注重解后反思提升解题能力

2014年第10期 福建中学数学 45而2y t t =−在[1)+∞，上为减函数， 故22110y t t =−≤−=，即y =214x x −=211()[()]022x x −≤， 依题意，得实数a 的取值范围为[0)+∞，． 评注 求解型如M ≥（或﹥）()f x 或M ≤（或﹤）()f x 恒成立问题时，如下结论是基础：（1）“M ≥（或﹥）()f x ”恒成立等价于“M ≥（或﹥）()f x max”； （2）“M ≤（或﹤）()f x ”恒成立等价于“M ≤（或﹤）()f x min”．4 型如()()f x g x =的恒成立例4 已知函数()lg(101)x f x ax =++是偶函数，求实数a 的值．解析 易知函数()f x 的定义域为R ．故由()f x 是偶函数可知，对任意x ∈R ， 恒有有()()f x f x −=成立．亦即()lg(101)1lg(101)x x a x ax +−+=++对任意x ∈R 成立．由此得()1a a −+=，即12a =−． 评注 虽然例4中并未提及“恒成立”，但是由偶函数的定义，易知()()f x f x −=对任意x ∈R 恒成立．5 以形释数，巧解恒成立例5 已知函数()f x 对一切实数x y ∈R ，都有()()(21)f x y f y x x y +−=++成立，且(1)0f =．（1）求(0)f 的值；（2）当()2log a f x x +<，1(02x ∈，恒成立时，求a 的取值范围．解析 （1）易得(0)2f =−，（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x −=+． 由于(0)2f =−，故2()2f x x x =+−．从而()2log a f x x +<，1(0)2x ∈，恒成立等价于2log a x x x +<在1(0)2x ∈，上恒成立．考察函数log a y x =和2y x x =+在1(0)2x ∈，的图象，容易发现1a >时，函数log a y x =的图象在函数2y x x =+图象的下方，故有0113log .24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得4≤1a <． 评注 创设数形结合情景，以形释数，常能突破常规解题模式，使问题化难为易，事半功倍．应该说明，本文介绍的虽仅仅是五种常见的恒成立问题的解题方略．但这些解题方略呈现的事实表明了：恒成立问题虽然形式多变，但只要认真审视，基于归类而阐释恒成立问题的解题方法或规律，其可能性是存在的，其必要性是显见的．注重解后反思 提升解题能力张嘉钦 福建省惠安荷山中学（362141）问题是数学的心脏，解决问题是数学教学的根本任务．因此，如何提高学生的解题能力，是所有教师都要思考的问题． 古人常云，“学而不思则罔”、“行成于思”等．可见“思”的重要性，在平时的教学过程中，应不失时机地引导学生多“思”．对典型例题教师应该引导学生从多方位、多角度去联想、思考、探索，深化对问题的理解，培养学生的反思意识，形成反思习惯，进而提高解题能力．做完一道题后，除了理解问题的解法，弄清问题的重难点、易错点外，还应进一步反思解题过程、解题方法以及问题的情境等．如解法是否具有一般性，能否进一步提炼，能否一题多解？一题多变？问题解法能否提示问题的本质；问题的结论是否具有一般性，可否迁移到其他的问题情境中等． 1 反思过程，提炼解法现通法 例1 （2013年高考全国卷·理16）若()(1f x =− 22)()x x ax b ++的图象关于直线2x =−对称，则()f x 的最大值是_____． 解法1 ()f x ∵的图象关于直线2x =−对称， 且1x =−，1x =是()f x 的两个零点，46 福建中学数学 2014年第10期由对称性可得3x =−，5x =−是()f x 的两个零点，则0(1)(3)f f =−=−22[1(3)][(3)(3)]a b =−−−+−+， 0(1)(5)f f ==−22[1(5)][(5)(5)]a b =−−−+−+，解得8a =，15b =，以下略．解法2 ()f x ∵的图象关于直线2x =−对称， 且1x =−，1x =是()f x 的两个零点， 由对称性可得3x =−，5x =−是方程2x ax b ++0=的两根，由韦达定理可得：3(5)3(5)a b −+−=−⎧⎨−×−=⎩，，解得8a =，15b =，以下略．反思 函数图象的对称问题，其本质是函数图象上“点”的对称问题，解法2是在解法1的基础上进一步提炼，揭示问题本质，把问题转化为二次函数的零点问题，进而由韦达定理求得．有关函数的对称问题一直是近几年高考的热点问题，通过解后反思，要做一道题，会一类题．如：（2010年高考湖南卷·理8）用min{}a b ，表示a ，b 两数中的最小值．若函数{}()min ||||f x x x t =+，的图象关于直线12x =−对称，则t 的值为（ D ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1（2009年高考福建卷·理10）函数2()f x ax =+(0)bx c a +≠的图象关于直线2bx a=−对称．据此可推测，对任意的非零实数a b c m n p ，，，，，，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ D ）A ．{12}，B ．{14}，C ．{1234}，，，D ．{141664}，，， （2013年高考辽宁卷·理11）已知函数22()2(2)f x x a x a =−++，22()2(2)g x x a x a =−+−−+ 8，设1()max{()()}H x f x g x =，，2()min{()H x f x =， ()}g x ，max{}p q ，表示p q ，中的较大值，{}min p q ，表示p q ，中的较小值，记()1H x 得最小值为A ，()2H x 得最小值为B ，则A B −=（ C ）A ．