2014年考研数学大纲(数学二)
考研数学二考试大纲
考研数学二考试大纲考研数学二考试大纲主要分为高等数学、线性代数和概率统计三个部分。
以下是对这三个部分内容的详细介绍。
1. 高等数学：高等数学内容主要包括数列、函数、极限、微分与积分等基础概念和理论。
具体包括以下几个方面：- 函数与极限：函数的概念与性质，极限的定义与运算法则；- 函数的连续性与可微性：连续函数的判定、常用函数的连续性与可微性；- 微分学：导数的概念与性质，高阶导数，隐函数与参数方程求导；- 微分中值定理与 Taylor 公式：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式；- 不定积分与定积分：不定积分的定义与性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的定义与性质；- 定积分应用：平面图形的面积与弧长，旋转体的体积与曲线的弧长；- 多元函数微分学：多元函数的极限、连续性以及偏导数的定义与计算；- 重积分：重积分的概念与性质，二重积分与三重积分的计算方法。
2. 线性代数：线性代数内容主要包括矩阵、向量空间和特征值与特征向量等基础概念和理论。
具体包括以下几个方面：- 矩阵与行列式：矩阵特征与运算法则，行列式的定义与性质；- 向量空间：向量空间的定义与性质，基与维度，向量组的线性相关性与线性无关性；- 线性方程组：线性方程组的解的存在性与唯一性，线性方程组解的结构；- 特征值与特征向量：特征值与特征向量的定义与性质，对角化与相似变换；- 线性空间与线性映射：线性空间的定义与性质，线性映射的定义与性质。
3. 概率统计：概率统计内容主要包括概率论和数理统计两个部分。
具体包括以下几个方面：- 概率基础：事件与概率，条件概率，全概率公式与贝叶斯公式；- 随机变量与概率分布：随机变量的概念与分类，离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布与性质；- 多维随机变量的分布：二维随机变量的联合分布、条件分布与独立性，边缘分布与随机变量的函数分布；- 数理统计基础：参数估计与区间估计，假设检验；- 统计分布与抽样分布：常见离散型与连续型统计分布，样本与抽样分布，中心极限定理；- 结合概率与数理统计的应用：参数估计与假设检验的应用，方差分析与回归分析等。
2014年考研数学二真题
x⎪2014 年考研数学(二)真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1１．当 x → 0+ 时，若 ln α(1 + 2 x ) ， (1 - cos x )α 均是比 x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ） (2,+∞)（B ） (1,2)（C ） ( 1,1)2（D ） (0, 1)212⎧α> 1 【详解】ln α(1 + 2 x ) ~ 2α x α，是α阶无穷小，(1 - cos x )α~1 α是 2 阶无穷小，由题意可知 ⎪1α2α⎨ 2 > 1⎩α所以α的可能取值范围是 (1,2) ，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ） y = x + sin x（B ） y = x 2+ sin x （C ） y = x + sin 1x（D ） y = x 2+ sin 1x【详解】对于 y = x + sin 1，可知 limy= 1且 lim( y - x ) = lim sin 1= 0 ，所以有斜渐近线 y = x应该选（C ）xx →∞ x x →∞ x →∞ x3．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x ) = f (0)(1 - x ) + f (1) x ，则在[0,1] 上（ ）（A ）当 f '( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) （B ）当 f '( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )（C ）当 f ' ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) （D ）当 f ' ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解 1】如果对曲线在区间 [a , b ] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然g ( x ) = f (0)(1 - x ) + f (1) x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ' ( x ) ≥ 0 时，曲线是凹的，也就是 f ( x ) ≤ g ( x )，应该选（D ）【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b ] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = f ( x ) - f (0)(1 - x ) - f (1) x ，则F (0) = F (1) = 0 ，且 F "( x ) = f "( x ) ，故当f ' ( x ) ≥ 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x ) ≤ F (0) = F (1) = 0 ，即 F ( x ) = f ( x ) -g ( x ) ≤ 0 ，也就是- 22f ( x ) ≤g ( x )，应该选（D ）⎧ x = t 2 + 7, 4．曲线 ⎨⎩ y = t 2+ 4t + 1上对应于 t = 1的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）50 （Ｂ） 100(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 101 【详解】 曲线在点 ( x , f ( x )) 处的曲率公式 K = R =．