2005年全国1卷高考数学试卷(理科)q

2005年全国1卷高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
．D
22
．C D．
4．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）
．C D．
5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）．C D．
6．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）
C．
7．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）
D．
2x x
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，
D．
10．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin2A+cos2B=1，
④cos2A+cos2B=sin2C，
12．（5分）复数=（）
﹣
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=_________．（lg2≈0.3010）
14．（4分）的展开式中，常数项为_________．（用数字作答）
15．（4分）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=_________．
16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为_________．（写出所有正确结论的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x﹣2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，
AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小．
20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）
21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两
点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．
22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．
（1）指出这个问题中的总体；
（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
2005年全国1卷高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
．D
R=
=8
22
．C D．
∴
4．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）
．C D．
，高为：
其体积为：
5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）．C D．
求得解：双曲线的准线为
的准线为
因为两准线重合，故，
c==2
该双曲线的离心率为=
6．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）
C．
=
，
∴
7．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）
D．
2x x
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，
D．
10．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin2A+cos2B=1，
④cos2A+cos2B=sin2C，
cos进而求得
tan=sinC
∴=2sin cos
sinA+sinB=sinA+cosA=sin
≤
12．（5分）复数=（）
﹣
解：复数=i
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（lg2≈0.3010）
14．（4分）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）
r r r =0
×=672
15．（4分）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=1．
+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和
由图得，﹣
是平行四边形，∴=
又∵=﹣+，
∴+=+=+，对比系数得到
16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x﹣2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
）图象的一条对称轴是直线．就是
x=
∴，∴
．
﹣，因此
﹣
所以函数．
的斜率为＞
18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，
AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
）求出，计算
，计算
则存在使求出
，又
PB=，
∴
MC=，∴
∴
故所求的二面角为
M
）解：因
λ
，只需
．可知当点坐标为，能使
∵
∴
arccos
19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小．
=
）∵
a
（S
＜﹣
＜
，或
20．（12分）（2005•安徽）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）
21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．
）设椭圆方程为
，代入，
∵共线，
∴
∴
故离心率
所以椭圆
∴
）知
∴
=
22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．
（1）指出这个问题中的总体；
（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
，。