2012年高考新课标全国卷数学(理)

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2012年高考真题——数学理全国卷解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷(含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= （A）（B）（C（D（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2012大纲全国卷高考数学试题(理科)及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝}，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0或3 C 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβcos2α=(A) （B）（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2012高考理科数学(全国卷)及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题1．复数13i 1i-+=+( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 B ．0或3 C ．1D ．1或33．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184xy+= D ．221124xy+=4．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，1CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2 BCD ．15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( )A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011006．△ABC 中，AB 边的高为CD ．若C B ＝a ，C A ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD＝( )A ．1133-a bB ．2233-a bC ．3355-a b D ．4455-a b7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α3，则cos2α＝( )A．3-B．9-C9D38．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．459．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=e z -，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x10．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或111．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝37.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A．16 B．14 C．12 D．10第Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若x，y满足约束条件10,30,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．14．)当函数y＝sin xx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.15．若(x＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．16．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C．18．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．设函数f(x)＝ax＋cos x，x∈[0，π]．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)≤1＋sin x，求a的取值范围．21．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离．22．函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．1． C213i (13i)(1i)1+i+3i 3i24i 12i 1i(1i)(1i)22-+-+---+====+++-.2． B ∵A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m =∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B 项． 3． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2. 又∵准线x ＝－4，∴24ac-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184xy+=，故选C 项． 4． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，∵AB =2，∴AC =.又1CC =AC =CC 1.作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知， CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离．又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 5． A 15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1.∴515115151a a d --===--.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+.设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则100111 1223100101T=+++⨯⨯⨯…＝11111 1223100101 -+-++-…＝1100 1101101 -=.6．D∵a·b＝0，∴a⊥b. 又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||AB=∴12||5C D⨯==.∴||5AD==.∴4444()5555AD AB AB===-=-a b a b.7．A∵sinα＋cosα＝3，且α为第二象限角，∴α∈(2kπ＋π2，2kπ＋3π4)(k∈Z)．∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋3π2)(k∈Z)．由(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝13，∴2sin23α-＝.∴cos23α==-.9．D∵x＝ln π＞1，y＝log52＞51log2=，121e2z-==>=，且12e－＜e0＝1，∴y＜z＜x.10．A y′＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)．当y′＞0时，x＜－1或x＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.11． A如图，由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．12． B 结合已知中的点E ，F 的位置，由反射与对称的关系，可将点P 的运动路线展开成直线，如图．当点P 碰到E 时，m 为偶数，且333477m n =+-，即4m ＝3n .故m 的最小值为6，n ＝8，线段PE 与网格线交点的个数为(除E 点外)6＋8＝14个． (PE 的方程为39428y x =-，即4y ＝3x －97，x ，y 不能同时为整数，所以PE 不过网格交点)13．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 14．答案：5π6解析：y ＝sin xcos x＝1π2(sin )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =.15．答案：56解析：∵26C C n n ＝，∴n ＝8.T r ＋1＝8C rx 8－r (1x)r ＝8C rx 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴系数为58C 56＝.16．答案：6解析：取BC 的中点O ，连结AO ，A 1O ，BA 1，CA 1，易证BC ⊥AO ，BC ⊥A 1O ，从而BC ⊥AA 1，又BB 1∥AA 1，BB 1⊥BC ．延长CB 至D ，使BD =BC ，连结B 1D ，则B 1D ∥BC 1，设BC =1，则1B D =，1AB AD ===.6=17．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得21sin 4C ＝，于是1sin 2C -＝(舍去)或1sin 2C ＝.又a ＝2c ，所以π6C =.18．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =PA =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC =从而P C F C =A C E C=因为P C A C F CE C=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠PAC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ． (2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ．又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，P D ==. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d P Dα==.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (0,0)，D ，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (3，0，23)，B b,0)．于是PC ＝(，0，－2)，BE ＝(3，b ，23)，D E ＝(3，－b ，23)，从而0PC BE ⋅= ，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB＝b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b 0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b=-，n ＝(1，b-)．因为面PAB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b =，于是n ＝(1，－1，DP＝(2)，1cos ,2||||D P D P D P ⋅== n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.19．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352. (2)(理)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.20．解：(1)f ′(x )＝a －sin x .①当a ≥1时，f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，π2x =时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是增函数；②当a ≤0时，f ′(x )≤0，且仅当a ＝0，x ＝0或x ＝π时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是减函数；③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝arcsin a ，x 2＝π－arcsin a . 当x ∈[0，x 1)时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈(x 1，x 2)时，sin x ＞a ，f ′(x )＜0，f (x )是减函数；当x ∈(x 2，π]时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． (2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1，所以2πa ≤.令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)，则g ′(x )＝cos x －2π.当x ∈(0，arccos 2π)时，g ′(x )＞0，当x ∈(arccos 2π，π2)时，g ′(x )＜0.又g (0)＝g (π2)＝0，所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)．当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x .①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1，所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]．21．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |2=，即2r =.(2)设(t ，(t ＋1))为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M2，2=，化简得t (t －4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =+，22t =-抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==.将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l的距离5d ==.22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为(2)55(4)24f y x --=--，令y ＝0，解得2114x =，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3. 直线PQ k ＋1的方程为11()55(4)4k k f x y x x ++--=--，令y ＝0，解得121342k k k x x x ++++=+，由归纳假设知121134554432223k k k k x x x x +++++==-<-=+++；x k ＋2－x k ＋1＝111(3)(1)02k k k x x x +++-+>+，即x k ＋1＜x k ＋2.所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3. (2)由(1)及题意得1342n n n x x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+，111115()44n nb b ++=+，数列{114nb +}是首项为34-，公比为5的等比数列．因此1113544n nb -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+，所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.。

