28.2.1解直角三角形

α A 2.4
C
A B 90 B 90 A 90 66 24
再 见
共合镇中学 初四数学组 2013.11
∠A＋∠B＝90°
b
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
cos A
A的邻边 b 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
A的对边 a tan A A的邻边 b
B的对边 b tan B B的邻边 a
OQ 6400 cos a 0.95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18
∴ PQ的长为
18 6400 3.14 640 2009.6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70
b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
变式练习1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 AD 4 3 ，求直角三角形的面积。
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDE BD
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
A
6
C
4 3
D
B
• 2如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处 引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地 面成60°角，另一根拉线BC和地面成45° 角．求两根拉线的总长度（结果用带根号 的数的形式表示)
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90° 斜边c
归纳小结
B
cos A
A的邻边 b 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
A的对边 a tan A A的邻边 b
B的对边 b tan B B的邻边 a
复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 三角函数 sin a
1 2 3 2
3 3
解：
A
b sin B c
c=14 B a
b C
b c sin B 14 sin 72 13.3
a cos B c
a c cos B 14 cos 72 4.34
A 90 72 18
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m C B
Hale Waihona Puke 2C6 A 60
B

B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 （精确到0.1） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° A c B 35° a b 20 C
b tan B a
2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解
利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为:
102 + 242 = 26
26＋10＝36（米）.
答 : 大树在折断之前高为 36 米.
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
探究
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ B 能 6
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
AC 2.4 cos A cos A 0.4 A 66 AB 6
所以∠A≈5.48° A
解直角三角形
一，解直角三角形定义:在直角三角形中， 由除直角外的已知元素求其他未知元素 A 的过程．
问题1.直角三角形中，除直角外还有几 个元素呢？ 这五个元素有什么关系呢？
b
c
C
a
B
关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 PQ 点． PQ 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 PQ 的长需 先求出∠POQ（即a）
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
解：根据勾股定理
B
c
C a2 b2 302 202 10 13
a=30
a 30 3 tan A 1.5 b 20 2
A
b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14.
AB的长
太阳光线
A
30°
60°
B
30
C
D
地面
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
b
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． B
BC 由 sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
AC 2.4 cos a 0.4 AB 6
A
α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
45°
2 2
60°
3 2
cos a
tan a
2 2
1 2
1
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精 确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
BC 5.2 sin A 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′ A 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 你愿意试着计算一下吗？
例题
例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ B 能 6 α =75° A C
A B 90 B 90 A 90 75
BC sin A BC AB sin A 6 sin 75 AB AC cos A AC AB cos A 6 cos 75 AB
问题2：知道5个元素当中几个，就可以求其 他元素？
猜想归纳，解直角三角形的类型：
1.已知两条边: ⑴两直角边 ⑵一直角边和斜边 2已知一边一角 : ⑴一直角边和一锐角 ⑵ 斜边和一锐角
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
解这个直角三角形
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
28.2 解直角三角形(1)
共合镇中学 初四数学组 2013.11
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．