曹炜数学-高中数学函数周期性对称性大揭秘
高中数学函数的对称性与周期性讲义
高中数学函数的对称性与周期性讲义一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈∀某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？(1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f(2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+(3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+二、 函数的对称性1、轴对称)()()()2()()()()(]0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-⇔-=⇔-=+⇔=⊃=轴对称关于对称关于2、点对称 0)()()()()00()(]0[)()()2()()0,()(]0[2)()()2(2)(),()(=-+⇔--=⇔=-=+⇔--=⇔==-++⇔--=⇔x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b bx a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于3、本质特征：【自变量】 为常数）（定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈∀ 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2)()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称→+→→=+ 模型：对称关于2)()()(,b a x x f x b f x a f D x +=⇔-=+∈∀ 对称关于)0,2()()()(,b a x f x b f x a f D x +⇔--=+∈∀ 三，函数的周期性定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈∀对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期，【自变量】 D x x ∈∀21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数）【函数值】 )(1)(1)()(1)()()()()(221212121x f x f x f x f x f x f x f x f x f -+=±=-==或或或 模型：函数)(x f 的周期为T )()(x f T x f =+⇔)()2()()()2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+-=+−−−→−-=+⇔+换成 )()2(1)()(1)2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+±=+−−−→−±=+⇔+换成)4(1)4(1)2()(1)(1)4(4T x f T x f T x f x f x f T x f T x x --++=+−−−→−-+=+⇔+换成 四，对称性与周期性，1，若b x a x x f ==和关于)(对称，则)(x f 是周期函数，一个周期为),(2b a -2，若)()0,)0,)(x f b a x f 对称，则和（关于（是周期函数，一个周期为)(2b a -， 3，若)()0,()(x f b a x x f 对称，则和关于=是周期函数，一个周期为)(4b a -例：（1），设函数),7(),2()2(),()(x f x f x f x f ++=-+∞-∞上满足在且在闭区间【0，7】上只有0)3()1(==f f ， （1），试判断函数)(x f y =的奇偶性，（2),试求方程0)(=x f 在闭区间][2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论，（2),)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 ,0)2(=f 则)(x f 在区间（0，6）内解得个数的最小值是（ ）A, 2 B, 3 C, 4 D, 5(3),若存在常数 ,0>p 使得函数)(),)(2()()()(x f r x p px f px f px f x f 则满足∈-== 的一个正周期为 （4），已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于（)0,43-成中心对称图形，且满足)2008()2()1(,2)0(,1)1(),23()(f f f f f x f x f +⋅⋅⋅++-==-+-=则的值为（ ） A , -2 B, 0 C, 1 D, 2（5），已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足,1)()(=-+x f x f 当][,)(,1,02x x f x =∈时现有四个命题：1，)(x f 是周期性函数，且周期为2，2，当][,2)(2,12x x x f x -=∈时， 3，)(x f 是偶函数， 4，,43)5.2004(=-f 其中正确命题的个数是，（ ）， A, 1 B, 2 C, 3 D, 4(6），已知函数()2006(,2005)0(),(1)(1)1()(==-+=+f f x f x f x f x f 则若满足 ）， （7），设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =得图像关于直线1=x 对称，下列说法：1，);()2(x f x f =+ 2，)()4(x f x f -=+； 3，0)4()3()2()1(=+++f f f f ， 4，),()4(x f x f =+ 正确的是（ ）A, 1 2 3 , B,1 3 , C,3 4 , D, 2 3 4 ,(8),定义在R 上的函数][,)(1,1),()2()(3x x f x x f x f x f =-∈-=+时，且当满足 1，求][5,1)(在x f 上的表达是，2，若}{,,,)(1Φ≠∈>=A R x a x f x A 且求实数a 的取值范围，。
