必修四三角函数复习题
必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)
必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为( )A.π6弧度B.π3弧度C.12弧度 D ．以上都不对 3．若sin θ>0且sin θcos θ<0，则角θ的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是( )A ．60°与－300°B ．230°与950°C ．1050°与－300°D ．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a ＜180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值．3.2同角三角函数及诱导公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值为( ) A ．±45 B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.356．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.34 D ．－43二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______． 9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函 数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤03．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max π(k ∈Z ) 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11°二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________. 9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4 C.π2D ．π 4．下列函数中，图象的一部分如图所示J341的是( )图J341A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象； ④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－2104．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( )A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________. 9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( ) A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±8254.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－3 C ．1 D ．－15.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos αA ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________. 三、解答题(共15分) 10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解；②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解；③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解；④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________.8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________.三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( ) A.2a km B.3a km C ．a km D ．2a km3．如图所示J381，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m 4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．参考答案 3.11．D 2.B 3.B 4.A 5.C 6．B 解析：72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80 π(cm 2)． 7．{－708°，－348°，12°，372°}8.25 解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45.所以2sin α＋cos α＝25. 9．二 解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.∴角α在第二象限． 10．解：∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.故r ＝2 2，sin α＝52 2＝104，tan α＝5－3＝－153.3.21．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.4 8.2－2 9.－3510．证明：左边＝－cos θ·sin 2θtan θ·(－cos 3θ)＝1tan θ·tan 2θ＝tan θ＝右边． 3.31．B 2.C 3.B 4.D5．C 解析：∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．6．C 解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.7.⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈ [－1,1]，画出函数图象如图所示D4，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.图D48．－2 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴M ＝13×1－1＝－23，m ＝13×(－1)－1＝－43.∴M ＋m ＝－23－43＝－2.9.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析：由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，故交点坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．10．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 3.41．C 2.B 3.C 4.D 5.A6．D 解析：由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又|φ|＜π2，∴φ＝π3.7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向右平移π6个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2. 8．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2.∴T ＝π.∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 9．③10．解：(1)列表：图D5描点，连线如图所示D5.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1在⎣⎡⎦⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． (2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 3.51．D 2.B 3.B 4.C 5.B6．D 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 7.128．－4 29 解析：∵由题意知，sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－2 23.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－2 23＝－4 29.9．1－2 解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2.10．解：∵tan(π＋α)＝－13.∴tan α＝－13.∴sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝sin (π－2α)＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516.3.61．C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.－1114 8.3229．－43 解析：由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2.则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.10．解：原式＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α＝2(sin α＋cos α)4(cos αsin α＋cos 2α).∵α为第二象限角，且sin α＝154，∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. ∴原式＝24cos α＝－ 2.3.71．C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.2 38．1 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3.∴a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍)．9．75° 解析：由正弦定理知，a sin A ＝b sin B .又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin60°7 6＝22.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝45°.∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.10．解：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin120°＝15 34.3.81．B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.D7．7 解析：如图所示D6，由题意可知AB ＝3 3，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×3 3×2×cos150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.图D68.40039．10 3 解析：如图所示D7，OM ＝AO tan45°＝30(m)，ON ＝AO tan30°＝33×30＝10 3(m)，由余弦定理，得MN ＝900＋300－2×30×10 3×32＝300＝10 3(m)．图D710．解：如图所示D8，在△ACD 中．∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，图D8∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)， 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理，可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ， 即AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2 3·6＋22cos75°＝5. ∴AB ＝ 5 (千米)．所以，两目标A，B间的距离为5千米．。
必修4：三角函数易错题精选(已稍微分类,适合中上等学生考前查漏补缺)
三角部分易错题选一、选择题：1．设cos1000=k ，则tan800是（ B ）A 、k k 21-B 、k k 21--C 、k k 21-± D 、21kk -±2．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ A ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-1． 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π2． 在∆ABC 中，3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则∠C 的大小为（ A ） A.π6B.56π C.ππ656或 D.ππ323或 解： ∴选A 注意代入检验。
3．已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3πB ．3π或-π32C ．-3π或π32D ．-π32正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。
4．为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π答案: B 5．函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tantan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C2π D 23π 答案: B6．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 正确答案：A7．已知函数 y=sin(ωx+Φ)与直线y ＝21的交点中距离最近的两点距离为3π，那么此函数的周期是（ ） A3πB πC 2πD 4π 正确答案：B 错因：不会利用范围快速解题。
新课标人教A版必修四：三角函数单元复习题一
三角函数复习题（2012-04-23）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．集合M ＝{x |x ＝k π2 ±π4 ，k ∈Z }与N ＝{x |x ＝k π4，k ∈Z }之间的关系是 （ ） A.M N B.N M C.M ＝N D.M ∩N ＝∅3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是 ( )A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5．设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），那么sin α＋2cos α的值等于 （ ）A. 25B.－25C. 15D.－156．若cos(π＋α)＝－12 ，32π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ） A.－32 B. 32 C. 12 D.±327．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B. 2sin1C.2sin1D.sin29．如果sin x ＋cos x ＝15，且0＜x ＜π，那么cot x 的值是 （ ） A.－43 B.－43 或－34 C.－34 D. 43 或－3410．若实数x 满足log 2x ＝2＋sin θ，则|x ＋1|＋|x －10|的值等于 （ ）A.2x －9B.9－2xC.11D.9二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________. 13．不等式（lg20)2cos x ＞1，(x ∈(0，π))的解集为_____________.14．若θ满足cos θ＞－12，则角θ的取值集合是_____________. 15．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________. －三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18．(本小题满分10分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x， 5 )，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值.19．(本小题满分12分)已知π2 ≤θ≤π，sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m m ＋5，求m 的值.20．(本小题满分12分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3－32lg2，求cos 3α－sin 3α的值.21．(本小题满分12分)已知sin(5π－α)＝ 2 cos(72π＋β)和 3 cos(－α)＝－ 2 cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.22. (本小题满分14分)已知sin (1)m m α=≤，求tan α的值。
必修四第一章 三角函数 精选练习题(有答案和解析)
