4-习题课

第四章
随机变量的数字特征 习题课
一、重点与难点 二、主要内容
三、典型例题
Xi’an University of Post and Telecommunications
一、重点与难点
1.重点
数学期望的性质和计算
方差的性质和计算 相关系数的性质和计算Fra bibliotek2.难点
数字特征的计算
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解
因为 f ( x ) 是偶函数,

所以 E ( X ) xf ( x )dx
1
1
cx (1 x 2 ) dx 0,
D( X ) E ( X 2 ) ( EX )2 E ( X 2 )
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方差的定义
设 X 是一个随机变量 若 E {[ X E ( X )]2 } 存在, 则称 E {[ X E ( X )]2 } 是 X 的方差, 记作D( X ) 或Var ( X ), 即 D( X ) Var ( X ) E {[ X E ( X )]2 }, 称 D( X ) 为标准差或均方差, 记为 ( X ).
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方差的计算
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 离散型随机变量的方差
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk ,
k 1
其中 P{ X xk } pk , k 1, 2, 是 X 的分布律.
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例3 设随机变量 X 取非负整数值 n 0 的概率
AB n 为 pn , 已知 E ( X ) a , 求 A 与 B 的值. n! 解 因为 pn 是 X 的分布列,
B B A Ae 1, P { X n } n! n0 n0
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协方差的性质
1. Cov( X ,Y ) Cov(Y , X ). 2. Cov(aX , bY ) abCov( X ,Y ). (a , b 为常数)
3. Cov( X 1 X 2 ,Y ) Cov( X 1 ,Y ) Cov( X 2 ,Y ).
连续型随机变量的数学期望
X 是连续型随机变量, 它的分布密度为 f ( x ),
若积分 xf ( x ) dx 绝对收敛,


则称此积分值为连续型随机变量 X 的数学期望, 记 为E ( X ),
即 E( X )
xf ( x )dx .

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4. 设X、Y 是相互独立的随机变量, 则有
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
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二维随机变量的数学期望
设 ( X ,Y ) 为二维随机变量, 若 E ( X ), E (Y ) 都 存在, 则其期望值定义为
1
1
xf ( x )dx 1


x f ( x )dx D( X )
2

1 1 于是 D( X ) D( X ), 2( 1) 2( 1) 1 故 D( X ) . 2 3
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相关系数定理
(1) XY 1.
( 2) XY 1的充要条件是, 存在常数a , b使 P{Y a bX } 1.
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n
得A e B ,
Bn A Bn ABe B a , E ( X ) nA n! n1 ( n 1)! n0
因此A e a , B a .
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cx 2 (1 x 2 ) dx
1 c c 2 1 1 2 1 x (1 x ) 1 ( 1 x ) dx 1 2( 1) 2( 1) 1 1 1 1 2 2 2 c ( 1 x ) d x cx ( 1 x ) dx 2( 1) 1 2( 1) 1
先计算一个户头的得奖金数 X 的期望.
分布列为
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X 的数学期望为
1 1 1 1 E ( X ) 4 500 3 100 2 10 2 10 10 10 10
0.45 (元),
连续型随机变量的方差
D( X ) [ x E ( X )] f ( x )dx
2

其中 f ( x ) 为分布密度.
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方差的性质
1. 设C是常数, 则有 D(C ) 0. 2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 D(CX ) C 2 D( X ).
p k q
k 1

k 1
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E( X ) k q
k 1

k 1
2 k 1 p k q p k 1

p(1 q ) 1 q 2 , 3 (1 q ) p
3. 设 X , Y 相互独立, D( X ), D(Y ) 存在, 则
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
4. D( X ) 0的充要条件是X以概率1取常数C ,即
P{ X C } 1.
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买五个户头的期望得奖数为
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
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例5 设随机变量 X 的密度函数为
c(1 x 2 ) , 1 1 f ( x) ( x 0) 其它 0, 求 E ( X ) 和 D( X ).
xi pij ( X ,Y ) 的概率分布为 pij ; i j E( X ) xf ( x , y )dxdy ( X ,Y ) 的密度为f ( x , y ).
同理可得
yi pij ( X ,Y ) 的概率分布为 pij ; i j E (Y ) yf ( x , y )dxdy ( X ,Y ) 的密度为f ( x , y ).
二、主要内容
二 维 随 机 变 量 的 数 学 期 望
数学期望
方
定义 计算
差
协 方 差 与 相 关 系 数
性质
离 散 型
连 续 型
性 质
定义
协方差 的性质
随机变量函数的 数学期望
相关系 数定理
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离散型随机变量的数学期望
解 设 X 为所选的两个数字之差 的绝对值, 则 X 的所有可能取值为 1, 2, 3,, n, n 1 n 1 P{ X 1} n , P{ X 2} n 1 , 2 2 n 1 一般的 P{ X k } n k 1 , k 1,2,, n 2 n n n 1 n 2 E ( X ) kP{ X k } k ( n k 1) . 2 3 k 1 k 1
设离散型随机变量 X 的分布律为

P{ X xk } pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛,
k 1
则称级数 x k pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1

记为E ( X ).
即 E ( X ) xk pk .
k 1

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数学期望的性质
1. 设C是常数, 则有 E (C ) C .
2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有
E (CX ) CE ( X ).
3. 设X、Y 是两个随机变量, 则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量函数的数学期望为
若 Y g( X ), 且 P{ X xk } pk ( k 1,2,)

则有
E ( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
若 X 是连续型的, 它的分布密度为 f ( x ),
则有
E ( g( X )) g( x ) f ( x )dx .