北京市宣武区二模数学(文科)试题及答案
北京宣武区二模文科数学试卷
北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第二次质量检测高 三 数 学（文科） 2010.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 若25-=x ，32-=x ，则y x , 满足 （ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =2. 若函数()()1log-=x x f a()1,0≠>a a 的图像恒过定点，则定点的坐标为 （ ）A ．()01，B ． ()02，C ．()11，D ．()12，3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ． x y 21±=B ．x y 22±=C ．x y 2±=D . x y 2±=[来源:学.科.网]4. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则9210a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ）A ．2047B ．1062C ．1023D ．5315. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥6. 随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 ，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是 （ ）A ． 甲班同学身高的方差较大B ． 甲班同学身高的平均值较大C ． 甲班同学身高的中位数较大7. 已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃α∈R ，使()β+α=β+αt a n t a n t a n 成立；(3) ∀α∈R ，都有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立． 其中正确命题的个数是 （ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．08. P 为椭圆162522yx+＝1上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3) 2＋y 2＝4和(x －3) 2＋y 2＝1上的点，则|PM |+|PN |的取值范围是（ ）A . []137，B ．[]1510，C ． []1310，D . []157，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x xA x ,42211的元素个数有 个.10. 已知向量a =()2,1，b =52，=b λa ，且λ>0.则λ= ；=b . 11. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期是 .12. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= .13. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣.计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x （单位：件）；输入单价A(单位：元)； S2 若250x <，则折扣率0d =；若250500x ≤<，则折扣率0.05d =； 若5001000x ≤<，则折扣率0.10d =； 若1000x ≥，则折扣率0.15d =；S3 计算应付货款()d Ax T -=1（单位：元）；D ． 甲班同学身高在175以上的人数较多S4 输出应付货款T.已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是 .14.有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于y轴对称；②若函数f（x）＝x e，则∈∀21,xx R，都有()()222121xfxfxxf+≤⎪⎭⎫⎝⎛+；③若函数f（x）＝log a| x |()1,0≠>aa在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）> f（a＋1）；④若函数()1220102--=+xxxf(x∈R)，则函数f(x)的最小值为-2.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船.（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成θ角，求()xxxf coscossinsin22θ+θ=(x∈R)的值域.16.（本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111DCBAABCD-，其中BABA11为正方形.（i）求证：DCABBA111平面⊥；（ii）求证：P为棱11BA上一点，求1PCAP+的最小值.北2010AB••C17. （本小题共13分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5.甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b . （Ⅰ）求“6=+b a ”的事件发生的概率；（Ⅱ）若点()b a ,落在圆2122=+y x 内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由.[来源:学,科,网]18. （本小题共13分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）当3=a 时，求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间)21,0(上是减函数，求实数a 的取值范围．19. （本小题共14分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有()214+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求{}n b 的前20项和20T ．20.（本小题共14分）已知椭圆C 的焦点是()301-，F ,()302，F ,点P 在椭圆上且满足421=+PF PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B .[来源:学§科§网](i)求使P A B ∆ 的面积为12的点P 的个数；(ii)设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)O M O A O B R λμλμ=+∈，求22μλ+的值.北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第二次质量检测高三数学（文）参考答案及评分标准 2010.5一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C BBC D ACA 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分题号 9 10 11 1213 14 答案22；()42，πi 44-980件②④三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴BC=107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ()x x x f cos cos sin sin22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分16.（本题满分13分）解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . …………………………5分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………10分（ii ）将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+. …………………………13分17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）设“6=+b a ”为事件A ,其包含的基本事件为：()()()()()1524334251，，，，，，，，，共5个又基本事件空间有2555=⨯个 ∴()51255==A P . …………………………6分(II)这个游戏规则不公平设甲胜为事件B ,则其所包含的基本事件为：()()()()，，，，，，，，41312111()()()()，，，，，，，，42322212()()()，，，，，，332313()()2414，，，共13种.∴()212513>=B P ，故而对乙不公平. …………………………13分18．（本题满分13分）解：（Ⅰ）当3=a 时，()x x x x f ln 132-++-=∴()()xx x x x x f 1321322+--=-+-='解()0>'x f ，即：01322<+-x x函数()x f 的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛1,21. …………………………6分 （Ⅱ）)(x f '=xa x 12-+- ∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时012<-+-xa x 恒成立．即xx a 12+<恒成立．设xx x g 12)(+=，则)(x g '=212x-．∵)21,0(∈x 时21x＞4，∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21,0(上递减，∴g(x ) ＞g(21)=3，∴a ≤3． …………………13分19．（本题满分14分）解：(I) 当1=n 时，()21114+=a a ∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，()()222114+=+a a a ， ∴ 32=a . …………………3分(II) ∵()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列∴21=--n n a a ，∴12-=n a n . …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111203131++-++++-++=a a a a b T +⋅⋅⋅+()[]10191-+a=1+()9219333+⋅⋅⋅+++S =()27213313131911092+=--++. …………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵421=+PF PF >21F F∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵3,42==c a∴1222=-=c a b ∴椭圆C 的标准方程为1422=+yx . …………………4分（Ⅱ）(i) ∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()2,0,0,1--B A ,5=AB若2121==∆d AB S PAB∴55=d∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是5555252>=∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线02:=++'n y x l 与椭圆相切，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++140222yx n y x 有且只有一个交点 ∴044822=-++n nx x 有且只有一个解 由0=∆解得22=n （设负） 此时，l '与l 间距离为515222<-∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点∴符合条件的点P 有2个. …………………10分 (ii)设()y x M ,，则y x ,满足方程：1422=+yx∵ (,)O M O A O B R λμλμ=+∈∴()()()()μ-λ-=-μ+-λ=2,2,00,1,y x即：⎩⎨⎧μ-=λ-=2y x ，从而有⎪⎩⎪⎨⎧-=μ-=λ2y x∴142222=+=μ+λyx . …………………14分。
宣武区学第二学期第一次质量检测高三文科数学试题答案
宣武区学第二学期第一次质量检测高三文科数学试题答案Modified by JEEP on December 26th, 2020.宣武区2001—2002学年度第二学期第一次质量检测高三文科数学试题答案一、选择题：每小题5分，共60分二、填空题：每小题4分，共16分(13)48 (14)–1 (15)–32i (16)(21,∞-)三、解答题：共74分(17)解：∵A +B +C =180°，且2B =A +C .∴B =60°, A +C =120°. ∵,22)cos(22sin sin =-+-C A C A ∴22)2sin 21(222sin 2cos 22=--+-⋅+C A CA CA0)2sin 21(2sin =---C A C A 有 222sin 02sin =-=-C A C A 或∵A +C =120°，︒<-<︒-60260CA ，∴.45202︒=-︒=-CA CA 或∴A =C =60°或A =105°，C =15°. ∴A =B =C =60°或A =105°，B =60°，C =15° 当A =B =C =60°时;433)23(42160sin 421sin 21332=⨯⨯=︒⋅⋅==R B ac S当A =105°，B =60°，C =15°时，︒︒︒⋅==60sin 15sin 105sin 421sin 212R B ac S =︒︒-︒-⨯⨯60sin )]90cos 120(cos 21[421=.4323)21()21(421=⨯-⨯-⨯⨯(18)解：显然，a >0,且a ≠1.令g (x )=2–ax ，则当x ∈[1,2]时f (x )有意义，等价于g (x )>0在[1，2]上恒成立，于是g (1)>0 2–a >0⇒ ⇒a <1∴0<a <1.g (2)>0 2–2a >0由于0<a <1，不等式log a (2–ax )<0在[1，2]上恒成立，等价于g (x )>1，在[1，2]上恒成立，进而等价于不等式ϕ (x )=1–ax >0在区间[1，2]上的恒成立.ϕ(1)=1–a >0 ϕ(2)=1–2a >0⇒0<a <21 0<a <1(19)(Ⅰ)证明：连结BD 交AC 于O ，连OE ，∵O ，E 分别为BD 和PD 的中点，∴OE ∥PB .∵OE ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC .(Ⅱ)证明∵△PAD 为正三角形，且E 为PD 中点，∴AE ⊥PD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .∴AE ⊥平面PCD .(Ⅲ)证明：作AF ⊥PC 于F ，连EF ，∵AE ⊥平面PCD ，∴EF ⊥PC . ∴∠AFE 为二面角A –PC –D 的平面角. 设AD =AB =a ,则EF =22a ，AE =,23a ∴tg ∠EFA =6=EFAE ，即二面角A –PC –D 的正切值为6. (Ⅳ)解：作PH ⊥AD 于H ，则H 为AD 中点，连BH .∵平面PAD ⊥平面ABCD .∴PH ⊥平面ABCD .若BH ⊥AC ，则由三垂线定理知PB ⊥AC ，为此只须∠ABH =∠DAC ，故只须tg ∠ABH =tg ∠DAC ，即.21AD AB AB AD=即.2,222==AB AD AB AD ∴当2=AB AD时，能使PB ⊥AC .(20)解：(Ⅰ) 109)21(%)101%)(2001(1⨯+=-+=a a a ， 109)11(%)101%)(1001(112⨯+=-+=a a a ， 109)211(%)101%)(501(223⨯+=-+=a a a ， 109)211(%)101%)(251(2334⨯+=-+=a a a ，……∴109)211(21⨯+=--n n n a a (n ≥2).(Ⅱ)∵109)211(21⨯+=--n n n a a ，∴)211(10921--+=n n na a . 显然，产量并非始终逐年提高，当1)211(1092<+-n 时，第n –1年后产量将开始下降，此时有91212<-n ， n –2≥4， n –1≥5.故5年后产量将开始下降.(21)解：(Ⅰ)∵M (2,1),N (4,–1)均在直线AB 上，∴直线AB 斜率为142)1(1-=---=AB k ，AB 垂直平分线斜率k =1.∴AB 垂直平分线方程为y –1=x –2，即x –y –1=0,(Ⅱ) 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)∵A ，B 在椭圆上，∴1221221=+b y a x ① 1222222=+b y a x ②∵M (2,1) 为AB 中点，∴x 1+x 2=4 ③y 1+y 2=2 ④∵A 、B 、M 、N 四点共线，∴142112121-=-+=--x x y y ⑤①–②得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即 2121221221)()(x x y y ay y b x x ---=++ * 将③、④、⑤式代入*式，得a 2=2b 2，c 2=b 2， ∴.22,2112221===e a c e (Ⅲ)设椭圆的右准线为l ，过N 作NN ′⊥l ，则由双曲线定义及题设知，42)42(2222-+-='=ca N M MNe =.24222=-a 解之，得223==a a 或. 当23=a 时，b 2=9,椭圆方程为191822=+y x ； 当2=a 时，椭圆方程为1222=+y x ，此时点M (2，1)在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，应舍去. 故所求椭圆方程为.191822=+y x 设P (x ，y )为双曲线上任一点，作PQ ⊥l 于Q ，依双曲线定义，得22==e PQ PM，.2PQ PM =即x y x -=-+-3)23(2)1()2(222 化简，得(x –10)2– (y –1)2=32.故双曲线方程为.132)1(32)10(22=---y x (22)解：(Ⅰ)设.11),0,(11111bibi z b R b bi z z -+=≠∈=+-则且∴.21)12(4)111(4222bi b bibi bi z --=-=-++= x =1–b 2≠1记z =x +yi (x ,y ∈R )，则有 .消去b ，得y = –2b ≠0y 2= –4(x –1)(x ≠1),即点Z 的轨迹为除去顶点的抛物线 y 2= –4(x –1)(x ≠1). (Ⅱ)设抛物线上存在的两相异点A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称，则).1(4),1(4222121--=--=x y x y两式相减得：(y 1+y 2)(y 1–y 2)= –4(x 1–x 2) *又设AB 中点为M (x ,y ),则 y 1+y 2=2y ，1x x y y 2121-=-- 代入 * 式，得：2,241=-=-y y又点M 在直线l 上，∴x =2–m ,即 M (2–m ,2).又∵点M 在抛物线y 2= –4(x –1)内部，∴22<–4(2–m –1),即m >2.故实数m 取值范围为(2，+∞).。
