中考数学备考专题复习《一元二次方程》(含解析)

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备战中考数学一元二次方程组(大题培优)含答案解析

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备战中考数学一元二次方程组(大题培优)含答案解析一、一元二次方程1.解方程:(x+1)(x ﹣3)=﹣1.【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.试题解析:整理得:x 2﹣2x=2,配方得:x 2﹣2x+1=3,即(x ﹣1)2=3,解得:x 1,x 2=12.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】分析:(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案.详解:(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0,(x +3)(x ﹣4)=0,x +3=0或x ﹣4=0,∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,,∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0,解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,.∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦,把22112211x x a x x a -=--=-, 代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9,解得:a =﹣4,a =2(舍去),所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.3.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+ 152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.4. y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);或( x≥m) ;5.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若方程的两实数根分别为1x ,2x ,且221212615x x x x +=-,求k 的值.【答案】(1)32k ≥ (2)4 【解析】 试题分析:根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ,解之即可得出结论.根据韦达定理可得:212121114x x k x x k ,+=+⋅=+ ,结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程,解之即可得出k 值,再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析:因为方程有两个实数根,所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭, 解得32k ≥. 根据韦达定理,()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+, 因为221212615x x x x +=-,所以()212128150x x x x +-+=,将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭,整理得2280k k --= ,解得1242k k ,==- ,又因为32k ≥,所以4k =.6.沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A ,B 两个社区,B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍. (1)求A 社区居民人口至少有多少万人?(2)街道工作人员调查A ,B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A 社区有1.2万人知晓,B 社区有1.5万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A 社区的知晓人数平均月增长率为m %,B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %,第二月在第一个月的基础上又增长了2m %,两个月后,街道居民的知晓率达到92%,求m 的值.【答案】(1)A 社区居民人口至少有2.5万人;(2)m 的值为50. 【解析】【分析】(1)设A 社区居民人口有x 万人,根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;(2)A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%,据此列出关于m 的方程并解答. 【详解】解:(1)设A 社区居民人口有x 万人,则B 社区有(7.5-x )万人, 依题意得:7.5-x ≤2x , 解得x ≥2.5.即A 社区居民人口至少有2.5万人;(2)依题意得:1.2(1+m %)2+1.5×(1+45m %)+1.5×(1+45m %)(1+2m %)=7.5×92%, 解得m =50 答:m 的值为50. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,找到题中相关数据的数量关系,列出不等式或方程.7.已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=(m 为常数)(1)求证:不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有一个根是2,求m 的值及方程的另一个根. 【答案】(1)见解析;(2) 即m 的值为0,方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】(1)可用根的判别式,计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4>0,则方程有两个不相等实数解,于是可判断不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的另一个根为t ,利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明:△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4, ∵无论m 为何值时m 2≥0, ∴m 2+4≥4>0, 即△>0,所以无论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ,()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m , 解得t=0, 所以m=0,即m 的值为0,方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系,对于问题(1)可用根的判别式进行判断,在判断过程中注意对△的分析,在分析时可借助平方的非负性;问题(2)可先设另一个根为t ,用根于系数关系列出方程组,在求解.8.关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x .(1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值. 【答案】(1) k <14;(2) k=0. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值. 【详解】解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不等实根x 1,x 2,∴△=(2k-1)2-4×1×k 2=-4k+1>0, 解得:k <14, 即实数k 的取值范围是k <14; (2)由根与系数的关系得:x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0, ∴1-2k+k 2-1=0, ∴k 2-2k=0 ∴k=0或2,∵由(1)知当k=2方程没有实数根, ∴k=2不合题意,舍去, ∴k=0. 【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.9.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0). (1) 试说明:此方程总有两个实数根.(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3. 【解析】分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m •(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论; (2)利用公式法可求出x 1=3m,x 2=-1,然后利用整除性即可得到m 的值. 详解: (1)证明:∵m ≠0,∴方程mx 2+(m -3)x -3=0(m ≠0)是关于x 的一元二次方程, ∴△=(m -3)2-4m ×(-3) =(m +3)2,∵(m +3)2≥0,即△≥0, ∴方程总有两个实数根; (2)解:∵x =()()332m m m--±+ ,∴x 1=-3m,x 2=1, ∵m 为正整数,且方程的两个根均为整数, ∴m =-1或-3.点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2-4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.10.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)=0有两个不相等的实数根. (1)求n 的取值范围;(2)若n 为取值范围内的最小整数,求此方程的根. 【答案】(1)n >0;(2)x 1=0,x 2=2. 【解析】 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ,即可求出n 的取值范围; (2)根据题意得出n 的值,将其代入方程,即可求得答案. 【详解】(1)根据题意知,[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得:0n >;(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数,则方程为220x x -=, 即(2)0x x -=, 解得120,2x x ==. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系(①当>0∆ 时,方程有两个不相等的实数根;②当0∆= 时方程有两个相等的实数根;③当∆<0 时,方程无实数根)是解题关键.11.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A 商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A 商品的售价为39.2元/件?(2)据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A 商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A 商品的网上标价提高a %,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.【答案】(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元;(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元. 【解析】 【分析】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据原标价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)根据总利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之取其正值即可得出a 的值,再将其代入80(1+a %)中即可求出结论. 【详解】(1)设平均每次降价率为x ,才能使这件A 商品的售价为39.2元,根据题意得:80(1﹣x )2=39.2,解得:x 1=0.3=30%,x 2=1.7(不合题意,舍去).答:平均每次降价率为30%,才能使这件A 商品的售价为39.2元. (2)根据题意得:[0.5×80(1+a %)﹣30]×1000(1+2a %)=30000,整理得:a 2+75a ﹣2500=0,解得:a 1=25,a 2=﹣100(不合题意,舍去), ∴80(1+a %)=80×(1+25%)=100.答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.12.已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0。

