最新排列组合经典：涂色问题资料

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排列组合中染色问题(精华版)

分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
**练习1.(2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法
A99 A22 A33 A44
1260
例2 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3 的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；
练习2:(05全国卷Ⅱ)在由数字0，1，2，3，4，5所
组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数
共有
个.
简单的着色问题
例 3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂
上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但
相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为
( A)
A. 180
B. 160
C. 96
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有多少种方法？
四、面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

排列组合中的涂色问题(二)

龟壳模型将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
龟壳模型将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有5×4×3=60种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论： ①C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)、S不同色，有3种选择，即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2 种颜色可供选择，即有2×2=4种涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×2=7种涂色方法。从而对如图5个区域总的涂色方法有60×7=420种.
变式1 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有4×3×2=24种.由于 C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论：
排列组合中的涂色问题排列组合中的涂色问题二二鹏哥讲数学例题如图花坛内有5个花池有5种不同颜色的花卉可供栽种每个花池内只能栽种相同颜色的花卉相邻两池的花卉颜色不同求最多有多少种栽种方案

排列组合中的染色问题(教师版)

排列组合中的染色问题

辅导教师：朱屿电话：150****8809

染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;

染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。必要时可以对颜色或区域进行分类。

1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种）

解：9061

21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格

中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1

3C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到

,所以总计有:（90种,）变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种）

解：先安排六个区域的中1、2、3有243

4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）

解法一：①.如果用4种颜色，有1204

5=A 种

②.如果用3种颜色，选色有103

5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，

排列组合中的区域涂色问题

排列组合中区域涂色问题

排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。

区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为4

5A ；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为3

52A 。可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为3

5A 。根据

分类分类加法原理，所有涂色方法总数为43

2A A +。

例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。

①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区域合并成了4个区域）故有

A 种；

②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有4

4A 种；若区域3

与5同色，则区域2与4不同色，有4

4A 种，故用四种颜色时共有2

4A 种。最后，由加法

原理可知满足题意的着色方法共有

A +2

4A =24+2⨯24=72

例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

排列组合涂色问题

用三种颜色给6个格子涂色，若每种颜色只能涂两个格子，相邻的格子不重色，则涂色方法有几种？（格子是横排，一字排开6个）

第一种情况：首尾格颜色相同

此时易知只要第一格（尾格与之相同）和第二格的颜色确定下来，其他格

就定下来

方法数=3*2

第二种情况：首尾格颜色不同

先定首尾格，有3*2=6种；

剩下四格，

若2、4格相同，则2、4格只能选未选的第三种颜色，所以此时这四格有

2种方法

若2、4格不同，则第二格只能选与尾格相同的颜色或者未选的第三种颜色，

然后其他格便确定下来，此时这四格也有2种

所以第二种情况总共有6*（2+2）种

两种情况加起来有30种方法

妙解排列组合里的涂色问题

㊀㊀㊀

妙解排列组合里的涂色问题

◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟

摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．

关键词:排列组合;涂色;解题技巧

１一分步,

二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,

要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题

．

图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．

分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;

解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理

求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有4

4A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色

高中数学课件 6-2排列组合之专题二：涂色问题(1)

(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
A．96
B．144
C．240
D．360
例2．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）
巩固练习
1.用5种颜色染 n 棱锥的顶点，每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，那么不同的染色方法总数是_a_n_=_5[_3_n+_(_-_1)_n_×_3]
人教A版2019选择性必修第三册
第六章计数原理
6.2 排列组合之专题二涂色问题
创设情境
我们经常看到的中国地图、世界地图都是利用几种不同的颜色对各个省、市或者不同的国家进行着色，为了区分起见，相邻的区域涂成不同的颜色，这节课我们就来研究涂色与数学的关系.
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
故得递推公式为: an m(m 1)n 1 an 1 (n 3)
通项： an (m 1)n ( 1)n (m 1) (n≥2，m≥3)

排列组合中涂色问题

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理

求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

简单的计数问题排列组合中的涂色问题

四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？
S
D A
C B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于底面；根据共用颜色多少分类：
（1）最少要用 3 种颜色，即 1 与 3 同色、2 与 4 同色，此时有 A43 种；（2）当用 4 种颜色时，1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色，此时有C21A44 ；故满足
C. 96
D. 60 新疆王新敞奎屯
②
④
③ ①
图一
①
③
④
②
图二
①
③ ②
④
图三
若变为图二,图三呢? (240种, 320种)
二、按颜色分类涂色计数法
例2.(高考)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
72 种.（以数字作答）
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色，按上述要求涂色,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不

排列组合中的涂色问题

3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
5 4 3 4 240
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： 4 （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A4
四、面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6 个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 二、点的涂色问题方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

排列组合中涂色问题的常见方法和策略

排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法

原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座

一、区域涂色问题

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理

求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4

4A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；

①

②

③

④ ⑤

⑥

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有4

4A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为54

4A =120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种分析：依题意至少要用3种颜色

排列组合经典：涂色问题学习资料

高考数学中涂色问题的常见解法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法

一.区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1。用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色

方法种数。

例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6

个区域，且相邻两个区域不能同色。分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ；（2

）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44

；

（4）③与⑤同色、②

与④同色，则有

44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为54

4A =120

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色

2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解

2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】

例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种

A．36B．48C．54D．72

【答案】D

【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，

第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有

⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；

43212

区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有

⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；

43211

所以符合条件的涂色方案共有72种，

故选：D．

例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）

A．480 B．720 C．1080 D．1200

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题

例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-力与三棱柱4qG 组合而成，现用3种不同颜色对这个几

何体的表面涂色（底面44G 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

B. 9种 D. 36种

例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B, C, D, E, F, G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且

图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

A. 192 种

B. 336 种

C. 600 种

D. 624 种

例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（

）

A. 720 种

B. 1440 种

C. 2880 种

D.的20 种

例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）.

A. 6种

C. 12 种

/ D、

A. 420

B. 180

C. 64

D. 25

例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域力、B、C、D、E涂色,要求同一区

域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A. 120 种

B. 720 种

C. 840 种

D. 960 种

例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内, 且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A. 40320 种

B. 5040 种

C. 20160 种

D. 2520 种

例7.如图所示，将四棱锥S-/4灰刀的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5