北京市宣武区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市宣武区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－81【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得5n =，令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ， 解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.2．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1C ．3D ．4【答案】C由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：若O 为ABC V 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC V 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有222242AC BC AC BC d +⋅==„，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2，2sin 22d θ=„即θ的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确；【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 3．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.5．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数mA ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xx f x e =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；当0x <时，()x x f x e-=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则120122e m f e ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故2()21,1e em +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A 【解析】 【分析】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?. 又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A性进行判定.属于中档题.7．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q()cos 221f x x x =++可得1()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确； 对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误； 故选：D.力，属于基础题.8． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383 B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C 【解析】 【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
届宣武区二模数学文科有答案
高淳县漆桥中学09届高三第二次月考数学试题 2008-12-01满分:160分 考试时间:120分钟 命题人：吴振华 审核人：王芳一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合231M x x N x x =>=>{|},{|log }，则()R C M N ⋂= ▲ .2.若复数12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3.命题“若a b =-，则22a b =” 的否命题为 ▲ . 4. 函数[]sin()(0,3y x x ππ=+∈)的单调减区间是 ▲ ．5.在200ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出30ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 ▲ ．6．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ ．7.已知等差数列{}n a 的公差为3，若245,,a a a 成等比数列，则3a 的值为 ▲ .),3(),1,2(k b a ==→→，若8.已知平面向量→→→⊥-b b a )2(，则实数k = ▲ .等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥1≤≤，则9.如果实数,x y 满足不22x y +的最小值为 ▲ .10.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 ▲ .0．0．11．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ▲ .12. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥； ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒； ③//,////m n m n αα⇒； ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥. 其中正确命题的序号是 ▲ .13．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”， 则()f n = ▲ ．（答案用数字或n 的解析式表示）14．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ▲ .二、解答题：本大题共6.15.(本小题满分14分）设向量(cos ,sin m θ=u r cos )θ，),23(ππθ--∈，若1m n ⋅=u r r ，求：（1）sin 4πθ+（）712πθ+）的值． 16.（本小题满分15如图，长方体1==AD AB ，21=AA （1）求证：直线1BD （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC ． 17．(本小题满分15分)据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3000元,为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有(0)x x >万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的PD 1C 1B 1A 1D CBA人均收入有望提高2x ％，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元(a ＞0)． （1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大． 18．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,n n S S +）在直线1y kx =+上（1）求k 的值；（2）求证:{}n a 是等比数列；（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值. 19.（本小题满分15分）已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. 20．（本小题满分16分）设函数322()21f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图象在2x =处的切线与直线512y x =-+平行.（1）求m 的值；（2）求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值； （3）若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=,试根据上述（1）、（2）的结论证明:222911110a b c abc++≤+++.高淳县漆桥中学09届高三第二次月考数学答题卷 2008-12-01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
宣武区学年度第二学期第一次质量检测高三文科数学试题
北京市宣武区2001—2002学年度第二学期第一次质量检测高三文科数学试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)参考公式三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-⋅+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 圆台体积公式)(31222121r r r r h V ++=π 其中r 1,r 2分别为圆的上、下底面半径，h 表示圆台的高一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)全集I =R ，集合M ={}{{}04022|,082|>+<-=>-+x x x N x x x ，则∩N=φ ∪N=R ∩N={–4} ∩N={–4，2} (2)a 、b 为不重合的直线，α、β为不重合的平面，给出下列4个命题 a ∥α a ⊥α① ⇒b ∥α ② ⇒b ∥αa ∥b a ⊥ba ∥α α⊥β③ ⇒b ⊥α ④ ⇒a ∥αa ⊥b a ⊥β 其中正确命题的个数为(3)使不等式21log a≥1成立的实数a 的取值范围是 A.]2,21[ B.)1,21[ C.(]2,1 D.(]2,1)1,21[⋃(4)某人2001年1月31日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2002年1月31日取款时被银行扣除利息税(税率为20%)共计元，则该人存款的本金介于~2万元 ~3万 ~4万元 ~5万元(5)已知定义在R 上的偶函数[)+∞,0)(在x f 上是增函数，且f (1)=0,则满足0)(log 21>x f 的x 的取值范围是A.(2，+∞)B.(0，21) C.(0，21)∪(2，+∞) D.(0，21)∪(2,21) (6)下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的是A.2sinxy = = –cos2x = –tg x =sin2x (7)一圆柱与圆台等高，且圆柱底面半径是圆台两底半径的等差中项，则圆柱体积V 1与圆台体积V 2的大小关系是<V 2 =V 2 >V 2 D.不确定 (8)已知f (x )=–a x +1,0<a <1,若x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,则 A.2)()(21x f x f +≤2)(21x x f +B.)2(2)()(2121x x f x f x f +=+C.2)()(21x f x f +≥2)(21x x f +D.2)()(21x f x f +与)2(21x x f +大小关系不确定(9)函数y =f (x )与函数y =g (x )的图像如右图，则函数y =f (x )·g (x )的图像可能是(10)若0≤θ<2π,且同时满足不等式θθsin cos <和θtg θsin <，则角θ的取值范围是 A.)43,4(ππ B.(ππ,2)C.)23,(ππD.)45,43(ππ(11)过三棱锥一侧棱及其外接球的球心O 所作截面如右图，则它的 侧面三角形的顶角的余弦值为A.21C.21-D.41 (12)过原点O 作直线和椭圆134)1(22=+-y x 相交于A 、B 两点，则OBOA 的取值范围是 A.[3,31] B.[1,31] C.[1，3] D.(3,31)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上(13)在3张卡片上的正反两面上分别写着数字1和2，4和5，7和8，将这3张卡片排成一排组成一个三位数，则可组成不同的三位数的个数为 .(用数字作答)(14)点P 和点Q 分别是直线l 与直线x +y –1=0和2x –y –7=0的公共点，线段PQ 的中点为(2，–1)，则直线l 的斜率为 .(15)设z 0=2-+i (i 为虚数单位)则10010109091030310202100110C C C C C 1z z z z z ++++++Λ的值是 .(16)若1)1(11lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++∞→n n r r n n ，则r 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚 (17)(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有22)cos(22sin sin =-+-C A C A ，求A 、B 、C 的大小.(18)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=log a (2–ax )(Ⅰ)若当]2,1[∈x 时f (x )有意义，求实数a 的取值范围.(Ⅱ)不等式f (x )<0在区间[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围. (19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P –ABCD 的底面是矩形，侧面P AD 是正三角形，且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 的中点.(Ⅰ)求证：PB ∥平面EAC .(Ⅱ)求证：AE ⊥平面PCD .(Ⅲ)若AD =AB ，试求二面角A –PC –D 的正切值. (20)(本小题满分12分)有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率平均为上一年的一半，且由于原料、营销、管理等多方面的因素，致使每年将损失产量的10%，设原来的产量为a .(Ⅰ)设改进设备后第n 年的产量为)(N n a n ∈，写出a n 与a n –1之间的关系式.(Ⅱ)改进设备后的产量是否始终是逐年提高的若是，给予证明；若不是，说明从第几年起，产量将不如上一年. (21)(本小题满分13分)已知A 、B 是椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的一条弦，M (2，1)是AB 的中点，以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，–1).(Ⅰ)求AB 的垂直平分线的方程. (Ⅱ)求椭圆的离心率e 1.(Ⅲ) 设双曲线的离心率为e 2，当e 1·e 2= 1时，求椭圆和双曲线方程. (22)(本小题满分13分)已知1111+-z z 为纯虚数，.)1(421z z += (Ⅰ)在复平面中，求复数z 对应点Z 的轨迹.(Ⅱ)在点Z 的轨迹上是否存在关于直线l : y =x +m 对称的两点若存在，试确定实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
高三第二次模拟数学试题(文科3)
北京市宣武区2022-2022学年度第二学期第二次质量检测高三数学〔文〕2022．5本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部,总分值150分,测试时间120分钟.第I 卷〔选择题 共40分〕一. 选择题〔本大题共有8个小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求的〕1. 集合{}N x ,3x 1|x A ∈<<-=的真子集的个数是〔 〕 A. 3B. 4C. 7D. 82. ()21cos -=α-π,那么sin α的值为〔 〕 A. 21±B.21 C.23D. 23±3. “m=3〞是“直线0m 3y 2mx =++和直线07m y )1m (x 3=+--+不重合而平行〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 假设函数x log 2y 21=的值域为［1,1-］,那么其反函数的值域为〔 〕A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22B. []1,1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21D. [)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,222,5. 使函数x sin y =递减且函数x cos y =递增的区间是〔 〕A. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23B. ()Z k 2k 2,k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛π-ππ-π C. ()Z k k 2,2k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛π+ππ+πD. ()z k k 2,2k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ-π 6. 两点()2,0M -,()2,0N ,动点()y ,x P 满足8PN PM =⋅→→,那么动点P 的轨迹方程为〔 〕A. 1y 12x 22=+B. 112y x 22=+ C. 12y x 22=-D. 12y x 22=+7. m,n 表示两条直线,α表示一个平面,给出以下四个命题：〔1〕n //m n m ⇒⎩⎨⎧α⊥α⊥〔2〕α⇒⎩⎨⎧⊥α⊥//n n m m〔3〕n //m //n //m ⇒⎩⎨⎧αα〔4〕n m //n m ⊥⇒⎩⎨⎧αα⊥其中正确命题的序号是〔 〕 A. ①② B. ②④C. ①④D. ②③8. 点()1,3P --在椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的左准线上,过点P 且方向向量)5,2(m =的光线,经过直线2y =反射后,通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为〔 〕A. 33B.31 C.22 D.21第II 卷〔非选择题 共110分〕二. 填空题〔本大题共6个小题,每题5分,共30分〕9. 二项式4x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中的常数项为_____________________.10. 设a 、b都是单位向量,且a与b的夹角为60°,那么=⋅b a _________________,=+|b a |______________________.11. 不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤1y x 2y 2x 表示的平面区域的面积是____________________,y 2x z +=的最小值是_______________________. 12. 数列{}n a 的首项31a 1=,且满足()*n 1n N n 5a 1a 1∈+=+,那么6a =______________. 13. 某人的电子邮箱的密码由5位数字组成,为提升保密程度,他决定再插入两个英文字母a,b,原来的数字及顺序不变,那么可构成新密码的个数为________________个.14. 对于任意的两个实数对〔a,b 〕和〔c,d 〕,规定：)d ,c ()b ,a (=,当且仅当a=c,b=d 时成立.运算“⊗〞为：〔a,b 〕⊗〔c,d 〕=〔ac －bd,bc+ad 〕 运算“⊕〞为：〔a,b 〕⊕〔c,d 〕=〔a+c,b+d 〕现设p,q R ∈,假设〔1,2〕⊗〔p,q 〕=〔5,0〕,那么〔1,2〕⊕〔p,q 〕=____________.三. 解做题〔本大题共6个小题,共80分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 15. 〔此题总分值13分〕在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,()1C tan A tan 3C tan A tan -⋅=+,且27b =,233S ABC =∆.求：〔1〕角B ；〔2〕a+c 的值.16. 〔此题总分值14分〕 函数x 3x )x (f 3-=〔1〕求函数)x (f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,3上的最大值和最小值；〔2〕过点)6,2(P -作曲线)x (f y =的切线,求此切线的方程. 17. 〔此题总分值14分〕如下图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为AB 的中点.设正方体的棱长为2a. 〔1〕求AD 和B 1C 所成的角；〔2〕证实：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； 〔3〕求二面角E —B 1C —D 的斜弦值.18. 〔此题总分值13分〕甲、乙两人进行5次比赛,如果甲或乙无论谁胜了3次,那么宣告比赛结束.假定甲获胜的概率是32,乙获胜的概率是31,试求： 〔1〕比赛以甲3胜1败而宣告结束的概率；〔2〕比赛以乙3胜2败而宣告结束的概率；〔3〕设甲先胜3次的概率为a,乙先胜3次的概率为b,求a ：b.19. 〔此题总分值13分〕设双曲线13x ay 222=-的焦点分别为1F 、2F ,离心率为2. 