第13章电磁感应4

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I

R R0
0.63I
L1 1 R R0
2
L2 R R0
R R0 t V0 L 1 e i R R0
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L大， 大，i 增长慢，L阻力大，电磁惯性大 L小， 小，i 增长快，L阻力小，电磁惯性小
直导线中电流交变，螺绕环中感应电动势为： 0 r Nh R2 dI dI 21 M ln dt R1 dt 2
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对于共面单环结构：
B
13-30
0 I
2r
0
2 z R
2

IR2
r
I
2 32
0 r Ni B2 2r
0 r I 0 r NI R2 Ψ 21 N B1 ds N hdr hln 2r 2 R1 R
1
Ψ 21 0 r N R2 M 21 hln I 2 R1
0 r Ni N R2 Ψ 12 B2 ds 0 r i hdr hln 2r 2 R1 R1
di d NΦm i
Ψ NΦm ∝ i
Ψ NΦm Li
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Ψm L i
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i
L
3. 自感电动势 i在L中产生的电动势i
dΨm i dt
Ψ m Li
dΨm di i L dt dt
Ψm i L i di dt
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R R0 t V0 L 1 e i R R0
L
di dt
R R0 t V 线圈上的电压： V V iR 0 L R R0 e L 0 0 R R0
di 线圈上的电动势： L L V0e dt
L1
1 2
L2
3
4
反串接两线圈中电流 方向相反，L1、L2中的 自感电动势与互感电动势 的方向相反。
L1中的总感生电动势：
1
dI dI 11 12 L1 M dt dt
dI dI L2 M dt dt
L2中的总感生电动势：
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B
在t dt 时间内电流的功(焦耳热)：
dA i R dt
2

2
i
I
di dA L i dt L i di dt 0 1 2 A L i di LI 2 I
Wm A
25
di i L dt
R
2
R t V0 L i 1 e R
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与电场类似，磁场也应具有能量。分析磁 场的能量的方法与电场时相同，即分析磁场 的功以衡量磁场的能量。
B
R t V0 L i 1 e R
I
设电流I 建立的磁 场具有磁能量Wm。当 电源断开后，有电流I 通过电阻。电阻消耗 能量电流逐渐减小。
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R R0 t L
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讨论：
t i

R0 R
I
L t R R0
1 i (1 ) 0.63I R R0 e

，i 从0 →0.63I 所需时间
时间常数
R R0 t V0 L 1 e i R R0
R dt
电流的功与磁场的能量相等：
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B
电流的功与磁场的能量相等。
Wm A
I
1 2 Wm LI 2
2 2
螺线管的自感(p.206)：
L 0 r n V n V
1 2 2 1 B2 1 Wm n VI V BHV 2 2 2
Wm 1 B 2 wm V 2 r 0
di dt di dt
顺接串连线圈中的总电动势：
i
di 1 2 L1 2M L2 dt
将串连线圈看成是一个整体：
di i L dt 1 L L1 2M L2 di dt
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12 11
dA L dq Lidt
di L L dt
R

L L
di dt
dA Lidi.
I
1 2 1 2 储存 Wm LI A dA Lidi LI 2 2 0
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与电场类似，磁场也应具有能量。分析磁 场的能量的方法与电场时相同，即分析磁场 的功以衡量磁场的能量。 设电流I 建立的磁 场具有磁能量Wm。当 电源断开后，有电流I 通过电阻。电阻消耗 能量电流逐渐减小。
di di 1 11 12 L1 M dt dt
L2中的总感生电动势：
2 21 22
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di di M L2 dt dt
14
12 11
L1
1 2
21
22
L2
3
4
di 1 L1 M dt di 2 M L2 dt
L1
L2
i2
Ψ 21 N2Φm21 M 21i1
i2在L1中的磁链
Ψ12 N1Φm12 M12i2
M12 M 21 M Ψ 21 Mi1
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Ψ 21 M i1
Ψ12 Mi2
Ψ 12 M i2
2
i1
3. 互感电动势
L1
L2
i2
dΨ m dNΦm i dt dt
20
I

R R0
0.37 I
V0 i e R R0
R t L
1
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2
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§13.4 磁场的能量
1. LR电路中的能量转换
电路在建立稳定电流的过程中 电源力克服自感电动势 L作功 能量
储存L中
当电流以di/dt >0变化时，电流变 R t V0 L 1 e 化di，电源E克服L作功为dA ： i
I
r dr
I
d a
d
Ψ o d a o d ln ln L a I a
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d a
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4. 串联线圈的自感系数
12 11
L1
1 2
L2
3
4
顺接两线圈中电流方 向相同，L1、L2中的自感 电动势与互感电动势的方 向相同。 L1中的总感生电动势：


z 0 R r
大环轴心的磁场
2
B
Φ21 B S cost
Φ 0 M r 2 cos t I 2r
r
如果小线圈以ω 角速度旋转，其感生电流i： 1 d BS cost 0 I r 2 i sin t R R dt 2r R 载流线圈在磁场中受到力矩：
0 I r 2 pm B iSBsint sint R 2r
2
大线圈中的感生电动势:
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Φ12 Mi
di dM M i dt dt
8
i
L
二、自感应 自感 1. 自感基本现象 2. 自感系数 为简化计算，定义：
i1
一、互感
L1
L2
i2
1. 互感基本现象
di2 dB2 d N1Φm12 12
i1在L2中的全磁通
di1 dB1 d N2Φm21 21
Ψ 21 N2Φm21 ∝ i1
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Ψ 21 M 21i1
1
i1
2. 互感系数 i1在L2中的磁链
Ψ 21 i1 Ψ 12 i2 12 M 21 di1 dt di2 dt
4
M
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di M dt
Ψ 21 M i1
Ψ12 M i2
例：
i1
长螺线管，单位长度上的线匝数为n，半径为r 的圆 环同心地放在长螺线管内，求:两线圈的互感系数。 解：设螺线管电流为 i B ni
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例 两根平行输电导线，中心距离为d，半径为a， 求两导线单位长度上的分布电感（d>>a）。 解： 如图，设导线中有电流I。
单位长度上的磁通量： Ψ Φ B ds
d a o I o I dr dr a a 2 d r 2r o I d a ln a
i1在L2中产生的感生电动势21
Ψ 21 Mi1
dΨ 21 di1 21 M dt dt
Ψ 21 M i1
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M
21
di1 dt
3
i1
L1
L2
i2
i2在L1中产生的电动势12
Ψ12 Mi2
Ψ 12 M i2 互感的计算
dΨ 12 di2 12 M dt dt 12 M di2 dt
1
0 1
Ψ 21 B r 0ni1 r
2
2
Ψ 21 Mi1
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Ψ21 0 ni1 r 2 0 n r M i1 i1
2
5
与电容一样，互感与线圈的几何结构有关。
I
2
h
1