K2 d 2 y2 1 dx dy dy 2t + 4 2 本题中 = 2t , = 2t + 4 ，所以 = = 1 + ，= t = - ， dt dt dx 2t t dx 2t t 31 1对应于 t = 1的点处 y '= 3, y "= -1，所以 K ，曲率半径 R = = 10 10 ．应该选（C ）(1 + y '2 )3 10 10K ξ25．设函数 f ( x ) = arctan x ，若 f ( x ) = xf '(ξ) ，则 lim x →0x 2= （ ）（Ａ）1（Ｂ）2 （Ｃ）1 （Ｄ） 1323【详解】注意（1） f '( x ) =1 1 + x2 ，（2） x → 0时,arctan x = x - 1 x3 + o ( x 3 ) ．3由于 f ( x ) = xf '(ξ) ．所以可知 f '(ξ) =1 = f ( x ) = arctan x ，ξ2 = x - arctan x ，1 + ξ2 x x (arctan x )2lim ξ= limx - arx tan x = lim x - ( x - 1x 3 3 ) + o ( x 3 ) = 1．x →0 x2 x →0 x (arctan x )2 x →0 x 33 6．设 u ( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 ∂ 2 u∂x ∂y≠ 0 及∂ 2u + ∂x 2∂ 2 u∂y 2= 0 ，则（ ）．（A ） u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（B ） u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；（C ） u ( x , y ) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；10 10（D ） u ( x , y ) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上．【详解】u ( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u ( x , y ) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点 ( x 0 , y 0 ) ，也就是 ，由条件，显然 AC - B 2< 0 ，显然 u ( x , y ) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上． 所以应该选（A ）．0 a b 0a 0 0b 7．行列式等于0 c d 0 c 0 0 d（A ） (ad - bc )2（B ） - (ad - bc )2（C ） a 2 d 2 - b 2 c 2（D ） - a 2 d 2 + b 2 c 2【详解】0 a b 0 a 0 ba 0 ba 0 0 b= -a 0 d 0 + b 0 c a 0 = -ad b a + bcb= -(ad - bc )2 0 c d 0 c 0 0 dc 0d c 0 dc d c d应该选（B ）． 8．设α1 ,α2 ,α3是三维向量，则对任意的常数 k , l ，向量α1 + k α3 ，α2 + l α3 线性无关是向量α1 ,α2 ,α3线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件【详解】若向量α1 ,α2 ,α3 线性无关，则⎛ 1 （α1 + k α3 ，α2 + l α3 ） = (α1 ,α2 ,α3 ) 0 ⎝ 0⎫ ⎪1⎪ = (α1 ,α2 ,α3 )K ，对任意的常数 k , l ，矩阵 K 的秩都等⎪ ⎭于 2，所以向量α1 + k α3 ，α2 + l α3 一定线性无关．⎛ 1⎫ ⎛ 0⎫ ⎛ 0⎫⎪ ⎪ ⎪而当 α1 = 0⎪,α2 = 1⎪,α3 = 0⎪ 时， 对任意的常数 k , l ， 向量 α1 + k α3 ， α2 + l α3 线性无关， 但⎪ ⎪ ⎪ ⎝ 0⎭ ⎝ 0⎭ ⎝ 0⎭α1 ,α2 ,α3 线性相关；故选择（A ）．∂u= ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂x ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = = ∂x ∂y ∂y ∂xk l2 2 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）11dx ．9． ⎰-∞ x 2 + 2 x + 5 =11 1 dx 1 x + 1 1 1 ⎛ π π ⎫ 3π 【详解】 ⎰-∞x 2+ 2 x + 5 dx = ⎰-∞ ( x + 1)2 + 4 =2 arc tan 2 |-∞ = 2 4 - (- 2 )⎪ = 8．⎝ ⎭10．设 f ( x ) 为周期为 4 的可导奇函数，且 f '( x ) = 2( x - 1), x ∈ [0,2]，则 f (7) =．【 详 解 】 当 x ∈ [0,2] 时 ， f ( x ) =⎰ 2( x - 1)dx = x 2- 2 x + C ， 由 f (0) = 0 可 知 C = 0 ， 即f ( x ) = x 2 - 2 x ； f ( x ) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) = f (-1) = f (1) = 1．11．设 z = z ( x , y ) 是由方程 e2 yz+ x + y 2+ z = 7确定的函数，则 dz |⎛1 1 ⎫ = ．4, ⎪ ⎝ 2 2 ⎭【详解】设 F ( x , y , z ) = e2 yz+ x + y 2+ z - 7 4，F x = 1, F y = 2ze2 yz+ 2 y , F z = 2 ye2 yz+ 1，当 x = y = 12时， z = 0 ， ∂z= - F x= - 1， ∂z = - F y = - 1 ，所以 dz |⎛ 1 1 ⎫= - 1 dx - 1 dy ． ∂x F z 2 ∂y F z 2 , ⎪ 2 2⎝ 2 2 ⎭⎛ π π⎫12．