〔1〕求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；〔2〕设A 、B 分别为l 1、l 2上的动点,且|F F |5|AB |221=,求线段AB 中点M 的轨迹方程,并说明是什么曲线.20. 〔此题总分值13分〕 函数)1x (1x 2x )x (f ≥+-= 〔1〕求)x (f 的反函数)x (f1-,并指出其定义域；〔2〕假设数列{}n a 的前n 项和n S 对所有的大于1的自然数n 都有)S (fS 1n 1n --=,且1a 1=,求数列{}n a 的通项公式；〔3〕1n n n a a 1c +⋅=令,求++21c c …+n c .北京市宣武区2022-2022学年度第二学期第二次质量检测高三数学〔文〕参考答案2022．5一. 选择题〔本大题共8个小题,每题5分,共40分,在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求的.〕1. C2. D3. C4. A5. B6. D7. C8. A二. 填空题〔本大题共6个小题,每题5分,共30分.〕 9. 2410.21,3 11.27,1 12.28113. 4214. 〔2,0〕三. 解做题〔本大题共6个小题,共80分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 15. 〔此题总分值13分〕解：〔1〕)C tan A tan 1()C A tan(C tan A tan ⋅-⋅+=+∵()()()π∈=∴-⋅=+⋅--=+∴,0B 3B tan 1C tan A tan 3C tan A tan C tan A tan 1B tan C tan A tan ∵∵3B π=∴7分〔2〕B sin ac 21S ABC ⋅=∆∵ 且3B π=,233S ABC =∆()4121)c a (B cos 1ac 2)c a (2727b ,B cos ac 2c a b 6ac 222222=+∴+-+=⎪⎭⎫⎝⎛∴=-+==∴∵ 0c a >+∵211c a =+∴ 13分16. 〔此题总分值14分〕解：〔1〕)1x )(1x (3)1x (3)x ('f 2-+=-=∵ [)0)x ('f ,23,1x 1,3x >⎥⎦⎤ ⎝⎛∈--∈∴时或当[)⎪⎭⎫⎝⎛--∴23,1,1,3为函数)x (f 的单调增区间而当()1,1x -∈时,0)x ('f < ∴［-1,1］为f(x)的单调减区间8923f ,2)1(f ,2)1(f ,18)3(f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--=-∵又 18)x (f ,3x min -=-=∴时当 2)x (f ,1x max =-=时当7分〔2〕设切点为()0300x 3x ,x Q -,那么所求切线方程为 ()()()020030x x 1x 3x 3x y --=--由于切线过点()6,2P -()()()020030x 21x 3x 3x 6--=---∴解得3x 0x 00==或所以切线方程为()3x 2418y x 3y -=--=或 即054y x 240y x 3=--=+或14分17. 〔此题总分值14分〕 解法一：〔1〕正方体中,AD//BC ∴AD 与B 1C 所成的角为∠B 1CB∵∠B 1CB=45°,∴AD 和B 1C 所成的角为45° 3分〔2〕取B 1C 的中点F,B 1D 的中点G,连结BF,EG,GF ∴CD ⊥平面BCC 1B 1,且11B BCC BF 平面⊂∴DC ⊥BF又BF ⊥B 1C,C C B CD 1=GF//EB CD 21//BE ,CD 21//GF CDB BF 1∴⊥∴∵平面 ∴四边形BFGE 是平行四边形 ∴BF//GE∴EG ⊥平面B 1CD 又EG ⊂平面EB 1D∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD 8分〔3〕连结EF ∵CD ⊥B 1C,GF//CD ∴GF ⊥B 1C又EG ⊥平面B 1CD,EF ⊥B 1C∴∠EFG 为二面角E —B 1C —D 的平面角 ∵正方体的棱长为2a ∴在△EFG 中,GF=a,a 3EF =33EF G F EFG cos ==∠∴ 即二面角D C B E 1--的余弦值为3314分解法二：建立如下图的空间直角坐标系xyz D -〔1〕)0,0,0(D ,A 〔2a,0,0〕,C 〔0,2a,0〕,()a 2,a 2,a 2B 1()0,0,a 2DA =∴→,()a 2,0,a 2CB 1=→,222224|CB ||DA |CB DA CB ,DA cos 111=⨯=⋅⋅>=<→→→→→→ ∴AD 与B 1C 所成的角为45°3分〔2〕取B 1D 的中点F,连结EF ()a ,a ,a F ∵,()0,a ,a 2E()a ,0,a EF -=∴→,()0,a 2,0DC =→0CB EF ,0DC EF 1=⋅=⋅∴→→→→分平面平面平面又平面∵8CDB D EB D EB EF CDB EF CCB CD CB EF ,CD EF 111111⊥∴⊂⊥∴=⊥⊥∴〔3〕设平面CD B 1的一个法向量()11z ,y ,1m =由()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=⋅==⋅=⋅→→az 2a 2a 2,0,a 2z ,y ,1CB m 0ay 20,a 2,0z ,y ,1DC m 1111111 解得1z ,0y 11-== ()1,0,1m -=∴又设平面B 1CE 的一个法向量为()222z ,y ,x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+=⋅=⋅→→ay ax 2)0,a ,a 2()z ,y ,x (EC n 0az 2ax 2)a 2,0,a 2()z ,y ,x (CB n 22222222221得⎩⎨⎧-==2222x z x 2y令1x 2=,那么1z ,2y 22-== ()1,2,1n -=∴33622|n ||m |n m n ,m cos =⋅=⋅⋅>=<∴ 33D C BE 1的余弦值为二面角--∴14分18. 〔此题总分值13分〕 解：〔1〕以甲3胜1负而结束比赛,那么甲第4次必胜而前3次必有1次为败.∴所求概率为27832321C P 313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 4分〔2〕以乙3胜2负而结束比赛,那么乙第5次必胜而前4次必有2次败∴所求概率为81831311C P 3224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 9分〔3〕甲先胜3次的情况有3种：3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为278,278,8116. 81648116278278a =++=∴ 从而811781641b =-=故17:64b :a =13分19. 〔此题总分值13分〕解：〔1〕2|a |3a 2=+∵,1a 2=∴∴双曲线方程为13x y 22=- ∴渐近线方程为：0x y 30x y 3=+=-和5分〔2〕4|F F |21=∵,|F F |5|AB |221= 10|AB |=∴设A 在l 1上,B 在l 2上,那么设()11y ,y 3A ,()22y ,y 3B - 10)y y ()y y (3221221=-++∴ ①设AB 中点坐标为)y ,x (,那么2y y y ,2y 3y 3x 2121+=-= y 2y y ,3x2y y 2121=+=-∴代入①,得100x 34y 1222=+即125y 375x 22=+即所求轨迹为焦点在x 轴上中央在原点的椭圆.13分 20. 〔此题总分值13分〕解：〔1〕()()1x 1x y 2≥-=∵ ()211x )x (f y1x +=∴=-∴-定义域为：[)+∞,04分 〔2〕)S (f S 1n 1n --=∵ ()21n n 1S S +=∴-又0S n >,1S S 1n n +=∴- {}符合上式而∵为等差数列1a )2n (1n 2)1n (n S S a n S ,n S 1S a S 1221n n n 2n n 11n =≥-=--=-=∴==∴==∴-故1n 2a n -= 8分 〔3〕)1n 2()1n 2(1531311c c c n 21+⋅-+⋯+⋅+⋅=⋯++ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1n 211n 21513131121 1n 2n+= 13分。
北京市宣武区2019-2020学年中考数学二模试卷含解析
北京市宣武区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x -=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=1002．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103B．28×104C．2.8×105D．0.28×1063．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（）A．0.96×107B．9.6×106C．96×105D．9.6×1024．若关于x 的一元一次不等式组312(1)x xx a-+⎧⎨-⎩pf无解，则a 的取值范围是（）A．a≥3B．a＞3 C．a≤3D．a＜35．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。
问：牛、羊各直金几何？译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两。
问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则列方程组错误的是（）A．5210258x yx y+=⎧⎨+=⎩B．52107718x yx y+=⎧⎨+=⎩C．7718258x yx y+=⎧⎨+=⎩D．5282510x yx y+=⎧⎨+=⎩6．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）7．如图，O 为坐标原点，四边彤OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，删△AOF 的面积等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．68．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=o ,6AC =,8BC =,点,P Q 分别在,AB BC 上，AQ CP ⊥于D ，45CQ BP =则ACP ∆的面积为（ ）A ．232B ．252C ．272D ．2929．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．10．计算33x x x-+的结果是（ ） A ．6x x+ B ．6x x- C ．12D ．111．计算－3－1的结果是（ ） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4设第一次买了x 本画册，列方程正确的是（ ）A ．120240420x x -=+ B ．240120420x x -=+ C ．120240420x x -=- D ．240120420x x-=- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AD=4，点P 是直线AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB 的长为 ．16．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.17．抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.18．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）解分式方程：28124x x x -=--之间符合一次函数关系，部分数据如表： 天数（x） 1 3 6 10 每件成本p （元）7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y （件）与x （天）满足如下关系：y=()()220110401015x x x x x ⎧+≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，且为整数，且为整数， 设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．直接写出p 与x ，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围：求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 21．（6分）计算：2sin60°+|3﹣3|+（π﹣2）0﹣（12）﹣122．（8分）已知：如图所示，在ABC ∆中，AB AD DC ==，26BAD ∠=︒，求B Ð和C ∠的度数.23．（8分）如图，AB 是⊙O 直径，BC ⊥AB 于点B ，点C 是射线BC 上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD ．求证：BC ＝CD ；若∠C ＝60°，BC ＝3，求AD 的长．24．（10分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB 为斜边的等腰直角三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD 为对角线的矩形CMDN （顶点字母按逆时针顺序），且面积为10，点M 、N 均在小正方形的顶点上；（3）连接ME ，并直接写出EM 的长．25．（10分）（1）计算：（﹣2）﹣2+12cos60°﹣（3﹣2）0； （2）化简：（a ﹣1a ）÷221a a a-+ ． 26．（12分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有___名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为___；请补全条形统计图；（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x>0）交于点1)（，Aa ． 求a ，k 的值；已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P（m，n）（m>3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线4=yx（x>0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m=时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.2．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将280000用科学记数法表示为2.8×1．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．B考点：科学记数法—表示较大的数．4．A【解析】【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a 的取值范围．【详解】由x﹣a＞0 得，x＞a；由1x﹣1＜2（x+1）得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故选：A．【点睛】考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．D【解析】【分析】由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，据此可得答案．【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，所以方程组5282510x yx y+=⎧⎨+=⎩错误，故选：D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系及等式的基本性质．6．B又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G 四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB 于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=，故本选项错误；③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F 分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．考点：四边形综合题．7．A【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a=a2=12，解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．∴AM=8，OM=1．∵四边形OACB是菱形，∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为（10+b，b）．∵点F在反比例函数y=的图象上，∴（10+b）×b=12，S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10故选A．“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.8．C先利用三角函数求出BE=4m，同（1）的方法判断出∠1=∠3，进而得出△ACQ∽△CEP，得出比例式求出PE，最后用面积的差即可得出结论；【详解】∵45 CQBP=，∴CQ=4m，BP=5m，在Rt△ABC中，sinB=35，tanB=34，如图2，过点P作PE⊥BC于E，在Rt△BPE中，PE=BP•sinB=5m×35=3m，tanB=PEBE，∴334 mBE=，∴BE=4m，CE=BC-BE=8-4m，同（1）的方法得，∠1=∠3，∵∠ACQ=∠CEP，∴△ACQ∽△CEP，∴CQ AC PE CE=,∴46384mm m=-，∴m=78，∴PE=3m=218，∴S△ACP=S△ACB-S△PCB=12BC×AC-12BC×PE=12BC（AC-PE）=12×8×（6-218）=272，故选C.【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算方法，判断出△ACQ∽△CEP是解题的关键．9．DRt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．10．D【解析】【分析】根据同分母分式的加法法则计算可得结论．【详解】33x x x -+=33x x -+=x x=1． 故选D ．【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．11．D【解析】试题解析：-3-1=-3+（-1）=-（3+1）=-1．故选D.12．A【解析】分析：由设第一次买了x 本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：1202404 x x20-=+.故选A.点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．40°【解析】连接CD,则∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°,故答案为: 40°.14．5 3【解析】【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．【详解】设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3-x）2+12，解得：x=53，故答案为53．15．1．试题分析：如图，当AB=AD 时，满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，△P 1BC ，△P 2BC 是等腰直角三角形，△P 3BC 是等腰直角三角形（P 3B=P 3C ），则AB=AD=1，故答案为1．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．16．127或2 【解析】【分析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果.【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FC AB AC =，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2. 【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.17．