2013高考数学高频考点、提分密码：第七部分 立体几何
高考数学高频考点提分密码第七部分 立体几何
高考数学高频考点提分密码第七部分立体几何两平行平面间的距离，除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外，还可转化为求线面距离、点面距离.5.平面与平面垂直⑴利用平面与平面垂直的条件，通常在一个面内作棱的垂线，转化为线面垂直.进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算.⑵两个平面互相垂直，3个平面两两互相垂直的常用模型是长方体（正方体），因此与3个平面两两垂直有关的问题，可通过构造长方体的相交于同一顶点的3个面来处理.6.空间角⑴求空间角大小的一般步骤是“作、证、求”，三种角都是转化为相交直线所成的角或所夹的角，计算过程中要注意角的范围.也可用空间向量来求.⑵二面角的大小是通过其平面角来度量的，求二面角时首先搞清（或作出）棱，求作二面角的平面角常见的方法有：①定义法；②垂面法：过棱上一点O作棱的垂面γ，与两个半平面的交线为AO、BO，则∠AOB就是二面角的平面角；③利用三垂线定理及逆定理作角；④利用面积射影法：cosθ=，其中θ是二面角的大小，S是在其中一个面上图形的面积，S’是该图形在另一个半平面上的射影的面积.⑤用空间向量来求.7.空间距离常见的求空间距离的方法有：⑴直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤完成，⑵转化法.在直接法不易求解时，可考虑以下转化法：①点面距离、线面距离、面面距离间的互相转化；②利用三棱锥的等积变换.8.平面图形的翻折⑴在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱；⑵不变量一般是结合原图形来求、证；变化了的量应在折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；⑶多面体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离.二.简单几何体1.柱体、锥体⑴定义及性质；⑵特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、正方体；⑶正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直；⑷长方体的体对角线与棱长关系；⑸几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影；⑹侧面积：①S直棱柱侧=cl；②S 正棱锥侧=ch′；③S斜棱柱侧=c直l；其中h′为斜高，l 为侧棱长；⑺平行于棱锥的底面的截面积与底面积之比等于对应高的平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比.2.⑴球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，且过球心的截面是大圆也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.⑵球的任一截面为圆，圆心与球心的连线垂直于该平面，且球半径R，截面半径r，球心到截面的距离d满足：r=；⑶求球面上两点A、B间的距离的步骤为：①求线段AB长；②求A、B到球心O的张角，即∠AOB；③计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长；⑷长方体的对角线长是它外接球的直径.3.体积⑴对三棱锥注意顶点与底面的转换，常用换顶点方法求体积；⑵体积法可以用来求点到面的距离，多面体内切球半径；⑶较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积. 点击查看全部《2019高考数学高频考点、提分密码(10份)》。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何-推荐下载
的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到
正视图可以为
A．
B．
【答案】A 15.．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在下列命题中,不是公理的是
C．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)7：立体几何 )
2013年高考解析分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。
由三视图可知该几何体是个四棱柱。
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。
上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3C．3D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH ⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然2223a CH a ⨯===，所以223sin 3a CDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇 立体几何 第1节 空间几何体的结构及三视图和直观图(含答案)
第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。
2013高考数学选择题考点全覆盖
2013高考数学选择题考点全覆盖2013年的高考数学选择题考察了多个数学知识点，下面将对这些考点进行全面的介绍和解析。
一、函数与方程1. 一次函数考查对一次函数的性质和应用的理解。
一次函数的一般式为y = kx+ b，其中k和b为常数。
2. 二次函数考查对二次函数的图像、性质和应用的理解。
二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
3. 绝对值函数考查对绝对值函数的图像、性质和应用的理解。
绝对值函数的一般式为y = |x|。
二、平面几何1. 相似三角形考查对相似三角形的性质和应用的理解。
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 平行四边形考查对平行四边形的性质和应用的理解。
平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。
3. 圆与圆相关考查对圆的性质和应用的理解。
圆的半径、直径、弦、弧的概念，圆上两点的位置关系。
三、立体几何1. 体积与表面积考查对几何体体积和表面积的计算及应用的理解。
如正方体、长方体、圆柱体等的体积和表面积计算。
2. 立体图形的投影考查对立体图形在投影面上的视图和投影的理解。
如正交投影和斜投影。
四、概率论与统计1. 事件与概率考查对事件、样本空间、频率和概率的理解。
概率是指事件发生的可能性大小。
2. 离散型随机变量考查对随机变量及其概率分布的理解。
离散型随机变量取有限个或可数个值。
3. 统计图表的分析与应用考查对统计图表的分析和应用的理解。
如条形图、折线图、饼图等的绘制和解读。
五、数列与数学归纳法考查对数列及其性质的理解。
如等差数列和等比数列的通项公式的推导和应用。
六、解析几何考查对解析几何的基本概念和性质的理解。
如直线的方程、向量的运算、平面的方程等。
七、三角函数考查对三角函数的基本性质和应用的理解。
如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。
八、导数与微分考查对导数和微分的计算及应用的理解。
如函数的极值、导数的应用等。
九、排列组合与数学证明考查对排列组合和数学证明的理解和运用。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第七章 第七节 立体几何中的向量方法 理