高三函数周期性和对称性知识点
高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。
了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。
本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。
一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。
周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。
正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。
也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。
而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。
正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
接下来，我们再来介绍一下正切函数。
正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。
也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。
正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。
二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数的图像关于y轴对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。
一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。
奇函数是指函数的图像关于原点对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。
一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。
三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。
例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。
另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。
以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。
假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。
高三函数周期性与对称性教学策略
高三函数周期性与对称性教学策略作者：李大顺来源：《新课程·下旬》2019年第03期摘要：数学作为锻炼学生逻辑思维能力的一门学科，同时又是高中课程中的主科，因此，被纳入新课程改革的内容，逐渐受到学生和家长的高度重视。
由于高中数学课自身的一些特点，比如枯燥难懂、逻辑性强等，与初中数学有着较大的差异，而有一部分学生从初中开始学习数学的思维模式就被固定了，到高中之后不能很好地拓展自己的思维，并不能完全通过抽象的数字建立起数学之间的逻辑关系，这很容易挫伤学生的自信心，打击学习热情，数学中有关函数周期与对称性又是数学学习中的一大难点，不容易理解和学习，这不仅要求学生发挥自身的主观能动性，还需要教师运用适当的教学方法，实现函数周期与对称性部分的教学目标。
关键词：高三函数；周期性；对称性；教学策略一、高三函数周期与对称性知识点在数学中的重要地位从近些年的考试题中可以看出，函数周期与对称性是考核的重点，并且考查方式灵活多样，实际在考查学生的灵活运用能力，能否运用掌握的函数知识解决实际的问题。
这无疑加大了学习的难度，同时这也是对教师教学水平的极大考验。
高中阶段给出函数的对称性和周期性既严谨又抽象，并且对学生的要求已经不仅仅停留在会举例、能画图的水平上了，要求学会运用表达式解决与函数周期性和对称性相关问题的例子。
二、高三函数周期与对称性教学现状1.教学观念落后如今的高中数学教学还停留在教师“满堂灌”的阶段，函数的学习只是老师在课堂中不断地讲课，学生不断地被动接受老师讲授的知识，老师成为学习过程中的主导，老师讲得多、讲得好，学生的成绩就高，反之，学生的成绩就不突出，但是，成绩的高低并不是绝对的，不能决定一个人水平的好坏，只有掌握了学习方法，实现自主学习，才能从根本上提高学生的数学水平，成绩也自然而然的提高。
2.函数周期与对称性知识点的复杂性有些学生从初中开始数学的学习基础就不是很扎实，导致高中数学学习同样很吃力，课堂上很难掌握老师的讲课节奏，成绩也不是很理想，这些无疑会打击学生的信心，影响学生的心态。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性是数学中重要的两个概念。