()1,1m --【解析】【分析】将抛物线的解析式由一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】y=mx 2+2mx+1=m(x 2+2x)+1=m(x 2+2x+1-1)+1=m(x+1)2 +1-m ，所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m ），故答案为（-1，1-m ）.【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线的解析式转化为顶点式是解题的关键.【解析】【分析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴x50＝60%，解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．无解【解析】【分析】首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的求解方法进行求解，最后对所求的解进行检验，看是否能使分母为零．【详解】解：两边同乘以（x+2）（x－2）得：x（x+2）－（x+2）（x－2）=8去括号，得：2x+2x－2x+4=8移项、合并同类项得：2x=4解得：x=2经检验，x=2是方程的增根∴方程无解【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程结果要检验．20．（1）W=216260(11020520(1015x x x xx x x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩，为整数），为整数）；（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）李师傅共可获得160元奖金．【解析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p 与x ，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【详解】（1）设p 与x 之间的函数关系式为p=kx+b ，则有7.538.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，0.57k b =⎧⎨=⎩， 即p 与x 的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x 为整数），当1≤x ＜10时，W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x 2+16x+260，当10≤x≤15时，W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，即W=2x 16260(11020520(1015x x x x x x ⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩，为整数），为整数）； （2）当1≤x ＜10时，W=﹣x 2+16x+260=﹣（x ﹣8）2+324，∴当x=8时，W 取得最大值，此时W=324，当10≤x≤15时，W=﹣20x+520，∴当x=10时，W 取得最大值，此时W=320，∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）当1≤x ＜10时，令﹣x 2+16x+260=299，得x 1=3，x 2=13，当W ＞299时，3＜x ＜13，∵1≤x ＜10，∴3＜x ＜10，当10≤x≤15时，令W=﹣20x+520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11，由上可得，李师傅获得奖金的的天数是第4天到第11天，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），即李师傅共可获得160元奖金．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数解析式，利用函数的性质进行解答是关键.21．1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【详解】原式+1﹣1=1． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．22．77B ∠=︒，38.5C ∠=︒.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可求出∠B ，再根据三角形外角定理即可求出∠C.【详解】在ABC ∆中，AB AD DC ==，∵AB AD =，在三角形ABD 中， ()118026772B ADB ∠=∠=︒-︒⨯=︒， 又∵AD DC =，在三角形ADC 中， ∴117738.522C ADB ∠=∠=︒⨯=︒. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.23． (1)证明见解析；【解析】【分析】(1)根据切线的判定定理得到BC 是⊙O 的切线，再利用切线长定理证明即可；(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．【详解】(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；(2)连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝3．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（35【解析】【分析】（1）直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形；（2）根据矩形的性质画出符合题意的图形；（3）根据题意利用勾股定理得出结论．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示，在直角三角形中，根据勾股定理得EM=5. 【点睛】 本题考查了勾股定理与作图，解题的关键是熟练的掌握直角三角形的性质与勾股定理. 25．（1）12-；（2）11a a +-； 【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．【详解】解：（1）原式1111,422=+⨯- 111,44=+- 1.2=- （2）原式221,21a a a a a -=⋅-+ ()()()211,1a a a aa +-=⋅-1.1a a +=- 【点睛】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．26．（1）60；90°；统计图详见解析；（2）300；（3）．【解析】试题分析：（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360得到结果，补全条形统计图即可；（2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以900即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：（1）根据题意得：30÷50%=60（名），“了解”人数为60﹣（15+30+10）=5（名），“基本了解”占的百分比为1560×100%=25%，占的角度为25%×360°=90°， 补全条形统计图如图所示：（2）根据题意得：900×15560+=300（人）， 则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；（3）列表如下：剪 石 布剪 （剪，剪） （石，剪） （布，剪）石 （剪，石） （石，石） （布，石）布 （剪，布） （石，布） （布，布）所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，则P=39=13． 考点：1、条形统计图，2、扇形统计图，3、列表法与树状图法27．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可. 【详解】 解：（1）将1)（，Aa 代入4=y x得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.。
北京市宣武区2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
北京市宣武区2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是()A ．10B ．12C ．20D ．242．圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，则它的侧面积是A ．2360cm πB ．2720cm πC ．21800cm πD ．23600cm π3．如图，在正方形ABCD 中，AB＝12x x ，P 为对角线AC 上的动点，PQ ⊥AC 交折线A ﹣D ﹣C 于点Q ，设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列事件是确定事件的是（ ）A ．阴天一定会下雨B ．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C ．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D ．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书5．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y （单位：元）与一次性购买该书的数量x （单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本B．a＝520C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元6．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B （4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤7．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）20178．如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作（）A．+8km B．﹣8km C．+14km D．﹣2km9．已知一组数据1、2、3、x 、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示：有理数,a b 在数轴上的对应点，则下列式子中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1a b <D ．0a b -<11．如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是( )A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形纸片ABCD ，AD=4，AB=3，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC ，当△EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为______．14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到COD ∆，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠的度数是 _______．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，∠APO＝30°．先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段BC的长为_____．16．如果分式42xx-+的值为0，那么x的值为___________．17．计算（7+3）（73-）的结果等于_____．18．布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是»AF的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D（1）求证：DE是的⊙O切线；（2）若AB=6，BG=4，求BE的长；（3）若AB=6，CE=1.2，请直接写出AD的长．20．（6分）2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土一讲好我们的地球故事”地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．（1）求山西省的丘陵面积与平原面积；（2）活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是，家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是，家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？21．（6分）如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 内一点，且BA BC =，连结BO 并延长线交O e 于点D ，过点C 作O e 的切线CE ，且BC 平分DBE ∠．()1求证：BE CE =；()2若O e 的直径长8，4sin BCE 5∠=，求BE 的长．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，对称轴交AC 于点D ，动点P 在抛物线对称轴上，动点Q 在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）当PO+PC 的值最小时，求点P 的坐标；（3）是否存在以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）如图，直线y=﹣x+3分别与x 轴、y 交于点B 、C ；抛物线y=x 2+bx+c 经过点B 、C ，与x 轴的另一个交点为点A （点A 在点B 的左侧），对称轴为l 1，顶点为D ．（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．（2）点M（1，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞1．①结合函数的图象，求x3的取值范围；②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．24．（10分）（1）计算：21128cos60(3)2π-︒⎛⎫+--+⎪⎝⎭；（2）已知a﹣b＝2，求（a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．25．（10分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.26．（12分）如图1，菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120o，连接对角线AC、BD交于点O，（1）如图2，将△AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A′BO与菱形ABCD重合部分的面积.（2）如图3，将△A′BO绕点O逆时针旋转交AB于点E′，交BC于点F，①求证：BE′+BF=2，②求出四边形OE′BF的面积.27．（12分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.求坡底C点到大楼距离AC的值；求斜坡CD的长度.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC=5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面积为：12×4×6=12.故选：B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．2．D【解析】圆锥的侧面积=12×80π×90=3600π(cm2) .故选D ．3．B【解析】∵在正方形ABCD 中, AB=∴AC ＝4，AD ＝DC ＝DAP ＝∠DCA ＝45o ，当点Q 在AD 上时，PA ＝PQ ，∴DP=AP=x,∴S ＝211·22PQ AP x = ； 当点Q 在DC 上时，PC ＝PQCP ＝4－x,∴S ＝221111·(4)(4)(168)482222PC PQ x x x x x x =--=-+=-+； 所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,故选B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在AP 、DC 上这两种情况． 4．D【解析】试题分析：找到一定发生或一定不发生的事件即可．A 、阴天一定会下雨，是随机事件；B 、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；C 、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；D 、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件．故选D ．考点：随机事件．5．D【解析】【分析】A 、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A 选项正确；C 、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C 正确；B 、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a 值，B 正确；D ，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D 错误．此题得解．【详解】解：A 、∵200÷10＝20（元/本），∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A 选项正确；C 、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8， ∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C 选项正确；B 、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），∴a ＝520，B 选项正确；D 、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D 选项错误．故选D ．【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 6．C【解析】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1， ∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；∵抛物线y 1=ax 2+bx+c 与直线y 2=mx+n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以⑤正确．故选C ．考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x 轴的交点．7．C【解析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2．故选C．“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．8．B【解析】【分析】正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来【详解】解：向北和向南互为相反意义的量．若向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作﹣8km．故选：B．【点睛】本题考查正负数在生活中的应用．注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量．9．B【解析】【分析】先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．【详解】∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，∴12355x++++=3，解得：x=4，则数据为1、2、3、4、5，∴方差为15×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2，故选B．