中考数学专题复习分类练习 一元二次方程组综合解答题含答案解析

中考数学专题复习分类练习 一元二次方程组综合解答题含答案解析

中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1.解方程:(x+1)(x﹣3)=﹣1.【答案】x1=1+3,x2=1﹣3【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.试题解析:整理得:x2﹣2x=2,配方得:x2﹣2x+1=3,即(x﹣1)2=3,解得:x1=1+3,x2=1﹣3.2.计算题(1)先化简,再求值:21xx-÷(1+211x-),其中x=2017.(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.【答案】(1)2018;(2)m=4【解析】分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解:(1)21xx-÷(1+211x-)=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1,当x=2017时,原式=2017+1=2018(2)解:∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣3)=0,解得,m=4点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.3. y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);或( x≥m) ;4.从图象来看,该函数是一个分段函数,当0≤x≤m时,是正比例函数,当x>m时是一次函数.【小题1】只需把x 代入函数表达式,计算出y 的值,若与表格中的水费相等,则知收取方案.5.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?【答案】(1)5;(2)180【解析】【分析】(1)设平均一人传染了x 人,根据有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,列方程求解即可;(2)根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数,列出算式求解即可.【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,根据题意得:x+1+(x+1)x =36,解得:x =5或x =﹣7(舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了5个人;(2)根据题意得:5×36=180(个),答:第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6.解方程:(x +1)(x -1)=x.【答案】x 1,x 2【解析】试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.试题解析:(x +1)(x -1)=x 2-2x-1=0∵a=1,b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12>0∴∴x1x 2.7.已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7,若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长,求这个三角形的周长.【答案】(1)m>2; (2)17【解析】试题分析:(1)由根的判别式即可得;(2)由题意得出方程的另一根为7,将x =7代入求出x 的值,再根据三角形三边之间的关系判断即可得.试题解析:解:(1)由题意得△=4(m +1)2﹣4(m 2+5)=8m -16>0,解得:m >2; (2)由题意,∵x 1≠x 2时,∴只能取x 1=7或x 2=7,即7是方程的一个根,将x =7代入得:49﹣14(m +1)+m 2+5=0,解得:m =4或m =10.当m =4时,方程的另一个根为3,此时三角形三边分别为7、7、3,周长为17; 当m =10时,方程的另一个根为15,此时不能构成三角形;故三角形的周长为17.点睛:本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系,熟练掌握韦达定理是解题的关键.8.若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根.(1)求a 的取值范围;(2)当a 为符合条件的最大整数,求此时方程的解.【答案】(1)a ≤174;(2)x =1或x =2 【解析】【分析】(1)由一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0,建立关于a 的不等式,即可求出a 的取值范围;(2)根据(1)确定出a 的最大整数值,代入原方程后解方程即可得.【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根,∴△≥0,即(﹣3)2﹣4(a ﹣2)≥0,解得a ≤174; (2)由(1)可知a ≤174, ∴a 的最大整数值为4,此时方程为x 2﹣3x +2=0,解得x =1或x =2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.9.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?【答案】(1)2000;(2)2米【解析】【分析】(1)设未知数,根据题目中的的量关系列出方程;(2)可以通过平移,也可以通过面积法,列出方程【详解】解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x 米2, 根据题意得:4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得:x=2000,经检验,x=2000是原方程的解;答:该绿化项目原计划每天完成2000平方米;(2)设人行道的宽度为x 米,根据题意得,(20﹣3x )(8﹣2x )=56 解得:x=2或x=263(不合题意,舍去). 答:人行道的宽为2米.10.已知关于x 的方程(x-3)(x-2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1、x 2,且满足x 12+x 22=3 x 1x 2,求实数p 的值.【答案】(1)详见解析;(2)p=±1.【解析】【分析】(1)先把方程化成一般形式,再计算根的判别式,判定△>0,即可得到总有两个不相等的实数根;(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积,再把2212123x x x x +=变形,化成和与乘积的形式,代入计算,得到一个关于p 的一元二次方程,解方程即可求解.【详解】证明:(1)(x ﹣3)(x ﹣2)﹣p 2=0,x 2﹣5x+6﹣p 2=0,△=(﹣5)2﹣4×1×(6﹣p 2)=25﹣24+4p 2=1+4p 2,∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p 2>0,∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)x 1+x 2=5,x 1x 2=6﹣p 2,∵2212123x x x x +=, ∴(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2=3x 1x 2,∴52=5(6﹣p 2),∴p=±1.考点:根的判别式;根与系数的关系.11.“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法. 例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,……,按此规律,求图10、图n 有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点个数是6×1=6个;图2中黑点个数是6×2=12个:图3中黑点个数是6×3=18个;所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 .请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块(画在答题卡上),再完成以下问题:(1)第5个点阵中有 个圆圈;第n 个点阵中有 个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.【答案】60个,6n 个;(1)61;3n 2﹣3n+1,(2)小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.【解析】分析:根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个;图n中黑点个数是6n个;(1)第2个图中2为一块,分为3块,余1,第2个图中3为一块,分为6块,余1;按此规律得:第5个点阵中5为一块,分为12块,余1,得第n个点阵中有:n×3(n﹣1)+1=3n2﹣3n+1,(2)代入271,列方程,方程有解则存在这样的点阵.详解:图10中黑点个数是6×10=60个;图n中黑点个数是6n个,故答案为:60个,6n个;(1)如图所示:第1个点阵中有:1个,第2个点阵中有:2×3+1=7个,第3个点阵中有:3×6+1=17个,第4个点阵中有:4×9+1=37个,第5个点阵中有:5×12+1=60个,…第n个点阵中有:n×3(n﹣1)+1=3n2﹣3n+1,故答案为:60,3n2﹣3n+1;(2)3n2﹣3n+1=271,n2﹣n﹣90=0,(n﹣10)(n+9)=0,n1=10,n2=﹣9(舍),∴小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.点睛:本题是图形类的规律题,采用“分块计数”的方法解决问题,仔细观察图形,根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键.12.重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫,每件成本价为20元,每天销售150件:(1)若要每天的利润不低于2250元,则销售单价至少为多少元?(2)为了回馈广大游客,同时也为了提高这种文化衫的认知度,商店决定在“五一”节当天开展促销活动,若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可以在150件基础上增加m件,结果当天的销售额达到5670元;要使销售量尽可能大,求出m的值.【答案】(1)销售单价至少为35元;(2)m=16.【解析】试题分析:(1)根据利润的公式列出方程,再求解即可;(2)销售价为原销售价×(1﹣m%),销售量为(150+m),列出方程求解即可.试题解析:(1)设销售单价至少为x元,根据题意列方程得,150(x﹣20)=2250,解得x=35,答:销售单价至少为35元;(2)由题意得:35×(1﹣m%)(150+m)=5670,150+m﹣150×m%﹣m%×m=162,m﹣m2=12,60m﹣3m2=192,m2﹣20m+64=0,m1=4,m2=16,∵要使销售量尽可能大,∴m=16.【考点】一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.13.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=3,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求k值多少?【答案】(1)详见解析;(2)k=32或2.【解析】【分析】(1)计算判别式的值,利用完全平方公式得到△=(2k﹣3)2≥0,然后根据判别式的意义得到结论;(2)利用求根公式解方程得到x1=2k﹣1,x2=2,再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1=2或2k﹣1=3,然后分别解关于k的方程即可.【详解】(1)∵△=(2k+1)2﹣4×4(k﹣12)=4k2﹣12k+9=(2k﹣3)2≥0,∴该方程总有实数根;(2)() 2k12k3 x=2±+﹣∴x1=2k﹣1,x2=2,∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边,∴2k ﹣1=2或2k ﹣1=3,∴k =32或2. 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质,分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14.自2018年1月10日零时起,高铁开通,某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游,推出了如下收费标准:如果人数不超过10人,人均旅游费用为200元,如果人数超过10人,每增加1人,人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150元.()1如果某单位组织12人参加仙都旅游,那么需支付旅行社旅游费用________元; () 2现某单位组织员工去仙都旅游,共支付给该旅行社旅游费用2625元,那么该单位有多少名员工参加旅游?【答案】(1)2280;(2)15【解析】【分析】对于(1)根据人数超过10人,每增加1人,人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150来求解;对于(2)设这次旅游可以安排x 人参加,而由10×200=2000<2625,可以得出人数大于10人,则根据x 列出方程:(10+x )(200-5x )=2625,求出x ,然后根据人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围,最后得出x 的值.【详解】(1)2280()2因为1020020002625⨯=<.因此参加人比10人多,设在10人基础上再增加x 人,由题意得:()()1020052625x x +-=.解得 15x = 225x =,∵2005150x -≥,∴010x <≤,经检验 15x =是方程的解且符合题意,225x =(舍去).1010515x +=+=答:该单位共有15名员工参加旅游.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用,根据题意作出判断,列出一元二次方程,求解方程,舍去不符合题意的解,从而得出结果.15.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1:甲乙两种商品的进货单价和为11;信息2:甲商品的零售单价比其进货单价多2元,乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元:信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元.()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少?()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件,经调查发现,甲商品零售单价每降0.1元,这样甲商品每天可多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元,在不考虑其他因素的条件下,当a 定为多少时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元?【答案】(1)甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件(2)当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据给定的三个信息,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据总利润=单件利润⨯销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据题意得:()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩, 解得:{56x y ==.答:甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件. ()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据题意得:()()250010001500a a -+=,整理得:22310a a -+=,解得:10.5a =,21a =.答:当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:()1找准等量关系,正确列出二元一次方程组;()2找准等量关系,正确列出一元二次方程.。