它们分别是在数学表达式、函数图像和几何图形等领域中出现，因此很容易与数学知识联系起来。
对称性指的是某一体系存在的对称特性。
在数学表达式中，可以看到例如y=x^2，具有左右对称特性，当x变化时，y也会变化，但变化的方式总是满足对称性。
再加上多元函数，如y=x^2 + y^2 ，可以看出当x变换的时候，它的对称性仍然可以在其函数图像中表现出来。
周期性是指函数值或图形沿某个方向上的重复出现。
如果将一个周期函数的曲线图画出来，底部总是在一条水平线上重复出现，这就是函数具有周期性的表现。
如sin函数，就是在x轴上周期性重复出现的函数，它可以将x轴划分成若干份，每份的范围就是它的一个有限的周期。
同样，圆、椭圆等图形也具有周期性，同态图形中存在着多种周期性特性。
在解决实际问题时，对称性及其周期性的掌握有助于快速进行求解。
如在求解多项式函数的最大值时，可以考虑多项式的对称性，以及有限范围给出的周期性，从而找出最大值点，可以节约大量的计算时间，使求解过程变得简单快速。
高一数学-[原创]函数奇偶性,周期性,对称性三者关系 精
![高一数学-[原创]函数奇偶性,周期性,对称性三者关系 精](https://img.taocdn.com/s3/m/de50952aa32d7375a4178088.png)
探讨函数周期性，对称性，奇偶性关系师：函数是高考的一个热点，对于函数的学习，我们已经经历了两个阶段。
上学期，我们认识了函数的定义，定义域、值域、对称性、单调性等性质。
本学期，通过对三角函数一章的学习，我们又结识了函数的奇偶性与周期性。
函数的对称性、奇偶性、周期性从不同角度向我们展示了函数的丰富内涵。
那么三者之间究竞有什么样的内在联系呢？就让我们带着这样的疑问共同走进函数世界，探究奇偶性、对称性、周期性三者之间的关系。
我们的探究目标是三种性质的关系，对于这样一个抽象的问题，我们如何探究呢？生众：抽象问题具体化。
师：好！请同学们看具体问题：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数；（2）函数f（x）的图象关于直线x=1对称。
你能构做出一个满足这样两个条件的函数图象吗？生众：独立做图，约半分钟后。
师：好！我看同学们都已经做出图象了，现在大家认真观察自已做出的函数图象，你能告诉我它还有什么性质吗？生众：应该具备周期性。
师：能观察出它的一个周期吗？生众：2。
师：好！通过数形结合，我们得到了一个猜想，那就是具备条件（1）（2）的函数应该是以2为一个周期的周期函数。
这个猜想可靠吗？我们下一步工作该做什么？生众：论证。
师：给一分钟时间，小组讨论完成论证。
一分钟后师：哪个小组能到前面展示自己的论证过程？生1：f（x）=f（ x）=f（x+2）所以函数是以2为一个周期的周期函数。
师：如果将“以2为一个周期的周期函数”做为条件（3）添加上去，你还能提出新的问题吗？思考约半分钟后，一学生举手生2：老师，我想提出的问题是条件（1）（3）组合，能否推得（2）。
师：能说一下你为什么想到这样一个问题吗？生2：既然（1）（2）组合能得（3），那么逆向思维，我就想到了（1）（3）组合能否得（2）。
师：说的很好！既然如此，是否还有一个问题？生众：（2）（3）组合能否得（1）。
师：好！问题提出来了，我们从中间分成两大组，左边的同学探究（1）（3）组合能否推（2），右边的同学探究（2）（3）组合能否推（1），给两分钟时间讨论。
函数的周期性与对称性的探究
函数的周期性与对称性的探究
谢辉
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数
学的基础．函数性质的考察和应用是竞赛和高考的重点与热点，函数的周期性与对称性是函数的基本性质，两者存在着非常密切的联系．它们不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用它们往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．本文拟通过课本上函数的奇偶性，对称性，周期性的定义和结论加以推广，对函数自身的对称性周期性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与周期，对称有关的性质．
【总页数】2页(P43-44)
【作者】谢辉
【作者单位】江苏省宜兴市蠡墅中学,214200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一个定理的证明及探究——原函数与导函数在对称性和周期性方面的关系 [J],
朱传美
2.函数的周期性和函数对称性之间联系探究 [J], 彭永成
3.两类抽象函数的周期性与对称性探究 [J], 徐永贤
4.高中数学函数的奇偶性、周期性及图象的对称性探究 [J], 钟海锋
5.一个定理的证明及探究——原函数与导函数在对称性和周期性方面的关系 [J], 朱传美
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高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修
高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-函数的对称性和周期性知识点精析1．周期函数的定义周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.3.函数的点对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称.4．函数的对称性与周期性的联系定理3：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以4()a b -为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.5．几种特殊抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