第七章 第七节 立体几何中的向量方法一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α⊥β，∴a ²b ＝0 ∴x ＝－10. 答案：B2．已知AB ＝(1,5，－2)， BC ＝(3,1，z )，若 AB ⊥ BC ， BP＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为 ( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4D ．4，407，－15解析： AB ⊥ BC ⇒ AB² BC ＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ²AB＝x －1＋5y ＋6＝0，①BP ²BC＝3x －3＋y －3z ＝0，②由①②得x ＝407，y ＝－157.答案：B3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：以D 点为原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C (0,1,0)，E (12，12，1)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，∴ CE ＝(12，－12，1)， BD ＝(－1，－1,0)．∴ CE ² BD ＝－12＋12＋0＝0.∴ CE ⊥ BD，即CE ⊥BD .答案：D4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．∵A 1M ＝AN ＝23a ， ∴M (a ，23a ，a 3)，N (23a ，23a ，a )．∴ MN ＝(－a 3，0，23a )．又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴ 11C D＝(0，a,0)．∴ MN ² 11C D ＝0，∴MN⊥ 11C D .∵ 11C D是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B5.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：以B 点为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则B (0,0,0)，C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0，1)，∴ EF ＝(0，－1,1)，1BC＝(2,0,2)∴cos 〈 EF ， 1BC 〉＝ EF ²1BC| EF||1BC |＝22²8＝12.∴EF 与BC 1所成角为60°. 答案：B6.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A.66B.33C.63D.23解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)， AG ＝(a ，a,0)， AC＝(0,2a,2a )，BG ＝(a ，－a,0)，BC＝(0,0,2a )，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧BG²n 1＝0 BG²n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝－1⇒n 1＝(1，－1,1)．sin θ＝| BG²n 1|| BG ||n 1|＝2a 2a ³3＝63.答案：C 二、填空题7．已知 AB＝(2,2,1)， AC ＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是________．解析：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y,1)，则n ⊥ AB且n ⊥ AC ，即n ² AB＝0，且n ²AC ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋1＝0，4x ＋5y ＋3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1，∴n ＝(12，－1,1)，单位法向量为±n |n |＝±(13，－23，23)． 答案：(13，－23，23)或(－13，23，－23)8．在如右图所示的正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，正方体的棱长为2，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为________．解析：分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,2,0)，E (0,1,2)，A (2,0,0)，AC ＝(－2,2,0)，DE＝(0,1,2)， ∴cos 〈 AC ， DE 〉＝1010.答案：10109．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)，则 CA ＝(2a,0,0) AP ＝(－a ，－a 2，a2)， CB ＝(a ，a,0)，设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈 CB ，n 〉＝ CB²n | CB |²|n |＝a 2a 2²2＝12，∴〈 CB，n 〉＝60°.∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.答案：30° 三、解答题10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求 AE 与 DB夹角的余弦值．解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . 又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以 DB ， DC ， DA所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)，∴ AE ＝(12，32，－3)， DB ＝(1,0,0)，∴ AE 与 DB夹角的余弦值为cos 〈AE ，DB 〉＝AE ²DB| AE|²| DB |＝12224³1＝2222. 11．(2012²温州模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ； (2)求AC 与PB 所成的角；(3)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值．解：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1，12)．(1)证明：因 AP ＝(0,0,1)， DC ＝(0,1,0)，故 AP² DC ＝0，所以AP ⊥DC .由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥平面PAD . 又DC 在平面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .(2)因 AC ＝(1,1,0)， PB＝(0,2，－1)，故| AC |＝2，| PB |＝5， AC ² PB＝2，所以cos< AC ， PB >＝AC ² PB| AC |²| PB |＝105.(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使 NC ＝λ MC， NC ＝(1－x,1－y ，－z )， MC ＝(1,0，－12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需 AN ² MC ＝0即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，能使 AN² MC ＝0.此时，AN ＝(15，1，25)， BN ＝(15，－1，25)，有 BN² MC ＝0由 AN ² MC ＝0， BN² MC ＝0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .所以∠ANB 为所求二面角的平面角．∵| AN |＝305，| BN |＝305， AN ² BN ＝－45.∴cos 〈AN ， BN 〉＝AN ² BN | AN |²| BN |＝－23.∴平面AMC 与平面BMC 所成角的余弦值为－23.12．(2011²福建高考)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB ＝AP .(ⅰ)若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；(ⅱ)在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等？