算法，也是二十世纪十大算法之一。
另外还有Krylov子空间方法，不同的投影思路引出Arnoldi、调和Arnoldi方法，但是收敛性都不好，近年的精化投影算法是一个很大的改进（就是贾老师的工作）。
课上还会提到最小二乘方法，多项式插值之类的，往年好像还有非线性方程组求解。
既然带了数值两字，数值试验是少不了的，这学期留了三次书面作业，两次数值试验。
数学系出来的还是要了解些Matlab的，毕竟很好用～很多问题自己编程调试分析过才能体味的到，比如数值上如何构造出一组正交基，如何逐步更新求解方程组提高效率。
当然也可以用Matlab自带的算，但感觉总是不一样的。
考试前还是需要手头算几个算法的，基本的Householder、givens变换还是要会的；至于证明题其实就那么几句话，这也是代数类课程的特点吧～贾老师的考试历年说还是很厚道的。