高中数学函数周期性和对称性辨析，高考数学必修点
高中数学函数周期性和对称性辨析，高考数学必修点
函数的周期性在高考中主要以选择题或填空题的形式出现，常常与函数的奇偶性、函数图象的对称性结合考查，难度中档。
求解周期性问题时，一般先利用周期将函数转化到已知区间上，有时候还要利用函数的奇偶性求值，或者利用函数的单调性解不等式。
高考中对函数的周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数的周期性求值，以及解决与周期性有关的函数综合问题。
解决此类问题的关键在于充分利用题设提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解。
常以综合的形式出现，公式本身挺多，而且形式相似，同学们很容易搞混，分清二者的关系和区别是关键，现进行详细的辨析
小结：函数周期性和对称性的公式形似，容易混淆，这里做一个区分：
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函数的对称性和周期性知识点精析1．周期函数的定义周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2．函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称。
定理4:如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称。
定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-,则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.3。
高中函数对称性和周期性全解析
高中函数对称性和周期性全解析一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。
高三函数周期性与对称性教学策略
课程篇一、高三函数周期与对称性知识点在数学中的重要地位从近些年的考试题中可以看出，函数周期与对称性是考核的重点，并且考查方式灵活多样，实际在考查学生的灵活运用能力，能否运用掌握的函数知识解决实际的问题。
这无疑加大了学习的难度，同时这也是对教师教学水平的极大考验。
高中阶段给出函数的对称性和周期性既严谨又抽象，并且对学生的要求已经不仅仅停留在会举例、能画图的水平上了，要求学会运用表达式解决与函数周期性和对称性相关问题的例子。
二、高三函数周期与对称性教学现状1.教学观念落后如今的高中数学教学还停留在教师“满堂灌”的阶段，函数的学习只是老师在课堂中不断地讲课，学生不断地被动接受老师讲授的知识，老师成为学习过程中的主导，老师讲得多、讲得好，学生的成绩就高，反之，学生的成绩就不突出，但是，成绩的高低并不是绝对的，不能决定一个人水平的好坏，只有掌握了学习方法，实现自主学习，才能从根本上提高学生的数学水平，成绩也自然而然的提高。
2.函数周期与对称性知识点的复杂性有些学生从初中开始数学的学习基础就不是很扎实，导致高中数学学习同样很吃力，课堂上很难掌握老师的讲课节奏，成绩也不是很理想，这些无疑会打击学生的信心，影响学生的心态。
其次，错误的学习方法、不好的学习习惯和消极的学习态度等都会影响数学成绩的提高。
学生在初中阶段的数学学习中，没有接触过这样的语言，即便是在高一年级之前的数学学习中，也很少涉及此类词语。
学生在数学学习过程中，对这种字眼接触少、不熟悉，使得这些词语成为学生学习“函数周期与对称性”概念的绊脚石。
三、实现高三函数周期与对称性教学的措施下文所阐述的教学方法不仅适用于函数的周期性与对称性知识的教学，同样适用于高中数学的教学，目的是激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力，提高学生的数学成绩。
1.教师引导学生做好课前预习和课后复习在开始函数的周期与对称性学习前，教师应该带领学生学习一遍章头图，使学生在脑海中对即将学习的数学知识有一个大体的结构框架，并且在黑板上提出几个问题，让学生带着问题学习，这样在学习的过程中问题也会得到解答，培养了学生自主学习的能力。
数学 - 函数的对称性与周期性
数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。
通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。
函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。
常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。
对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。
函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。
函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。
函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。
函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。
正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。
这里的T被称为函数的正周期。