必修四第一章 三角函数精选练习题一、选择题1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝12，故选A.]3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．±22 B ．－22 C ．22 D ．－12B [由题意得tan θ＝－1a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝－1a 2＋（－1）2＝－22.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝12×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝62＝3.]5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－13 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－23，故选C.]6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[]－tan 1，tan 1D ．[]－1，1C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.] 8．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2C [令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，k ＝0时，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，故选C.]9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4C [由图可知A ＝2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋π8＝2πω得ω＝2，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )∴φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )， 又∵|φ|＜π， ∴φ＝3π4，故选C.]10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4. 此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]11．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π＜α＜3π2＋2k π，k ∈Z . ∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第二象限的角．]12．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 2 C [1＋2sin （π－2）·cos （π－2） ＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2＜2＜π，∴sin 2－cos 2＞0. ∴原式＝sin 2－cos 2.]13．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B [依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.]14．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π16 A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π，所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8， 令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得 k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z .可得f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z ，令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]二、填空题15．对于锐角α，若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________． 6425 [由题意可得：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.]16．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.] 17．函数y ＝3－tan x 的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z ) [作出三角数线如图，由函数可知3－tan x ≥0中tan x ≤3，而3对应角为π3，由图中阴影部分可得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z )．]18．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .]19．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．4 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4， 所以2πω＝π2，ω＝4.]20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位长度所得的图象与将f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________．4 [由条件可知，图象变换后的解析式分别为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋φ和y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋φ，由于两图象重合，所以ωπ3＋φ＝－ωπ6＋φ＋2k π(k ∈Z )． 即ω＝4k (k ∈Z )，由ω＞0，∴ωmin ＝4.]21．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C ，面积为S ，则C －1S 的最大值为________．4 [由已知可得弧长l ＝2r ，周长C ＝4r ，面积S ＝12×lr ＝r 2，∴C －1S ＝4r －1r 2＝－1r 2＋4r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4，故C －1S 的最大值为4.] 22．已知角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值是________．5π3 [角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， tan α＝－3212＝－3，且α为第四象限角，所以角α的最小正值是5π3.]23．函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x－1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x 2－cos x (x ∈R )的最大值为3.]24．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22. 其中正确命题的序号是________． ③④ [作出函数f (x )的图象如图所示：由图象可知f (x )为周期函数，T ＝2π，①错误；当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2时，取最小值－1，故②错误；x ＝π4＋2k π(k ∈Z )和x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )都是该图象的对称轴，故③正确； 当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )图象在x 轴上方且f (x )max ＝22. 故0＜f (x )≤22.故④正确．]三、解答题25．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝60169，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求sin α与cos α的值．[解] 由已知条件可得sin αcos α＝60169，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋120169＝289169， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－120169＝49169. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝1713，sin α－cos α＝713，解方程组得sin α＝1213，cos α＝513.26．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解] (1)∵α终边过点P (4，－3)，∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a . 当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35， cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35， cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.27．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 假设存在角α，β满足条件，则{sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12， ∴cos α＝22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，代入②得：cos β＝32， ∵0＜β＜π，∴β＝π6，代入①可知成立； 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时代入①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．28．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，则x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数．故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 29．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．30．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.由题意易知T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， 所以ω＝2πT ＝13， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．列表：。
必修四三角函数考前复习题
必修四第一章三角函数考前复习题一、选择题1．将－300o 化为弧度为（ ）A ．－43π； B ．－53π； C ．－76π； D ．－74π；2．如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．下列选项中叙述正确的是 （ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．sin ||y x =B ．2sin y x =C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+5．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ=D.4=B6．函数3sin(2)6y x π=+的单调递减区间（ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 7．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 8．)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos29．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ）A. 15±B. 5±C. 5±D. 12±10．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是 （） A ．2B ．0C ．41D ．611．如果α在第三象限，则2α必定在（）A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第三或第四象限D ．第二或第四象12．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）A ．x y 23sin 2= B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=13．已知函数sin 2y x =，要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将(f 的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位32．已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+ 的值33．已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段 图象(如图)所示. ①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间.34．已知43tan -=θ，求θθθ2cos cos sin 2-+的值。
必修四三角函数测试2
高一数学必修4第一章《三角函数》单元测试(满分：100分 时间：90分钟) 班级: 姓名：1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2．函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．4,2,4ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．4,2,2ππ3 .函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]ππ-上是减函数4.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ ）A ．x=－－π2B ．x=－ π4C ．x= π8 D ．x=π6.函数x x y tan sin +=的奇偶性是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数7.要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象向 平行移动 个单位（ ） A.向左平移3π B.向左平移6π C.向右平移3π D.向右平移6π8.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B9．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=4sin(x+π4)的图象上所有点（ ）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11．函数)32cos(π--=xy 的单调递增区间是（ ）A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππC ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ12、函数y =的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．给出下列命题：1>存在实数α,使1cos sin =⋅αα 2>函数)23sin(x y +=π是偶函数 3>8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 4>若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin > _ 5>当x ∈R 时，函数y= -2sin(2x+π12)+3的最大值为1 ,其中正确命题的序号是______________ 14． 函数xy sin 1=的定义域： 15.已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移2π，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数)(x f y =的解析式为_______________________________. 16给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位； ④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。
必修四经典练习---向量三角函数(难)
F ED CB A 1．a ，b 为非零向量，且|a + b |=| a |+| b |，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = bC ．a =－bD ．a 与b 方向相反 2．在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+u u u ru u u ru u u ru u u r，则必有 （ ） A ．ABCD 为菱形 B ．ABCD 为矩形 C ．ABCD 为正方形 D ．以上皆错3．已知正方形ABCD 边长为1，AB u u u r=a ，BC u u u r =b ，AC u u u r =c ，则|a+b+c |等于 （ ） A ．0 B ．3 C ．22 D ．2 4．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A .2B .3C .23D .32 5．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=r rD ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr6．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=u u u r u u u r u u u r__________。
