新课标高考二轮专题复习试题课后限时作业十九

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高考语文(浙江专版)2轮复习与策略文档版题型组合滚动练19 Word版含答案

本资源的初衷,是希望通过网络分享,能够为广阔读者提供更好的效劳,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创,立意新,图片精,是非常强的一手资料 .题型组合滚动练19(建议用时：20分钟)1．以下词语中加点的字,读音全都正确的一项为哪一项(3分)()A．供．认(ɡōnɡ)塞．车(sāi)嚼．舌根(jiáo) 宁．缺毋滥(nìnɡ)B．通牒．(dié) 谂．知(niǎn)开拓．者(tuò) 独辟蹊．径(xī)C．弹劾．(hé) 噱．头(xué)通缉．令(jī) 如椽．巨笔(chuán)D．谙．熟(yīn) 揣．测(chuǎi)炭疽．热(jū) 力能扛．鼎(ɡānɡ)C[A项, "供〞应读ɡònɡ；B项, "谂〞应读shěn；D项, "谙〞应读ān .] 2．以下各句中,没有错别字的一项为哪一项(3分)()【导学号：74812083】A．一代建筑大师梁思成、林徽因夫妇的故居在众目睽睽之下被开发商撤除了.这样的事例举不胜举,中国的古建筑已到了生死忧关的时刻.B．几千年来,女子们淋漓尽致地展现着她们的惠质兰心,即使像花木兰这样有男儿气魄的女孩也多是心灵手巧的女红高手.C．现实版蜗居 "犀利爷〞,头戴一顶皮革鸭嘴帽,帽檐下露出少许灰白头发和一双犀利的眼睛,脸上布满了黑黢黢的污垢,精神却很矍铄.D．提起清香,首|先想到书香：一帙在握,再在桌上点起一柱袅袅娜娜的香,便会让人神清气爽、尘念皆无.C[A项, "生死忧关〞应为"生死攸关〞；B项, "惠质兰心〞应为"蕙质兰心〞；D项, "一柱〞应为"一炷〞 .]3．以下各句中,加点的词语使用恰当的一项为哪一项(3分)()A．冬天老年人既要增加营养,也要适当运动,在户外锻炼时一定要量入为出．．．．,以步行为宜,时间最|好选在黄昏,还要注意保暖,防止着凉.B．为了这区区小事,你们竟然在大庭广众之下互相厮打．．,实在是太不像话了.C．我们应该努力学好各科文化知识,否那么．．．不学好的话,就不能适应（社|会|主|义）现代化建设的需要.D．?汉武大帝?中司马迁居然是长须飘飘的老者,受过宫刑为何还会长胡子?这岂不是滑天下之大稽．．．．．．?D[A项,量入为出：根据收入的多少来定开支的限度 . "入〞和"出〞分别指"收入〞和"支出〞,不是"在家〞和"出门〞 .B项,厮打：互相扭打 .与前面的"互相〞重复 .C项,否那么：如果不是这样 .与后面的"不学好的话〞语意重复 .D 项,滑天下之大稽：指非常滑稽可笑 .]4．以下各句中,没有语病的一项为哪一项(3分)()A．神曲?小苹果?横空出世,它以欢快的旋律、上口的歌词迅速为广场大妈们所倾倒,成为继?最|炫民族风?之后的又一广场舞利器.B．宋代张择端所绘的?清明上河图?有五米多长,其通过对市井生活的细致生动的描绘,生动地再现了北宋汴京承平时期的繁荣景象.C．莫言的?透明的红萝卜?深受读者所喜爱,作品描写了一个无名无姓的黑孩子,他坚忍地活在苦痛的现实中,以一种自虐的方式表现自己的强大.D．新石器时代的陶器虽然已有大量出土,但是考古工作者仍然怀着极大的兴趣探求中国最|早的陶器.20世纪70年代以来,发现了一些线索.B[A项,主客颠倒, "以欢快的旋律、上口的歌词迅速为广场大妈们所倾倒〞应改为"以欢快的旋律、上口的歌词迅速使广场大妈们倾倒〞 .C项,句式杂糅,或说"深受读者喜爱〞,或说"深为读者所喜爱〞 .D项,语序不当, "虽然〞应放于句首| .]5．在下面一段文字的横线处填入语句,最|恰当的一项为哪一项(3分)() 移情的现象可以称为 "宇宙的人情化〞,因为有移情作用,本来只有物理的东西可具人情,本来无生气的东西可有生气.________这仍然是移情作用.从一草一木之中见出生气和人情以至|于极玄奥的泛神主义,深浅程度虽有不同,道理却是一样的.①它们都带有假设干神秘主义的色彩.②所谓神秘主义其实并没有什么神秘,不过是在寻常事物之中见出不寻常的意义.③从理智观点看,移情作用是一种错觉,是一种迷信.④但是如果把它勾销,艺术无由产生,宗教也无由出现.⑤艺术和宗教都是把宇宙加以生气化和人情化,把人和物的距离以及人和神的距离都缩小.A．①②⑤③④B．①④⑤②③C．③①④⑤②D．③④⑤①②D[通读语段可知,该语段主要讲"移情〞,首|句是对移情现象和移情作用的解释,③紧承横线前的语句,从理智观点看"移情作用〞,应放在首|位,据此排除A、B两项 .比拟C、D两项,③后应该是④,而不应该是①,因为①中的"它们〞明显指"艺术和宗教〞,据此排除C项 .]6．从下面一段话里提取四个关键词,每个关键词两字.(4分)人人都知道吸烟伤身,犹如健康杀手,但可能很多人还没意识到,久坐危害不亚于吸烟,甚至|有赶超之势.澳大利亚昆士兰大学也有研究发现,久坐1小时的危害约等于抽两根烟,减寿22分钟.英国?每日邮报?5月8日撰文再次强调, "久坐病〞已经成为英国成人排名第4的死因.北京朝阳医院沈雁英教授也指出,久坐对健康的伤害与吸烟相当,我们应该像对待禁烟一样,把久坐问题重视起来.________________________________【答案】久坐吸烟伤身(危害)重视7．阅读下面的调查统计表,根据其中反映的情况,答复下面的问题(不得出现数字) .(5分)不超过25字)________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【解析】此题属于根据图表写结论,解答方法是仔细观察图表特征,一定要兼顾表格中的各个要素.另外,注意题干要求不得出现数字.【答案】节目的播出与收视比重不完全成正比(科普与综艺类节目播出与收视比重相差悬殊)；影视、体育等休闲类节目播出与收视比重相对均衡.。

