第一章第1课时知能演练轻松闯关

一、选择题
1.下列表示图形中的阴影部分的是()
A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
解析：选A.阴影部分完全覆盖了C，这样就要求交集运算的两边都含有C部分．
2.设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2，3}，则实数p的值为()
A．－4B．4
C．－6 D．6
解析：选B.由条件可得M＝{1，4}，把1代入x2－5x＋p＝0，可得p＝4，经检验知结论成立．
3.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D.∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1，2，3，4，5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1，2；x＝4，y＝1，2，3；x＝5，y＝1，2，3，4.
∴B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
4.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()
A．{3，0} B．{3，0，1}
C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
解析：选B.因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，故log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0，所以P∪Q＝{3，0，1}．
5.已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是()
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：选D.A＝{x|0＜x＜2}，由A∪B＝B，得A⊆B，所以c≥2，故选D.
二、填空题
6.(2013·武汉调研)已知A，B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B∩(∁U A)＝________．
解析：依题意及Venn 图得，B ∩(∁U A )＝{5，6}．
答案：{5，6}
7.(2012·高考天津卷)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．
解析：A ＝{x |－5＜x ＜1}，因为A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，
B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}，所以m ＝－1，n ＝1.
答案：－1 1
8.已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，2a －1，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，则a ＝________．
解析：若a －3＝－3，则a ＝0，A ＝{0，1，－3}，B ＝{－3，－1，1}，与A ∩B ＝{－3}矛盾；若2a －1＝－3，则a ＝－1，A ＝{0，1，－3}，B ＝{－4，－3，2}，满足A ∩B ＝{－3}．又a 2＋1≠－3，∴a ＝－1.
答案：－1
三、解答题
9.设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1，7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y 的值．
解：∵A ∩B ＝C ＝{－1，7}，∴必有7∈A ，7∈B ，－1∈B ，
即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.
当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，
∴不满足A ∩B ＝C ，∴x ＝－2不符合题意．
当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12
. 因此，x ＝3，y ＝－12
. 10.(2013·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．
(1)求(∁I M )∩N ；
(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，
N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，
∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，
∴(∁I M )∩N ＝{2}．
(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，
∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
∴B ＝∅或B ＝{2}，
当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；
当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2
5－a ＝2
，解得a ＝3， 综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．
一、选择题
1.(2012·高考大纲全国卷)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()
A．0或3B．0或3
C．1或 3 D．1或3
解析：选B.法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，
∴m＝3或m＝m.
由m＝m得m＝0或m＝1.
但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，
故m＝0或m＝3.
法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.
又当m＝3时，A＝{1，3，3}，B＝{1，3}，∴A∪B＝{1，3，3}＝A，故m＝3适合题
意，故选B.
2.(2013·河南省三市高三第二次调研)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()
A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U Z
C．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z
解析：选 B.依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪∁U Z＝(X∩Y)∪∁U Z，故选B.
二、填空题
3.已知集合A＝{x|a－3＜x＜a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由a－3＜－1且a＋3＞2，解得－1＜a＜2.
答案：(－1，2)
4.已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x＝
2
n－1
，x、n∈Z}，则∁U A＝________．
解析：∵A＝{x|x＝
2
n－1
，x、n∈Z}，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；n≥4时，x∉Z；
n＝－1时，x＝－1；n≤－2时，x∉Z.
∴A＝{－2，2，1，－1}．
又U＝{－2，－1，0，1，2}，∴∁U A＝{0}．
答案：{0}
三、解答题
5.已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．
解：∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，
∴A＝{x|2<x<4}．
(1)若A ⊆B ，
当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立；
当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，
应满足⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，
应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，
a ≥4，
此时不等式组无解， ∴当A ⊆B 时，a 的取值范围是[43
，2]． (2)要满足A ∩B ＝∅，
当a ＝0时，B ＝∅满足条件；
当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，
a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23
或a ≥4； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4. ∴a <0时成立，
综上所述，a 的取值范围是(－∞，23
]∪[4，＋∞)． (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.。