7．如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：AB DC EF EF +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．8．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 上的中点， 求证：（1）AB BE AC CE +=+u u u r u u u r u u u r u u u r； （2）EA FB DC ++=u u u r u u u r u u u r0．9、如图.点M 是△ABC 的重心,则MA+MB －MC 为（ ） A ．0 B ．4C ．4D ．410．已知点M 是△ABC 的重心，则MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r= .11．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 12.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .C ABF E13、设平面内有四个向量y x b a ρρρρ、、、，满足y x b x y a ρρρρρρ-=-=2，，b a ρρ⊥，1==b a ρρ. （1） 用b a ρρ、表示y x ρρ、；（2）若y x ρρ与的夹角为θ，求θcos 的值.14、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点,且OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r,其中O为原点,求实数a 的值15、平面向量11),(2a b =-=r r，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试求函数关系式()k f t =。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255 B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭ C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 3．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭4．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ）A ．34B ．14C ．32D ．125．下列结论正确的是（ ）A ．sin1cos1<B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，将()y f x =的图象向右平移π6个单位长得到函数y g x 的图象，则()g x 的单调增区间为（ ）A ．()ππ2π,2π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π5π2π,2π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π； （2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数； （3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+． 同时满足上述性质的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．当5,2,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若αβ>，则以下不正确的是（ ） A ．sin sin tan tan αββα->-B ．cos tan cos tan αββα+<+C ．sin tan sin tan αββα> D ．tan sin tan sin αββα<9．有以下四种变换方式： ①向左平移12π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移6π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍； ③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位长度； ④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位长度； 其中能将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象变为函数sin y x =图象的是（ ） A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④11．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数)22()sin 23cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.14．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为_________.15．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 16．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______ 17．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； 18．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？19．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________.20．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．三、解答题21．如图，正方形ABCD 边长为5，其中AEF 是一个半径为4的扇形，在弧EF 上有一个动点Q ，过Q 作正方形边长BC ，CD 的垂线分别交BC ，CD 于G ，H ，设EAQ θ∠=，长方形QGCH 的面积为S .（1）求S 关于θ的函数解析式； （2）求S 的最大值. 22．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 23．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．24．已知函数()3sin 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 25．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ． 【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.2．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.3．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断；因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对.故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．4．C解析：C 【分析】 由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=.【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.5．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.6．C解析：C 【分析】根据()f x 的图象，可求出()f x 的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到()g x 的解析式，然后求出单调增区间即可. 【详解】由()f x 的图象，可得1A =，311ππ4126T =-，即πT =，则2ππT ω==，所以2ω=，由π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π6k ϕ=+()k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=，故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移π6个单位长得到函数πππsin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+()k ∈Z ，解得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ， 所以()g x 的单调增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质，考查三角函数图象的平移变换，考查三角函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项． 【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π， 故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足． 因为6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭， 对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ．因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数， 故4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数， 故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数， 故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ． 【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．8．D解析：D 【分析】对A ，由()sin tan f x x x =+在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对B ，由()cos tan f x x x =-在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断；对C ，由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对D ，由tan ()sin x f x x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增可判断.【详解】A ．设()sin tan f x x x =+，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>，所以sin tan sin tan ααββ+>+，所以sin sin tan tan αββα->-，所以A 对，不符合题意；B ．设()cos tan f x x x =-，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因为αβ>，所以()()f f αβ<，所以cos tan cos tan ααββ-<-，所以cos tan cos tan αββα+<+，所以B 对，不符合题意； C ．设()sin tan f x x x =，因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数，且都单调递增， 所以()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>， 所以sin tan sin tan ααββ>，所以sin tan sin tan αββα>，所以C 对，不符合题意； D ．设tan ()sin x f x x =，则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为αβ>，所以()()f αf β>，所以tan tan sin sin αβαβ>， 所以tan sin tan sin αββα>，所以D 错，符合题意． 故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小，解题的关键是恰当构造函数，判断函数的单调性，利用单调性判断大小.9．A解析：A 【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换求出结果. 【详解】对于①：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移12π个单位长度得到sin 2+=sin2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin y x =；故①正确；对于②：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到sin 2+=sin 2+666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；故②错误；对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位长度，得到sin sin 66y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；故③正确；对于③：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位长度，得到sin sin()663y x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭；故④错误； 故选：A 【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a .10．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．11．D解析：D 【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ， 故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解 【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误； 当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确； 将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.二、填空题13．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一） 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】1()sin cos cossin sin(1cos 332f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角， 则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．14．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+， 进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法， 即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤， 令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 15．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=， 所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.16．【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式最后由奇偶性可得的最小值【详解】将其图象向左平移个单位长度后得的图象由图象为偶函数图象可得所以令得故答案为：【点 解析：6π【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值. 【详解】1()sin 2sin 2sin 2sin 2232f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得()22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由图象为偶函数图象可得262k ππϕπ+=+()k Z ∈所以62k ϕππ=+ ()k Z ∈ 令0k =，得6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.17．①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式再分析函数的周期零点对称性单调性判断是否正确【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合的一个周期为故①正确；的对称轴满足：当时的图象关于对称解析：①②③ 【分析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确． 