曲线 L 的极坐标方程为 r = θ，则 L 在点 (r ,θ) = , ⎝ 2 ⎪ 处的切线方程为．2 ⎭⎧ x = r (θ)cos θ= θcos θ【 详解 】 先把曲线方程化为参数方程 ⎨⎩ y = r (θ)sin θ= θsin θππ， 于是在θ=处， x = 0, y =，22dy | = sin θ+θcos θ | 2 ⎛ π π⎫ π 2 ，则 L 在点 (r ,θ) = , 处的切线方程为 y - = - ( x - 0) ，即 dx πcos θ-θsin θ π = - π ⎪ ⎝ 2 2 ⎭ 2 πy = - 2 x + π.π 213．一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1]上，若其线密度 ρ( x ) = - x 2+ 2 x + 1，则该细棒的质心坐标x =．1 ⎰0x( x )dx1 ⎰0(- x+ 2 x11 + x )dx 12 11ρ 32【详解】质心坐标 x = === ． 1 ⎰ ( x )dx 1⎰(- x 2+ 2 x + 1)dx 5 20 ρ 032214 ． 设 二 次 型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 - x 2 + 2ax 1 x 3 + 4 x 2 x 3 的 负 惯 性 指 数 是 1 ， 则 a 的 取 值 范 围3 ⎰ 是 ． 【详解】由配方法可知f ( x , x, x ) = x 2 - x 2 + 2ax x+ 4 x x123121 32 3= ( x 1 + ax 3 )2 - ( x - 2 x 3 )2 + (4 - a 2 ) x 2由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 - a 2≥ 0 ，所以 a 的取值范围是 [- 2,2]．三、解答题15．（本题满分 10 分）1x⎰ (t 2(e t- 1) - t )dt 求极限 lim 1．x →+∞x 2 ln(1 + 1)x【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】lim x →+∞ 1 x(t 2 (e t1- 1) - t )dt 1 = lim x →+∞ 1 x (t 2 (e t - 1) - t )dt 1 x = lim( x 2 x →∞1 (e x - 1) - x ) x2 ln(1 + )x21 1 1 ⎪ = 1 = lim ⎛ x x →∞⎝ 16．（本题满分 10 分）( + x 2 x 2 + o ( x 2) - x ⎫⎭ 2已知函数 y = y ( x ) 满足微分方程 x 2 + y 2y '= 1 - y ' ，且 y (2) = 0 ，求 y ( x ) 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到 (1 + y 2)dy= 1 - x 2 ，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx112可得方程通解为：y 3+ y = x - x 3+ C ，由 y (2) = 0 得 C = ， 3 3 3即 1 y 33+ y = x - 1 x 3+ 2．332 2 2 2 2 2dy 1 - x d y - 2 x (1 + y ) - 2 y (1 - x )令 = = 0 ，得 x = ±1 ，且可知 = ；dx 1 + y 2 dx 2 (1 + y 2 )3当 x = 1时，可解得 y = 1， y "= -1 < 0 ，函数取得极大值 y = 1；当 x = -1 时，可解得 y = 0 ， y "= 2 > 0 ，函数取得极小值 y = 0 ． 17．（本题满分 10 分）2 ⎰x s i n(π x 2+ y 2) D 2 1 1 1设平面区域 D = {( x , y ) |1 ≤ x 2 + y 2≤ 4, x ≥ 0. y ≥ 0}．计算 【详解】由对称性可得Dx + y1 ⎰⎰ x + y 1 dxd = ⎰⎰ D1 π x + y2 dxd = ⎰⎰ D3x + y dxdy = ⎰⎰ dxd = ⎰ 2 d θ⎰ r sin πrdr = - 2 D 12 0 1 4 18．（本题满分 10 分）2 2设 函 数 f (u ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z = f (e xcos y ) 满 足 ∂ z + ∂ z= (4z + e x cos y )e 2 x ． 若 ∂x 2 ∂y 2f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式．【详解】设 u = e xcos y ，则 z = f (u ) = f (e xcos y ) ，∂z = ∂xf '(u )e x cos y ,∂ 2z = ∂x2f "(u )e 2 x cos 2 y +f '(u )e x cos y ;∂z = - f '(u )e xsin y , ∂y ∂ 2 z = ∂y 2f "(u )e 2 x sin 2 y - f '(u )e x cos y ；22∂ z + ∂ z = f "(u )e 2 x = f "(e x cos y )e 2 x∂x 2 ∂y 22 2∂ z ∂ z 由条件 + = (4z + e x cos y )e 2 x ，∂x 2 ∂y 2可知f "(u ) = 4 f (u ) + u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：f (u ) = C e 2u+ C对应非齐次方程特解可求得为 y * = - 1u ．4e -2u 其中 C ,C 为任意常数．故非齐次方程通解为 f (u ) = C e 2u+ C e -2u - 1 u ． 