2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版

2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版第一部分:选择题1. 根据分式的定义，下列分式正确的是（）A. 0/1B. -1/0C. 1/-1D. 0/0答案: A解析: 根据分式的定义，分母不能为0，所以选项B、C均不正确；0/0是不确定的数，所以选项D也不正确。

2. 在(1,2)处的切线方程是（）A. y=x-1B. y=x+1C. y=2x-3D. y=2x-1答案: D解析: 函数y=x^2-1在点(1,0)处的切线斜率为2，因此在(1,2)处的切线斜率也为2，即y=2x+b。

同时，该点在函数图像上，所以代入函数方程可得b=0-1=-1，因此切线方程为y=2x-1。

3. 若x, y>0，且log3x-log3y=log9x-log9y，则x/y等于（）A. 1/3B. 1/9C. 3D. 9答案: B解析: 按照对数的性质，log9x=log3( x^(1/2) )，所以原式可以变形为log3(x/y)=log3( x^(1/2)/y^(1/2) )。

然后两边取3的指数，得到x/y=(x/y)^(1/2)，解得x/y=1/9。

4. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC边上，$AP=\frac{1}{3}AC$，点Q在AD边上，$AQ=\frac{1}{4}AD$，则三角形CPQ的面积是正方形ABCD的面积的（）A. 1/12B. 1/16C. 1/24D. 1/36答案: C解析: 因为AP:AC=1:3、AQ:AD=1:4，所以$$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{12}$$因此，三角形APQ与三角形ACD相似。

可以设正方形边长为a，则AC=AD=a√2，AP=1/3×a√2=√2/3a，AQ=1/4×a√2=√2/4a，因此PQ=AP+AQ=7√2/12a，h=AC×PQ/2=49/72a^2，所以三角形CPQ的面积为S=h×PQ/2=7/144a^2，也就是正方形ABCD面积的1/24。