【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合，()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确；由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故④错误．故答案为：①②③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18．【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】 根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到124t k =+或128t k =+，得到答案. 【详解】设时间为t ，0t >，根据题意：40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+，故124t k =+或128t k =+，k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可． 【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=，∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩， 根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．20．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min2y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2Tπω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴==，max min202y y b +==， 从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z πϕπ=+∈，取34πϕ=， 所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；（2）5.【分析】（1）先根据题意计算AQ 在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算,HQ QG 的长度，计算长方形QGCH 的面积再化简即得结果；（2）先换元sin cos t θθ+=，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. 【详解】解：⑴EAQ θ∠=，则AQ 在竖直方向上的投影的长度为4cos θ，在水平方向上的投影长度为4sin θ，故54cos ,54sin HQ QG θθ=-=-，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(54cos )(54sin )S θθ=--，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，整理得：2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t θθ+=)4t πθ+=，平方可得22sin cos 1t θθ=-，当θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可求得t ⎡∈⎣. 222525208(1)820178492S t t t t t ⎛⎫∴=-+-=-+=-⎪⎭+ ⎝，t ⎡∈⎣， 根据二次函数对称性可知，当1t =时，max 820175S =-+=. 【点睛】 方法点睛：求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可. 22．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 23．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=，故()()cos(2)26f xg x m x x m π-=+-cos 2cossin 2sin2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.24．（1）最大值为1，最小值为12；（2）13,12⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据04x π≤≤，求得1sin 2123x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，进而取得函数的最值；（2）把不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，转化为不等式1()1m f x m -+<<+在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，根据42ππx ≤≤，求得31sin 232x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()322sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin 2cos cos 2sin sin 266x x x ππ⎫=+-⎪⎭13sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为04x π≤≤，所以52336x πππ≤+≤， 所以1sin 2123x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为1，最小值为12．（2）因为不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以不等式1()1m f x m -+<<+在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 又由42ππx ≤≤，所以542633x πππ≤+≤，所以1sin 2232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则1112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得112m -<<-，所以实数m的取值范围是1,12⎛- ⎝⎭． 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 25．（1）()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可； (3)先由()32fx ≥可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21232f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以22511sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。
(必考题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)3．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．454．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米5．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 6．已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，函数()2x f x =，则12log 23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1623-B ．2316-C ．1623D ．23167．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169B ．120169C ．119169D ．591698．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于09．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=- B ．()23f x x =-C ．()2ln =-f x xD ．()cos3=f x x x10．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④11．若函数()22()sin 23cos sin f x x x x =+-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2xy x+=-的最小正周期为π；②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；④若函数()2221sin 41x xy x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.14．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．15．sin 75=______．16．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .17．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________. 20．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题21．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；26x π+6π 136πxπ ()f x（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上所有点向右平移4π个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 22．现给出以下三个条件：①()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π；②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③()01f =.请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题. 已知函数()()2sin 05,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，满足________，________. （1）根据你所选的条件，求()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到()g x 的图象求函数()()1y f x g x =-的单调递增区间.23．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．24．已知函数π()3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）用“五点法”画出函数()y f x =在一个周期内的简图；（2）说明函数()y f x =的图像可以通过sin y x =的图像经过怎样的变换得到？（3）若003()[2π3π]2f x x =∈，，，写出0x 的值. 25．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，,28M π⎛⎫⎪⎝⎭､5,28N π⎛⎫- ⎪⎝⎭分别为其图象上相邻的最高点､最低点. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间和值域. 26．已知函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>.（1）若点5(,0)8π是函数()f x 图像的一个对称中心，且(0,1)ω∈，求函数()f x 在3[0,]4π上的值域； （2）若函数()f x 在(,)33π2π上单调递增，求实数ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值， 所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.2．D解析：D 【分析】令2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.【详解】当(2,2)x ππ∈-，2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，函数()f x 是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，设sin t x =，则2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为10t a=<的二次函数，(0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为10t a=>的二次函数， 因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ， 则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <， 所以04a <<．综上，非零实数a 的取值范围为04a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．B解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 4．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=， 由3sin4233AD AO π==⨯=， 可得：弦243AD ==， 所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)(4322)43292=⨯+=+≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.5．C解析：C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 6．B解析：B【分析】由已知得到(2)()f x f x +=，即得函数的周期是2，把12(log 23)f 进行变形得到223()16f log -， 由223(0,1)16log ∈满足()2x f x =，求出即可． 【详解】(2)()f x f x +=，所以函数的周期是2.根据对数函数的图象可知12log 230<，且122log 23log 23=-；奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=和()()f x f x -=-则2312222223(log 23)(log )(log 23)(log 234)()16f f f f f log =-=-=--=-， 因为223(0,1)16log ∈ 2231622323()21616log f log ∴-=-=-，故选：B ． 【点睛】考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．7．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解． 【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =， 设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．8．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。
必修四三角函数复习题