2 4( x + y )s i n(π x 2 + y 2 ) s i n(π x 2 + y 2 ) y s i n(π x 2+ y 2)22． ⎰⎰⎰1 ， f 将初始条件 f (0) = 0, f '(0) = 0 代入，可得 C 1 = 1 ,C 162= - 116所以 f (u ) 的表达式为 f (u ) = 1e 2u- 1e-2u- 1u ．19．（本题满分 10 分）16 164设函数 f ( x ), g ( x ) 在区间 [a .b ]上连续，且 f ( x ) 单调增加， 0 ≤ g ( x ) ≤ 1，证明：（1）x0 ≤ ⎰a g (t )dt ≤ x - a , x∈ [a , b ]；（2）ba + g ( t )dtb⎰a f ( x )dx ≤ ⎰ f ( x )g ( x )dx ．aa【详解】xx x（1）证明：因为 0 ≤ g ( x ) ≤ 1，所以 ⎰0dx ≤⎰ g (t )dt ≤ ⎰ 1dtx ∈ [a , b ]．x即 0 ≤⎰ag (t )dt ≤ x - a ,aaax ∈ [a , b ]．xx a + g ( t )dt（2）令 F ( x ) =⎰ f (u )g (u )du - ⎰a f (u )du ，a则可知 F (a ) = 0 ，且 F '( x ) = af ( x )g ( x ) - g ( x ) f ⎛ a +⎰ g (t )dt ⎪⎫ ，x因为 0 ≤⎰g (t )dt ≤ x - a , ⎝a⎭且 f ( x ) 单调增加，a所以 f ⎛ a + ⎰g (t )dt ⎪⎫ ≤ f (a + x - a ) = f ( x ) ．从而 ⎝a⎭xF '( x ) =f ( x )g ( x ) - g ( x ) f ⎛ a + ⎰ g (t )dt ⎪⎫ ≥ f ( x )g ( x ) - g ( x ) f ( x ) = 0 ， x ∈ [a , b ]⎝ a ⎭也是 F ( x ) 在 [a , b ]单调增加，则 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ，即得到ba + g ( t )dtb⎰a f ( x )dx ≤ ⎰ f ( x )g ( x )dx ．aa20．（本题满分 11 分）设函数 f ( x ) =x, x ∈ [0,1]，定义函数列1 + xf 1 ( x ) = f ( x ) ， f 2 ( x ) = f ( f 1 ( x )) ， , f n ( x ) = f ( f n -1 ( x )),设 S n 是曲线 y = 【详解】f n ( x ) ，直线 x = 1, y = 0 所围图形的面积．求极限lim nS n ． n →∞f ( x ) = x , f( x ) =f 1 ( x ) x= 1 + x = x ( x ) = x, ，1 + x 1 + f 1 ( x ) 1 + x1 + x1 +2 x 1 + 3x x x2 31 ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ 利用数学归纳法可得 f n ( x ) =x. 1 + nx1S = ⎰ f 1x 1 1 1 1 ln(1 + n )( x )dx = ⎰ dx = ⎰ (1 - )dx = (1 - ) ， n 0 n0 1 + nx n 0 1 + nx n n⎛ ln( + n ) ⎫lim nS = lim 1 -1 ⎪ = 1 ． n →∞ n →∞⎝ n ⎭21．（本题满分 11 分） 已知函数 f ( x , y ) 满足∂f = 2( y + 1) ，且 f ( y , y ) = ( y + 1)2 - (2 - y ) l n y ，求曲线 f ( x , y ) = 0 所成的∂y图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数 f ( x , y ) 满足 ∂f = 2( y + 1) ，所以 f ( x , y ) = y 2 + 2 y + C ( x ) ，其中 C ( x ) 为待定的连续函数．∂y又因为 f ( y , y ) = ( y + 1)2- (2 - y ) l n y ，从而可知 C ( y ) = 1 - (2 - y ) l n y ， 得到 f ( x , y ) = y 2+ 2 y + C ( x ) = y 2+ 2 y + 1 - (2 - x ) l n x ．令 f ( x , y ) = 0 ，可得 ( y + 1)2= (2 - x ) l n x ．且当 y = -1时， x = 1, x 2 = 2 ．曲线 f ( x , y ) = 0 所成的图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积为225V = π⎰ ( y + 1)2 dx = π⎰ (2 - x ) l n xdx = (2 l n 2 -)π 11422．（本题满分 11 分）⎛ 1 - 2 3 - 4⎫⎪ 设 A = 0 1 ⎝ 1 2 - 1 1 0 3 ⎪ ，E 为三阶单位矩阵．⎪ ⎭（1） 求方程组 AX = 0 的一个基础解系；（2） 求满足 AB = E 的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：A = ⎝ 1 2 0 3 ⎭ ⎝ 04 - 3 1 ⎭ ⎝ 0 01 - 3⎪ ⎝ 0 0 1 ，- 3⎪ 得到方程组 AX = 0 同解方程组n⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 0 0 1 ⎫ ⎪ 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 0 - 2⎪⎪ 1 1 1 1 n ⎭ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎭⎛ - 1⎫⎧ x 1 = - x 4 ⎪⎨ x 2 = 2 x 4 ⎩ x 3 = 3x 4得到 AX = 0 的一个基础解系ξ = ⎝ ⎪ 2 ⎪3 ⎪ ．