高三理科985清北班第三讲(课程资料)

.
（1）求 （2）若
的值； ，
，求 的值.
1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝
A． 1 2
C． 3 3
B． 3 2
D． 3
2．已知
A． 24 25
C． 12 25
，则 的值是
B． 12 25
D． 24 25
3．已知锐角, 满足 sin 10 , cos 2 5 ，则 的值为
2 ( ) ， 2 ( ) ， ， .
2
2
2
2
（2）互余与互补关系
例如： ( π ) (3π ) π ， ( π ) ( π ) π .
4
4
3
6
2
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
典例 2 求下列各式的值：
2．化简要求 （1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； （3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．
典例 1 化简：
.
【解析】原式
. 【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次， 切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． (2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值． (3)在化简时要注意角的取值范围.
（5） T( ) ：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
(, ,
π 2
kπ, k
Z)
（6） T( ) ：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
( , ,
π 2
kπ, k
Z)
2．二倍角公式
（1）S2 ： sin 2 2sin cos
（2） C2 ： cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
4．已知
tan
2 5
，
tan
π 4
1 4
，则
cos cos
sin sin
的值为______________.
考向三 三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成 y=Asin(ωx＋φ)＋t 或 y=Acos(ωx＋φ)＋t 的形式．
（1）积化和差公式：
cos cos 1 [cos( ) cos( )] ； 2
sin sin 1 [cos( ) cos( )]； 2
sin cos 1 [sin( ) sin( )]； 2
cos sin 1 [sin( ) sin( )] . 2
角均在 (0, π ) 内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意. 2
典例 5 已知函数
.
（1）求函数 的对称中心及最小正周期；
（2）△ABC 的外接圆直径为 ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若
，且
，
求 的值.
【解析】（1） f (x) 4
3sinxcosx sin2x 3cos2x 1 2
一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） C( ) ： cos( ) cos cos sin sin
（2） C( ) ： cos( ) cos cos sin sin
（3）S( ) ： sin( ) sin cos cos sin
（4）S( ) ： sin( ) sin cos cos sin
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的 条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a·b=x1x2 ＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函 数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题 （1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于 π，可以根据此关系把未知量减少，再用三 角恒等变换化简求解； （2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解． 【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个
3
sin
2
x
2
cos
2x
4sin
2x
π 6
.
由 2π π ，得最小正周期为 . 2
令 2x π kπ(k Z) ，得 x π kπ (k Z) ，
6
12 2
故对称中心为
π 12
kπ 2
，0
（
）.
（2）∵
，∴ .
∵
，
，∴
，
∵
，∴
又∵
，∴
， ，
即
，即
，
∵
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，∴
.
∴
.
5．已知向量 a sin, 2,b cos,1 ，且 a, b 共线，其中
10
5
A． 3π 4
C． π 6
B． π 4
D． 3π 或 π 44
4．已知
，则
A．
B．
C．
D．
5．已知 为锐角， 为第二象限角，且
A． 1 2
C． 3 2
6．函数
A． x π 4
C． x π 8
图象的一条对称轴为
7．已知 cos2 5 ，则
2sin
π 4
2
A． 1 8
C． 1 8
（2）求 的值.
典例 4 在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作角 ，角 的终边经过点
.
（1）求 的值；
（2）求
的值.
【解析】（1）由于角 的终边经过点
，
所以
，
.
.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条 件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件 和结论中的角，合理拆、配角.
，
，则
B． 1 2
D． 3 2
B． x π 8
D． x π 4
B． 8
D．8
8．已知 cos 5 ，且
，则
__________．
5
9．已知
，则 __________ (填“>”或 “<”)；
__________(用 表示).
10．在斜三角形 ABC 中， tanA tanB tanAtanB 1，则 C _____________.
（3） T2
：
tan
2
2 tan 1 tan2
(
kπ
π 2
且
kπ 2
π 4
,k
Z)
3．公式的常用变形
（1） tan tan tan( )(1 tan tan ) ； tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan( ) tan( )
（2）降幂公式： sin2 1 cos 2 ； cos2 1 cos 2 ； sin cos 1 sin 2
（2）和差化积公式：学科+网
sin sin 2sin cos ；
2
2
sin sin 2cos sin ；
2
2
cos cos 2cos cos ；
2
2
cos cos 2sin sin .
2
2
考向一 三角函数式的化简
1．化简原则 （1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”； （3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 (0, π ) ，则选正、余弦皆可；若角的范 2
围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 ( π , π) ，则选正弦较好. 22
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如： ， 2 ,2 ，
又 π <β<π,所以−π<2α−β<0,所以 2α−β= 3π .故选 C．
2
4
【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角
函数值尽可能地缩小角的范围.
3．已知 cos 1 , cos( ) 13 ，且 0 .
7
14
2
（1）求 tan 2 的值．
三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要 求记忆）.
4
,
3
2
所以
tan2 tan tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]= 1 tan2 tan
4 3
1 7
1
4 3
1 7
=1.
tan tan 又 tan α=tan[(α−β)+β]= 1 tan tan
1 2
1 7
1
1 2
1 7