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附详细答案

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附详细答案

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附详细答案一、一元二次方程1.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10. 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k = 当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4. ∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形. ∴△ABC 的周长为10. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.2.已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. (1)求k 的取值范围;(2)若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ,且它们的倒数之和是32-,求k 的值. 【答案】(1)k <-34;(2)k=﹣1【解析】试题分析:(1)根据交点得个数,让y=0判断出两个不相等的实数根,然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值;(2)利用y=0时的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系,可直接列式求解可得到k 的值.试题解析:(1)∵二次函数y=x 2-(2k-1)x+k 2+1的图象与x 轴有两交点,∴当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0有两个不相等的实数根. ∴△=b 2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k 2+1)>0. 解得k <-34; (2)当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0. 则x 1+x 2=2k-1,x 1•x 2=k 2+1,∵=== 32-, 解得:k=-1或k= 13-(舍去), ∴k=﹣13.由图看出,用水量在m 吨之内,水费按每吨1.7元收取,超过m 吨,需要加收.4.如图,在Rt ABC 中,90B =∠,10AC cm =,6BC cm =,现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发,沿边AB ,BC 向终点C 移动.已知点P ,Q 的速度分别为2/cm s ,1/cm s ,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,设P ,Q 两点移动时间为xs .问是否存在这样的x ,使得四边形APQC 的面积等于216cm ?若存在,请求出此时x 的值;若不存在,请说明理由.【答案】假设不成立,四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ,理由见解析 【解析】 【分析】根据题意,列出BQ 、PB 的表达式,再列出方程,判断根的情况. 【详解】解:∵90B ∠=,10AC =,6BC =, ∴8AB =.∴BQ x =,82PB x =-;假设存在x 的值,使得四边形APQC 的面积等于216cm , 则()1168821622x x ⨯⨯--=, 整理得:2480x x -+=, ∵1632160=-=-<,∴假设不成立,四边形APQC 面积的面积不能等于216cm . 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.5.解方程:(x +1)(x -1)=x.【答案】x 1,x 2 【解析】试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.试题解析:(x +1)(x -1)=x 2-2x-1=0∵a=1,b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12>0∴∴x 1x 2.6.阅读下面的例题,范例:解方程x 2﹣|x|﹣2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x 2﹣x ﹣2=0,解得:x 1=2,x 2=﹣1(不合题意,舍去). (2)当x <0时,原方程化为x 2+x ﹣2=0,解得:x 1=﹣2,x 2=1(不合题意,舍去).∴原方程的根是x 1=2,x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0.【答案】x 1=4,x 2=﹣5. 【解析】 【分析】分为两种情况:当x≥10时,原方程化为x 2﹣x=0,当x <10时,原方程化为x 2+x ﹣20=0,分别求出方程的解即可. 【详解】当x≥10时,原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0,解得x 1=0(不合题意,舍去),x 2=1(不合题意,舍去);当x<10时,原方程化为x2+x﹣20=0,解得x3=4,x4=﹣5,故原方程的根是x1=4,x2=﹣5.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.7.关于x的一元二次方程.(1).求证:方程总有两个实数根;(2).若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程,求得,再根据题意两个根都是正整数,从而可以确定的取值范围,即求出吗的最小值.【详解】(1)证明:依题意,得.,∴.∴方程总有两个实数根.由.可化为:得,∵方程的两个实数根都是正整数,∴.∴.∴的最小值为.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程,熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根,判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根,判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.8.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?【答案】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.【解析】试题分析:设AB的长度为x米,则BC的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.试题解析:设AB的长度为x米,则BC的长度为(100﹣4x)米.根据题意得(100﹣4x)x=400,解得 x1=20,x2=5.则100﹣4x=20或100﹣4x=80.∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20,BC=20考点:一元二次方程的应用.9.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?【答案】裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.【解析】试题分析:设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无盖的长方体容器的长为(10-2x)dm,宽为(6-2x)dm,根据长方体底面面积为12dm2列出方程,解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析:设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.10.关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.【答案】(1)k<4且k≠2.(2)m=0或m=8 3 .【解析】分析:(1)由题意,根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组,解不等式组即可求得对应的k 的取值范围;(2)由(1)得到符合条件的k 的值,代入原方程,解方程求得x 的值,然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.详解:(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根, ∴△=16-8(k-2)=32-8k >0且k-2≠0. 解得:k <4且k≠2.(2)由(1)可知,符合条件的:k=3,将k=3代入原方程得:方程x 2-4x+3=0,解此方程得:x 1=1,x 2=3.把x=1时,代入方程x 2+mx-1=0,有1+m-1=0,解得m=0. 把x=3时,代入方程x 2+mx-1=0,有9+3m-1=0,解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛:(1)知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中,当△=240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根;当△=240b ac -=时,方程有两个相等的实数根;△=240b ac -<时,方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键;(2)解第2小题时,需注意相同的根存在两种情况,解题时不要忽略了其中任何一种情况.11.已知:关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.(1)若此方程有两个实数根,求没m 的最小整数值; (2)若此方程的两个实数根为1x ,2x ,且满足22211221184x x x m x +=--,求m 的值. 【答案】(1)-4;(2)m=3 【解析】 【分析】(1)利用根的判别式的意义得到△≥0,然后解不等式得到m 的范围,再在此范围内找出最小整数值即可;(2)利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+,212124x x m =-,然后解关于m 的一元二次方程,即可确定m 的值. 【详解】解:(1)∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根,∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥,∴290m +≥, ∴92m ≥-; ∴m 的最小整数值为:4m =-;(2)由根与系数的关系得:12(1)x x m +=-+,212124x x m =-, 由22212121184x x x x m ++=-得: ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=, 解得:3m =或5m =-;∵92m ≥-, ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,则12bx x a +=-,12c x x a=.也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.12.解方程:(x 2+x )2+(x 2+x )=6. 【答案】x 1=﹣2,x 2=1 【解析】 【分析】设x 2+x =y ,将原方程变形整理为y 2+y ﹣6=0,求得y 的值,然后再解一元二次方程即可.【详解】解:设x 2+x =y ,则原方程变形为y 2+y ﹣6=0,解得y 1=﹣3,y 2=2.①当y =2时,x 2+x =2,即x 2+x ﹣2=0, 解得x 1=﹣2,x 2=1;②当y =﹣3时,x 2+x =﹣3,即x 2+x+3=0, ∵△=12﹣4×1×3=1﹣12=﹣11<0, ∴此方程无解;∴原方程的解为x 1=﹣2,x 2=1. 【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法,设出元化简原方程是解答本题的关键.13.阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=,求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+=,222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=, 0,40m n n ∴-=-=, 4,4n m ∴==.根据你的观察,探究下面的问题:(1)己知2222210x xy y y ++++=,求x y -的值.(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足2268250a b a b +--+=,求边c 的最大值.(3) 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=,求a b c -+的值. 【答案】(1)2(2)6(3)7 【解析】 【分析】(1)将多项式第三项分项后,结合并利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x 与y 的值,即可求出x ﹣y 的值;(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a 与b 的值,根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长;(3)由a ﹣b =4,得到a =b +4,代入已知的等式中重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b 与c 的值,进而求出a 的值,即可求出a ﹣b +c 的值. 【详解】(1)∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴(x 2+2xy +y 2)+(y 2+2y +1)=0 ∴(x +y )2+(y +1)2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得:x =1,y =﹣1 ∴x ﹣y =2;(2)∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴(a 2﹣6a +9)+(b 2﹣8b +16)=0 ∴(a ﹣3)2+(b ﹣4)2=0 ∴a ﹣3=0,b ﹣4=0 解得:a =3,b =4∵三角形两边之和>第三边∴c <a +b ,c <3+4,∴c <7.又∵c 是正整数,∴△ABC 的最大边c 的值为4,5,6,∴c 的最大值为6;(3)∵a ﹣b =4,即a =b +4,代入得:(b +4)b +c 2﹣6c +13=0,整理得:(b 2+4b +4)+(c 2﹣6c +9)=(b +2)2+(c ﹣3)2=0,∴b +2=0,且c ﹣3=0,即b =﹣2,c =3,a =2,则a ﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7.故答案为7.【点睛】本题考查了因式分解的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.14.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动,点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,两点同时出发.(1)问几秒后,△PBQ的面积为8cm²?(2)出发几秒后,线段PQ的长为cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2?若能,求出时间;若不能,请说明理由.【答案】(1) 2或4秒 cm;(3)见解析.【解析】【分析】(1)由题意,可设P、Q经过t秒,使△PBQ的面积为8cm2,则PB=6-t,BQ=2t,根据三角形面积的计算公式,S△PBQ=12BP×BQ,列出表达式,解答出即可;(2)设经过x秒后线段PQ的长为cm,依题意得AP=x,BP=6-x,BQ=2x,利用勾股定理列方程求解;(3)将△PBQ的面积表示出来,根据△=b2-4ac来判断.【详解】(1)设P,Q经过t秒时,△PBQ的面积为8 cm2,则PB=6-t,BQ=2t,∵∠B=90°,∴12(6-t)× 2t=8,解得t1=2,t2=4,∴当P,Q经过2或4秒时,△PBQ的面积为8 cm2;(2)设x秒后,PQ= cm,由题意,得(6-x)2+4x2=32,解得x1=25,x2=2,故经过25秒或2秒后,线段PQ的长为 cm;(3)设经过y秒,△PBQ的面积等于10 cm2,S △PBQ =12×(6-y)× 2y =10, 即y 2-6y +10=0,∵Δ=b 2-4ac =36-4× 10=-4< 0, ∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15.阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a 的形式。