例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。
对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。
高三函数周期性与对称性教学策略
高三函数周期性与对称性教学策略一、引言高中数学函数是数学学科中重要的内容之一，其中函数的周期性与对称性更是高中数学的难点和重点。
周期性与对称性是函数的重要特性，对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
在高三数学教学中，如何有效地教授周期性与对称性成为了教师们亟待解决的问题。
本文将针对高三函数周期性与对称性的教学策略进行研究与探讨，旨在为高三数学教学提供一些有效的策略和方法。
二、函数的周期性与对称性的基本概念1. 函数的周期性函数的周期性是指函数图像在一定区间内按规律重复的性质。
如果存在正数T，使对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)在区间I上有周期T。
其中T称为函数f(x)的周期。
函数周期性是函数图像重复的规律，对于理解函数的性质和应用非常重要。
函数的对称性是指函数图像的特殊性质。
常见的对称性有：轴对称、中心对称等。
轴对称是指若对于函数f(x)的图像中的任意一点(x,y)，若(x,y)在图像中，则(-x,y)也在图像中；中心对称是指若对于函数f(x)的图像中的任意一点(x,y)，若(x,y)在图像中，则(-x,-y)也在图像中。
函数的对称性可以帮助我们更好地理解函数图像的特征和规律。
1. 激发学生的学习兴趣高三学生的学习压力大，学习态度不容易调动。
在教学过程中，教师需要通过生动活泼的教学方式和形象生动的例子来激发学生的学习兴趣。
可以通过引入有趣的故事、动画、实例等来引起学生的兴趣，从而提高学生的学习积极性。
2. 突出实际应用函数的周期性与对称性不仅仅是抽象的数学概念，更是在数学应用中具有重要的作用。
在教学过程中，教师可以突出函数周期性与对称性在实际应用中的作用，例如周期函数在物理、化学、生物等领域的应用；对称性在几何、美术等领域的应用。
通过这些实际应用的例子，可以更好地帮助学生理解函数周期性与对称性的重要性和意义。
3. 强调规律和特性函数的周期性与对称性具有明显的规律性和特性，教师可以通过讲解一些典型的周期函数和对称函数的特点，例如正弦函数、余弦函数等，引导学生去发现函数图像的规律和特性。
高中数学知识科普系列：函数的奇偶性、周期性、对称性
| 2T |为 f (x) 的一个周期
f (x T) 1 f (x)
| 2T |为 f (x) 的一个周期
f
(x T)
1 1
f f
(x) (x)
f (x T ) 1 f (x) 1 f (x)
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (x)
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
偶函数 偶函数 不能确定 不能确定 不能确定 不能确定
奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
f (x) g(x)
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
| 4T |为 f (x) 的一个周期
涂 | 2T |为 f (x) 的一个周期 牛得装糊2|b a |为 f (x) 的一个周期
对称性
f (a x) f (b x) f (a x) f (a x)
f (x) f (x) f (a x) f (a x) 2b f (a x) f (a x) 0
f (x) f (x) 0
同等转换
f (x) f (b a x) f (x) f (2a x)
偶函数
f (2a x) f (x) 2b f (2a x) f (x) 0
奇函数
结论 函数 y f (x) 关于 x a b 对称
2
函数 y f (x) 关于 x a 对称 函数 y f (x) 关于 x 0 对称 函数 y f (x) 关于点 (a,b) 对称 函数 y f (x) 关于点 (a,0) 对称 函数 y f (x) 关于 (0,0) 对称
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性是数学中非常重要且有趣的一个概念。
在数学中，周期性指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。
而对称性则是指函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。
周期性是函数最基本的性质之一。
在数学中，一般指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。
周期性可以分为有限周期和无限周期两种。
一个函数的周期可以通过求解函数的周期性方程找到。
对于一个有限周期的函数，它的周期可以用一个有理数来表示，例如正弦函数的周期为2π。
周期性函数有很多重要的应用，例如正弦函数和余弦函数在物理领域中经常被用来表示振动和波动的模式。
在电工学中，交流电的周期性是通过正弦函数进行描述的。
周期性函数还在信号处理、音乐、图像处理等领域中有着广泛的应用。
对称性是函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。
常见的对称性有水平对称、垂直对称和中心对称三种。
水平对称指的是函数图像关于x轴对称；垂直对称指的是函数图像关于y轴对称；中心对称指的是函数图像关于原点对称。
对称性函数在数学中也有着广泛的应用。
例如，切比雪夫多项式和勒让德多项式是对称性函数的一种具体形式。