⎪ ⎪ ⎭⎛ xy z ⎫ 1 11 ⎪ x 2y 2 z 2⎪（2）显然 B 矩阵是一个 4 ⨯ 3 矩阵，设 B = x3y 3 z 3 ⎪ ⎪ ⎝ x 4y 4z 4 ⎭对矩阵 ( AE ) 进行进行初等行变换如下：⎛ 1- 23 -4 1 0 0⎫ ⎪ ⎛ 1 - 23- 4 1 0 0⎫⎪⎛ 1 - 2 3- 4 1 0 0⎫ ⎪ ⎛ 1 0 012 6 - 1⎫⎪→ 0 1 - 1 1 0 1 0⎪ → 0 1 0- 2 - 1 - 3 1 ⎪ ⎝0 0 1 - 3 - 1 - 4 ⎪ ⎝ 0 0 1 - 3 - 1 - 4 ⎪由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为⎛ x ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ y ⎫ ⎛ 6 ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ z ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ - 1⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪x 2 ⎪ = - 1⎪ 2 ⎪ y 2 ⎪ - 3⎪ ， = + 2 ⎪ z 2 ⎪ 1 ⎪ ， = + 2 ⎪ ， x ⎪ - 1⎪ + c 1 3 ⎪ y ⎪ - 4⎪ c 2 3 ⎪ z ⎪ 1 ⎪ c 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ x 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎝ y 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎝ z 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ 即满足 AB = E 的所有矩阵为 ⎛ 2 - c 16 - c 2- 1 - c 3 ⎫ ⎪ - 1 + 2c 1 - 3 + 2c 2 1 + 2c 3 ⎪ B =- 1 + 3c - 4 + 3c 1 + 3c ⎪其中 c 1 , c 2 , c 3 为任意常数． 23．（本题满分 11 分）1 c 123 ⎪ c 2 c 3 ⎪⎛1 11 1 1⎫ ⎪ 1⎪ ⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 证明 n 阶矩阵⎪ 与 ⎪ 相似． ⎪ ⎝1 1 ⎭ ⎪⎝ 00 ⎪1 ( AE ) = 01 - 1 1 0 1 0⎪ → 0 1- 1 1 0 1 0⎪⎝ 1 2 0 3 0 0 1⎪ 0 ⎭ ⎝ 4- 3 1 - 1 0 1⎪ ⎭⎪ 1 n ⎭ ⎪ 1 n ⎭⎛1 11 1 1⎫ ⎪ 1⎪ ⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 【详解】证明：设 A = ⎪， B = ⎪ ． ⎪⎝1 1 ⎭⎪⎝ 0 0 ⎪分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：λ- 1- 1 - 1 - 1 λE - A =- 1λ- 1- 1 - 1λ- 1= (λ- n )λn -1 ，所以 A 的 n 个特征值为λ1 = n ,λ2 = λ3 = λn = 0 ；⎛λ ⎫⎪ 而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且 A ~ 0 ⎪；⎪ ⎪ ⎪ ⎭ λ 0 0 λ λE - B =0 0 - 1 - 2λ- n= (λ- n )λn -1所以 B 的 n 个特征值也为 λ1 = n ,λ2 = λ3 = λn = 0 ；对于 n - 1重特征值λ= 0 ，由于矩阵 (0E - B ) = - B 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n - 1重特征值λ= 0的特征向量应该有 n - 1个线性无关，进一步矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对⎛λ 角化，且 B ~ 0⎝⎛11 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎭ 1 1⎫ ⎪ 1 1⎪⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 从而可知 n 阶矩阵⎪ 与 ⎪ 相似． ⎪ ⎝1 1 ⎭ ⎪⎝ 00 ⎪0 ⎝。
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014年考研数学二大纲56245
2013考研数学（二）考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约78％线性代数约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。
考研数学二考试大纲
考研数学二考试大纲考研数学二考试大纲前言：数学二是考研数学科目中的一门重要课程，主要涉及微积分、概率论和数理统计等内容。
掌握数学二的考试大纲对于备考考研数学二至关重要，本文将对考研数学二的考试大纲进行全面介绍。
一、微积分部分微积分作为数学的基础学科，是考研数学二的重要组成部分。
在微积分部分的考试大纲中，主要包括以下内容：1. 导数与微分：涉及导数的定义与性质、常见函数的导数计算、高阶导数、隐函数与参数方程的求导、微分的定义与性质等。
2. 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等，以及利用中值定理证明函数性质和计算极限等相关知识点。
3. 不定积分与定积分：主要包括不定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法、定积分的定义和性质、牛顿—莱布尼茨公式等内容。