中考数学专题复习一元二次方程的综合题附答案解析

中考数学专题复习一元二次方程的综合题附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x +k 2=0有两个实数根x 1、x 2. (1)求k 的取值范围;(2)若x 1+x 2=1﹣x 1x 2,求k 的值.【答案】(1)12k ≤;(2)3k = 【解析】试题分析:(1)方程有两个实数根,可得240b ac ∆=-≥,代入可解出k 的取值范围; (2)由韦达定理可知,()2121221,x x k x x k +=-=,列出等式,可得出k 的值.试题解析:(1)∵Δ=4(k -1)2-4k 2≥0,∴-8k +4≥0,∴k ≤12; (2)∵x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2,∴2(k -1)=1-k 2, ∴k 1=1,k 2=-3. ∵k ≤12,∴k =-3.2.解方程:(x+1)(x ﹣3)=﹣1. 【答案】x 1=1+3,x 2=1﹣3 【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可. 试题解析:整理得:x 2﹣2x=2,配方得:x 2﹣2x+1=3,即(x ﹣1)2=3, 解得:x 1=1+3,x 2=1﹣3.3.已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根. (1)求a 的取值范围;(2)若(x 1+1)(x 2+1)是负整数,求实数a 的整数值. 【答案】(1)a≥0且a≠6;(2)a 的值为7、8、9或12. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可;(2)根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ,x 1x 2=6aa + ,由(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数,即可得66a -是正整数.根据a 是整数,即可求得a 的值2. 【详解】(1)∵原方程有两实数根,∴,∴a≥0且a≠6.(2)∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根, ∴x 1+x 2=﹣,x 1x 2=,∴(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣.∵(x 1+1)(x 2+1)是负整数, ∴﹣是负整数,即是正整数.∵a 是整数,∴a ﹣6的值为1、2、3或6, ∴a 的值为7、8、9或12. 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键.4.发现思考:已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根,求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少?下边是涵涵同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因. 涵涵的作业解:x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9>0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5,x 2=2所以,当腰为5,底为2时,等腰三角形的三条边为5,5,2. 当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边为2,2,5. 探究应用:请解答以下问题:已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根. (1)当m=2时,求△ABC 的周长; (2)当△ABC 为等边三角形时,求m 的值.【答案】错误之处及错误原因见解析;(1)当m=2时,△ABC 的周长为72;(2)当△ABC 为等边三角形时,m 的值为1. 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5. (1)先解方程,再确定边,从而求周长;(2)是等边三角形,则两根相等,即△=(﹣m)2﹣4(m2﹣14)=m2﹣2m+1,可求得m.【详解】解:错误之处:当2为腰,5为底时,等腰三角形的三条边为2、2、5.错误原因:此时不能构成三角形.(1)当m=2时,方程为x2﹣2x+34=0,∴x1=12,x2=32.当12为腰时,12+12<32,∴12、12、32不能构成三角形;当32为腰时,等腰三角形的三边为32、32、12,此时周长为32+32+12=72.答:当m=2时,△ABC的周长为72.(2)若△ABC为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,∴△=(﹣m)2﹣4(m2﹣14)=m2﹣2m+1=0,∴m1=m2=1.答:当△ABC为等边三角形时,m的值为1.【点睛】本题考核知识点:二元一次方程的运用.解题关键点:熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5.按上述方案,一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示,那么,这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的?并求出的值.月份用水量(吨)水费(元)四月3559.5五月80151【答案】6.由图看出,用水量在m 吨之内,水费按每吨1.7元收取,超过m 吨,需要加收.7.(问题)如图①,在a×b×c (长×宽×高,其中a ,b ,c 为正整数)个小立方块组成的长方体中,长方体的个数是多少? (探究)探究一:(1)如图②,在2×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为3×1×1=3. (2)如图③,在3×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为6×1×1=6. (3)依此类推,如图④,在a×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为______. 探究二:(4)如图⑤,在a×2×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2=232⨯=3条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+.(5)如图⑥,在a×3×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为______. (6)依此类推,如图⑦,在a×b×1个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.探究三:(7)如图⑧,在以a×b×2个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段,则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++.(8)如图⑨,在a×b×3个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段,则图中长方体的个数为______.(结论)如图①,在a×b×c 个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______. (应用)在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______. (拓展)如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体,那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少?请通过计算说明你的结论.【答案】探究一:(3)()a a12+;探究二:(5)3a(a+1);(6)()()ab a1b14++;探究三:(8)()()3ab a1b12++;【结论】:①()()()abc a1b1c18+++;【应用】:180;【拓展】:组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.【解析】【分析】(3)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(5)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(6)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(8)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(结论)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(应用)a=2,b=3,c=4代入(结论)中得出的结果,即可得出结论;(拓展)根据(结论)中得出的结果,建立方程求解,即可得出结论.【详解】解:探究一、(3)棱AB上共有()a a12+线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+,故答案为() a a12+;探究二:(5)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有6条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a(a+1),故答案为3a(a+1);(6)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有()b b12+条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++,故答案为()() ab a1b14++;探究三:(8)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有()b b12+条线段,棱AD上有6条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++,故答案为()()3ab a 1b 12++;(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有()c c 12+条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++,故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++;(应用)由(结论)知,()()()abc a 1b 1c 18+++,∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180,故答案为为180;拓展:设正方体的每条棱上都有x 个小立方体,即a=b=c=x ,由题意得33(1)8x x +=1000, ∴[x (x+1)]3=203, ∴x (x+1)=20,∴x 1=4,x 2=-5(不合题意,舍去) ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64. 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律,题目较好,但有一定的难度,是一道比较容易出错的题目.8.阅读下面的例题, 范例:解方程x 2﹣|x|﹣2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x 2﹣x ﹣2=0,解得:x 1=2,x 2=﹣1(不合题意,舍去). (2)当x <0时,原方程化为x 2+x ﹣2=0,解得:x 1=﹣2,x 2=1(不合题意,舍去). ∴原方程的根是x 1=2,x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0. 【答案】x 1=4,x 2=﹣5. 【解析】 【分析】分为两种情况:当x≥10时,原方程化为x 2﹣x=0,当x <10时,原方程化为x 2+x ﹣20=0,分别求出方程的解即可.【详解】当x≥10时,原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0,解得x 1=0(不合题意,舍去),x 2=1(不合题意,舍去);当x <10时,原方程化为x 2+x ﹣20=0,解得x 3=4,x 4=﹣5, 故原方程的根是x 1=4,x 2=﹣5. 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.9.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2=0…①(1)若x =﹣1是方程①的一个根,求m 的值和方程①的另一根; (2)对于任意实数m ,判断方程①的根的情况,并说明理由.【答案】(1)方程的另一根为x=2;(2)方程总有两个不等的实数根,理由见解析. 【解析】试题分析:(1)直接把x=-1代入方程即可求得m 的值,然后解方程即可求得方程的另一个根;(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断. (1)把x=-1代入得1+m-2=0,解得m=1 ∴2--2=0.∴∴另一根是2; (2)∵,∴方程①有两个不相等的实数根.考点:本题考查的是根的判别式,一元二次方程的解的定义,解一元二次方程点评:解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根10.已知关于x 的方程(a ﹣1)x 2+2x +a ﹣1=0. (1)若该方程有一根为2,求a 的值及方程的另一根;(2)当a 为何值时,方程的根仅有唯一的值?求出此时a 的值及方程的根. 【答案】(1)a=15,方程的另一根为12;(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)把x=2代入方程,求出a 的值,再把a 代入原方程,进一步解方程即可;(2)分两种情况探讨:①当a=1时,为一元一次方程;②当a≠1时,利用b 2-4ac =0求出a 的值,再代入解方程即可. 【详解】(1)将x =2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=,得4(a 1)4a 10-++-=,解得:a =15.将a=15代入原方程得24x2054x5-+-=,解得:x1=12,x2=2.∴a=15,方程的另一根为12;(2)①当a=1时,方程为2x=0,解得:x=0.②当a≠1时,由b2-4ac=0得4-4(a-1)2=0,解得:a=2或0.当a=2时,原方程为:x2+2x+1=0,解得:x1=x2=-1;当a=0时,原方程为:-x2+2x-1=0,解得:x1=x2=1.综上所述,当a=1,0,2时,方程仅有一个根,分别为0,1,-1.考点:1.一元二次方程根的判别式;2.解一元二次方程;3.分类思想的应用.。

中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)

中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)