说明理由．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xyz (如图)．在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ， 则CE ⊥AD .在Rt△CDE 中，DE ＝CD ²cos 45°＝1，CE ＝CD ²sin 45°＝1.设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t )． 由AB ＋AD ＝4得AD ＝4－t ，所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，CD ＝(－1,1,0)， PD＝(0,4－t ，－t )．(ⅰ)设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥ CD ，n ⊥ PD ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，4－t y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )．又 PB＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得cos 60°＝|n ² PB|n |²| PB ||， 即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋4－t 2²2t 2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t ＞0)，所以AB ＝45.(ⅱ)假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到P ，B ，C ，D的距离都相等，设G (0，m,0)(其中0≤m ≤4－t )，则 GC＝(1,3－t －m,0)， GD＝(0,4－t －m,0)， GP＝(0，－m ，t )．由| GC |＝| GD |得12＋(3－t －m )2＝(4－t －m )2， 即t ＝3－m ；(1)由| GD |＝| GP |得(4－t －m )2＝m 2＋t 2.(2)由(1)、(2)消去t ，化简得m 2－3m ＋4＝0.(3)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、C 、D 的距离都相等．从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编7-立体几何
2013年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何一选择题1.[湖南]7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD【答案】 C 【解析】1<。
选C 2.陕西12. 则其体积为3. 【答案】3π【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。
所以体积32121312ππ=⋅⋅⋅⋅=V3.安徽理（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A4.广东5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是图1A. 4B.143 C.163D. 6 解析：显然棱台的上下底的面积分别为1214S S ==、，故其体积为121114V=()(124)2333S S h +=++⨯= 选B5.广东6.设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m ⊥n ； B. 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n C. 若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥； D. 若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥ 解析：选D ∵,//,//m m n n αβ⊥，∴平面β内存在直线α⊥，故αβ⊥ 其它选项均错。
6.新课标I ，6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 3【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A.7.新课标I ，8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A .8.新课标II 4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D设m ∥γ n ∥γ 因为 m ⊥β⟹m ⊥a n ⊥α⟹n ⊥a 所以a ⊥γ又l ⊥m ，l ⊥n 所以l ⊥γ 因此l ∥a新课标II 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.AB CD ，正方9.江西8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += A.8 B.9 C.10 D.1110.辽宁（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，A ．2 B ． C ．132D ．[答案]C【解析】如图：因为,AB AC ⊥所以BC 是小圆的直径，是小圆的直径，所以球心在的中点R==11.全国（10）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B （C ）3 （D ）13【答案】A【解析】如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H 为垂足, ⟹⟹CH ⊥平面CD 与平面所成的角为∠CDH设AB=a 则OC=，CH==，sin ∠CDH=12.山东4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π13.四川3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）14.重庆5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、5603 B 、5803C 、200D 、240【答案】：C 15.湖北16.浙江二填空题 17.上海13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________ 答案2216ππ+[解析]：构造如图所示的圆柱和长方体长方体的长与圆柱的高是2π，圆柱的底面园的直径为2与长方体的侧面长方形的长为4，高为2则水平截面，所得截面面积为48π 由祖暅原理得Ω的体积值==2π×4×2+π×2216ππ+18.浙江19. [江苏] 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ． 【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．20.[全国] （16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 . 答案16π 解析：如图：过两圆相交弦AB 的中点E 分别与两圆圆心O,K 连线 ，得到两圆直径 CD,和GH 则CD ⊥AB ,和GH ⊥AB ,∠GEC 为两圆的二面角的平面角∠GEC =，O 是大圆圆心即为球心所以OK ⊥圆K 所在平面，AB=OA=OB=OC=R在正三角形AOB 中 高OE=R ，在直角三角形OKE 中OK=OE ⟹ R = ⟹ R= 2⟹ S =16π21.辽宁（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .【答案】1616π-【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。
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2cos2 (
B) 1
cos2 (
A)
cos
2
(
B ), 所以命题 Q 是假命题.
42
42
42
42
故选 A.