成都七中期末练习题（8）1. 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( )A ．M ＝PB ．M ⊆PC ．M ⊇PD ．M ∩P ＝φ 答案:B2. 已知α为第一象限的角，则2α所在的象限是( ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 答案：C3.若角α与β的终边垂直，则α与β的关系是（ ） A.90βα=+︒ B. 90βα=±︒C ．36090,k k Z βα=⋅︒++︒∈D ．36090,k k Z βα=⋅︒+±︒∈ 答案:D.4.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是 ( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α答案：.A5.在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案：B6．设θ是第二象限角，且sin θ2+cos θ2 <0，则sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小关系是（ ）A.sin θ2<cos θ2<tan θ2B.cos θ2<sin θ2<tan θ2C.sin θ2<tan θ2<cos θ2D.tan θ2<sin θ2<cos θ2答案：B7.sin840︒等于（ ） A.12-B. 23C. 23-D. 21答案：B8．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin ,cos )33ππ，则角α的最小正角是（ ） A 、56π B 、23π C 、53π D 、116π答案．D. 9.若1tan 2α=-，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是（ ）A ．13 B ．3 C ．13- D ．-3 答案：B10.若θ为二象限角，且2cos2sin212sin2cosθθθθ-=-，那么2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角答案 ：C11.函数()()lg 2cos 1f x x =+-的定义域是________________.解：22,63k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭12.已知α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是______________.答案：（－1，)2313.已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，则cos α的值为________. 答案：－3414.=________.答案：115.用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.16.化简：1－(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )sin 2x ＋3sin 2x . 解：原式＝1－[(sin 2x ＋cos 2x )2－3sin 2x cos 2x ]sin 2x ＋3sin 2x ＝3sin 2x cos 2x sin 2x ＋3sin 2x＝3cos 2x ＋3sin 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )＝3.17.已知sin αcos α＝18，且α是第三象限角，求1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1的值．解： 原式＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos αcos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α ＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α. ∵sin αcos α＝18，且α是第三象限角，∴sin α＋cos α＝－(sin α＋cos α)2＝－1＋2sin αcos α＝－1＋2×18＝－52.18.设sin θ和cos θ是方程284210x kx k ++-=的两个根，其中42ππθ<<,（1）求k 值； （2）求tan θ的值.即2230k k --=，解得3k =或1k =-， 当3k =时，不满足①式，1k ∴=- （2）把1k =-代入②③，得，42ππθ<<成都七中期末数学练习（9）1.函数f(x)＝sin )223(x -π，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解：选B2.如果函数ϕy =3cos(2x +)的图像关于点)0,3(π中心对称，那么ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π3 C ．32π D ．65π解:选D3.f(x)＝cos )23(x -πcos(π＋x)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解：选A4.已知sin )67(απ-＝13，则cos )3(απ+的值为( )A ．－322 B ．322 C ．13 D ．－13解：选Ｄ5.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x ∈)0,2[π-时，f(x)＝sin x ，则f )32(π-的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．32解: 选C ．6.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R （其中ω＞0，－π＜ϕ≤π）的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f(x)取得最大值，则( )A ．f(x)=2sin )33(π-xB ．f(x)=2sin )33(π+x C ．f(x)=2sin )63(π-x D ．f(x)=2sin )63(π+x解：选A ．7.已知ω>0，函数πf(x)=sin(ωx +)4在]6,4[ππ-上单调递增．则ω的取值范围是( )A ．]3,0(B ．]23,0(C ．]1,0(D ．]3,23[- 解：选A ．8.关于函数f(x)＝4sin )32(π-x (x ∈R)，下列命题正确的是( )A ．由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；B ．y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos )62(π+x ；C ．y ＝f(x)的图象关于点)0,6(π对称；D ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝6π-对称． 解：选C ．9.tan4,tan5,tan6的大小关系是( )A.tan6>tan5>tan4B.tan4>tan5>tan6C.tan4>tan6>tan5D.tan6>tan4>tan5 解：选C ．10.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间)23,2(ππ内的图象是( )解：选D ．11.设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f(2013)＝1，则f(2014)＝________． 答案：312.若f(cos x)＝cos2x ，则f(sin 15°)的值为________．答案：－32．13.若关于x 的方程sin x ＋2|sin x|＝k 在x ∈[0,2π]内有且仅有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是________. 答案：(1,3)14.已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋ϕ)(2,0πϕω<>)的部分图象如图，则)245(πf ＝________． 解：∴f(x)＝tan )42(π+x ，答案是：-3．15.函数)32tan()(π-=x x f 的图象的对称轴方程是________．解：Z k k x ∈+=,62ππ. 16.已知f(α)＝sin(α－3π)cos(2π－α)·sin(－α＋32π)cos(－π－α)sin(－π－α)．（１）化简f(α)；（２）若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f(α)的值．（３）若α＝－ 31π3，求f(α)的值．解：（１）－cos α．（２）265．（３）－12．17.是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间]3,2[ππ-上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．解：由已知得y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1． 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时．y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)． 当a 2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)． 当a 2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)． 综上知，存在a ＝32符合题意．18.已知a ＞0，函数f(x)＝asin )62(π+x +b ，当x ∈]2,0[π时的值域为[0,3]．（１）求常数a ，b 的值； （２）求g(x)＝lgf )2(π+x 的单调递增区间．解：(1)a ＝2，b ＝1． （２）)32,3(ππππ++k k ，k ∈Z ． 19.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f(x)＝sin x-cosx.(1)求当x ∈[52π，3π]时f(x)的解析式．(2)求不等式f(x)<0的解集．解：(1)x ∈[52π，3π]时，3π－x ∈[0，π2]，∵x ∈[0，π2]时，f(x)＝sin x-cosx ，∴f(3π－x)＝sin x+cosx ．又∵f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝sin x+cosx ，x ∈[52π，3π]．(2))2,2(ππππ+-k k . 20.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)，x ∈R(其中A>0，ω>0，0<ϕ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M )2,3(--π．（１）求f(x)的解析式；（２）当x ∈)20(π，时，求f(x)的值域．解：（１）f(x)=2sin )62(π+x ．(2)(-1,2]．成都七中期末练习（10）1.下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x yD ．)64tan(π+=x y【解析】选B2.能将函数y=cosx 的图象变成换成函数y=sin 2x+4π⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的是（ ）A.向左平移4π个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12； B.向右平移8π个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12； C.每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移8π个单位长度；D.每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移8π个单位长度.解析：C3.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则（ ）A ．f （x ）=sin （2x-6π）B ．f （x ）=sin （2x+6π） C ．f （x ）=sin （2x-3π） D ．f （x ）=sin （2x+3π）解析：A4.把函数4y=cos x+3π⎛⎫⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π解析：C5.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．16B.14C.13D.12【解析】D6.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）300-3001180-1900oIt【解析】D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．2,1,2T a T aππ=>∴<7.将函数f(x)=sin x ω（其中ω＞0）的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则ω的最小值是____________ 解析：2.8.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为_____________. 解析：713[,)1212ππ. 9.已知半径为4m 的水车上点A 均匀地绕圆心O 旋转，每分钟转4圈，圆心O 在水面上方2m 处．当时间t ＝0时，点A 与刚浮出水面，则20s 后点A 距离水面的高度为________m ． 解析:6m ．14.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析：62. 10.右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是________． 【解析】由图可知 A ＝300．设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175．∴ ω＝2T π＝150π． 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π．故解析式为300sin(150)6I t ππ=+． 依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0）∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943． 11.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ))02,0(<<->ϕπω的最小正周期为π，且)4(πf ＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)列表如下，图象如图：12.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )53(，π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间． 解 (1)y ＝5sin )62(π-x .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．13.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)写出f (x )的对称轴方程．2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112解 (1)∴f (x )＝2sin )62(π+x .(2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 14.已知某海港的海水深度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时刻记录的水深数据：（Ⅰ）根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当水深高于1米时船只才能出入港，请依据（1）的结论，判断白天（上午8∶00至晚上20∶00之间）内哪段时间船只才能出入港？ 答案：（Ⅰ）周期12T =，振幅为12，1cos 126y t π∴=+（Ⅱ）上午9∶00至下午3∶00．15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2A πωϕ>><）的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时取得最大值2.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值； （3）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题意知，振幅A=2，周期T=222ππω=⨯，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+.将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ<，故6πϕ=.∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)当0≤x ≤2π时，6π≤2x+6π≤76π，故-12≤sin(2x+6π)≤1,∴函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，此时，x=6π；最小值为-12，此时x=2π. (3)由函数6()()5g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5f x =的根，故06()5f x =，得sin(2x 0+6π)=35,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π， ∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.。