4. 微分方程：重点涉及一阶线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、二阶线性齐次微分方程及其特解、常系数线性齐次微分方程等。
5. 多元函数微积分：主要包括偏导数与全微分的计算、多元函数的极值、条件极值及其求解、二重积分与三重积分的计算等。
二、概率论与数理统计部分概率论与数理统计是数学二考试中的另一重要组成部分。
在该部分的考试大纲中，主要包括以下内容：1. 随机变量与概率分布：包括随机变量的概念、离散型随机变量与连续性随机变量的基本性质及其概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布等。
2. 随机变量的数字特征：主要涉及随机变量的数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数等数字特征的计算和性质。
3. 大数定律与中心极限定理：着重介绍大数定律和中心极限定理的定义、性质和应用，以及林德伯格—莱维定理等相关知识。
4. 参数估计：包括点估计、矩估计、最大似然估计等估计方法的原理、性质和计算，以及样本大小对估计精度的影响等内容。
5. 假设检验：主要涉及假设检验的基本原理、检验统计量的构造、拒绝域的确定、检验的错误类型和功效、参数的区间估计等相关知识。
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；。
2014年考研数学二真题
2014年考研数学二真题2014年考研数学二真题是考研数学备考中的一个重要参考资料，它不仅可以帮助考生了解考试内容和难度，还可以帮助考生提高解题能力和应对考试的策略。
本文将从不同角度对2014年考研数学二真题进行分析和讨论。
首先，我们来看一下2014年考研数学二真题的整体结构和难度分布。
该真题共有12道大题，涵盖了数学分析、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
其中，数学分析和线性代数的题目数量较多，难度也相对较大。
概率论与数理统计的题目数量相对较少，但难度适中。
整体上，该真题的难度较高，考生需要具备扎实的数学基础和解题能力才能应对。
接下来，我们分别对数学分析、线性代数和概率论与数理统计这三个领域的题目进行讨论。
在数学分析部分，该真题涉及了极限、连续性、可微性等多个概念和定理。
其中，有一道题目考察了函数的连续性和可微性的定义和判断，要求考生掌握相关的定义和判定方法。
另外，还有一道题目考察了极限的性质和计算方法，要求考生熟练掌握极限的基本性质和计算方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
在线性代数部分，该真题主要考察了矩阵的性质和运算、线性方程组的解法等内容。
其中，有一道题目考察了矩阵的秩和逆矩阵的性质，要求考生掌握矩阵的基本性质和运算规则。
另外，还有一道题目考察了线性方程组的解法和线性无关性的判定，要求考生熟练掌握线性方程组的解法和线性无关性的判定方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
在概率论与数理统计部分，该真题主要考察了随机变量的分布、期望和方差等内容。
其中，有一道题目考察了随机变量的分布和期望的计算，要求考生掌握随机变量的分布和期望的基本计算方法。
另外，还有一道题目考察了随机变量的方差和协方差的计算，要求考生熟练掌握随机变量的方差和协方差的计算方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
2014年考研数学二真题试卷及答案解析
2
D
x y
dxdy xy
1 2
D
sin(
x2
y )dxdy
1
2 d
2 sin( r)r d r 1
2
rd cos( r)
20
1
1
1 4
r
cos(
r)
|12
2
cos( r) d r
1
11 3 24 4
18、
解
：
z x
f ' ex
cos y ,
2z x 2
cos y
(f'' e x
22、（本题满分 11 分）
1 2 3 4 设 A 0 1 1 1 , E 为 3 阶单位矩阵.
1 2 0 3
（I）求方程组 Ax 0的一个基础解系；
（II）求满足 AB E 的所有矩阵 B .
23、（本题满分 11 分）
1 1 1 0 0 1
证明：
n
阶矩阵
1 1
1 1
1 1
（）
（A） (2, ) （B） (1, 2)
（C） (1 ,1) 2
2、下列曲线中有渐近线的是（ ）
（D） (0, 1) 2
（A） y x sin x
（B） y x2 sin x
（C） y x sin 1 x
（D） x2 sin 1 x
3、设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 内（ ）
棒的质心坐标 x
.
14、设二次型 f (x1, x2, x3) x1 x22 2ax1x3 4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围
2014年考研数学二真题及答案解析
(9)
1
x2
1 2x
5
dx
__________.
【答案】 3 8
【解析】
1
x2
1 2x
5
dx
1
x
1
12
4
dx
1 2
arctan
x 1 2
1
1 2
4
2
3 8
(10) 设 f (x) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7) __________.
(A)
50
【答案】C
10
(B)
100
(C)10 10
5
(D) 5 10
【解析】
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
dy dx
t1
2t 2t
4
t 1
3
d2y dx2
t1
dy ' dx
2
t1
t2 2t
1
t 1
k
y '' 1 y'2
3 2
1
3
1 q2
, R
1 k
10
10
故选 C
) 举反例. 令3 0 ，则1,2 线性无关，但此时1,2 ,3 却线性相关.
综上所述，对任意常数 k, l ，向量1 k3 ,2 l3 线性无关是向量1,2 ,3 线性无关的必
要非充分条件.