【点睛】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．10．C【解析】【分析】从数轴上可以看出a 、b 都是负数，且a ＜b ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】由数轴可知：a<b<0，A 、两数相乘，同号得正，ab ＞0是正确的；B 、同号相加，取相同的符号，a+b ＜0是正确的；C 、a ＜b ＜0，1a b ＞，故选项是错误的； D 、a-b=a+（-b ）取a 的符号，a-b ＜0是正确的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.11．D【解析】【分析】主视图是从前向后看，即可得图像.【详解】主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.12．C【解析】【分析】根据题意,结合图形,由平移的概念求解.【详解】由方格可知，在5×5方格纸中将图①中的图形N 平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是：先向下移动2格，再向左移动1格，故选C ．【点睛】本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换.关键是要观察比较平移前后物体的位置.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1.5或3【解析】根据矩形的性质，利用勾股定理求得，由题意，可分△EFC 是直角三角形的两种情况：如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F 在对角线AC 上，且AE 是∠BAC 的平分线，所以可得BE=EF ，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC ∽△EFC ，即EC EF BE AC AB AB ==，代入数据可得4=35BE BE -，解得BE=1.5；如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF 是正方形，从而求出BE=AB=3.故答案为1.5或3.点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.14．60°【解析】【分析】根据题意可得AOD AOB BOD ∠=∠+∠,根据已知条件计算即可.【详解】根据题意可得：AOD AOB BOD ∠=∠+∠Q 15AOB ∠=︒，45BOD ︒∠=451560AOD ︒︒︒∴∠=+=故答案为60°【点睛】本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.15．2【解析】【分析】只要证明△PBC 是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】解：∵∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°，∵PA＝PC＝PB，∠APC＝30°，∴∠BPC＝90°，∴△PBC是等腰直角三角形，∵OA＝1，∠APO＝30°，∴PA＝2OA＝2，∴BC＝PC＝2，故答案为2．【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC 是等腰直角三角形．16．4【解析】【详解】∵42xx-=+，∴x-4=0，x+2≠0，解得：x=4，故答案为4.17．4【解析】【分析】利用平方差公式计算.【详解】解：原式7)232=7-3=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.18．【解析】试题解析：∵一个布袋里装有2个红球和5个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：．考点：概率公式．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（1）83；（3）1.【解析】【分析】（1）要证明DE是的⊙O切线，证明OG⊥DE即可；（1）先证明△GBA∽△EBG，即可得出ABBG=BGBE,根据已知条件即可求出BE；（3）先证明△AGB≌△CGB，得出BC=AB=6，BE=4.8再根据OG∥BE得出OGBE=DODB，即可计算出AD.【详解】证明：（1）如图，连接OG，GB，∵G是弧AF的中点，∴∠GBF=∠GBA，∵OB=OG，∴∠OBG=∠OGB，∴∠GBF=∠OGB，∴OG∥BC，∴∠OGD=∠GEB，∵DE⊥CB，∴∠GEB=90°，∴∠OGD=90°，即OG⊥DE且G为半径外端，∴DE为⊙O切线；（1）∵AB为⊙O直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGB=∠GEB，且∠GBA=∠GBE，∴△GBA∽△EBG，∴AB BG BG BE=，∴224863BGBEAB===；（3）AD=1，根据SAS可知△AGB≌△CGB，则BC=AB=6，∴BE=4.8，∵OG∥BE，∴OG DOBE DB=，即334.86DADA+=+，解得：AD=1．【点睛】本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质.20．（1）平原面积为3.09平方公里，丘陵面积为6.98平方公里；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里，再根据总面积=平原面积+丘陵面积+土石山区面积列出等式求解即可；（2）先分别列出甲、乙两个旅行社收费与学生人数的关系式，然后再分情况讨论即可.【详解】解：（1）设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里．由题意：x+2x+0.8+5.59=15.66，解得x=3.09，2x+0.8=6.98，答：山西省的平原面积为3.09平方公里，则山西省的丘陵面积为6.98平方公里．（2）设去参观山西地质博物馆的学生有m人，甲、乙旅行社的收费分别为y甲元，y乙元．由题意：y甲=30×0.9m=27m，y乙=30×0.8（m+2）=24m+48，当y甲=y乙时，27m=24m+48，m=16，当y甲＞y乙时，27m＞24m+48，m＞16，当y 甲＜y 乙时，27m ＜24m+48，m ＜16，答：当学生人数为16人时，两个旅行社的费用一样．当学生人数为大于16人时，乙旅行社比较合算．当学生人数为小于16人时，甲旅行社比较合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.21．（1）证明见解析；（2）25BE 6=． 【解析】【分析】 ()1先利用等腰三角形的性质得到BD AC ⊥，利用切线的性质得CE AC ⊥，则CE ∥BD ，然后证明13∠=∠得到BE=CE ；()2作EF BC ⊥于F ，如图，在Rt △OBC 中利用正弦定义得到BC=5，所以1522BF BC ==，然后在Rt △BEF 中通过解直角三角形可求出BE 的长．【详解】()1证明：BA BC =Q ，AO CO =，BD AC ∴⊥，CE Q 是O e 的切线，CE AC ∴⊥，CE //BD ∴，12∠∠∴=．BC Q 平分DBE ∠，23∠∠∴=，13∠∠∴=，BE CE ∴=；()2解：作EF BC ⊥于F ，如图，O Q e 的直径长8，CO 4∴=．4OC sin 3sin 25BC∠∠∴===，BC 5∴=，BE CE Q =，15BF BC 22∴==， 在Rt BEF V 中，EF 4sin 3sin 1BE 5∠∠=== 设EF 4x =，则BE 5x =，BF 3x ∴=，即53x 2=，解得5x 6=， 25BE 5x 6∴==． 故答案为（1）证明见解析；（2）256BE =． 【点睛】 本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了解直角三角形．22．（1）y=34-x 2+3x ；（2）当PO+PC 的值最小时，点P 的坐标为（2，32）；（3）存在，具体见解析. 【解析】【分析】(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A 点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)D 与P 重合时有最小值，求出点D 的坐标即可；(3)存在，分别根据①AC 为对角线，②AC 为边，两种情况，分别求解即可.【详解】（1）在矩形OABC 中，OA=4，OC=3，∴A （4，0），C （0，3），∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 边上，∴抛物线顶点坐标为（2，3），∴可设抛物线解析式为y=a(x ﹣2)2+3，把A 点坐标代入可得0=a （4﹣2)2+3，解得a=34-， ∴抛物线解析式为y=34-(x ﹣2)2+3，即y=34-x 2+3x ； （2）∵点P 在抛物线对称轴上，∴PA=PO ，∴PO+PC= PA+PC ．∴当点P 与点D 重合时，PA+PC= AC ；当点P 不与点D 重合时，PA+PC> AC ；∴当点P 与点D 重合时，PO+PC 的值最小，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，根据题意，得40,3,k bb+=⎧⎨=⎩解得3,43.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的解析式为334y x=-+，当x=2时，33342y x=-+=，∴当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，32）；（3）存在．①AC为对角线，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q（2，3），则P（2，0）；②AC为边，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x＝6时，3394y x=-+=-，此时Q（6，−9），则点A（4，0）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C（0，3）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P（2，−6）；当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为−2，当x＝−2时，3394y x=-+=-，此时Q（−2，−9），则点C（0，3）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A（4，0）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P（2，−12）；综上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，−6），Q（6，−9）或P（2，−12），Q（−2，−9）．【点睛】二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．23．（2）y=x2﹣4x+3；（2）①2＜x3＜4，②m的值为113172-2．【解析】【分析】（2）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时求得m=﹣2；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x2＞2，可得﹣2＜y3＜3，即可﹣2＜﹣x3+3＜3，所以2＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.【详解】（2）在y=﹣x+3中，令x=2，则y=3；令y=2，则x=3；得B（3，2），C（2，3），将点B（3，2），C（2，3）的坐标代入y=x2+bx+c得：，解得∴y=x2﹣4x+3；（2）∵直线l2平行于x轴，∴y2=y2=y3=m，①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣2，∴顶点为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时，m=﹣2；当直线l2经过点C时，m=3∵x2＞x2＞2，∴﹣2＜y3＜3，即﹣2＜﹣x3+3＜3，得2＜x3＜4，②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．∵x2＞x2＞2，∴x3﹣x2=x2﹣x2，即x3=2x2﹣x2，∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，∴点P、Q关于抛物线的对称轴l2对称，又抛物线的对称轴l2为x=2，∴2﹣x2=x2﹣2，即x2=4﹣x2，∴x3=3x2﹣4，将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）即x22﹣x2﹣4=2，解得x2=，（负值已舍去），∴m=（）2﹣4×+3=113172-如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．由上可得点P、Q关于直线l2对称，∴点N在抛物线的对称轴l2：x=2，又点N在直线y=﹣x+3上，∴y3=﹣2+3=2，即m=2．故m的值为11317-或2．【点睛】本题是二次函数综合题，本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．24．（1）；（1）1.【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法和加减运算可得；（1）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用完全平方公式因式分解，最后将a−b的值整体代入计算可得．【详解】（1）原式38×12﹣34﹣3﹣1；（1）原式=a1﹣4a+4+b1﹣1ab+4a﹣4=a1﹣1ab+b1=（a﹣b）1，当a ﹣时，原式=）1=1．【点睛】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是掌握实数与整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式因式分解的能力．25．（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析【解析】解：（1）设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据题意得：x 2y 3.5{2x y 2.5+=+=，解得：x 0.5{y 1.5==。
北京市宣武区2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
北京市宣武区2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.2．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P，A，B不共线时，PAB∆的面积的最大值是（）A．22B．2C．223D．23【答案】A【解析】【分析】根据平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B的距离之比为22，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设()1,0A-，()10B,，(),P x y()()2222121x yx y++=-+化简得()2238x y++=，当点P到AB（x轴）距离最大时，PAB∆的面积最大，∴PAB∆面积的最大值是1222222⨯⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 3．设x∈R，则“327x<”是“||3x<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】解不等式327x <可得3x <，解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.4．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，再求和. 【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===， 所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，所以()44441110011011111001190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.5．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.6．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23B π=.故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.7．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u u r 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u ur u u u r ，M Q 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数． 【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个 故选：D本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．9．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法， 从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法，则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题． 10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．3C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A.本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，1a =r ，b =r ，则a b ⋅=r r ( )A ．B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义表示出向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，再由22a a =r r ，22b b =r r 代入表达式中即可求出a b ⋅r r .【详解】由向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒r r r r r r r r r ，所以21122a ab +⋅==r r r r又1a =r ，b =r ，22a a =r r ，22b b =r r ，所以1112a b +⋅=⨯r r 0a b ⋅=r r .故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 12．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i B ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=， 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-=【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市宣武区2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷含解析