2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=cos2α=（A ）（B ）- （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2012年高考理科数学全国卷1(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古注息事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A . 3B . 6C . 8D . 102. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种3. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题： 1:||2p z =；22:2i p z =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中的真命题为（）A . 23,p pB . 12,p pC . 24,p pD . 34,p p4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（）A . 12B . 23C . 34D . 455. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A . 7 B . 5 C . 5-D . 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a ,2a ,,N a ,输出A ,B ,则（）A . AB +为1a ,2a ,,N a 的和B .2A B+为1a ,2a ,,N a 的算术平均数C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数D . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）A . 6B . 9C . 12D . 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||43AB =,则C 的实轴长为（）A .2B . 22C . 4D . 89. 已知0ω>,函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减,则ω的取值范围是（） A . 15[,]24B . 13[,]24C . 1(0,]2D . (0,2] 10. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图象大致为（）ABCD11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（）A . 26B . 36C . 23D . 2212. 设点P 在曲线1e 2x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为（）A . 1ln2-B . 2(1ln 2)-C . 1ln2+D .2(1ln 2)+第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|10-=|a b ,则|=|b _________.14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，≥，≥，则2z x y =-的取值范围为_________.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1 000,50)N ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_________.16. 数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,ABC △的面积为3,求b ,c .18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,n ∈N ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润（单位：元）,求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=,ABD △的面积为42,求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e(0)2x f x f f x x -'=-+.（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ++≥,求(1)a b +的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的外接圆于F ,G 两点.若CF AB ∥,证明：（Ⅰ）CD BC =；（Ⅱ）BCD GBD △∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π(2,)3. （Ⅰ）求点A ,B ,C ,D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-.（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4|f x x -≤|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.FGDE AB C2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析可知：该程序的作用是：求出12naa a，，，中最大的数和最小的数其中A为12naa a，，，中最大的数，B为12naa a，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12na a a，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结的范围即可．的部分图象确定其解析式．22222(2)44|a b|a b a a b b-=-=-+224||4||||cos45||a ab b=-︒+24|||10b b=-+=，解得||32b=【提示】由已知可得，2||||cos45||2ba ab b=︒=，代入2222(2)44a b|ab a a b b-=-=-+242||||10b b=-+=可求【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．14.【答案】[]3,3-【解析】画出可行域，易知当直线2z x y=-经过点(1,2)时，z取最小值z x=-经过点(3,0)时，60(a++-(1117++=315959(()a a a a=++++奇177********S S=+=+⨯=奇偶141n nb a++=142242n na a++++++--{}na的前60sin0C>，0πA<<，由余弦定理可得222a b caab+-，22a b+-cos1A=，0πA<<ππ66=A∴（2）ABCS=△，2a A=，222a b c∴=+-．解得b c=【提示】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin cos sin sin cosA C A C++整理可求AX 的数学期望()550.1650.2750.16850.5476.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为76.4>76，所以，直三棱柱，又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =BDC ，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =Rt ABD △3,90a AD =AB ∴2AC BC +AC BC ∴⊥1BDA ，连结30． 30．轴，CB 为建立空间直角坐标系1(,0,2,0)(,0,A a a D a ，(,,DB a a =--1(,0,DC a =-11(,n x y =111100n DB ax az n DC ax ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩，不妨令，故可取1(1,2,1)n =同理，可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为θ，则1212cos ||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -．【提示】（Ⅰ）证明只需证明1DC DC ⊥⊥，（Ⅱ）证明BC ⊥BC AC ⊥取A 重合且C DO ∠()e h x '=x →-∞时，（2）当a （3）当a ()0f x '>10a +>CF ABCF AD，=∴=CD AF∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BCD∴△∽△【提示】（Ⅰ）角，即可得到结论；（Ⅱ）证明两组对应角相等，即可证得。

2012年高考理科数学(新课标卷)试题及答案[1]