一元二次方程一、填空题1.一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为:,二次项系数为:,一次项系数为:,常数项为:.2.关于x的方程(m﹣1)x2+(m+1)x+3m+2=0,当m 时为一元一次方程;当m 时为一元二次方程.3.若(a+b)(a+b+2)=8,则a+b= .4.x2+3x+ =(x+ )2;x2﹣+2=(x )2.5.直角三角形的两直角边是3:4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是cm2.6.若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3,则p= ,q= .7.若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,则x的值是.8.代数式2x2+3x+7的值为12,则代数式4x2+6x﹣10= .9.当t 时,关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解.10.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .二、选择题11.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1)D. +﹣2=012.若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为()A.± B.±1 C.±D.±13.若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解,且m≠0,则m+n的值是()A.1 B.﹣0.5 C.0.5 D.﹣114.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是()A.m=0,n=0 B.m=0,n≠0 C.m≠0,n=0 D.m≠0,n≠015.关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则()A.k<0 B.k>0 C.k≥0 D.k≤016.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是()A.1,0 B.﹣1,0 C.1,﹣1 D.无法确定三、解答题17.(1)(x+4)2=5(x+4);(2)(x+1)2=4x;(3)(x+3)2=(1﹣2x)2;(4)2x2﹣10x=3.18.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,求这个等腰三角形的腰长.19.已知一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,求m的值.20.已知方程x2﹣2ax+a=4(1)求证:方程必有相异实根(2)a取何值时,方程有两个正根?(3)a取何值时,两根相异,并且负根的绝对值较大?(4)a取何值时,方程有一根为零?一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1.一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为:x2﹣8x﹣4=0 ,二次项系数为: 1 ,一次项系数为:﹣8 ,常数项为:﹣4 .【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,a叫二次项系数,b叫一次项系数,c叫常数项.【解答】解:去括号得,x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1,移项得,x2﹣8x﹣4=0,所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0;二次项系数为1;一次项系数为﹣8;常数项为﹣4.故答案为x2﹣8x﹣4=0,1,﹣8,﹣4.【点评】考查了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),a叫二次项系数,b叫一次项系数,c叫常数项.2.关于x的方程(m﹣1)x2+(m+1)x+3m+2=0,当m =1 时为一元一次方程;当m ≠1 时为一元二次方程.【考点】一元二次方程的定义;一元一次方程的定义.【专题】方程思想.【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程;含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程.可以确定m的取值.【解答】解:要使方程是一元一次方程,则m﹣1=0,∴m=1.要使方程是一元二次方程,则m﹣1≠0,∴m≠1.故答案分别是:m=1;m≠1.【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义,根据定义确定m的取值.3.若(a+b)(a+b+2)=8,则a+b= 2或﹣4 .【考点】换元法解一元二次方程.【专题】换元法.【分析】把原方程中的(a+b)代换成y,即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0,求得y的值即为a+b 的值.【解答】解:把原方程中的a+b换成y,所以原方程变化为:y2+2y﹣8=0,解得y=2或﹣4,∴a+b=2或﹣4.【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用.换元法是借助引进辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.这种方法在解题过程中,把某个式子看作一个整体,用一个字母去代表它,实行等量替换.这样做,常能使问题化繁为简,化难为易,形象直观.4.x2+3x+ =(x+ )2;x2﹣2x +2=(x ﹣)2.【考点】完全平方式.【专题】计算题.【分析】(1)根据首项是x的平方及中间项3x,利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答.(2)根据首项与尾项分别是x与的平方,那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答.【解答】解:(1)∵首项是x的平方及中间项3x,∴3x=2×x×,x2+3x+=,∴应填,.(2)首项与尾项分别是x与的平方,∴2×x×即为中间项.∴x2﹣2x+2=,故应填:2,﹣.故答案为:,,2,﹣.【点评】本题考查了完全平方公式,属于基础题,关键要熟记完全平方公式.5.直角三角形的两直角边是3:4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是96 cm2.【考点】一元二次方程的应用;勾股定理的应用.【专题】几何图形问题.【分析】根据直角三角形的两直角边是3:4,设出两直角边的长分别是3x、4x,再根据勾股定理列方程求解即可.【解答】解:设两直角边分别是3x、4x,根据勾股定理得:(3x)2+(4x)2=400,解得:x=4,(负值舍去)则:3x=12cm,4x=16cm.故这个三角形的面积是×12×16=96cm2.【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系,也考查了三角形的面积公式.6.若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3,则p= ﹣1 ,q= ﹣6 .【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系,分别求出p、q的值.【解答】解:由题意知,x1+x2=﹣p,即﹣2+3=﹣p,∴p=﹣1;又x1x2=q,即﹣2×3=q,∴q=﹣6.【点评】已知了一元二次方程的两根求系数,可利用一元二次方程根与系数的关系:x1+x2=,x1x2=解答.7.若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,则x的值是1或﹣.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】根据题意先列出方程,然后利用因式分解法解方程求得x的值.【解答】解:∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0,即(x﹣1)(3x+2)=0,解得x=1或﹣.【点评】本题是基础题,考查了一元二次方程的解法.8.代数式2x2+3x+7的值为12,则代数式4x2+6x﹣10= 0 .【考点】代数式求值.【专题】整体思想.【分析】先对已知进行变形,把所求代数式化成已知的形式,再利用整体代入法求解.【解答】解:∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2(2x2+3x)﹣10=2×(12﹣7)﹣10=0.【点评】此题考查的是代数式的转化,通过观察可知已知与所求的式子的关系,然后将变形的式子代入即可求出答案.9.当t ≤时,关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解.【考点】根的判别式.【专题】计算题.【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解,则△=b2﹣4ac≥0,即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0,解不等式即可.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解,∴△=b2﹣4ac≥0,即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0,∴t≤.故答案为≤.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.10.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .【考点】解一元二次方程﹣公式法;一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】把b看成常数,解关于a的一元二次方程,然后求出的值.【解答】解:a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2.a== b∴=.故答案是:【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程,把b看成是常数,用求根公式解关于a 的一元二次方程,然后求出的值.二、选择题11.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1)D. +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义.【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足三个条件:(1)方程是整式方程;(2)未知数的最高次数是2;(3)只含有一个未知数.由这三个条件得到相应的关系式,再求解即可.【解答】解:A、a=0时,不是一元二次方程,错误;B、原式可化为2x+1=0,是一元一次方程,错误;C、原式可化为3x2+4x+1=0,符合一元二次方程的定义,正确;D、是分式方程,错误.故选C.【点评】判断一个方程是否是一元二次方程,首先判断是否是整式方程,若是整式方程,再进行化简,化简以后只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程就是一元二次方程.12.若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为()A.± B.±1 C.±D.±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法.【分析】两个数互为倒数,即两数的积是1,据此即可得到一个关于x的方程,从而求解.【解答】解:根据2x+1与2x﹣1互为倒数,列方程得(2x+1)(2x﹣1)=1;整理得4x2﹣1=1,移项得4x2=2,系数化为1得x2=;开方得x=±.故选C.【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.本题开方后要注意分母有理化.13.若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解,且m≠0,则m+n的值是()A.1 B.﹣0.5 C.0.5 D.﹣1【考点】一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;将m代入原方程即可求得m+n的值.【解答】解:把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0,又∵m≠0,方程两边同除以m,可得m+n=1;故本题选A.【点评】此题中应特别注意:方程两边同除以字母系数时,应强调字母系数不得为零.14.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是()A.m=0,n=0 B.m=0,n≠0 C.m≠0,n=0 D.m≠0,n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;一元二次方程的解.【分析】代入方程的解求出n的值,再用因式分解法确定m的取值范围.【解答】解:方程有一个根是0,即把x=0代入方程,方程成立.得到n=0;则方程变成x2+mx=0,即x(x+m)=0则方程的根是0或﹣m,因为两根中只有一根等于0,则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,正确的条件是m≠0,n=0.故选C.【点评】本题主要考查了方程的解的定义,以及因式分解法解一元二次方程.15.关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则()A.k<0 B.k>0 C.k≥0 D.k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法.【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k,再根据非负数的性质得出k≥0即可.【解答】解:∵x2﹣k=0,∴x2=k,∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则k≥0,故选:C.【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.16.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是()A.1,0 B.﹣1,0 C.1,﹣1 D.无法确定【考点】一元二次方程的解.【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解,代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.【解答】解:在这个式子中,如果把x=1代入方程,左边就变成a+b+c,又由已知a+b+c=0可知:当x=1时,方程的左右两边相等,即方程必有一根是1,同理可以判断方程必有一根是﹣1.则方程的根是1,﹣1.故选C.【点评】本题就是考查了方程的解的定义,判断一个数是否是方程的解的方法,就是代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.三、解答题17.(1)(x+4)2=5(x+4);(2)(x+1)2=4x;(3)(x+3)2=(1﹣2x)2;(4)2x2﹣10x=3.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【专题】计算题.【分析】(1)运用提取公因式法分解因式求解;(2)运用公式法分解因式求解;(3)运用平分差公式分解因式求解;(4)运用公式法求解.【解答】解:(1)(x+4)2=5(x+4),(x+4)2﹣5(x+4)=0,(x+4)(x+4﹣5)=0,∴x1=﹣4,x2=1.(2)(x+1)2=4x,x2+2x+1﹣4x=0,(x﹣1)2=0,∴x1=x2=1.(3)(x+3)2﹣(1﹣2x)2=0,(x+3+1﹣2x)(x+3﹣1+2x)=0,(4﹣x)(3x+2)=0,∴x1=4,x2=﹣.(4) 2x2﹣10x=3,2x2﹣10x﹣3=0,x=,x1=,x2=.【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力,属基础题.18.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,求这个等腰三角形的腰长.【考点】等腰三角形的性质;一元二次方程的解;三角形三边关系.【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系得到x=4时,4,4,8的三条线段不能组成三角形,确定等腰三角形腰长为5.【解答】解:x2﹣9x+20=0,解得x1=4,x2=5,∵等腰三角形底边长为8,∴x=4时,4,4,8的三条线段不能组成三角形,∴等腰三角形腰长为5.【点评】本题从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的边长,不能盲目地作出判断,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.19.已知一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,求m的值.【考点】一元二次方程的解;解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】由于一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程,解这个方程即可求出m的值.【解答】解:∵一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0,∴m1=﹣4,m2=1.由于在一元二次方程中m﹣1≠0,故m≠1,∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程,此类题型的特点是,利用方程解的定义找到所求字母的方程,再解此方程即可解决问题.20.已知方程x2﹣2ax+a=4(1)求证:方程必有相异实根(2)a取何值时,方程有两个正根?(3)a取何值时,两根相异,并且负根的绝对值较大?(4)a取何值时,方程有一根为零?【考点】根与系数的关系;根的判别式.【专题】计算题.【分析】(1)根据△>0恒成立即可证明.(2)由方程有两个正根,根据根与系数的关系即可求出a的取值.(3)由方程有两根相异,并且负根的绝对值较大,根据根与系数关系解答.(4)令x=0代入方程求解即可.【解答】解:(1)方程x2﹣2ax+a=4,可化为:x2﹣2ax+a﹣4=0,∴△=4a2﹣4(a﹣4)=4+15>0恒成立,故方程必有相异实根.(2)若方程有两个正根x1,x2,则x1+x2=2a>0,x1x2=a﹣4>0,解得:a>4.(3)若方程有两根相异,并且负根的绝对值较大,则可得:x1+x2=2a<0,x1x2=a﹣4<0,解得:a <0.(4)若方程有一根为零,把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4,得:a=4.【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式,难度适中,关键是熟记x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1,则k的值为()A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则a2b+ab2的值是()A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根,则x1•x2等于()A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、,那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β,则的值为()A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,则x13﹣4x22+15等于()A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根,则的值是().A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. -2D. -19.一元二次方程的两实数根相等,则的值为()A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2,则下列等式成立的是()A. x1+x2=1,x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1,x1•x2=2C. x1+x2=1,x1•x2=2D. x1+x2=﹣1,x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是()A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1,x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根,则x1+x2﹣x1x2的值是()A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β,那么下列式子正确的是()A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2,﹣3为根的一元二次方程是________.15.一元二次方程的两根和是________;16.已知α,β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+2αβ+β2的值为________.17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3,则关于x的方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的两根之和为________.三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1,x2,不解方程求下列各式的值:(1)x12x2+x1x22.(2)+ .21.已知是方程的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1);(2)22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a,b,求(1)a2+b2(2)a2﹣b2的值.23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0,求a2﹣a+b+3ab的值.四、解答题24.关于x的方程(k﹣1)x2﹣x+1=0有实根.(1)求k 的取值范围;(2)设x1、x2是方程的两个实数根,且满足(x1+1)(x2+1)=k﹣1,求实数k的值.25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2,求方程另一个根和k的值.26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣,求方程的另一个根及m的值.五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0(1)若a=1,请你解这个方程;(2)若方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围.28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c.(1)若抛物线与x轴有交点,求c的取值范围;(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2.若x12+x22=26,求c的值.(3)若P,Q是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA,QB都垂直于x轴,垂足分别为A,B,且△OPA与△OQB全等.求证:c>﹣.答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1,则k的值为()A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a,则一个根为2a﹣1,则a+2a﹣1=5,解得a=2,2×2﹣1=3因此k=2×3=6.故选:B.【分析】设方程的另一个根为a,则一个根为2a﹣1,根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5,得出a=3,另一个跟为5,进一步利用两根的积得出k的数值即可.2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则a2b+ab2的值是()A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,∴ab=﹣3,a+b=2,∴a2b+ab2=ab(a+b)=﹣3×2=﹣6,故选C.【分析】根据根与系数的关系,可得出ab和a+b的值,再代入即可.3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根,则x1•x2等于()A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:根据题意得x1•x2=1.故选C.【分析】直接根据根与系数的关系求解.4.设方程的两个根为、,那么的值等于( )。

