高等数值分析

下面是B卷内容，总共六道题

: 1.用Givens变换QR分解一个3*2的矩阵，并求解一个最小二乘

A=[ sqrt(2) 0; 1 -1; 1 1] b=(sqrt(2),1,1)';

: 2.证明：对于Minres和Gmres

: (1)A有k个特征值时，至多k步收敛

: (2)A有n个不同的特征值，r0由k个属于不同特征值的特征向量构成时，k步收敛

: 3.A为m*n矩阵，m>n

: (1)用完全QR分解，不完全QR分解以及SVD表示A+

: (2)用完全QR分解以及SVD得到min||Ax-b||问题的xls和rls，并加以证明

: 4.

: (1)证明Arnoldi过程中断时找到准确解

: (2)证明Arnoldi过程中断时不会发生方法中断

: (3)当A为正定对称阵时，证明Lanczos方法不会发生方法中断（即W'AV非奇异，讲义上有的

: ）

: 5.A=uv'。u,v均为向量，A的秩为1

: (1)证明u'v为A的特征值

: (2)A还有哪些其他的特征值？（答案：0）

: (3)用幂法求A的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案：1步）

: 6.关于CG的问题

: (1)类似于推导alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了

对于phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b ,

x_{k+1}= x_k + alpha * p_k.

alpha多少时最优？证明x_{k+1}= x_k + alpha * p_k。

: (2)当A=I-BB'时，其中B的秩为p，用CG求解Ax=b问题，最多几步可收敛？为什么？

: （答案：min(p+1,n)）

不难。过去的大致分几种题目：

2-3道计算题；

1-2道论述题：比如精化的Arnoldi方法的步骤什么的

然后还有证明题吧。

都是很常规的，不是特别难。

QR分解的householder和Givens变换一定要手动去算一下，这个一般会有计算题。

然后还有幂法也要会算。

再有就是会插值和逼近。

6*10分。总共60分。以前都这样。

PS：我也是那个班的^^

【在 fxj09 (江哥) 的大作中提到: 】

: 各位前辈好！有没有人上过贾仲孝老师的高等数值分析啊，考试难吗？有没有谁有以前的试题啊？

: 谢谢！

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要把今天活得像明天就要死去一样……

这门课的重心放在了矩阵计算方面，这也是贾老师的研究方向。前半个多学期主要讲解线性方程组的求解，从各类重要的矩阵分解这些基本概念，到最速下降法、CG算法和预处理CG，LANCZOS、MINRES、Arnoldi、GMRES算法；脉络是对称到非对称矩阵，正交投影到斜投影。重点放在了Galerkin原理和Kryov子空间介绍，都是迭代方法了，这也是当代求解大规模矩阵问题的主要思路，把一个大规模的矩阵投影到一个很小的子空间上考虑问题，不同的投影方法有不同的优势，算法上的些微差别可能带来计算量、稳定性上的巨大差异。线性方程组的解法现在已经比较成熟了，MATLAB里程序很多。但是特征值问题就远没有那么好了，问题更加复杂，比如收敛性的实用判断准则是90年代中才有的。会重点讲下QR算法，也是二十世纪十大算法之一。另外还有Krylov子空间方法，不同的投影思路引出Arnoldi、调和Arnoldi方法，但是收敛性都不好，近年的精化投影算法是一个很大的改进（就是贾老师的工作）。课上还会提到最小二乘方法，多项式插值之类的，往年好像还有非线性方程组求解。

既然带了数值两字，数值试验是少不了的，这学期留了三次书面作业，两次数值试验。数学系出来的还是要了解些Matlab的，毕竟很好用～很多问题自己编程调试分析过才能体味的到，比如数值上如何构造出一组正交基，如何逐步更新求解方程组提高效率。当然也可以用Matlab自带的算，但感觉总是不一样的。考试前还是需要手头算几个算法的，基本的Householder、givens变换还是要会的；至于证明题其实就那么几句话，这也是代数类课程的特点吧～贾老师的考试历年说还是很厚道的