2012年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林黑龙江山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3B. 6C. 8D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案. 3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z的共轭复数为i +1:4P z的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E12222=+by ax )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30 的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a==.5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-. 6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2B A +为N a a a ,,,21 的算术平均数C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Zk k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Zk k k ω+≤≤+∈，15024ωω>∴≤≤.10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号. 11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63C.32 D.22【解析】选A.易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O A B C-是棱长为1的正四面体，其高为3，故1234312O A B CV-=⨯⨯=，26S ABC O ABCV V--==12. 设点P在曲线x ey21=上，点Q在曲线)2ln(xy=上，则||PQ的最小值为A. 2ln1- B. )2ln1(2- C. 2ln1+ D. )2ln1(2+【解析】选B.12xy e=与ln(2)y x=互为反函数，曲线12xy e=与曲线ln(2)y x=关于直线y x=对称，只需求曲线12xy e=上的点P到直线y x=距离的最小值的2倍即可.设点1,2xP x e⎛⎫⎪⎝⎭，点P到直线y x=距离d=令()12xf x e x=-，则()112xf x e'=-.由()0f x'>得ln2x>；由()0f x'<得ln2x<，故当l n2x=时，()f x取最小值1ln2-.所以d=1xe x-=，mind=所以)min min||21ln2PQ d==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a，b夹角为︒45，且1=||a，102=-||ba，则=||b.【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b+b2244cos45=-a a b+b2410=-=+b，解得=b14.设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【解析】38 .由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 【解析】1830.由1(1)21n n n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得, 21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A CBC +--=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A ∴--=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a Cc A=，由余弦定理可得 222cos 2a b cC ab+-=.再由cos sin 0a C C b c +--=可得，222sin 02a b ca Abc ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c aA bc+--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A bc ∴==4bc ∴=，2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==. 18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ)()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N∈）；(Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.X X的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BDDC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112A CBC A A a ===，直三棱柱111C B A A B C -，1DC DC ∴==， 12C C a=，22211D C D C C C ∴+=，1D C D C ∴⊥.又1D C BD ⊥ ，1D C D C D = ，1DC ∴⊥平面B D C .B C ⊂平面B D C ,1D C BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在R t A B D △中，,,90BD AD a D AB ==∠= ，AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=，A C B C ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1B D A ，连结D E ，则1C E ⊥B D ，已知BD DC ⊥1，B D ∴⊥平面1D C E ，B D ∴⊥D E ，1C D E∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C D E △中，1111sin 2C E C D E C D∠===，130C D E ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30 .法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，C B 为y 轴,1C C 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1D B C 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n D B ax ay az n D C ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1D B A 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= .由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30 . 20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90B F D ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△, 11222B D d p ⨯⨯=⨯⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段A B 是圆F 的在直径,90oADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x =.直线m的斜率为3AF k ==直线m的方程为02x -+=.由py x 22= 得22xy p=,x y p'=.由3x y p'==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为,36p ⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x --=.所以坐标原点到m ，n312=.21. （本小题满分12分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x-'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x-'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x=-+.()1xf x e x'=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1xh x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时,()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==, ()1a b +取最大值2e.综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//D E B C .//C F A B ,//D F BC,∴且 =C F B D ，又∵D 为AB 的中点，∴且 =C F A D ，C D A F ∴=.//C F A B，B C A F ∴=.C D B C ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，G B C F BD ∴==， B G D B D G D B C B D C ∠=∠=∠=∠B C D G B D∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为(1,、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122aa--≤⎧⎨-≥⎩，即30a-≤≤.所以a的取值范围为[]3,0-.。