中考数学备考培优专题卷:《一元二次方程》(解析版)

中考数学备考培优专题卷:《一元二次方程》(解析版)

培优专题卷:《一元二次方程》一.选择题1.一元二次方程x2=x的实数根是()A.0或1 B.0 C.1 D.±1 2.关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a=0无实根,则a的取值范围是()A.a<0 B.a>0 C.a<D.a>3.若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根.则x12x2+x1x22值为()A.4B.2 C.4 D.34.已知当x>0时,反比例函数y=的函数值随自变量的增大而减小,此时关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2﹣1=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定5.已知一元二次方程x2+kx﹣5=0有一个根为1,k的值为()A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.46.菱形ABCD的一条对角线长为6cm,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD 的周长等于()A.10cm B.12 cm C.16cm D.12cm或16cm 7.九江某快递公司随着网络的发展,业务增长迅速,完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相同,设为x.则可列方程为()A.10x+x2=12.1 B.10(x+1)=12.1C.10(1+x)2=12.1 D.10+10(1+x)=12.18.一件商品标价100元,连续两次降价后的价格为81元,则两次平均降价的百分率是()A.10% B.15% C.18% D.20%9.某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的宽为x米,根据题意可列方程为()A.x(x﹣12)=200 B.2x+2(x﹣12)=200C.x(x+12)=200 D.2x+2(x+12)=20010.如图所示,在一幅长80cm ,宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是5400cm 2,设金色纸边的宽为xcm ,那么x 满足的方程是( )A .x 2+130x ﹣1400=0B .x 2+65x ﹣350=0C .x 2﹣130x ﹣1400=0D .x 2﹣65x ﹣350=0二.填空题11.已知一个一元二次方程x 2﹣7x +1=0,设方程的两个根为x 1,x 2,则x 1﹣x 2= . 12.已知关于x 的方程(x ﹣2)2﹣4|x ﹣2|﹣k =0有四个根,则k 的范围为 . 13.若a ,b 是关于x 的方程(x +c )(x +d )=1的两根,则(a +c )(b +c )= . 14.方程x 2﹣4x +3a 2﹣1=0在区间[﹣1,1]上有实根,则实数a 的取值范围为 . 15.工人师傅童威准备在一块长为60,宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等,且与各边垂直的小路.四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形,且边长是小路宽度的8倍.若四条小路所占面积为160.设小路的宽度为x ,依题意列方程,化为一般形式为 .16.已知a 是方程2x 2﹣x ﹣4=0的一个根,则代数式4a 2﹣2a +1的值为 . 17.某种药原来每瓶售价为40元,经过两次降价,现在每瓶售价为25.6元,若设平均每次降低的百分率为x ,根据题意列出方程为 .18.2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛(CBA ),继续采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),总比赛场数为380场.求有多少支队伍参加比赛?设参赛队伍有x 支,则可列方程为 .三.解答题19.用适当的方法解下列方程:(1)x2﹣6x﹣6=0(2)2x2﹣x﹣15=020.已知关于x的方程x2﹣4x+m+2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为满足条件的最大整数,求方程的根.21.先仔细阅读材料,再尝试解决问题:我们在求代数式x2﹣2x+3的最大或最小值时,通过利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对式子作如下变形:x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=(x﹣1)2+2,因为(x﹣1)2≥0,所以(x﹣1)2+2≥2,因此(x﹣1)2+2有最小值2,所以,当x=1时,(x﹣1)2+2=2,x2﹣2x+3的最小值为2.同理,可以求出﹣x2﹣4x+3的最大值为7.通过上面阅读,解决下列问题:(1)填空:代数式x2+4x+5的最小值为;代数式﹣2x2+2x+7的最大值为;(2)求代数式的最大或最小值,并写出对应的x的取值;(3)求代数式x2+mx+m2﹣x﹣2m的最大或最小值,并写出对应的x、m的值.22.某农场今年第一季度的产值为50万元,第二季度由于改进了生产方法,产值提高了20%;但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善.导致其第四季度的产值与第二季度的产值相比下降了11.4万元.(1)求该农场在第二季度的产值;(2)求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率.23.某学校为了美化校园环境,向园林公司购买一批树苗.公司规定:若购买树苗不超过60棵,则每棵树售价120元;若购买树苗超过60棵,则每增加1棵,每棵树售价均降低0.5元,且每棵树苗的售价降到100元后,不管购买多少棵树苗,每棵售价均为100元.(1)若该学校购买50棵树苗,求这所学校需向园林公司支付的树苗款;(2)若该学校向园林公司支付树苗款8800元,求这所学校购买了多少棵树苗.参考答案一.选择题1.解:方程整理得:x 2﹣x =0, 分解因式得:x (x ﹣1)=0, 解得:x =0或x =1, 故选:A .2.解:∵一元二次方程x 2﹣2x +1﹣a =0无实根, ∴△=(﹣2)2﹣4×1×(1﹣a )<0, 解得,a <0, 故选:A .3.解:∵x 1,x 2是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣2,x 1x 2=﹣1,x 12x 2+x 1x 22=x 1x 2(x 1+x 2)=2.故选:B .4.解:∵当x >0时,反比例函数y =的函数值随自变量的增大而减小, ∴k >0,∵x 2﹣2(k +1)x +k 2﹣1=0,∴△=[﹣2(k +1)]2﹣4×1×(k 2﹣1)=8k +8>0,∴关于x 的方程x 2﹣2(k +1)x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根, 故选:C .5.解:把x =1代入方程得1+k ﹣5=0, 解得k =4. 故选:D .6.解:解方程x 2﹣7x +12=0得:x =3或4, 即AB =3或4, ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =AD =DC =BC ,当AD =DC =3cm ,AC =6cm 时,3+3=6,不符合三角形三边关系定理,此时不行; 当AD =DC =4cm ,AC =6cm 时,符合三角形三边关系定理, 即此时菱形ABCD 的周长是4×4=16, 故选:C .7.解:设每月增长率为x , 根据题意得:10(1+x )2=12.1. 故选:C .8.解:设平均每次降价的百分率为x ,根据题意列方程得: 100×(1﹣x )2=81,解得x 1=0.1=10%,x 2=1.9(不符合题意,舍去), 故选:A .9.解:设场地的宽为x 米,则长为(x +12)米, 根据题意得:x (x +12)=200, 故选:C .10.解:依题意,设金色纸边的宽为xcm , (80+2x )(50+2x )=5400, 整理,得x 2+65x ﹣350=0. 故选:B .二.填空题(共8小题)11.解:由题可知:x 1+x 2=7,x 1x 2=1, ∴(x 1﹣x 2)2=(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2, ∴(x 1﹣x 2)2=49﹣4=45, ∴|x 1﹣x 2|=3, ∴x 1﹣x 2=±3, 故答案为:12.解:∵关于x 的方程(x ﹣2)2﹣4|x ﹣2|﹣k =0有四个根, (x ﹣2)2﹣4(x ﹣2)﹣k =0有两个不同根, ∴△=16+4k >0,即k >﹣4, 且两根的积为正数,即﹣k >0, ∴k <0,∴k 的范围为﹣4<k <0; 故答案为:﹣4<k <0. 13.解:∵(x +c )(x +d )=1, ∴x 2+(c +d )x +cd ﹣1=0,∴由根与系数的关系可知:a +b =﹣(c +d ),ab =cd ﹣1, ∴(a +c )(b +c )=ab +(a +b )c +c 2=cd ﹣1﹣(c +d )c +c 2=﹣1 故答案为:﹣114.解:设f (x )=x 2﹣4x +3a 2﹣1,∵方程x 2﹣4x +3a 2﹣1=0在区间[﹣1,1]上有实根, ∴f (﹣1)•f (1)=(3a 2+4)(3a 2﹣4)≤0, ∵3a 2+4>0, ∴3a 2﹣4≤0, ∴a 2≤,∴实数a 的取值范围是﹣≤a ≤;故答案为:﹣≤a ≤.15.解:设小路的宽度为x 米,则小正方形的边长为4x 米, 依题意得:(60+8x +48+8x )x =160整理得:4x2+27x﹣40=0,故答案为:4x2+27x﹣40=0.16.解:∵a是方程2x2=x+4的一个根,∴2a2﹣a=4,∴4a2﹣2a+1=2(2a2﹣a)+1=2×4+1=9.故答案为:9.17.解:设平均每次降低的百分率为x,根据题意得:40(1﹣x)2=25.6.故答案是:40(1﹣x)2=25.6.18.解:设参赛队伍有x支,则x(x﹣1)=380.故答案为:x(x﹣1)=380.三.解答题(共5小题)19.解:(1)∵a=1,b=﹣6,c=﹣6,∴△=(﹣6)2﹣4×1×(﹣6)=60>0,则x==3±;(2)∵2x2﹣x﹣15=0,∴(x﹣3)(2x+5)=0,则x﹣3=0或2x+5=0,解得x=3或x=﹣2.5.20.解:(1)∵关于x的方程x2﹣4x+m+2=0有两个不相等的实数根,∴b2﹣4ac=16﹣4(m+2)>0,解得:m<2;(2)∵m<2,∴m的最大整数值为:1,当m=1时,x2﹣4x+3=0,(x﹣1)(x﹣3)=0,解得:x1=1,x2=3.21.解:(1)x2+4x+5=(x+2)2+1,∴x2+4x+5的最小值为1;﹣2x2+2x+7=﹣2(x﹣)2+,∴﹣2x2+2x+7的最大值为;故答案为1,;(2)∵2x2+4x+5=2(x+1)2+3,当x=﹣1时,2x2+4x+5有最小值3,∴当x=﹣1时,有最大值;(3)x2+mx+m2﹣x﹣2m=x2+(m﹣1)x+m2﹣2m=(x+)2+,当x=时,最小值为,∵=,当m=1时有最小值为﹣1,∴当m=1时x2+mx+m2﹣x﹣2m的最小值为﹣1,∴m=1,x=0.22.(1)解:设该农场在第二季度的产值为m万元,根据题意得m=50×(1+20%)=60(万元)(2)解:设该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为x,根据题意得:该农场第四季度的产值为60﹣11.4=48.6万元列方程,得:60(1﹣x)2=48.6即(1﹣x)2=0.811﹣x=±0.9解得:x1=0.1x2=1.9(不符题意,舍去)答:该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为10%23.解:(1)∵50<60,∴120×50=6000元,答:这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.(2)∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60=7200元<8800元,∴该中学购买的树苗超过60棵,∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元,∵购买树苗超过100棵后,每棵树苗的售价为100元,此时所需支付的树苗款超过100000元,而100000>8800,∴该中学购买的树苗不过100棵,设购买了x(60<x≤100)棵,根据题意可知:x[120﹣0.5(x﹣60)]=8800,解得:x=220(舍去)或x=80,答:这所学校购买了80棵树苗。