北京市宣武区2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a =v v vD ．11a b a b=v v v v 2．已知：a 、b 是不等于0的实数，2a=3b ，那么下列等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4．方程＝的解为( )A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5 5．下列4个点，不在反比例函数图象上的是（ ）A ．（ 2，－3）B ．（－3，2）C ．（3，－2）D ．（ 3，2）6．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH，下列结论正确的是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是25﹣2A．①②⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④8．若2a2a30--=，代数式a2a23-⨯的值是()A．0 B．2a3-C．2 D．12-9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜1010．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×101011．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=43，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．2πB．4πC．6πD．8π12．下列关于x的方程一定有实数解的是( )A．2x mx10--=B．ax3=C．x64x0-⋅-=D．1x x1x1=--二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____．14．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．15．若分式方程x a2x4x4=+--的解为正数，则a的取值范围是______________．16．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB 的面积为1，则k=________________．17．如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为.18222）=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童． 20．（6分）计算：（1）﹣12018+|3﹣2|+2cos30°；（2）（a+1）2+（1﹣a ）（a+1）；21．（6分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB P ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.甲 乙 丙 单价（元/米2）2m 5n 2m （1）当3x =时，求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________.22．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D 、C 、B 、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ；（2）扇形统计图中表示C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；（3）学校决定从A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．23．（8分）如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数m y x= （x ＜0）的图象交于点B （﹣2，n ），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D （3﹣3n ，1）是该反比例函数图象上一点．求m 的值；若∠DBC=∠ABC ，求一次函数y=kx+b 的表达式．24．（10分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？25．（10分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋1，2m －3）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．26．（12分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且8cm AB =，6cm BC =．动点P ，Q 分别从点C ，A 同时出发，运动速度均为lcm/s ．点P 沿C D A →→运动，到点A 停止．点Q 沿A O C →→运动，点Q 到点O 停留4s 后继续运动，到点C 停止．连接BP ，BQ ，PQ ，设BPQ V 的面积为()2cm y （这里规定：线段是面积为0的三角形），点P 的运动时间为()x s ． （1）求线段PD 的长（用含x 的代数式表示）；（2）求514x 剟时，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当12BDP y S =△时，直接写出x 的取值范围．27．（12分）已知关于x 的一元二次方程3x 2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k 为负整数．求k 的值；如果这个方程有两个整数根，求出它的根．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.2．B【解析】∵2a=3b ，∴ ，∴ ，∴A 、C 、D 选项错误，B 选项正确，故选B.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、a b -的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，a 0<，b 0<，当x 1=-时，y a b 0=-<，()y a b x b ∴=-+的图象经过二、三、四象限，观察可得D 选项的图象符合，故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.4．C【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得x+3-2(x-1)=0，解得：x=5，检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，所以x=5是原方程的解，故选C.5．D【解析】 分析：根据得k=xy=-6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6，就在函数图象上． 解答：解：原式可化为：xy=-6，A 、2×（-3）=-6，符合条件；B 、（-3）×2=-6，符合条件； C 、3×（-2）=-6，符合条件；D、3×2=6，不符合条件．故选D．6．B【解析】【分析】根据左视图的定义,从左侧会发现两个正方形摞在一起.【详解】从左边看上下各一个小正方形，如图故选B．7．B【解析】【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴∠ABE=∠DCF.∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG.∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同理可证：△AGB≌△CGB.∵DF∥CB，∴△CBG ∽△FDG ，∴△ABG ∽△FDG ，故①正确.∵S △HDG:S △HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan ∠FCD ，∠DAG=∠FCD ，∴S △HDG:S △HBG=tan ∠FCD=tan ∠DAG ，故④正确.取AB 的中点O ，连接OD 、OH.∵正方形的边长为4，∴AO=OH=12×4=1， 由勾股定理得，224225+=由三角形的三边关系得，O 、D 、H 三点共线时，DH 最小，DH 最小5．无法证明DH 平分∠EHG ，故②错误，故①③④⑤正确.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握它们的性质进行解题.8．D【解析】【分析】由2a 2a 30--=可得2a 2a 3-=，整体代入到原式()2a 2a 6--=即可得出答案．【详解】解：2a 2a 30--=Q ， 2a 2a 3∴-=，则原式()2a 2a31662---===-．故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键． 9．D【解析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22AC BC +=15， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，∴ 510r <<，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键.10．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于56亿有10位，所以可以确定n ＝10﹣1＝1．【详解】56亿＝56×108＝5.6×101，故选C．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．11．B【解析】【分析】先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的14．【详解】在△ABC中，依据勾股定理可知，∵两等圆⊙A，⊙B外切，∴两圆的半径均为4，∵∠A+∠B=90°，∴阴影部分的面积=2904360π⨯=4π．故选：B．【点睛】本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．12．A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得．【详解】A．x2-mx-1=0中△=m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；B．ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意；C．由6040xx-≥⎧⎨-≥⎩可解得不等式组无解，不符合题意；D．111xx x=--有增根x=1，此方程无解，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．17【解析】【分析】先利用完全平方公式展开，然后再求和.【详解】根据（x+y ）2=25，x 2+y 2+2xy=25;（x ﹣y ）2=9, x 2+y 2-2xy=9,所以x 2+y 2=17.【点睛】(1)完全平方公式：2222a b a ab b ±=±+（）.(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=22a b +.(3)常用等价变形：()2222 ,a b b a b a a b -=-=-+=-+ ()33a b b a -=--, ()()b a b a -=--,()22a b a b --=+.14．－3＜x ＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y ＞0时，x 的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为﹣3＜x ＜1．考点：二次函数的图象．15．a ＜8，且a≠1【解析】分式方程去分母得：x=2x-8+a ，解得：x=8- a ，根据题意得：8- a ＞2，8- a≠1，解得：a ＜8，且a≠1．故答案为：a＜8，且a≠1．【点睛】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a 的范围即可．此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为2．16．-1【解析】试题解析：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．考点：反比例外函数k的几何意义.17．65°【解析】【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【详解】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．18．1．【解析】【分析】去括号后得到答案.【详解】2＋1＝1，故答案为1.2×22×2【点睛】本题主要考查了去括号的概念，解本题的要点在于二次根式的运算.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．【解析】【分析】（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．【详解】解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．条形统计图补充如下图所示：故答案为16；（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．答：该镇小学生中共有留守儿童1名．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．20．(1)1;(2)2a+2【解析】【分析】（1）根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;（2）先化简原式，然后将x的值代入原式即可求出答案．【详解】解:（1）原式=﹣1+23+2×32=1;（2）原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2. 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．21．（1）8m 2;（2）68m 2;(3) 40，8【解析】【分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB P ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答； （3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB P ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=- ∴I III I I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭， ∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯ ∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m -⨯+⨯+= （3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【点睛】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积.22．（1）2、45、20；（2）72；（3）1 6【解析】分析：（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C 等次人数除以总人数可得b、c的值；（2）用360°乘以C等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．详解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，∴a=40×5%=2，b=1840×100=45，c=840×100=20，（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，（3）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=21= 126．点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．23．（1）-6；（2）122y x=-+．【解析】【分析】（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数myx=（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n，即可得出答案；（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC．延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得DE=FE=4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．【详解】解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数myx=（x＜0）的图象上，∴233n mn m-=⎧⎨-=⎩，解得：36nm=⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知反比例函数解析式为6yx=-，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，∴2321k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴122y x=-+．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．24．(1) 40%;(2) 2616.【解析】【分析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可．【详解】解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则2600(1)1176x+=．解之，得0.4x=或 2.4x=-（不合题意，舍去）．所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A市三年共投资“改水工程”2616万元．25．（1）m＝3，k＝12；（2）或【解析】【分析】（1）把A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)代入反比例函数y＝kx，得k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，再求解；（2）用待定系数法求一次函数解析式；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.根据平行四边形判定和勾股定理可求出M,N的坐标.【详解】解：(1)∵点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数y＝k x的图像上，∴k＝xy，∴k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，∴m2＋m＝m2＋2m－3，解得m＝3，∴k＝3×(3＋1)＝12.(2)∵m＝3，∴A(3，4)，B(6，2)．设直线AB的函数表达式为y＝k′x＋b(k′≠0)，则4326k bk b=+⎧⎨=+''⎩解得236kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩'∴直线AB的函数表达式为y＝－23x＋6.（3）M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．解答过程如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.∵由(1)知：A(3，4)，B(6，2)，∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3，∴四边形ANMB是平行四边形，此时M(3，0)，N(0，2)．当M′(－3，0)，N′(0，－2)时，根据勾股定理能求出AM′＝BN′，AB＝M′N′，即四边形AM′N′B是平行四边形．故M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．【点睛】本题考核知识点：反比例函数综合. 解题关键点：熟记反比例函数的性质.26．（1）当0＜x≤1时，PD=1-x，当1＜x≤14时，PD=x-1．（2）y=2312(58)2216(89)24888(914)55x xx xx x x⎧-+≤≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩；（3）5≤x≤9【解析】【分析】（1）分点P在线段CD或在线段AD上两种情形分别求解即可．（2）分三种情形：①当5≤x≤1时，如图1中，根据y=12S△DPB，求解即可．②当1＜x≤9时，如图2中，根据y=12S△DPB，求解即可．③9＜x≤14时，如图3中，根据y=S△APQ+S△ABQ-S△PAB计算即可．（3）根据（2）中结论即可判断．【详解】解：（1）当0＜x≤1时，PD=1-x，当1＜x≤14时，PD=x-1．（2）①当5≤x≤1时，如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OB，∴y=12S△DPB=12×12•（1-x）•6=32（1-x）=12-32x．②当1＜x≤9时，如图2中，y=12S△DPB=12×12（x-1）×1=2x-2．③9＜x≤14时，如图3中，y=S△APQ+S△ABQ-S△PAB=12•（14-x）•45（x-4）+12×1×35（tx-4）-12×1×（14-x）=-25x2+485x-11．综上所述，y=2312(58)2216(89)24888(914)55x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩．（3）由（2）可知：当5≤x≤9时，y=12S △BDP ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．27．（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x 2=x 2=2．【解析】【分析】（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的值；（2）将k 的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k 的值．【详解】解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k ）≥0， 解得 k≥﹣2．∵k 为负整数，∴k=﹣2，﹣2．（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x 2=x 2=2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．。