(易错题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （512AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④3．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=--D ．()sin(2)13g x x π=-+4．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭ C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 5．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 6．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ） A ．34B ．14C ．32D ．127．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ 8．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 9．设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，且1108f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，则（ ） A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，1112πϕ=- C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ= 10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度 12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．当ϕ=___________时，函数()()sin f x x ϕ=+在区间4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调(写出一个值即可).14．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.15．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．16．sin 75=______．17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________. 19．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.20．已知函数()3)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.三、解答题21．已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭（a 为常数）． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值． 22．如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处.（1）已知在(min)t 时点P 距离地面的高度为()sin()0,0,||2f t A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>>≤ ⎪⎝⎭，求2020t =时，点P 距离地面的高度；（2）当离地面(50203)m +以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌.23．把()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得()g x 的图象，已知()g x 图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()()2()6h x f x g x π=-+，求()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 24．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米7.05.03.05.07.05.03.05.0()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？25．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．26．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值； （2）写出()0f x >的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．A解析：A 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以)12l BE π==⨯，)213ED =-=所以(32m EG π==⨯，(134CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(222234m π⨯==，))2122l n ππ⨯⨯=⋅=， 所以2m l n =⋅，故②正确；))122l n ππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-， 所以2m l n ≠+，故③不正确；11l nl n l n++===⋅(1132mπ==⨯，所以211m l n≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n的值.3．D解析：D【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x的解析式，再根据函数sin()y A xωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x xωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=．再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x xπ=+．将函数()f x的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y xπ=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x的解析式为()sin(2)13g x xπ=-+，故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A xωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A的值，根据最值点求出ϕ的值. 4．B解析：B【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B的纵坐标减2.【详解】如图所示，以点M为坐标原点，以水平方向为x轴，以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ． 【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.5．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误； 对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.7．A解析：A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+ 将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=， 可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤， 故选：A.【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.8．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得 58x π=时函数取得最大值，则函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，再利用排除法可得答案. 【详解】 因为5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则58x π=时函数取得最大值， 所以函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调， 对于A ，若23ω=，12πϕ=，可得2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin 182f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11sin 08f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3254412,,4,31222x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⊆- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故A 符合题意； 对于B ，若23ω=，1112πϕ=-，可得211()sin 312f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5sin 1182f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不符合题意； 对于C ，若13ω=，1124πϕ=-，可得111()sin 324f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1842f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不符合题意； 对于D ，若13ω=，724πϕ=，可得17()sin 324f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，113sin 0842f ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，故D 不符合题意； 故选：A. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.10．D解析：D 【分析】结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =，2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，依题意0ϕπ≤≤，则2333πππϕ-≤-≤， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.11．B解析：B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭， 即22ππωω=⇒=，当6x π=-时，22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 解得：2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3πϕ∴=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.12．D解析：D 【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．（集合或中的任何一个值都行）【分析】由函数的周期和区间长度可以确定和是单调区间的端点值由此列式求值【详解】的周期是而区间的长度是个单位长度则一个周期内完整的一个单调增区间或减区间当时所以解得：或解得解析：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【分析】由函数的周期，和区间长度可以确定3π和43π是单调区间的端点值，由此列式，求ϕ值. 【详解】()f x 的周期是2π，而区间4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的长度是π个单位长度，则4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭一个周期内完整的一个单调增区间或减区间， 当433x ππ<<时，433x ππϕϕϕ+<+<+， 所以2324232k k ππϕπππϕπ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ，解得：52,6k k Z πϕπ=-+∈， 或23243232k k ππϕπππϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：26k πϕπ=+，k Z ∈，所以其中一个6π=ϕ， 故答案为：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定3π和43π是单调区间的端点值，列式后就比较容易求解.14．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的 解析：(40303)π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解. 【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.15．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间解析：37[2,2],44k k k Z ++∈【分析】由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及15()()044f f ==，写出单调递增区间.【详解】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈， 故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈ 【点睛】 思路点睛：1、看图定周期、特殊函数值：2T =，15()()044f f ==.2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间. 16．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦 解析：【解析】 试题分析：232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 3022224︒︒︒︒︒︒︒=+=+=⨯+=将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法. 考点：两角和的正弦17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重 解析：120(31)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案． 【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan156023120603DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60603DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可． 【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩， 根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．19．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平解析：34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对 称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π- 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．【分析】利用辅助角公式化简根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得进而得到解析式代入即可求得结果【详解】为上的奇函数解得：又故答案为：【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值已知解析式求解三角函解析：【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.三、解答题21．（1）π，5,,36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）2a =． 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性求解． （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后利用正弦函数的性质求解. 【详解】 （1）()2sin 212sin 2166f x x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=-++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的最小正周期为22ππ=． 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以函数的单调递增区间为5,,36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为42sin 16a π⎡⎤⎛⎫=-⨯-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 解得2a =． 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式； 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω；3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 22．（1）70m ；（2）0.5min . 【分析】（1）根据题意，确定()sin()f t A t h ωϕ=++的表达式，代入2020t =运算即可；（2）要求()50f t >+2cos 3t π<，解不等式即可. 【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =， 由23πω=得23πω=，所以2()40sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 因为(0)10f =，所以sin 1ϕ=-，又||2πϕ≤，所以2πϕ=-.所以2()40sin 50(0)32f t t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，所以2(2020)40sin 2020507032f ππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭.即2020t =时点P 距离地面的高度为70m .（2）由（1）知22()40sin 505040cos (0)323f t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭.令()50f t >+2cos 32t π<-， 从而()*52722N 636k t k k πππππ+<<+∈， ∴()*5733N 44k t k k +<<+∈. ∵()*751330.5N 442k k k ⎛⎫+-+==∈ ⎪⎝⎭， ∴转一圈中在点P 处有0.5min 的时间可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题． 23．