《一元二次方程》-总复习、练习、中考真题【题型解析】

《一元二次方程》-总复习、练习、中考真题【题型解析】

一元二次方程总复习考点1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。

注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

考点2:一元二次方程的解法1.直接开平方法:对形如(x+a)2=b(b≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2=-a- b2.配方法:用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(k≠0)的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将常数项移到方程的右边;③化二次项系数为 1,即方程两边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;化原方程为(x+a)2=b 的形式;⑤如果b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解;如果b≤0,则原方程无解.3.公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是x = - b±b 2 - 4ac (b2-4ac≥0)。

步骤:①把方程转化为一般形2a式;②确定 a,b,c 的值;③求出 b2-4ac 的值,当 b2-4ac≥0 时代入求根公式。

4.因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:若ab=0,则 a=0 或b=0。

步骤是:①将方程右边化为 0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。

5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0 时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定a,b,c 的值;②若b2-4ac<0,则方程无解.⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4) 2 =3(x+4)中,不能随便约去 x+4。

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2017年中考备考专题复习:一元二次方程一、单选题(共15题;共30分)1、(2016•江西)设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,则αβ的值是()A、2B、1C、﹣2D、﹣12、(2016•金华)一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1,x2, 则下列结论正确的是( )A、x1=﹣1,x2=2B、x1=1,x2=﹣2C、x1+x2=3D、x1x2=23、(2016•福州)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是()A、a>0B、a=0C、c>0D、c=04、(2016•荆门)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )A、x1=0,x2=6B、x1=1,x2=7C、x1=1,x2=﹣7D、x1=﹣1,x2=75、(2016•玉林)若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点,则有()A、mn≥﹣9B、﹣9≤mn≤0C、mn≥﹣4D、﹣4≤mn≤06、(2016•玉林)关于x的一元二次方程:x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,则m2( )=( )A 、B、-C、4D、﹣47、(2016•自贡)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,则m的取值范围是( )A、m>1B、m<1C、m≥1D、m≤18、(2016•大庆)若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,设M=1﹣ac,N=(ax0+1)2,则M与N的大小关系正确的为()A、M>NB、M=NC、M<ND、不确定9、(2016•呼和浩特)已知a≥2,m2﹣2am+2=0,n2﹣2an+2=0,则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是( )A、6B、3C、﹣3D、010、(2016•包头)若关于x的方程x2+(m+1)x+ =0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是( )A、﹣B、C、﹣或D、111、(2016•黔东南州)已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m、n,则m+n的值为( )A、﹣2B、﹣1C、1D、212、(2016•雅安)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为()A、4,﹣2B、﹣4,﹣2C、4,2D、﹣4,213、(2016•贵港)若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b,且a2﹣ab+b2=18,则+ 的值是( )A、3B、﹣3C、5D、﹣514、(2016•梧州)青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg,2012年平均每公顷产8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率,设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则所列方程正确的为()A、7200(1+x)=8450B、7200(1+x)2=8450C、7200+x2=8450D、8450(1﹣x)2=720015、(2016•枣庄)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )A 、B 、C、D 、二、填空题(共5题;共5分)16、(2016•德州)方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1, x2, 则x12+x22=________.17、(2016•菏泽)已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m=________. 18、(2016•黄石)关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是________.19、(2016•丹东)某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为________.20、(2016•内蒙古)如图,某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为________ m.三、解答题(共4题;共25分)21、(2016•潍坊)关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是,求另一个根及m的值.22、(2016•岳阳)已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5的值(要求先化简再求值).23、(2016•新疆)周口体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?24、(2016•巴中)随着国家“惠民政策”的陆续出台,为了切实让老百姓得到实惠,国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为,某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,求该种药品平均每场降价的百分率.四、综合题(共2题;共25分)25、(2016•荆州)已知在关于x的分式方程①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.(1)求k的取值范围;(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根; (3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.26、(2016•湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个,求该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共100间,这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位),双人间(2个养老床位),三人间(3个养老床位),因实际需要,单人间房间数在10至30之间(包括10和30),且双人间的房间数是单人间的2倍,设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个,求t的值;ﻬ答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,∴αβ= ,故选D.【分析】本题考查根与系数的关系,解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值.根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,由根与系数的关系可以求得αβ的值,本题得以解决.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=﹣=3,x1•x2= =﹣2,∴C选项正确.故选C.【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣=3,x1•x2==﹣2”,再结合四个选项即可得出结论.本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出x1+x2=3,x1•x2=﹣2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.【答案】D【考点】根的判别式【解析】【解答】解:∵一元二次方程有实数根,∴△=(﹣4)2﹣4ac=16﹣4ac≥0,且a≠0,∴ac≤4,且a≠0;A、若a>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;B、a=0不符合一元二次方程的定义,此选项错误;C、若c>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;D、若c=0,则ac=0≤4,此选项正确;故选:D.【分析】根据方程有实数根可得ac≤4,且a≠0,对每个选项逐一判断即可.本题主要考查根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法,二次函数的性质【解析】【解答】解:∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,∴﹣=3,解得m=﹣6,∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.故选D.【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值,再把m的值代入方程x2+mx=7,求出x的值即可.本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键.【答案】A【考点】根的判别式,反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解:依照题意画出图形,如下图所示.将y=mx+6代入y= 中,得:mx+6=,整理得:mx2+6x﹣n=0,∵二者有交点,∴△=62+4mn≥0,∴mn≥﹣9.故选A.【分析】依照题意画出图形,将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,得出关于x的一元二次方程,由两者有交点,结合根的判别式即可得出结论.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式,解题的关键由根的判别式得出关于mn的不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,画出图形,利用数形结合解决问题是关键.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,∴,∴则m2()== =﹣4.故答案选D.【分析】根据所给一元二次方程,写出韦达定理,代入所求式子化简.本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,属基础题,熟练掌握韦达定理是解题关键.【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣(m﹣2)]≥0,解得m≥1,故选C.【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,可知△≥0,从而可以求得m的取值范围.本题考查根的判别式,解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时,△≥0.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解:∵x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,∴ax02+2x0+c=0,即ax02+2x0=﹣c,则N﹣M=(ax0+1)2﹣(1﹣ac)=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a(ax02+2x0)+ac=﹣ac+ac=0,∴M=N,故选:B.【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c,作差法比较可得.本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小,熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本,利用作差法比较大小是解题的关键.【答案】A【考点】根与系数的关系,二次函数的最值【解析】【解答】解:∵m2﹣2am+2=0,n2﹣2an+2=0,∴m,n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根,∴m+n=2a,mn=2, ∴(m﹣1)2+(n﹣1)2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=(m+n)2﹣2mn﹣2(m+n)+2=4a2﹣4﹣4a+2=4(a﹣)2﹣3,∵a≥2,∴当a=2时,(m﹣1)2+(n﹣1)2有最小值,∴(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值=4(a﹣)2+3=4(2﹣)2﹣3=6,故选A.【分析】根据已知条件得到m,n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系得到m+n=2a,mn=2,于是得到4(a﹣)2﹣3,当a=2时,(m﹣1)2+(n﹣1)2有最小值,代入即可得到结论.