对称性函数还在图形的绘制和建模中起到重要的作用。
周期性和对称性在数学中是密切相关的。
事实上，有些周期性函数同时具有对称性。
例如，正弦函数就是一个具有水平对称的周期性函数。
当函数满足周期性和对称性时，其图像会表现出一些特殊的形式和规律，这为我们研究和理解函数的性质提供了很大的帮助。
总之，函数的周期性与对称性是数学中非常重要的概念。
它们不仅在数学理论研究中具有重要意义，还在实际应用中有着广泛的应用。
通过对周期性和对称性函数的研究和理解，我们可以更好地理解和应用数学知识，深入探索数学的奥秘。
函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y= f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x + a) = f(x —a)② f(x + a) = —f(x) ③f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) =—1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x= a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质6、若函数y= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质7、若函数y= f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a —b|3. 函数y二f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x • a)二f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f (a • x)二f (b - x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1: f (a • x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论2、f (x) = f (2a —x) ：= y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论3、f (-x) = f (2a • x) ：= y = f(x)的图象关于直线x = a对称推论1、f (a x) f (a - x) = 2b =推论2、f(x) f (2a -x) =2b = 推论3、f (-x) f (2a x) = 2b :二例题分析：1 .设f (x)是(Y「：：)上的奇函数，f(47.5)等于(A) 0.5 ( B) -0.52、(山东)已知定义在R上的奇函数A . —1B . 03•设f (x)是定义在R上的奇函数，y = f(x)的图象关于点(a,b)对称y = f (x)的图象关于点(a,b)对称y = f(x)的图象关于点(a,b)对称f(x 2) = — f(x)，当0 乞x ^1 时，f(x)二x，则( )(C) 1.5 ( D) -1.5f (x)满足f (x • 2) = -f(x)，贝y f(6)的值为( ) C. 1 D . 2f(1)=2, f(x 1) = f (x 6),求f(10).4•函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x • 2)1，若f(l)二-5，贝y f[f(5)]二f (x)5•已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x = 1对称。
浅谈函数的对称性和周期性
浅谈函数的对称性和周期性作者：刘飞来源：《当代人（下半月）》2018年第08期函数是高中数学的一个重要板块，也是高中数学的一个难点。
很多同学在高一上学期接触函数时就感觉非常抽象、难以理解，对函数的一些性质模糊不清，更别说熟练应用了。
其中函数的对称性和周期性在很多同學心中不好识别、不好分辨，对它们的区别与联系还不能掌握的很清楚，今天我们就重点研究下函数的对称性和周期性，看看它们两者之间到底有什么样的区别与联系，帮同学们走出迷茫。
我们先看看函数周期性的概念：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
函数的周期性常用的结论有如下几条：函数的对称性包含轴对称和中心对称两个方面，在高中数学中的应用也非常广泛，常常也是高考的一个热点。
其常用的结论有如下几条：咋一看，上面的对称性和周期性的部分结论非常相似，那我们以后拿到一个等式后该如何识别到底是对称性还是周期性呢？如果是周期性，周期又等于多少呢？如果是对称性，那到底是轴对称还是中心对称呢？对称轴、对称中心又该怎么求呢？其实我们认真分析、对比上面的这一些等式，可以发现一些规律。
如果前面的符号相同就是周期性，前面的符号不同就是对称性;如果是周期性就再看“”前面的符号，相同的话周期就等于括号之差的绝对值，不同的话周期就等于括号之差的绝对值的两倍;如果是对称性就再看“”前面的符号，相同的话就是轴对称，不同的话就是中心对称，对称轴的值刚好等于括号之和的一半，对称中心的横坐标等于括号之和的一半，纵坐标等于两个“”之和的一半。
函数的对称性和周期性按照上面的方法可以轻松识别，快速的算出周期、对称轴或者对称中心。
其实它们两者之间也有联系上面三个结论阐述了对称性和周期性之间的联系，这三个结论我们可以借助三角函数中的正弦曲线来帮忙记忆。
通过这篇文章希望能帮助更多的同学走出函数性质的困惑，能够对函数的对称性和周期性了解的更深刻更透彻，并能够熟练的运用到练习和考试中。
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。