（1）1()cos(2)3f x x π=-；（2）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由伸缩变换得1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，由()g x 图像过点(,1)3π，求得ϕ，进而得到()g x ，()f x 的解析式.（2）易得()22cos ()2cos()166h x x x ππ=----，令cos()6t x π=-，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意1()cos()2g x x ωϕ=+， 由()g x 的图像可得：函数()g x 的周期为54()263T πππ=-=， 解得2ω=， ∴()cos )(g x x ϕ=+， 由图知()g x 图像过点(,1)3π，所以cos()13πϕ+=，则23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，取0k =得3πϕ=-，所以()cos()3g x x π=-，从而函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-．（2）()()2()cos(2)2cos()636h x f x g x x x πππ=-+=---， 22cos ()2cos()166x x ππ=----，令cos()6t x π=-，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22132212()22y t t t =--=--，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当12t =时，y 有最小值32-，此时，1cos()62x π-=，63x ππ-=，即2x π=，当1t =时有最大值1-，此时cos()16x π-=，06x π-=，即6x π=．所以函数()h x 的值域为3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 24．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解. 【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,， 则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===， 当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭， 即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+， 即12412k t k ≤≤+， 又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．25．（1）()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232fx x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】 方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解. 26．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解； （2）根据三角函数的图象解不等式得解集. 【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.。
必修4第一章三角函数同步练习及答案
第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第 象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ． 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ． 【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ． 二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值； （2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)【学问梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应留意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有变更，但肯定要留意函数的符号有没有变更；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采纳切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1C.13 D ．－13 (2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要细致视察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或其次象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 当α是其次象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223. 【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35B.35 C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35. 3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________. 解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
高一数学必修四三角函数与三角恒等变换期末练习
高一数学必修四三角函数与三角恒等变换期末练习一、选择题（每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 仅有一个选项是正确的）1．角α的终边上有一点P （a, a ）, a ∈R 且a ≠0, 则sin α值为 （ ）A. B. C. 1 D. 或2. 函数 是（ ）A. 最小正周期为2π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数3. 的值为（ ）（A ）426+ （B ）462- （C ）426+- （D ）426- 4. 可化为（ ）（A ）)6cos(απ+ （B ）)3cos(απ+ （C ）)3sin(απ- （D ）)3sin(απ+5. =（ ） A. B. C. 1 D. 6．sin αcos α＝ , 且 ＜α＜ , 则cos α－sin α的值为 （ ）A. B. C. D.7．函数 的部分图象如图所示, 则函数表达式为（ ）A.B ．)48sin(4π-π=x yC. D ．)48sin(4π+π=x y 8. 若 , 则 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）21 （D ）21-9. 已知 , 则 等于（ ）（A ）m 2- （B ）m 2 （C ）m - （D ）m10. 如果 则（ ）（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a b c >> （D ）a c b >>二、填空题（每小题4分, 共28分。
把正确答案填写在题中的横线上, 或按题目要求作答。
）11.︒︒-︒︒14cos 74sin 14sin 74cos =__________12. 的单调递增区间是_____________.13. = .14. 函数 的最大值是 .15．若sin( －2x)＝ , 则tan2x ＝________.[][]1212116/sin ,0,2,/cos 0,2,22171)02()4cos(2);6(3)()06N f x y f x y x y f x θθθπθθθπππππ⎧⎫⎪⎪⎧⎫≥∈=≤-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭⋂∈=-==-=-、设Ｍ＝则ＭＮ＝__________。
高中数学数学必修四第一章三角函数单元测试题--经典
中学数学必修四第一章三角函数一、选择题（60分）1.将－300o 化为弧度为（ ） A ．－43π；B ．－53π；C ．－76π；D ．－74π； 2.假如点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3．下列选项中叙述正确的是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或其次象限角B ．锐角是第一象限的角C ．其次象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．sin ||y x =B ．2sin y x =C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+ 5已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，假如0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）C.6πϕ=A.4=AB.1ω=6．函数3sin(2)6y x π=+的单调递减区间（ ）A5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈7．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形8．)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos29．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ） A. 15± B. 55±C. 255±D. 12± 10．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是 （） A ．2B ．0C ．41D ．611．假如α在第三象限，则2α必定在（）A ．第一或其次象限B ．第一或第三象限C ．第三或第四象限D ．其次或第四象 12．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（ ）A ．x y 23sin 2=B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=二．填空题（20分）14、已知角α的终边经过点P(3，3)，则与α终边相同的角的集合是______ 13．1tan 、2tan 、3tan 的大小依次是 14．函数()lg 1tan y x =-的定义域是 ．16．函数sin(2)6y x π=-+的单调递减区间是 。
北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库
北师⼤版⾼中数学必修4-第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式⼀、选择题(共26⼩题,每⼩题5.0分,共130分)1.已知sin＝，则sin的值为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】∵sin＝，∴sin）＝sin＝sin＝.2.使函数y＝sin x递减且函数y＝cos x递增的区间是()A．B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】y＝sin x的单调递减区间是[＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，y＝cos x的递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，在区间(k∈Z)上y＝sin x递减，y＝cos x为递增函数，故D符合要求.3.函数f(x)＝|sin x－cos x|＋(sin x＋cos x)的值域为()A． [－，]B． [－，2]C． [－2，]D． [－2,2]【答案】B【解析】由题意得f(x)＝＝当x∈[2kπ＋，2kπ＋]时，f(x)∈[－，2]；当x∈(2kπ－，2kπ＋)时，f(x)∈(－，2).故可求得其值域为[－，2].4.函数f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a(a∈[1,2]，θ∈[，])的最⼩值是() A．C． 3＋(－1)aD． cos2θ＋2cosθ－2【答案】D【解析】∵θ∈[，]，∴cosθ－1＜0，∴f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a＝(cosθ－1)a＋cos2θ在[1,2]上是减少的，∴f(a)的最⼩值为f(2)＝cos2θ＋2cosθ－2.5.函数y＝sin2x－sin x＋1(x∈R)的值域是()A． [，3]B． [1,2]C． [1,3]D． [，3]【答案】A【解析】令sin x＝t，则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋，t∈[－1,1]，由⼆次函数性质，得当t＝时，y取得最⼩值.当t＝－1时，y取得最⼤值3，∴y∈[，3].6.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为()A． [－1,1]B．C．D．【答案】C【解析】y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－，当sin x＝－时，y min＝－；当sin x＝1时，y max＝1.7.若f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，则的值为()A．－4B． 4C． ±4D． 2【答案】C【解析】∵f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，∴b＋|a|＝3，且b－|a|＝－5，解得b＝－1，|a|＝4，即b＝－1，a＝±4，∴＝±4.8.已知函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－的值不可能是()B．C．D．【答案】D【解析】∵y＝sin x的定义域为，值域为，⽽sin＝sin＝，sin＝－1，∴≤b≤，∴≤b－≤，∴b－∈[，].∵，，均在区间[，]内，⽽?[，].9.如果≥，那么sin x的取值范围为() A． [－，)B． (，1]C． [－，)∪(，1]D． [－，)【答案】C【解析】若≥，则0＜≤，解得－≤x≤，且x≠，则－≤sin x≤1，且sin x≠，故sin x的取值范围为[－，)∪(，1].10.函数f(x)＝，x∈(0,2π)的定义域是() A． [，]B． [，]C． [，]D． [，]【答案】B【解析】由题意得sin x≥，⼜x∈(0，2π)∴x∈. 11.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】∵2sin x－1≥0，∴sin x≥，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z). 12.下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为() A．y＝B．y＝C．y＝x e xD．y＝【解析】∵函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z)，故A不满⾜；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满⾜；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满⾜；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满⾜.13.函数y＝lg(sin x)的定义域为()A．(k∈Z)B． (2kπ，2kπ＋π) (k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】由题意得sin x＞0，函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.14.函数f(x)的定义域为，则f(sin x)的定义域为()A．B．C．(k∈Z)D．∪(k∈Z)【答案】D【解析】∵函数f(x)的定义域为，∴－≤sin x≤，解得2kπ－≤x≤2kπ＋或2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴所求函数的定义域是∪(k∈Z).15.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】由题意得cos x≥－，所以函数的定义域为(k∈Z).16.若⾓α∈(，π)，则点P(sinα，cosα)位于()A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵⾓α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.∴点P(sinα，cosα)位于第四象限.17.当α为第⼆象限⾓时，－的值是()A． 1B． 0C． 2D．－2【答案】C【解析】∵α为第⼆象限⾓，∴sinα>0，cosα＜0.∴－18.若三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，则此三⾓形的形状为()A．锐⾓三⾓形B．钝⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．不能确定【答案】B【解析】因为三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，⼜sinα＞0，所以cosβ＜0，所以90°＜β＜180°，故β为钝⾓.19.已知sinθcosθ＜0，那么⾓θ是()A．第⼀或第⼆象限⾓B．第⼆或第三象限⾓C．第⼆或第四象限⾓D．第⼀或第四象限⾓【答案】C【解析】由题意知，sinθcosθ＜0，则或，所以⾓θ在第⼆或第四象限.20.