上饶县二中第三届教师解题大赛历史

上饶县二中第三届教师解题大赛数 学 试 题一、选择题：1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多3. 若复数z 满足方程220z +=，则3z = ( )A.±--D. ±4. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10 C ．5- D ．55. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ） A ．)33(8+B. C.8(2D. 6. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ） A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(= C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=8. 如右图，从半径为(1m的一个圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个边长等于该正方形边长的正三角形（三角形的一个顶点在圆周上）的纸板，并将它折叠成一个正四棱锥，则该棱锥的体积是（ ）(A)2. (B) 2. (C)2m . (D) 2. 9 迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是（ ）.(A)1643 (B)1679 (C)1681 (D)169710.过双曲线12222=-by a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PN PM ⋅的值是（ ）A. 22b a +B. ab 2C. 2aD. 2b第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上. 11．考试说明中了解二种常见的统计方法，其中统计方法是 ．12. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 .13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水22t 升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.14. 已知,,a b c 为非负数，则(,,)c a b f a b c a b c c=+++的最小值是___． 15．（注意：请在下列二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）A ．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．B ．（不等式选讲选做题）若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.第8题图学 姓名 座位号： --------------------------------------------------密----------------------------------封---------------------------------线--------------------------------------------三、解答题：本大题共6小题,.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分9分）规定记号“∆”表示一种运算，即a b a ∆，记()()(sin 2)cos2f x x x =∆.（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求函数()y f x =的最小正周期；（3）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求()()()00023f x f x x ++的值.17. （本小题满分9分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图像经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++== 21,2，求n T .18. （本小题满分10分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求证：DM EB ⊥；（2）求二面角M BD A --的余弦值．19. （本小题满分10分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率；(3)取球次数的分布列和数学期望.B 学科 姓名 座位号： --------------------------------------------------密----------------------------------封---------------------------------线--------------------------------------------20. （本小题满分11分）设点(,)M x y 到直线4x =的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M 的轨迹曲线为C 。

（I ）求曲线C 的方程；（II ）设过定点（0，2）的直线l 与曲线C 交于不同的两点E ，F ，且90EOF ∠=︒（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的值； （III）设(2,0),(0,A B 是曲线C 的两个顶点，直线(0)y mx x =>与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

21. （本小题满分11分）设函数1()x f x x ae -=-。

（Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若()0f x x R ≤∈对恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）对任意n 的个正整数1212,,,.n n a a a a a a A n ++= 记（1）求证：1(1,2,)aiiA a e i n A-≤= （2）求证：A ≥．数学参考答案1.C2.B 3D 4B5. A. ∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,∴)33(842360sin 42122+=⨯⨯+︒⨯⨯=S . 6. C. 注意到已知不等式等价与33sin sin cos cos θθθθ+>+．显然3()f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，于是有不等式(sin )(cos )f f θθ>，从而，得sin cos θθ>，再结合()0,2θπ∈，便得544ππθ<<．故选C.7. D. 根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D 成立. 8.A ．9：C10. C . 设),(y x p ，则(,),(,),a aM y y N y y b b - 于是(,0)(,0)a a PM PN y x y x b b⋅=-⋅-- 22222222222221()()()a a a a b y x y x x y b x a y a b b b b b=---=-=-==． 11. 独立性检 回归分析12.2.9基本事件Ω为由直线6x y +=与x 轴、y 轴围成的三角形为图中OCD ∆，其面积为166182S =⨯⨯=，其中区域A 为OBE ∆，面积为114242S =⨯⨯=，所以142189S P S ===.填2.913. 4．设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设知，2217289200342220022y t t t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()0t >，当178.52t ==时，y 取最小值，此时共放浴用水348.5289⨯=升，而2892946565=，故一次至多可供4人洗浴． 14. 215．A. 22(2)4x y +-=，)2,2(πB. 2或8.由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或8.C.∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠= ,∴120POD ∠=,在△POD 中由余弦定理得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠ =1414()72+-⨯-=.∴PD =16. （1）()sin 22f x x x =1sin 2x x =+；……….3分 （2）因()2sin(2)13f x x π=++，因此()f x 的最小正周期为π； ……….7分 （3）由题意，022,32x k πππ+=+即0,12x k k Zππ=+∈；因此()()()00023f x f x x ++=252(sin sin sin )36236πππ+++=+ ……….9分 17. （1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(l o g )(3-=∴x x f ， *)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- . ………2分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T112122123+----=n n n . nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-. ……….9分 18.建立如图所示的空间直角坐标系， 并设22EA DA AB CB ====，则（1）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥； ……….3分（2）设1(,,)n x y z =是平面BD M 的 法向量，则由1n DM ⊥ ，1n DB ⊥及 31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n = ．显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． ……….10分 19. (1)设取球次数为ξ，则()()11182211110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=. 所以最多取两次的概率14952525P =+=. ………3分 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. ………6分 (3)设取球次数为η，则()()218241,2105101025P P ηη=====⨯=， ()88281631010101025P η⎛⎫==⨯⨯+=⎪⎝⎭，则分布列为取球次数的数学期望为1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯=. ……….10分 20. (Ⅰ)设曲线C 上的任意一点),(y x P 则有2)1(422=+--yx x 化简得:13422=+y x ………3分(Ⅱ)设直线l 的方程为2+=kx y ,与椭圆的交点),(),,(2211y x F y x E⎩⎨⎧=++=1243222y x kx y ⇒0416)43(22=+++kx x k ，0)43(16)16(22>+-=∆k k ⇒21-<k 或同21>k ，2214316k k x x +-=+,221434k x x +=…6分因为l 与椭圆交于不同的两点F E ,且EOF ∠=90 得0=⋅,02121=+y y x x ，0)2)(2(2121=+++kx kx x x ，04)(2)1(21212=++++x x k x x k ，04433243)1(42222=++-++k k k k 解得:332±=k (满足21-<k 或21>k )………7分 (Ⅲ) ⎩⎨⎧=+>=1243)0(22y x m mx y 解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212143124312m m y m x ;⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=222243124312m m y m x 即)4312,4312(22m m m E ++,)4312,4312(22mm m F +-+- 1122y AO x BO S S S FO A BO E AEBF ⋅+⋅=+=∆∆四边形…9分224312243123mm m +++= 24312)23(m m ++=)34341(3234)3344(32222++=+++=m mm m m)34341(32mm ++=因为3434≥+mm 所以62)34341(32≤++mm (当且仅当23=m 时取等号)即AEBF S 四边形的最大面积为62(当23=m 时取等号) ……11分21. （Ⅰ）1()1x f x ae -'=-…1分当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上是增函数……1分 当0a >时，令()0f x '=得1ln x a =-3分若1ln x a <-则()0f x '>，从而()f x 在区间(,1ln )a -∞-上是增函数若1ln x a >-则()0f x '<，从而()f x 在区间(1ln ,)a -+∞上是减函数综上可知：当0a ≤时，()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数。