本题考查了根与系数的关系,二次函数的最值,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 【答案】C【考点】一元二次方程的解,根与系数的关系【解析】【解答】解:由根与系数的关系可得:x1+x2=﹣(m+1),x1•x2= ,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1,若是1时,即1+x2=﹣(m+1),而x2=,解得m=﹣;若是﹣1时,则m= .故选:C.【分析】由根与系数的关系可得:x1+x2=﹣(m+1),x1•x2= ,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1,然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值.本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系.解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m、n,∴m+n=﹣=2.故选D.【分析】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出m+n=2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值,由此即可得出结论.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:由根与系数的关系式得:2x2=﹣8,2+x2=﹣m=﹣2,解得:x2=﹣4,m=2,则另一实数根及m的值分别为﹣4,2,故选D【分析】此题考查了根与系数的关系式,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键.根据题意,利用根与系数的关系式列出关系式,确定出另一根及m的值即可.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵a、b为方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根,∴a+b=3,ab=p,∵a2﹣ab+b2=(a+b)2﹣3ab=32﹣3p=18,∴p=﹣3.当p=﹣3时,△=(﹣3)2﹣4p=9+12=21>0,∴p=﹣3符合题意.+== =﹣2= ﹣2=﹣5.故选D.【分析】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用,解题的关键是求出p=﹣3.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p,利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成(a+b)2﹣3ab=18,代入数据即可得出关于p的一元一次方程,解方程即可得出p的值,经验证p=﹣3符合题意,再将+变形成﹣2,代入数据即可得出结论.【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解:由题意可得,7200(1+x)2=8450,故选B.【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程组,解题的关键是明确题意,列出相应的一元二次方程组.【答案】B【考点】根的判别式,一次函数的图象【解析】【解答】解:∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,∴△=4﹣4(kb+1)>0,解得kb<0,A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确;故选:B.【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可.本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.二、填空题【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解:∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1, x2, ∴x1+x2=﹣=,x1•x2= =﹣,∴x12+x22=﹣2x1•x2= ﹣2×(﹣)=.故答案为:.【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2=﹣=,x1•x2= =﹣”,再利用完全平方公式将x12+x22转化成﹣2x1•x2,代入数据即可得出结论.本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式,解题的关键是求出x1+x2=,x1•x2=﹣.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积,再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键.【答案】6【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解:∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,∴m2﹣2m﹣3=0,∴m2﹣2m=3,∴2m2﹣4m=6,故答案为:6.【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,通过变形可以得到2m2﹣4m值,本题得以解决.本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.【答案】m>【考点】根的判别式,根与系数的关系,解一元一次不等式组【解析】【解答】解:设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根,由已知得:,即解得:m> .故答案为:m> .【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根.由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组,解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键.【答案】60(1+x)2=100【考点】一元二次方程的应用,根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】解:设平均每月的增长率为x,根据题意可得:60(1+x)2=100.故答案为:60(1+x)2=100.【分析】本题考查的是一个增长率问题,关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数,列出方程.设平均每月的增长率为x,根据4月份的营业额为60万元,6月份的营业额为100万元,分别表示出5,6月的营业额,即可列出方程.【答案】2【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解:设人行道的宽度为x米,根据题意得,(30﹣3x)(24﹣2x)=480,解得x1=20(舍去),x2=2.即:人行通道的宽度是2m.故答案是:2.【分析】设人行道的宽度为x米,根据矩形绿地的面积之和为480米2,列出一元二次方程.本题考查了一元二次方程的应用,利用两块相同的矩形绿地面积之和为480米2得出等式是解题关键.三、解答题【答案】解:设方程的另一根为t.依题意得:3×( )2+ m﹣8=0,解得m=10.又t=﹣,所以t=﹣4.综上所述,另一个根是﹣4,m的值为10【考点】根与系数的关系【解析】【分析】由于x=是方程的一个根,直接把它代入方程即可求出m的值,然后由根与系数的关系来求方程的另一根.此题考查了根与系数的关系,一元二次方程的根的定义,把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值.【答案】(1)证明:∵关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.∴△=(2m+1)2﹣4m(m+1)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根(2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0,∴m=0或m=﹣1,把m=0或m=﹣1代入(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5,可得:(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=5,或(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=3﹣3+5=5. 【考点】一元二次方程的解,根的判别式【解析】【分析】(1)找出a,b及c,表示出根的判别式,变形后得到其值大于0,即可得证.(2)把x=0代入方程即可求m的值,然后将其整体代入所求的代数式并求值即可.本题考查了根的判别式和一元二次方程的解.解题时,逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值,在解题时要重视解题思路的逆向分析.【答案】解:设要邀请x支球队参加比赛,由题意,得x(x﹣1)=28,解得:x1=8,x2=﹣7(舍去).答:应邀请8支球队参加比赛【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设要邀请x支球队参加比赛,则比赛的总场数为x(x﹣1)场,与总场数为28场建立方程求出其解即可.本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键.【答案】解:设该种药品平均每场降价的百分率是x,由题意得:200(1﹣x)2=98解得:x1=1.7(不合题意舍去),x2=0.3=30%.答:该种药品平均每场降价的百分率是30%【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x,则两个次降价以后的价格是200(1﹣x)2,据此列出方程求解即可.此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.四、综合题【答案】(1)解:∵关于x的分式方程的根为非负数,∴x≥0且x≠1,又∵x= ≥0,且≠1,∴解得k≥﹣1且k≠1,又∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0中2﹣k≠0,∴k≠2,综上可得:k≥﹣1且k≠1且k≠2;(2)解:∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,∴把k=m+2,n=1代入原方程得:﹣mx2+3mx+(1﹣m)=0,即:mx2﹣3mx+m﹣1=0,∴△≥0,即△=(﹣3m)2﹣4m(m﹣1),且m≠0,∴△=9m2﹣4m(m﹣1)=m(5m+4),∵x1、x2是整数,k、m都是整数,∵x1+x2=3,x1•x2==1﹣,∴1﹣为整数,∴m=1或﹣1,由(1)知k≠1,则m+2≠1,m≠-1∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:x2﹣3x+1﹣1=0,x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x1=0,x2=3;(3)解:|m|≤2不成立,理由是:由(1)知:k≥﹣1且k≠1且k≠2,∵k是负整数,∴k=﹣1,(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0且方程有两个实数根x1、x2,∴x1+x2=﹣= =﹣m,x1x2= =,x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2,x12+x22═x1x2+k2,(x1+x2)2﹣2x1x2﹣x1x2=k2,(x1+x2)2﹣3x1x2=k2,(﹣m)2﹣3×=(﹣1)2,m2﹣4=1,m2=5,m=±,∴|m|≤2不成立.【考点】根的判别式,根与系数的关系,分式方程的解【解析】【分析】(1)先解出分式方程①的解,根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值;(2)先把k=m+2,n=1代入方程②化简,由方程②有两个整数实根得△是完全平方数,列等式得出关于m的等式,由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1,分别代入方程后解出即可.(3)根据(1)中k的取值和k为负整数得出k=﹣1,化简已知所给的等式,并将两根和与积代入计算求出m的值,做出判断.本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,考查了根的判别式及分式方程的解;注意:①解分式方程时分母不能为0;②一元二次方程有两个整数根时,根的判别式△为完全平方数.【答案】(1)解:设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x,由题意可列出方程:2(1+x)2=2.88,解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.(2)解:设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30),则建造双人间的房间数为2t,三人间的房间数为100﹣3t,由题意得:t+4t+3(100﹣3t)=200,解得:t=25.答:t的值是25.②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?解:设该养老中心建成后能提供养老床位y个,由题意得:y=t+4t+3(100﹣3t)=﹣4t+300(10≤t≤30),∵k=﹣4<0,∴y随t的增大而减小.当t=10时,y的最大值为300﹣4×10=260(个),当t=30时,y的最小值为300﹣4×30=180(个).答:该养老中心建成后最多提供养老床位260个,最少提供养老床位180个.【考点】一元一次方程的应用,一元二次方程的应用,一次函数的应用【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)根据数量关系列出关于x的一元二次方程;(2)①根据数量关系找出关于t的一元一次方程;②根据数量关系找出y关于t的函数关系式.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出方程(方程组或函数关系式)是关键.(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x,根据“2015年的床位数=2013年的床位数×(1+增长率)的平方”可列出关于x的一元二次方程,解方程即可得出结论;(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30),则建造双人间的房间数为2t,三人间的房间数为100﹣3t,根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程,解方程即可得出结论;②设该养老中心建成后能提供养老床位y个,根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式,根据一次函数的性质结合t的取值范围,即可得出结论.。

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