2012年高考理科数学全国卷1试卷及答案

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古注息事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A . 3B . 6C . 8D . 102. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种3. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:||2p z =；22:2i p z =； 3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中的真命题为（）A . 23,p pB . 12,p pC . 24,p pD . 34,p p4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（）A . 12B . 23C . 34D . 455. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A . 7 B . 5 C . 5-D . 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a ,2a ,,N a ,输出A ,B ,则（）A . AB +为1a ,2a ,,N a 的和B .2A B+为1a ,2a ,,N a 的算术平均数C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数D . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）A . 6B . 9C . 12D . 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||AB =则C 的实轴长为（）A .B .C . 4D . 89. 已知0ω>,函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减,则ω的取值范围是（）A . 15[,]24B . 13[,]24C . 1(0,]2D . (0,2] 10. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图象大致为（）ABCD11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（）A .B .C . 3D . 212. 设点P 在曲线1e 2x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为（）A . 1ln2-B . ln2)- C . 1ln2+D .ln 2)+第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|-=|a b ,则|=|b _________.14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，≥，≥，则2z x y =-的取值范围为_________.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1 000,50)N ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）小时的概率为_________.16. 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,ABC △求b ,c .18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,n ∈N ）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润（单位：元）,求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=,ABD △的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+. （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ++≥,求(1)a b +的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的外接圆于F ,G 两点.若CF AB ∥,证明：（Ⅰ）CD BC =；（Ⅱ）BCD GBD △∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π(2,)3. （Ⅰ）求点A ,B ,C ,D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PBPC PD +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-.（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4|f x x -≤|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.G数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；，102ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结。

2012年高考理科数学全国卷1-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．的范围即可．【解析】由已知得22222(2)44|a b|a b a a b b -=-=-+224||4||||cos45||a a b b =-︒+24|||10b b =-+=，解得||32b =【提示】由已知可得，2||||cos45||2b a a b b =︒=，代入 2222(2)44a b|a b a a b b -=-=-+242||||10b b =-+=可求14.【答案】[]3,3-60(a ++-117++=59(a +++，sin 0C >，0πA <<π5π66A -<法二：由正弦定理可得sin a 222a b c a ab+-，0πA <<）ABC S =△，2a A =，，直又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．x 轴，(,DB a =-，1(,0,DC a =-的法向量为11(,n x y =111n DB ax n DC ax ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取1(1,2,1)n =的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为1212||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -'=h x()eh x→-∞()（2）当aa+>，10，所以当x ∥CF AB∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴△∽△BCD。

2012年高考数学试题及答案(全国卷理数2套)

2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）（2012•新课标）已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则 B 中所含元素的个数为（）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）（2012•新课标）设点 P 在曲线
上，点 Q 在曲线 y＝ln（2x）上，则|PQ|
最小值为（）
A．1﹣ln2
B．
C．1+ln2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．（5 分）（2012•新课标）已知向量
夹角为 45°，且
＝
．
D．，则
14．（5 分）（2012•新课标）设 x，y 满足约束条件：
A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B．为 a1，a2，…，an 的算术平均数
C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
21．（12 分）（2012•新课标）已知函数 f（x）满足 f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求 f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．（10 分）（2012•新课标）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△

2012年高考数学试题

2012年全国统一高考数学试卷（新课标版）（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项解答：解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果解答：解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A点评：本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．解答：解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题5．（5分）已知{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数考点：循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n 中最大的数和最小的数．解答：解：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．解答：解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）（2012•黑龙江）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数；则y=f（x ）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：考虑函数f（x ）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，D，这一性质可利用导数加以证明解答：解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，D故选B点评：本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径，∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．考点：点到直线的距离公式；反函数．专题：计算题．分析：由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求解答：解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数上的点到直线y=x的距离为设g（x）=，（x＞0）则由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为故选B点评：本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A 时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]点评：平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可解答：解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为点评：本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前60项和为1830．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA 可求b+c，进而可求b，c解答：解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2点评：本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．考点：概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题．分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．解答：解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4 ∵76.4＞76，∴应购进17枝点评：本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．解答：（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD∵OH⊥BD，∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l 于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．考点：圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD 的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．解答：解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2012•黑龙江）已知函数f（x）满足；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；探究型；转化思想．分析：（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值解答：解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b ∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为点评：本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，难度较大，计算量也大，易马虎出错四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•黑龙江）选修4﹣1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD～△GBD．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，根据等弧对等角，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．解答：证明：（1）∵AB∥CF，∴∠DAE=∠ECF．根据等弧对等角可知，，∴∠BDC=∠ADF．∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DE∥BC∴∠ADF=∠DBC．∴∠BDC=∠DBC∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．点评：本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：吕静；qiss；席泽林；邢新丽；刘长柏；xintrl；caoqz；minqi5；zlzhan（排名不分先后）菁优网2013年5月30日。

