江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学(一)

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i为虚数单位，复数

1

1

z

i

=

+，则｜z｜=

2.已知集合A={x｜0≤x≤1}，B={x｜a-1≤x≤3}，若A⋂B中有且只有一个元素，则实数a的值为

3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是

4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

22

2

1(0)

4

x y

a

a

-=>

的一条渐近线

方程为

2

3

y x

=

，则a=

5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1

2，乙获胜的概率是

1

3，则乙不输的概率是

6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为

7.“直线l1:ax+y+1=0与直线l2:4x+ay+3=0平行”是“a=2”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）

8.已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，a1=9，

95

95

S S

-

＝－4，则a n=

9.已知点M是曲线y=2ln x+x2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为

10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=

11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为

12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1

14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点

O ，若OB ，则∆ABC 面积的最大值为

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）

在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且满足b cos A sin B =0

（1）求A ；

（2）已知a =，B =3π

，求∆ABC 的面积.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥BC，∆PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.

（1）证明：AP∥平面EBD；

（2）证明：BE⊥PC.

17.（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且

交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）.

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

的离心率为

1

2，

且经过点（1，3

2），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，

E两点（其中D在x轴上方）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若∆AEF与∆BDF的面积比为1:7，求直线l的方程.

19.（本小题满分16分）

已知函数f(x)=2

3x3-mx2+m2x（m∈R）的导函数'()

f x

（1）若函数g(x)=f(x)-

'()

f x存在极值，求m的取值范围；

（2）设函数h(x)=

'()'(ln)

x

f e f x

+f'(ln x)（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若

关于x的不等式h(x)≥m2+k2在（0，＋∞）上恒成立，求正整数k的取值集合.

20.（本小题满分16分）

已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足

（1）若a n=n，b n=2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；

（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1>c n恒成立.

①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；

②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由.

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）

A.选修4-2；矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

B.选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原

点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。

C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且

22

2

49

x y

z

++

的最小值为

8

7，求实数t的值。