数列求和高考专题

数列求和高考专题

1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328

433

n n n T +-=⨯+. 【解析】

（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，

由262n a n =-， 12124n n b --=⨯，有()221314n

n n a b n -=-⨯，

故()23

245484314n n T n =⨯+⨯+⨯+

+-⨯，

()()23414245484344314n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+

+-⨯+-⨯，

上述两式相减，得()2

3

1324343434314n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+

+⨯--⨯

(

)()()1

112144314

14

3248.n

n n n n ++⨯-=

---⨯-=--⨯-

得1328

433

n n n T +-=

⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为

1328

433

n n +-⨯+. 2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++

++

2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;

（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，①

当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③

2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④

将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥， 所以345,,,

a a a 是等差数列，设其公差为'd .

在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23'a a d =-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122'a a d =-， 所以数列{}n a 是等差数列.

3.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .

【答案】(I)1

2.n n x -=（II ）(21)21

.2

n n n T -⨯+=

（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1

2(1)2(21)22

n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以

123n T b b b =+++……+n b

=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32

(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①

又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+2

1(21)2

(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②

①-②得

121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯

=1132(12)

(21)2.212n n n ---+

-+⨯- 所以(21)21

.2

n n n T -⨯+=

4.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.

(Ⅰ)设2

2

*

1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；

(Ⅱ)设

()

22

*

11

,1,n

n

n n k a d T b n N ===

-∈∑，求证：2111.2n

k k

T d =<∑

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】

（Ⅰ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22

112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，

因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.

（Ⅱ）证明：()()()2222

22

1234212n n n T b b b b b b -=-++-++

+-+

()

()

()242222222

21,n n d a a a n a a d d n n =++++=⋅

=+

所以()2222

111111111111

12121212n

n n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝

⎭⎝⎭∑∑∑. 5.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。其中0λ≠．

（I ）证明{}n a 错误！未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531

32

S =

错误！未找到引用源。 ，求λ． 【答案】（Ⅰ）1

)1

(11---=

n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．