北京市宣武区-度第二学期第二次质量检测高三数学(文科)
北京市宣武区2007~2008学年度第二学期第二次质量检测高三数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的。
1. 若集合{}1x |x M ->=，则下列关系成立的是A. M 0⊆B. {}M 0⊆C. M ∈∅D. {}M 0∈2. 已知1cos sin >θ-θ，则角θ所在象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知向量=a （-3，2），=b （x ，-4），若a ∥b ，则x= A. 4 B. 5 C. 6D. 74. 已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 A. m ∥α且α∥n B. α⊥m 且α⊥n C. α∥m 且α⊂n D. m ，n 与α成等角5. 若函数()x a x f -=（0a >且1a ≠）是定义域为R 的增函数，则函数()()1x log x f a +=的图象大致是6. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x ,04y x ,0y x （a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为A. 223+B. 223+-C. 5-D. 17. 由直线1x y -=上一点向圆()1y 3x 22=+-引切线，则切线长的最小值是A. 1B. 2C. 7D. 38. 在f （m ，n ）中，m 、n 、f （m ，n ）*N ∈，且对任何m 、n 都有：（I ）f （1，1）=1，（II ）f （m ，1n +）()n ,m f =+2，（III ）f （m+1，1）=2f （m ，1）。
给出以下三个结论：①f （1，5）=9；②f （5，1）=16；③f （5，6）=26。
其中正确的结论个数是 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
高三数学-2018年北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷(
2001年北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数：213121x y ,x y ,xy ,x y 2====--的定义域依次为集合M 1、M 2、N 1、N 2。
若N N N ,M M M 2121== ，则N M 是（ ）A RB ),0()0,(+∞-∞C ),0[+∞D ),0(+∞ 2．函数)1x )(1x (log y 2>-=的反函数的图象是（ ）3．椭圆)0b a (1b y a x 2222>>=+的离心率是22，那么双曲线1by a x 2222=-的离心率是（ ）A2 B23 C 36 D 264．已知m 、n 是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，对于以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ② 若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β=m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β=m ，则n ⊥α或n ⊥β 若中正确的命题是（ ）A ①与②B ②与③C 仅②D 仅④5．若函数)0a (ax cos a ax sin a )x (f >+=的最大值是22，则函数f(x)的最小正周期是（ ）A4π B 2πC πD π2 6．若过点（3，1）总可作两直线和圆)0k (k )k y ()k 2x (:C 22>=-+-都相切，则k 的取值范围是（ ）A （0，2）B （1，2）C ),2()1,(+∞-∞D ),2()1,0(+∞7．设复数i 1w ),2,0[,sin i cos z +-=π∈θθ+θ=，则|w z |-的最大值是（ ） A2 B 5 C 12+ D 12-8．已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x －1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则Q 1分有向线段MO 2的比λ等于（ ）A 56-B 65-C 56D 65 9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7、a 10、a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项为b 1=3，则b n 等于（ ）A 1n )35(3-⋅ B 1n )85(3-⋅ C 1n )53(3--⋅ D 1n )32(3-⋅10．如图一，菱形ABCD 中，∠DAB=120°，AB=1，沿对角线AC 将△ACD 折起，使点D 至D ′位置，连BD ′得到三棱锥D ′—ABC （如图二），则三棱锥D ′—ABC 体积的最大值为（ ）A163 B 81 C 83D 16111．某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。
北京市宣武区达标名校2020年高考二月质量检测数学试题含解析
北京市宣武区达标名校2020年高考二月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．33．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A．2 B ．5C．23D．835．已知(1,2)a=，(,3)b m m=+，(2,1)c m=--，若//a b，则b c⋅=（）A．7-B．3-C．3D．76．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A．24(4)h2π+π+B．216(2)hπ+π+C．2(8421)hπ+π+D．2(2216)hπ+π+7．设F为抛物线24x y=的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若0FA FB FC++=，则|||||FA FB FC++=（）.A．9 B．6 C．38D．3168．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8 B．7 C．6 D．49．点(,)P x y为不等式组+4x yy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-yx的取值范围是（）A．()(),21,-∞-⋃+∞B．(][),11,-∞-+∞C．()2,1-D．[]2,1-10．已知角a的终边经过点()()4,30P m m m-≠，则2sin cosa a+的值是()A．1或1-B．25或25-C．1或25-D．1-或2511．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．33B ．3C ．33D 7312．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市宣武区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
北京市宣武区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253 【答案】B【解析】【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ， 则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.3．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】【分析】 把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值．【详解】 因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.4．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)2【答案】A【解析】【分析】 首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根，等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<． 故选：A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.5．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B【解析】【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解.【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上，所以1a b +=，解得2,1,a b ==-所以3a b -=.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12 B ．12- C ．1- D ．2 【答案】A【解析】【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=，…，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ，2018212a a ∴==， 故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.7．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A．12-+ B．12i + C．12- D．12i 【答案】A【解析】【分析】由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r 的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r 绕原点O 逆时针旋转6π得到OB uuu r ， 设OB uuu r ＝(a ，b)，0,0a b <>，则cos 6OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2b =， 又221a b +=，解得：1,22a b =-=，∴12OB ⎛=- ⎝⎭u u u r ，对应复数为122-+. 故选：A.【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.8．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.9．已知||a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为（ ） A ．12 B ．72 C ．12- D ．72- 【答案】B【解析】【分析】由()a ab ⊥-r r r ，||3a =r ，||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b b b +⋅r r r r 化简运算即可【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r ， ∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r . 故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B.【点睛】 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．11．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()222321111330k f x x x x x x x x x x '==+=++≥⋅⋅=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立，所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174πB ．214πC ．4πD ．5π【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球， 且球半径为2222224a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π． 故选B ．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列解答题word版含答案
【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分 所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分（Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213n n n +--=+-………………11分2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+.所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分 方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩ 所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+= 因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b n b ++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212b =， 所以11a =． 因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和 n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ． ……………13分 【朝阳二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2nS pn qn =+ ∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2n n n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2na pn q p =+- ∵12(1)(2)2,()n n a a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R ∴{}n a 是等差数列,设公差为d∵143,24a S == ∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()na n n n =+-⨯=+∈N （Ⅱ）由（Ⅰ）可知21na n =+ ∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则12124242424n n n T -=⨯+⨯++⨯+⨯ 1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -= 所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为 23n S n =，所以 113a S ==． …………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 2233(1)n n =--63n =-． …………………3分因为当 1n =时，16133a ⨯-==， …………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是 63n a n =-． …………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为 113a b =，所以 11b =． …………………6分 因为 242b b a ⋅=， 所以 239b =． …………………8分 因为 2310b b q =>，所以 33b =，且23q =． …………………10分 因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列． …………………11分 所以 212(1())131(31)1132n n n n b q T q --===---． 即 1(31)2n n T =-． …………………13分 【昌平二模】16. （本小题13分）已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}nb 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 前n 项的和n S .16.（共13分）解：（Ⅰ）因为 11n n n nb a a na +++=，所以 1221b a a a += .又因为1212a a =1，= ,所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=， 得到 112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()22212nn n S --==--. --------------------13分 【顺义二模】15. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =． 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =． …………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =． 所以5b 与数列{}n a 的第31项相等． …………13分。