函数y＝＋的值域是()A． {2}B． {2，－2}C． {2,0，－2}D． {2,0}【答案】C【解析】当x是第⼀象限⾓时，sin x＞0，cos x＞0，则y＝＋＝1＋1＝2；当x是第⼆象限⾓时，sin x＞0，cos x＜0，当x是第三象限⾓时，sin x＜0，cos x＜0，则y＝＋＝－1－1＝－2；当x是第四象限⾓时，sin x＜0，cos x＞0，则y＝＋＝－1＋1＝0.综上可得函数y＝＋的值域是{2，－2, 0}．21.已知α是第⼆象限⾓，P(x，)为其终边上⼀点，且cosα＝x，则x等于()A．B． ±C．－D．－【答案】D【解析】∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第⼆象限⾓，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.22.已知⾓α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为()A． ±B． ±C．－D．【答案】C【解析】由题意可得x＝3，y＝－4，r＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴sinα＋cosα＝－.23.已知⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值等于()A． 3B．－3C． ±3D． 5【答案】A【解析】∵⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，∴cosα＝＝－，则b＞0，平⽅得＝，即b2＝9，解得b＝3或b＝－3(舍).24.已知⾓α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cosα＝－，则m的值为() A．－B．C．－D．【答案】B＝－，解得m＝.25.已知⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，则2sinα＋cosα的值是() A． 1B．C．－D．－1【答案】C【解析】∵⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，∴r＝|OP|＝＝＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－＋＝－.26.已知⾓α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcosα等于()A．－B．C．D．－【答案】A【解析】∵在⾓α的终边所在的射线y＝－3x(x≥0)上任意取⼀点M(1，－3)，则x＝1，y＝－3，r＝|OM|＝，cosα＝＝，sinα＝＝，则sinαcosα＝·＝.⼆、填空题(共40⼩题,每⼩题5.0分,共200分)27.若函数f(x)满⾜f(＋x)＝sin x(x∈R)，则f(x)等于_____.【答案】－cos x【解析】令＋x＝t，，则x＝t－，∴f(＋x)＝f(t)＝sin x＝sin(t－)，即f(t)＝sin(t－)＝－cos t，∴f(x)＝－cos x.28.已知＝，则cos(3π－θ)＝____.【答案】【解析】由已知得：＝?cosθ＝－，所以cos(3π－θ)＝－cosθ＝.【答案】－【解析】cos(α＋)＝sin(－α－)＝－sin(α＋)＝－.30.已知cos(α＋)＝－，则sin(α－)＝____.【答案】【解析】∵cos(α＋)＝－，∴sin＝sin[(α＋)－]＝－sin[－(α＋)]＝－cos(α＋)＝.31.已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.。
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必修四三角函数复习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年05月09日三角函数复习题一．解答题（共16小题）1．已知点P（3m，﹣2m）（m＜0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．2．已知α为三角形一内角，且sinα+cosα=．（1）求tana的值；（2）求．3．已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求：（1）+的值；（2）m的值．4．已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．5．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．6．已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．7．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．8．已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．9．设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．10．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+（Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值．11．（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．13．已知函数f（x）=si n2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）．（I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域．14．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．16．已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．2017年05月09日三角函数复习题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2017春•天桥区校级月考）已知点P（3m，﹣2m）（m＜0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（﹣3，4），所以x=3m，y=﹣2m，r=﹣，sinα==．cosα==，tanα=．2．（2017春•金水区校级月考）已知α为三角形一内角，且sinα+cosα=．（1）求tana的值；（2）求．【分析】（1）已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出2sinαcosα=﹣，确定出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式列出关系式，求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值；（2）将sinα与cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）已知等式sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∵sinα＞0，cosα＜0，即α为钝角，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tana=﹣；（2）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式==．3．（2017春•万柏林区校级月考）已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求：（1）+的值；（2）m的值．【分析】（1）利用韦达定理求得sin θ+cos θ和sin θcos θ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（2）把sin θ+cos θ=，两边平方，可求得m的值．【解答】解：（1）由根与系数的关系可知sin θ+cos θ=①，sin θcos θ=②，则+==sin θ+cos θ=．（2）由①式平方得1+2sin θcos θ=，∴1+m=，∴m=．4．（2017•天津）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：函数f（x）=2+a．可得f（x）的最小正周期T．（II）由x∈[﹣，]，可得≤2x+≤，可得∈．进而得出答案．【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1=sin2x+cos2x+a =2+a．∴f（x）的最小正周期T==π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2=2，解得a=．5．（2017•河东区二模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．【分析】（Ⅰ）化简函数，再求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）利用正弦函数的性质，讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．【解答】解：（Ⅰ）=（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===．∴周期．由，得．∴函数图象的对称轴方程为．（Ⅱ）∵，∴．在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，f（x）取最大值1．∵．∴，．所以值域为．6．（2017•浙江模拟）已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅲ）化简g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x，∴f（）=cos=．（Ⅱ）函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x 的最小正周期为=π．（Ⅲ）∵g（x）=f（﹣x）+cos2x=cos2（﹣x）+cos2x=sin2x+cos2x=2sin （2x+），故g（x）的值域为[﹣2，2]．7．（2017•海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用函数的零点的定义，求得实数a的值．（Ⅱ）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，k∈Z．由，k∈Z，得，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，k∈Z．8．（2017•河东区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x∈[，π]时sinx的值求出f（x）的值；（2）根据f（x）的解析式求出x∈[，π]时的值域，求出f（x）在x∈[，π]内对称轴是x=．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx=2sinxcos+2cosxsin﹣2cosx=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），由x∈[，π]，且sinx=，∴cosx=﹣=﹣；∴函数f（x）=sinx﹣cosx=×﹣（﹣）=；（2）由函数f（x）=2sin（x﹣），x∈[，π]，∴x﹣∈[，]，∴sin（x﹣）∈[，1]，∴f（x）在x∈[，π]的值域是[1，2]；且f（x）=2sin（x﹣）对称轴是x=kπ+，k∈Z，x∈[，π]，∴对称轴是x=．9．（2017•天津一模）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【分析】（1）先将函数化简，再求f（x）的定义域及最小正周期；（2）f（x）在区间[﹣π，0]的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值【解答】解：（Ⅰ）=，由得f（x）的定义域为{x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}故f（x）的最小正周期为，（Ⅱ）∵﹣π≤x≤0，∴，∴，∴，∴，∴，∴10．（2017•平谷区模拟）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+（Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（x）=0时x的取值集合即可；（Ⅱ）方法一：求出x∈[0，]时f（x）的取值范围，即可得出最小值．方法二：根据正弦函数的单调性，求出x∈[0，]时f（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；…（5分）因为：f（x）=0时，，所以：2x﹣=kπ（k∈Z），解得x=+，k∈Z；所以函数f（x）=0时x的集合为；…（8分）（Ⅱ）因为x∈[0，]，所以，方法一：，所以；故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．…..（13分）方法二：∴当时2x﹣=﹣，即x=0时，f（x）取得最小值﹣，故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．（13分）11．（2017春•成都期中）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos（α+β）的值，结合α+β的范围，可得α+β的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．12．（2017春•新化县校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用三角函数的最值求出A，B，利用函数的周期求出ω，利用图象经过的点求出φ，得到函数的解析式．（2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可．【解答】（12分）解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值为2，最小值为﹣，∴A=，B=．又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期为π，∴T==π，即ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ）+．又∵函数f（x）过（0，﹣），∴﹣=sin φ+，即sin φ=﹣．又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x）+．…8’（2）令t=2x﹣，则y=sin t+，其增区间为：[2k，2k]，k ∈Z．即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z．解得kπ﹣≤x≤kπ+．所以f（x）的单调递增区间为[，k]，k∈Z．…12’13．（2017•江西模拟）已知函数f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）．（I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域．【分析】（I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可求函数ω和φ的值；（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x∈[0，]求出函数y=f（2x）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域．【解答】解：f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），⇔f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ﹣sinφ⇔f（x）=sin2ωxcosφ+sinφ（cos2ωx﹣）⇔f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ⇔f（x）=sin（2ωx+φ），（I）∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴T=2π，又∵T=，∴ω=，图象过点（），∴=sin（±1×+φ），解得：，∴f（x）=sin（x+）或f（x）=sin（﹣x+）；（Ⅱ）∵y=f（2x），∴y=f（2x）=sin（2x+），【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】又∵x∈[0，]，∴2x+∈[]，结合正弦函数的图象和性质：当时，y取得最大值，即，当时，y取得最小值，即，所以函数y=f（2x），x∈[0，]的值域为．14．（2017•红桥区一模）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．15．（2017•海淀区校级模拟）已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）当时，≤2x﹣≤，，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．只需满足：mt2+mt+3≥f（x）max成立即可．即mt2+mt+1≥0即可．①当m=0时，恒成立②当m≠0时，只需满足解得：0＜m≤4综合所得：0≤m≤4．16．（2017•安徽二模）已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．【分析】（Ⅰ）根据f（x）=2，利用向量数量积的运算法则求解f（x）并化简，即可求得f（x）的最小正周期和最大值（Ⅱ），利用“5点画法”画出函数y=g（x）的图象．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=∴f（x）的最小正周期T=π；函数f（x）的最大值为：；（Ⅱ），利用“5点画法”，函数y=g（x）在区间上列表为x﹣π00﹣1012112描点作图那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数，即为函数y=g（x）与直线y=m的交点个数，由图可知，当时，无零点；当时，有1个零点；当或时，有2个零点；当m=2时，有3个零点．。