点评 本题以命题真假的判断为载体，考查解不等式和三角形中的三角变换，值得考生细细品味.
2013 年高考数学高频考点 2、函数
命题动向 函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中 占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形 式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而 出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形 式考查函数的综合应用．
3 “” 2 413“” 2 1 5
解析 依题意，由 lg[x(1 x) 1] 0 得 x(1 x) 1 1, x x2 0, 解得 0 x 1, 所以命题 P 正确；
“”
在三角形 ABC 中， A B sin A sin B
cos(
A)
cos(
B)
2
2
2cos2 (
A) 1
D． f (7) f (1) f ( 3)
2
2
解析 f (x 2) f (x) f (x 2 2) f (x 2) f (x), f (x) 的最小正周期为 4.
因为 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，则 f (x) f (x), 则 f ( 3) f ( 3), f (7 ) f ( 1 ) f (1 ),
3 2 1 “” 23WOR1D
21
C． P 或 Q 为假
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第七部分：立体几何
一.直线与平面
1.空间直线：
⑴判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法；⑵对异直线所成的角的问题，要注意：①异面直线所成角的范围为：]2,0(π
；②求异面直线所成的角的大小问题通常分为：找角（证角）、求角两步，而找角通常是利用直线的平移把角纳入平面图形中，利用平几及代数知识求解；⑶异面直线间距离是通过异面直线上两点间所有线段的长度的最小值．．．
. 2.直线与平面平行、垂直
判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系，而性质定理往往是高一级的位置关系推出低一级的关系，如对直线与平面平行的判定，就可以通过直线与直线，直线与平面，平面与平面的三个不同层次予以考虑.也可以通过计算来证明垂直.
3.三垂线定理
三垂线定理及逆定理实际上是线面垂直的简化模型，主要作用是：⑴证明异面直线垂直；⑵求二面角的平面角；⑶确定点到面的距离.
4.平面与平面平行
两平行平面间的距离，除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外，还可转化为求线面距离、点面距离.
5.平面与平面垂直
⑴利用平面与平面垂直的条件，通常在一个面内作棱的垂线，转化为线面垂直.进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算.⑵两个平面互相垂直，3个平面两两互相垂直的常用模型是长方体（正方体），因此与3个平面两两垂直有关的问题，可通过构造长方体的相交于同一顶点的3个面来处理.
6.空间角
⑴求空间角大小的一般步骤是“作、证、求”，三种角都是转化为相交直线所成的角或所夹的角，计算过程中要注意角的范围．．．．．．
. 也可用空间向量来求. ⑵二面角的大小是通过其平面角来度量的，求二面角时首先搞清（或作出）棱，求作二面角的平面角常见的方法有：①定义法；②垂面法：过棱上一点O 作棱的垂面γ，与两个半平面的交线为AO 、BO ，则∠AOB 就是二面角的平面角；③利用三垂线定理及逆定理作角；④利用面积射影法：cos θ=s s '
，其中θ是二
面角的大小，S 是在其中一个面上图形的面积，S ’是该图形在另一个半平面上的射影的面积.⑤用空间向量来求.
7.空间距离
常见的求空间距离的方法有：⑴直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤完成，⑵转化法.在直接法不易求解时，可考虑以下转化法：①点面距离、线面距离、面面距离间的互相转化；②利用三棱锥的等积变换.
8.平面图形的翻折
⑴在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱；⑵不变量一般是结合原图形来求、证；变化了的量应在折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；⑶多面体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离.
二.简单几何体
1.柱体、锥体
⑴定义及性质；⑵特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、正方体；⑶正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直；⑷长方体的体对角线与棱长关系；⑸几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影；⑹侧面积：①S 直棱柱侧=c ·l ； ②S 正棱锥侧=21
ch ′；③S 斜棱柱侧=c 直l ；其中h ′为斜高，l 为侧棱长；⑺平行于棱锥
的底面的截面积与底面积之比等于对应高的平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比.
2.⑴球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，且过球心的截面是大圆也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.⑵球的任一截面为圆，圆心与球心的连线垂直于该平面，且球半径R ，截面半径r ，球心到截面的距离d 满足：r=22d R ；⑶求球面上两点A 、B 间的距离的步骤为：①求线段AB 长；②求A 、B 到球心O 的张角，即∠AOB ；③计算球大圆在A 、B 两点间所夹的劣弧长；⑷长方体的对角线长是它外接球的直径.
3.体积
⑴对三棱锥注意顶点与底面的转换，常用换顶点方法求体积；
⑵体积法可以用来求点到面的距离，多面体内切球半径；
⑶较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积.。