故选 A
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
lim x0
1
1
1 x
2
3x2
1 3
2014年考研考试大纲
2014年考研考试大纲2014年考研考试大纲涵盖了研究生入学考试的主要科目和要求，为考生提供了明确的复习方向和考试重点。
以下是对2014年考研考试大纲的概述。
# 一、考试科目2014年考研考试大纲主要包括以下几大科目：1. 政治理论：考察考生对马克思主义、毛泽东思想、邓小平理论、三个代表重要思想和科学发展观的理解和掌握。
2. 外国语：英语、日语、俄语等，主要测试考生的外语阅读、写作和翻译能力。
3. 业务课一：根据考生报考的专业方向，可能包括数学、物理、化学等基础学科。
4. 业务课二：针对考生所报考的专业，考察专业知识和能力。
# 二、考试形式考试形式通常包括：- 笔试：大部分科目采用闭卷笔试形式。
- 口试：部分专业可能需要进行面试或口试，以测试考生的实际操作能力和专业知识。
# 三、考试内容1. 政治理论：- 马克思主义哲学原理- 政治经济学- 科学社会主义- 中国特色社会主义理论体系2. 外国语：- 阅读理解- 完形填空- 翻译- 写作3. 业务课一（以数学为例）：- 高等数学- 线性代数- 概率论与数理统计4. 业务课二：- 根据专业不同，内容差异较大，如经济学、法学、教育学等专业会有各自的专业课程内容。
# 四、考试要求1. 政治理论：要求考生能够熟练掌握政治理论的基本概念、原理和方法，能够运用这些知识分析和解决问题。
2. 外国语：要求考生具备较强的语言运用能力，能够准确理解文章内容，进行有效的语言输出。
3. 业务课：要求考生对所学专业有深入的理解和掌握，能够运用专业知识解决实际问题。
# 五、备考策略1. 系统复习：考生应该系统地复习各科目的基础知识和重点内容。
2. 历年真题：通过做历年的考研真题，熟悉考试题型和难度，提高解题能力。
3. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验复习效果，调整复习计划。
4. 专业辅导：对于业务课的复习，可以参加专业辅导班或寻求老师、学长学姐的帮助。
# 六、注意事项1. 时间管理：合理安排复习时间，确保每个科目都能得到充分的复习。
最新考研数学：数学(二)考试大纲汇总
2014考研数学：数学(二)考试大纲2014考研数学：数学（二）考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西（ Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．整理：夺魁考研网。
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）31【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，31313332022=+--=-=→→→x x o x x x x x xarx x x x x x )()(lim)(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dcd c b a b a000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 【详解】20000000000000000)(bc ad dcb a bcdcb a ad dc cba b dcd b a a dc dcb a b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ． 【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--． 12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242x a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DD D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=，利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰11111111101010，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．。
2014～2016考研数学二真题及参考答案
2014～2016考研数学二真题及参考答案2014考研数学二真题及参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ（ ） (A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000a b a bc dc d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a d b c -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明：(I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,1()(()),n n f x f f x -=，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞. (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ（ ）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ22222200011()arctan 11limlimlim lim()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式0000000ab a bc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc -(D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====.(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=12D D I dxdy∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰ 221211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. 【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂由 ()22222+4cos x xz z z e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰. 【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0uag t dt u a ≤≤-⎰()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx====++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数.又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT e e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12001B n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰. (2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续(B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。
考研数学二大纲
考研数学二大纲
考研数学二大纲是研究生入学考试的数学科目中的一部分。
本科毕业生可以通过参加考研数学二来提高自己的数学素质以便能够顺利进入研究生院深造。
考研数学二的大纲内容主要包括数学分析、高等代数、概率论与数理统计三个主要方向。
数学分析是考研数学二大纲中的重中之重。
数学分析是
研究数变化规律的一门学科，主要包括实数和数列的收敛性、连续性和一致连续性、函数的极限、连续性和可导性等内容。
在考研数学二的大纲中，数学分析占据了较大的比重，准备考研的同学需要全面掌握数学分析的相关知识。
高等代数也是考研数学二大纲中非常重要的一部分。
高
等代数是研究线性代数和群论的一门学科，主要包括向量空间、线性方程组、矩阵、特征值和特征向量等内容。
在考研数学二的大纲中，高等代数的内容占有一定的比重，考生需要熟悉高等代数的基本概念和定理，并能够运用这些知识解决实际问题。
概率论与数理统计是考研数学二大纲中的另一个重要部分。
概率论与数理统计是研究随机现象和统计规律的一门学科，主要包括概率论、随机变量、随机过程以及抽样与估计等内容。
在考研数学二的大纲中，概率论与数理统计的内容占有一定的比重，考生需要熟悉概率论与数理统计的基本概念和定理，并能够应用这些知识解决实际问题。
总的来说，考研数学二大纲内容较为广泛，涵盖了数学
分析、高等代数和概率论与数理统计三个主要方向。
考生在备考过程中需要全面复习相关知识，并进行题目的练习和归纳总
结，以提高自己的数学素养和解决问题的能力。
通过认真学习和准备，考生有望在考研数学二中取得优异的成绩，为自己的研究生生涯铺平道路。
