Excel回归分析结果的详细阐释

Excel回归分析结果的详细阐释利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。

下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。

图1 连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980）回归结果摘要（Summary Output）如下（图2）：图2 利用数据分析工具得到的回归结果第一部分：回归统计表这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：表1 回归统计表逐行说明如下：Multiple 对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=0.989416。

R Square 对应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R 2=0.9894162=0.978944。

Adjusted 对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为1)1)(1(12-----=m n R n R a式中n 为样本数，m 为变量数，R 2为测定系数。

对于本例，n =10，m =1，R 2=0.978944，代入上式得976312.01110)978944.01)(110(1=-----=a R标准误差（standard error ）对应的即所谓标准误差，计算公式为SSe 11--=m n s这里SSe 为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得418924.110676.16*11101=--=s最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n =10。

第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F 值、P 值等（表2）。

表2 方差分析表（ANOVA ）逐列、分行说明如下：第一列df 对应的是自由度（degree of freedom ），第一行是回归自由度dfr ，等于变量数目，即dfr=m ；第二行为残差自由度dfe ，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n -m -1；第三行为总自由度dft ，等于样本数目减1，即有dft=n -1。

对于本例，m =1，n =10，因此，dfr=1，dfe=n -m -1=8，dft=n -1=9。

第二列SS 对应的是误差平方和，或称变差。

第一行为回归平方和或称回归变差SSr ，即有8542.748)ˆ(SSr 12=-=∑=ni i i y y它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。

第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe ，即有10676.16)ˆ(SSe 12=-=∑=ni i i yy它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。

上述的y 的标准误差即由SSe 给出。

第三行为总平方和或称总变差SSt ，即有它表示的是因变量对其平均值的总偏差。

容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有SSt SSe SSr =+而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有978944.0961.7648542.748SSt SSr 2===R 显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。

第四列MS 对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。

第一行为回归均方差MSr ，即有8542.74818542.748dfr SSr MSr ===第二行为剩余均方差MSe ，即有013345.2810676.16dfe SSe MSe ===显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。

第四列对应的是F 值，用于线性关系的判定。

对于一元线性回归，F 值的计算公式为22221dfe )1(11RR R m n R F -=---=式中R 2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此9453.371978944.01978944.0*8=-=F第五列Significance F 对应的是在显著性水平下的F α临界值，其实等于P 值，即弃真概率。

所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P 便是模型为真的概率。

可见，P 值越小越好。

对于本例，P =0.0000000542<0.0001，故置信度达到99.99%以上。

第三部分，回归参数表回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。

表3 回归参数表第一列Coefficients 对应的模型的回归系数，包括截距a =2.356437929和斜率b =1.812921065，由此可以建立回归模型i i x y8129.13564.2ˆ+= 或961.764)(SSr 12=-=∑=ni i i y yi i i x y ε++=8129.13564.2第二列为回归系数的标准误差（用a s ˆ或b s ˆ表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。

这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。

例如L. Benguigui 等人在When and where is a city fractal ?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用0.04作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。

不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t 检验中。

第三列t Stat 对应的是统计量t 值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。

t 值是回归系数与其标准误差的比值，即有a a s a t ˆ=，b b sb t ˆ=根据表3中的数据容易算出：289167.1827876.1356438.2==a t ，28588.19094002.0812921.1==b t 对于一元线性回归，t 值可用相关系数或测定系数计算，公式如下112---=m n RR t将R=0.989416、n =10、m =1代入上式得到28588.191110989416.01989416.02=---=t对于一元线性回归，F 值与t 值都与相关系数R 等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。

但是，对于多元线性回归，t 检验就不可缺省了。

第四列P value 对应的是参数的P 值（双侧）。

当P<0.05时，可以认为模型在α=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P <0.01时，可以认为模型在α=0.01的水平上显著，或者置信度达到99%；当P <0.001时，可以认为模型在α=0.001的水平上显著，或者置信度达到99.9%。

对于本例，P=0.0000000542<0.0001，故可认为在α=0.0001的水平上显著，或者置信度达到99.99%。

P 值检验与t 值检验是等价的，但P 值不用查表，显然要方便得多。

最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。

可以看出，在α=0.05的显著水平上，截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153，即有57153.685865.1≤≤-a斜率的变化极限则为1.59615和2.02969，即有02969.259615.1≤≤b第四部分，残差输出结果这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。

残差输出中包括观测值序号（第一列，用i 表示），因变量的预测值（第二列，用i y ˆ表示），残差（residuals ，第三列，用e i 表示）以及标准残差（表4）。

表4 残差输出结果预测值是用回归模型i i x y8129.13564.2ˆ+= 计算的结果，式中x i 即原始数据的中的自变量。

从图1可见，x 1=15.2，代入上式，得118129.13564.2ˆx y+=91284.292.15*8129.13564.2=+= 其余依此类推。

残差e i 的计算公式为i i i yy e ˆ-= 从图1可见，y 1=28.6，代入上式，得到31284.191284.296.28ˆ111-=-=-=yy e 其余依此类推。

标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average 和标准差命令stdev 容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。

利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围，均值，标准差)立即算出表4中的结果。

当然，也可以利用数据标准化公式)var(*i i i z z z z -=ii zz σ-=逐一计算。

将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有10676.16)ˆ(1212=-==∑∑==ni i i n i i yy e SSe 利用Excel 的求平方和命令sumsq 容易验证上述结果。

以最大积雪深度x i 为自变量，以残差e i 为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。

残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。

用最大积雪深度x i 为自变量，用灌溉面积y i 及其预测值i y ˆ为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图4）。

最大积雪深度x(米) Residual Plot -3-2-10123051015202530最大积雪深度x(米)残差图3 残差图最大积雪深度x(米) Line Fit Plot 0102030405060102030最大积雪深度x(米)灌溉面积y (千亩)灌溉面积y(千亩)预测 灌溉面积y(千亩)图4 线性拟合图第五部分，概率输出结果在选项输出中，还有一个概率输出（Probability Output ）表（表5）。

第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）——选中图1中的第三列（C 列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5中的第二列数值。

当然，也可以沿着主菜单的“数据(D)→排序(S)”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。

用表5中的数据作散点图，可以得到Excel 所谓的正态概率图（图5）。

表5 概率输出表Normal Probability Plot010203040506020406080100Sample Percentile灌溉面积y (千亩)图5 正态概率图【几点说明】第一， 多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m ≠1，F 值和t 值等统计量与R 值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。

第二， 利用SPSS 给出的结果与Excel 也大同小异。

当然，SPSS 可以给出更多的统计量，如DW 值。

在表示方法上，SPSS 也有一些不同，例如P Value （P 值）用 Sig .（显著性）表征，因为二者等价。

只要能够读懂Excel 的回归摘要，就可以读懂SPSS 回归输出结果的大部分内容。