河南省_2012年_高考新课标全国卷数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题(详解)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012高考新课标数学全国卷答案解析（理科）

2012⾼考新课标数学全国卷答案解析（理科）绝密*启⽤前2012年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分。

答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动.⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上⽆效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上⽆效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡⼀并交回。

第⼀卷⼀．选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给同的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

（1）已知集合A?{1,2,3,4,5},B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}；,则B中所含元素的个数为（）(A)3 (B)6 (C)? (D)??【解析】选Dx?5,y?1,2,3,4，x?4,y?1,2,3，x?3,y?1,2，x?2,y?1共10个（2）将2名教师，4名学⽣分成2个⼩组，分别安排到甲、⼄两地参加社会实践活动，每个⼩组由1名教师和2名学⽣组成，不同的安排⽅案共有（）(A)12种 (B)10种 (C)?种 (D)?种【解析】选A12甲地由1名教师和2名学⽣：C2C4?12种（3）下⾯是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为（） ?1?ip1:z?2 p2:z2?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?【解析】选C z?22(?1?i)1?i ?1?i(?1?i)(?1?i)p1:z?p2:z2?2i，p3:z的共轭复数为?1?i，p4:z的虚部为?1x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上⼀点，2abE的离⼼率为（） ?F2PF1是底⾓为30的等腰三⾓形，则12?(B) (C) 23?【解析】选C(A)(D)32c3? a4F2PF是底⾓为的等腰三⾓形?PF2?F2F1?2(a?c)?2c?e?301（5）已知?an为等⽐数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（）(A)7 (B) 5 (C)?? (D)??【解析】选Da4?a7?2，a5a6?a4a7??8?a4?4,a7??2或a4??2,a7?4a4?4,a7??2?a1??8,a10?1?a1?a10??7a4??2,a7?4?a10??8,a1?1?a1?a10??7（6）如果执⾏右边的程序框图，输⼊正整数N(N?2)和实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（） (A)A?B为a1,a2,...,an的和 (B)A?B为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最⼤的数和最⼩的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最⼩的数和最⼤的数【解析】选C（7）如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则此⼏何体的体积为（）(A)6 (B) 9 (C)?? (D)??【解析】选B该⼏何体是三棱锥，底⾯是俯视图，⾼为3 此⼏何体的体积为V?（8）等轴双曲线C的中⼼在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B 两点，AB?C的实轴长为（）116?3?3?9 32(A)(B) (C)? (D)?【解析】选C设C:x2?y2?a2(a?0)交y2?16x的准线l:x??4于A(?B(?4,?得：a2?(?4)2?2?4?a?2?2a?4)在(,?)上单调递减。

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i+-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-.【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或B. 0或 3C. 1或D. 1或3 【考点】集合【难度】容易【答案】B 【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B AA mB m m A m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴=====或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为A. 216x +212y =1 B.212x +28y =1 C.28x +24y =1 D.212x +24y =1【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a=∴椭圆的方程为22=184x y +【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。

在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。

2012年高考试题：理科数学(全国卷)——含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0B. 0或3C. 1D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴=====或舍去Q .【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ） 12种（B ） 10种（C ） 9种（D ）8种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-其中真命题为(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p（4）设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和（B ）2A B+为12,,...,N a a a 的算式平均数（C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 （9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为O的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为(A)26 (B)36 (C)23 (D)22（12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 (A)1ln 2- (B)2(1ln 2)- (C)1ln 2+ (D)2(1ln 2)+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。