2014年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2014年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0+时，若ln2(1+2x)，(1-cosx)1/a均是比x高阶的无穷小，则a的取值范围是A．(2，+∞)．B．(1，2)．C．(1/2，1)．D．(0，1/2)．正确答案：B解析：a＞0时，lna(1+2x)～(2x)a(x→0+)，它们均是比x高阶的无穷小，即因此a∈(1，2)，选B．2．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1/x)D．y=x2+sin(1/x)正确答案：C解析：显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线．对于C．故有斜渐近线y=x．选C．3．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：【分析一】y=f(x)在[0，1]上是凹函数(设f(x)在[0，1]二阶可导，不妨f’’(x)＞0)，y=g(x)是连接(0，f(0))与(1，f(1))的线段．由几何意义知f(x)≤g(x)(x ∈[0，1])．选D．【分析二】令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0 在[0，1]上，当f’’(x)≥0时，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．选D．4．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：用参数求导法先求出5．设函数f(x)=arctanx．若f(x)=xf’(ξ)，则A．1．B．2/3．C．1/2．D．1/3．正确答案：D解析：6．设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足A．u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．B．u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．C．u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得．D．u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得．正确答案：A解析：【分析一】若u(x，y)在D内部某点M0(x0，y0)取最小值，则因此u(x，y)不能在D内部取到最小值．同理u(x，y)不能在D内部取最大值．因此u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界取得．选A．【分析二】用特殊选取法．但u(x，y)在D内或无驻点或有唯一驻点M0(-1，-1)．在M0处AC-B2=-1＜0，M0不是u(x，y)的极值点．因此u(x，y)在D的最大值与最小值都不能在D内部取得，只能在D的边界取得．对此u(x，y)(A)正确，(B)、(C)、(D)均不正确．因此选A．7．行列式A．(ad-bc)2．B．-(ad-bc)2．C．a2d2-b2c2．D．b2c2-a2d2．正确答案：B解析：计算出这个行列式．比较好的方法为先交换第2，3两行，再把第1列和第2，3列邻换：(此题也可用排除法：4个选项中都有a2d2和b2c2，但是前面的符号不同，A都是+，B都是-，C+，-，D-，+．观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除A、C、D．8．设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k，ι，向量组a1+ka3，a2+ιa3。
考研数学二大纲
考研数学二大纲
考研数学二大纲
考研数学二大纲是指考研数学二科目的考试大纲，包含
了考试范围和考试要求。
下面将从数学分析和线性代数两个方面简要介绍考研数学二大纲。
数学分析是考研数学二的重点内容之一。
考研数学二的
数学分析部分主要包括实数、极限与连续、一元函数的极限与连续、一元函数的导数与微分、一元函数的一阶和二阶导数、函数的三大基本性质、黎曼积分与不定积分、多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的多阶导数和隐函数、独立变量与异变量的偏导数、多元函数的积分、曲线积分与曲面积分、向量场的散度和旋度、重积分、柯西公式、多重积分与轮换对称、变量代换、常微分方程基础等内容。
线性代数是考研数学二的第二个重要模块。
线性代数主
要内容包括线性空间的基本概念与性质、子空间的概念与性质、线性相关、线性无关与秩、线性方程组与向量方程、线性变换的基本概念与性质、线性变换的矩阵表示、线性变换的标准矩阵、线性变换与线性方程组、特征值与特征向量、相似矩阵与对角化、二次型与规范形、对称矩阵的对角化、正定二次型与正交变换等内容。
除了数学分析和线性代数，考研数学二大纲还包括了数
学分析和线性代数的基础知识和方法，如集合、映射关系、坐标系和向量、数列极限、函数极限、导数与微分、积分的概念和性质、不等式证明的方法、微分方程基本概念和一阶微分方
程等内容。
总体来说，考研数学二大纲涵盖了数学分析和线性代数的核心概念、基本性质和解题方法。
学生需要系统学习并深入理解大纲中的各个知识点，掌握相关的计算方法和解题技巧。
熟练掌握大纲中的内容，能够在考试中灵活运用，有助于学生获得较好的考试成绩。
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin += 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x , 上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→220x x ξlim （ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u 及02222=∂∂+∂∂yu x u ，则（ ）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．7．行列式dc d cb a b a 00000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ． 12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim x x dt t e t x t x 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++D dxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)c o s (y e f z x=满足x x e y e z y z x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa ,,)(∈-≤≤⎰0； （2） ⎰⎰≤⎰+ba dt t g a a dx x g x f dx x f ba )()()()(． 20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xx x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系；（2） 求满足E AB =的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100 相似．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有 ( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I <<(5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y ∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( ) (A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <>(6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰ ( ) (A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx == .(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = . (13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为22的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=， (I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe +-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题。
2014考研数学二考试大纲
2014考研数学二考试大纲D义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间,ab内，设函数()fx具有二阶导数．当()0fx 时，()fx的图形是凹的；当()0fx时，()fx的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质． 3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程． 3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)nyfxyfxy和(,)yfyy．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念． 5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量． 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念． 2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。
2014年考研数学二真题与解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四
个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字
母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线的渐近线条数
()
(A) 0
(B) 1(Cຫໍສະໝຸດ 2(D)3(2) 设函数，其中为正整数,则
()
(A)
(B)
．
三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限．
16．（本题满分10分） 已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．
17．（本题满分10分） 设平面区域．计算 18．（本题满分10分） 设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式． 19．（本题满分10分） 设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
()
(A)
(B) 2
(C) -2
(D)
-
(7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为
()
(A)
(B)
(C)
(D)
(8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答
题纸指定位置上.
(9) 设是由方程所确定的隐函数，则
2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）
2．下列曲线有渐近线的是 （A） （B）（C） （D）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
（A）当时， （B）当时，
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2014考研数学（二）考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 约78％线性代数 约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。