2024年中考数学二模试卷(北京卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：8239000000 2.3910=⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值．2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为()A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+【答案】D 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a ＜0＜b ，且a ＜b ，∴0a b +>，∴A 选项的结论不成立；0b a ->，∴B 选项的结论不成立；22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A ．23B ．34C ．25D ．35【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．8．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②22a b a b +>+；)2a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，由AB AE BE +>，可得22a b a b +>+，进而可判断②的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，则()2222c a b a b =⨯+<+，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，90EBD ∠=︒，∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）93x -有意义，则x 可取的一个数是．【答案】如4等（答案不唯一，3x ≥）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子3x -有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n-=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =的解为．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值．【答案】2-（答案不唯一）【分析】由题可知A ，B 在两个象限，根据12y y >得到图象位于二、四象限，即0k <给出符合题意的k 值即可．【详解】由题可知A ，B 在两个象限，∵12y y >，∴反比例函数()0k y k x=≠的图象位于二、四象限，∴0k <，即2k =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于.【答案】23【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到CE DE =， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，利用圆周角定理求出求出260DOE A ∠=∠=︒，得出30ODE ∠=︒，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得1OE =，勾股定理即可得DE ，垂径定理即可求得DC 的长．【详解】解：如图所示，设,AB CD 交于点E ，AB 是直径，CD 丄AB ，CE DE ∴=， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，ACD ∠ =60︒，30A ∴∠=︒，260DOE A ∴∠=∠=︒，30ODE ∴∠=︒，∴112OE OD ==，DE ∴=3，2CD DE ∴==23，故答案为：23．14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x 株，根据题意可列分式方程为.【答案】()621031x x-=【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．【详解】解：由题意可列方程：62103(1)-=x x；故答案为：62103(1)-=x x ．【点睛】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价=总价÷数量，结合题意即可得出分式方程．15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，E 点为BC 边延长线一点，且3CE =．连接AE 交边CD 于点F ，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则DH =．【答案】5【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段FC 的长，进而求得DF 的长，利再用勾股定理求出AF 的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出DH 的长．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，CD AB ∴∥，4DC AB ==，5AD BC ==，90ADC ∠=︒，EFC EAB ∴∠=∠，E E ∠=∠ ，EFC EAB ∴∽V V ，CE FC EB AB ∴=，3354FC ∴=+，32FC ∴=，52DF DC FC ∴=-=，在Rt ADF V 中，2222555522AF AD DF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，DH AE ⊥ ，1122ADF S AD DF AF DH ∴=⋅=⋅V ，1515552222DH ∴⨯⨯=⨯⨯，5DH ∴=，故答案为：5．【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e 的卡片写有数字．【答案】B ；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()2021112π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：原式31231442=-++-⨯+1231234=-++-+4=．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．18．（本题5分）解不等式组：352x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中31x =-．【答案】2x x --，33-+．【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．【详解】解：原式22121211(1)x x x x x x ⎛⎫---=+÷ ⎪+++⎝⎭()()22112x x x x x-+=⋅+-()1x x =-+2x x =--，当31x =-时，原式()()3131133=---+=-+．【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若26EF =CD 的长．【答案】(1)菱形，见解析；(2)42【分析】本题考查菱形的性质和判定，关键是利用菱形的判定解答．（1）根据角平分线的性质得出DF DE =，进而利用直角三角形的性质得出FH DH EH ==，进而利用菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和含30︒角的直角三角形的性质得出DH ，进而解答即可．【详解】（1）解：四边形DFHE 是菱形，理由如下：CD 平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，60ACB ∠=︒，DF DE ∴=，30FCD DCE ∠=∠=︒，点H 是CD 的中点，FH CH DH ∴==，EH CH DH ==，FH HE ∴=，30DCE ∠=︒ ，DE CB ⊥，60HDE ∴∠=︒，DHE ∴ 是等边三角形，DE HE DH ∴==，DF DE HE FH ∴===，∴四边形DFHE 是菱形；（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，162OF OE EF ===，EF DH ⊥，60HDE ∠=︒ ，6233OE OD ∴===，2442CD DH OD ∴===．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域A B 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)112y x =-+，(2,0)A ；(2)4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均数828795第二次竞赛人数21216平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90909191919192939394949495959698d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标为89，纵坐标为91，即可获得答案；（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；（3）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可．【详解】（1）解：如图所示；（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．【点睛】本题主要考查了众数、平均数、中位数等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，90BAD ∠=︒；(2)4【分析】（1）根据已知得出 AB BC =，则ADB CDB ∠=∠，即可证明DB 平分ADC ∠，进而根据BD 平分ABC ∠，得出 AD CD=，推出 BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=︒；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=︒，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=︒，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ AD CD=，∴ AB AD BCCD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD=，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx01245/my18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5x=，求得函数值，即可解答．【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．【答案】(1)直线x a =；(2)45x -≤<；(3)3a >或1a <-【分析】（1）根据对称轴为直线2b x a=-代入求解即可；（2）根据23x -<<，2x =-比3x =距离对称轴远，分别求得1,2x =-时的函数值即可求解；（3）分两种情况讨论132>y y y >和132y y y <<时．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，∴对称轴为直线2222b a x a a a---===；（2）解：当1a =时，抛物线解析式为2=23y x x --，∴对称轴2122b x a -=-=-=，抛物线开口向上，∴当1x =时，取得最小值，即最小值为212134y =-⨯-=-，∵2x =-离对称轴更远，∴2x =-时取得最大值，即最大值为()()222235y =--⨯--=，∴当23x -<<时，y 的取值范围是45x -≤<；（3）解：∵()()13320y y y y -->，∴13>0y y -，32>0y y -，即132>y y y >；或130y y -<，320y y -<，即132y y y <<，∵抛物线对称轴2222b a x a a a ---===，∴()2,B a y 是抛物线顶点坐标，若132>y y y >，则抛物线开口向上，0a >，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >；当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-，不符合题意；∴a 的取值范围是3a >；若132y y y <<，则抛物线开口向下，a<0，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()30y x b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB ．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．【答案】(1)①22A B ；②3或2；(2)b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，运用数形结合思想，即可求解；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，而线段11A B ⊥直线y x m =-+，线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段335A B =，O 的最长的弦为2，得线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，所以线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出33OC b =，b 最大时就是CO 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在O 上，得3A C AC ''==，再由三角形三边关系得A C OA OC A C OA ''''-≤≤+，得当A '为()10，时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为()20，；当A '为()10，时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，分两种情形分别求解．【详解】（1）解：①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；∵线段2233215A B =+=，O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是⊙O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，∴线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，第一种情况22A B ''、的坐标分别为()()0110，，，，此时3m =；第二种情况22A B ''、的坐标分别为()()1001--，、，此时2m =，故答案为：3或2；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB =．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，当0y =时，()030x b b =-+>，解得：33x b =∴33OC b =即b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是OC 最小，∵线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在⊙O 上，∴3A C AC ''==在A CO ' 中，A C OA OC A C OA ''''-≤≤+∴当A '为()10-，时，如图，OC 最小，此时C 点坐标为()20，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得032b=-⨯+解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得034b=-⨯+解得：43b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴221417BC B C '==+=，综上b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =．【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。
北京市宣武区2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
北京市宣武区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆:和FPM BPD ∆∆:，联立方程组计算得到答案.如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .2PA AF=u u u r u u u r，则2433AC FM ==， 根据APC BPD ∆∆:得到：AP ACBP BD =，即4343AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆:得到：AF FM BP BD =，即42343AP BD AP BD +=++，解得83AP =，4BD =，故163AB AF BF AC BD =+=+=. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞【答案】C 【解析】先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围. 【详解】由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111b a a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 4．已知()A，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D．x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.5．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.6．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A 51 B 51- C 51D 51+ 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以()()()22122cos 1sin 12sin 44162562551z z cos sin αααααϕ-=-+--+-+=-++，其中tan φ2=，故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.7．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y x =±C ．2y x =D ．3y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】Q 双曲线2212y x -=, ∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.8．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr ()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.9．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．11．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．y x = B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴33b a =，可得3232a =, 双曲线的渐近线方程为：2233x y xa ±=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 12．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市宣武区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
北京市宣武区2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（ ）元． A ．+4 B ．﹣9 C ．﹣4 D ．+92．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是( )A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格3．如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠4 5．光年天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学记数法表示为( ) A ．1095010km ⨯B ．129510km ⨯C ．129.510km ⨯D ．130.9510km ⨯ 6．若分式14a -有意义，则a 的取值范围为( ) A ．a≠4 B ．a ＞4 C ．a ＜4 D ．a ＝47．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =8．已知抛物线y ＝x 2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）A ．y ＝（x+2）2+3B ．y ＝（x ﹣2）2+3C ．y ＝x 2+1D ．y ＝x 2+59．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。
问：牛、羊各直金几何？译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两。