2216a a −−B ．2216a a +−C ．16−D ．16 2 反思解法，升华问题成结论例2 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是_________．解法1 设点00()P x y ，， 则2200221(0)x y a b a b +=>>． 由120PF PF ⋅=，得2000()()0c x c x y −−−+=， 即222000x c y −+=．则问题可转化为“关于0x 的方程222202c x c b a=−在0a x a −≤≤内有解”，以下略．解法2 12||||2PF PF a +=，22212||||4PF PF c +=，e =由基本不等式可得2e ≥以下略． 解法3 若椭圆上存在点P 使得120PF PF ⋅=，则点P 必在以12F F 为直径的圆上，如图1， 故该圆与椭圆必有交点，则有c b ≥，易得2e ≥．以下略． 反思 解法1把向量的数量积运算转化为二次方程在闭区间的解的问题进行求解，是处理向量问题的常用方法．解法2巧用椭圆的定义，结合基本不等式，有效地减少了运算量，这也是处理焦点三角形最值问题的常用方法．解法3则把代数问题几何化，即把120PF PF ⋅=转化为点P 必在以12F F 为直径的圆上，回归到几何问题的本质，大大地减少了运算量．另外，还应通过解法3引导学生概括出一些有用的结论，比如，椭圆上的点与两焦点的连线相互垂直的充要条件是c b ≥或1)2e ∈，等． 3 转换情境，似曾相识燕归来例3 如图2，由直线:1l y x =+上的一点向圆22:680C x y x +−+=引切线，则切线长的最小值为( )AB ．C ．3 D解 过直线1y x =+上任意一点P 作圆22:C x y + 680x −+=的切线，切点为A ，则当||PC 最小时，2014年第10期 福建中学数学 47 切线长||PA 最小，此时PA l ⊥，利用C 到直线的距离求出线段||PC 的长，进而求出min ||PA ． 反思 本题中点P 是在直线上，若点P 在其它曲线上如圆锥曲线等，这种方法依然可行吗？是否具有普遍性呢？变式 如图3，已知动点()P x y ，在椭圆22+=12516x y 上，若A 点坐标为(30)，，||1AM =，且0PM AM ⋅= ，则||PM的最小值是_________．解 由||1AM =可得，点M 在以A 为圆心半径为1的圆上，由0PM AM ⋅=可得直线PM 为圆A 的切线，要使得切线长||PM最小，则PA 要最小，此时点P 位于椭圆的右顶点，min ||2PA a c =−=，||PM ==．反思 本题的本质是把例3背景中的直线换成椭圆，条件较多，若要直接进行求解，必然引入多个变量，这无疑给求解过程带来很多不便，故借助数形结合，把已知条件转化为几何关系，真是“似曾相识燕归来”．在平时的训练过程中，应引导学生问题的结论或条件能否迁移到其他的问题情境中等．重视解题反思可使经验升华和知识系统化，可使解题能力产生“质”的飞跃，因此解题教学应使学生养成反思的习惯，尤其要从思想方法及问题情境上进行反思，为灵活运用数学思想方法打下坚实基础．动点产生的线段和差问题万啊琼 福建省泉州市北峰中学（362000）初中阶段，线段和、差的最值问题是一个难点．求解这类问题，关键的在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之间线段最短”或三角形的三边关系来解决． 1 求和1.1 两定点+一定直线例1 （牛饮水问题）牧童在A 处放牛，他的家在B 处，l 为河流所在直线，晚上回家前要先带牛到河边饮水，饮水地点选在何处，牧童所走路程最短．题中定点是A ，B 两点，饮水点记为P ，则P 为不定点，其所在直线为l ．若直接利用“两点之间线段最短”连结AB ，则线段AB 不经过直线l ，最好能使A ，B 两定点位于直线两侧并且不改变其到直线上点的距离大小．可利用轴对称的性质，将其中一点移到直线另一边，如图2，连结A B ′与直线交于一点即为点P ，此时有PA PA ′=，所以PA PB PA ′+=+PB A B ′=，线段A B ′即为A ′，B 两点间的最短距离，所以此时的PA PB +即为所求的最短路程．1.2 两定点+定长+一定直线例2 （修桥问题）A ，B 两村位于河的两岸，现要修一座桥，为了使A 村到B 村的路程最短，桥应修在何处．图1 图2 图3 图4当然，如果不考虑桥的形状等问题而只考虑最短路程，则直接连结AB ，如图3即可得桥的位置．但一般桥是垂直两岸的，即要求桥长等于两岸间的距离d ，实际最短路线为折线如图4．此时A ，B 间不定点有C ，D 两点，不易确定，需进行调整．过A 作河岸的垂线并截取AA d ′=，就相当于把桥的长度预先扣除，那么只需再找出A ′，B 之间的最短路线即可．此时（C —A ，CD —AA ′，A —A ′）不定点仅余D 点，其所在直线为直线a ，定点为A ′，B 刚好位于直线两侧，此时连结A B ′与直线a 所得交点即为路程最短时D 点的位置 ．再以AA ′及A D ′作平行四边形，则路程为AC CD BD AA A B ′′++=+，A B ′为定点A ′，B 间的最小距离，AA ′为定长d ，因此总路程最短．此外，还有只含一个定点的问题，其方法并未有太大变化．l l A B AB A ′PA C DB B DC A d注重解后反思提升解题能力作者：张嘉钦作者单位：福建省惠安荷山中学 362141刊名：福建中学数学英文刊名：FUJIAN ZHONGXUE SHUXUE年，卷(期)：2014(10)本文链接：/Periodical_fjzxsx201410024.aspx。