浙江省高考语文(新课标)2轮专题复习专题能力训练：19Word版含答案

专题能力训练十九名篇名句默写(A)1.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1),任重而道远.,不亦重乎?(?论语?)(2)数罟不入洿池,.斧斤以时入山林,.(?寡人之于国也?)(3)桑之落矣,.自我徂尔,.(?诗经·氓?)(4)天高地迥,;兴尽悲来,.(|||王勃?滕|||王阁序并诗?)(5)昨夜西风凋碧树.独上高楼,.欲寄彩笺兼尺素,?(晏殊?蝶恋花?)2.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)关山难越,;萍水相逢, .(|||王勃?滕|||王阁序并诗?)(2),,并力西向,那么吾恐秦人食之不得下咽也.(苏洵?过秦论?)(3)驾一叶之扁舟,.寄蜉蝣于天地,.(苏轼?赤壁赋?)(4)此去经年,.,更与何人说!(柳永?雨霖铃?)(5)八佾舞于庭,,?(?论语?)3.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)士不可以不弘毅,.,不亦重乎?(?论语?)(2)四美具,二难并.,.(|||王勃?滕|||王阁序并诗?)(3),.念去去、千里烟波.(柳永?雨霖铃?)(4)世人皆浊,?众人皆醉,?(?楚辞·渔父?)(5)君不见黄河之水天上来,.君不见高堂明镜悲白发,.(李白?将进酒?)4.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1),佳木葱茏而可悦.草拂之而色变,.(欧阳修?秋声赋?)(2),;不积小流,无以成江海.(?荀子·劝学?)(3).独上高楼,望尽天涯路.,山长水阔知何处?(晏殊?蝶恋花?)(4)秦人不暇自哀,而后人哀之.,.(杜牧?阿房宫赋?)(5)韩非囚秦,?说难??孤愤?;,.(司马迁?||报任安书?)5.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)青山隔送行,疏林不做美,.夕阳古道无人语,.(|||王实甫?长亭送别?)(2),此时无声胜有声.,铁骑突出刀枪鸣.(白居易?琵琶行?)(3)连峰去天不盈尺,枯松倒挂倚绝|||壁.,.(李白?蜀道难?)(4)子曰: "不愤不启,.,那么不复也.〞(?论语?)(5)氓之蚩蚩,抱布贸丝.,.(?诗经·氓?)6.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)今由与求也相夫子,,,而谋动干戈于邦内.(?论语?)(2)且臣少仕伪朝,,本图宦达,.(李密?陈情表?)(3),钩(dang )之捕遍于天下,卒以吾郡之发愤一击,.(张溥?五人墓碑记?)(4)不见复关,.既见复关,.(?诗经·氓?)(5)风一更,雪一更,..(纳兰性德?长相思?)7.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1),到黄昏、点点滴滴.这次第,!(李清照?声声慢?)(2),不能十步;,功在不舍.(?荀子·劝学?)(3)故国神游,,早生华发.人间如梦,.(苏轼?念奴娇·赤壁怀古?)(4)闾阎扑地,;,青雀黄龙之舳.(|||王勃?滕|||王阁序并诗?)(5)其为人也,,,不知老之将至|||云尔.(?论语·述而?)8.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1),;不积小流,无以成江海.(?荀子·劝学?)(2)舳舻千里,旌旗蔽空,,,固一世之雄也.(苏轼?赤壁赋?)(3)韩非囚秦,?说难??孤愤?;,.(司马迁?||报任安书?)(4)青山隔送行,,淡烟暮霭相遮蔽.夕阳古道无人语,.(|||王实甫?长亭送别?)(5)五月渔郎相忆否?,.(周邦彦?苏幕遮?)9.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)吾恐季孙之忧,,.(?论语?)(2)其间旦暮闻何物?.,往往取酒还独倾.(白居易?琵琶行?)(3)而五人生于编伍之间,素不闻诗书之训,,,亦何故哉?(张溥?五人墓碑记?)(4),下有冲波逆折之回川.黄鹤之飞尚不得过,.(李白?蜀道难?)(5),镜中衰鬓已先斑.,千载谁堪伯仲间.(陆游?书愤?)10.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)子贡曰: "?诗?云:‘,,,其斯之谓与?〞(?论语?)(2)故木受绳那么直,,,那么知明而行无过矣.(?荀子·劝学?)(3),四弦一声如裂帛.,唯见江心秋月白.(白居易?琵琶行?)(4)而五人生于编伍之间,素不闻诗书之训,,,亦曷故哉?(张溥?五人墓碑记?)(5)故国神游,,早生华发.人间如梦,.(苏轼?念奴娇·赤壁怀古?)11.补写出以下名篇名句的空缺局部.(只选3小题)(1)子曰: "弟子,入那么孝,出那么弟,,.〞(?论语?)(2)吾闻之,,.安能以身之察察,受物之汶汶者乎?(?楚辞·渔父?)(3),,是又在六国下矣.(苏洵?六国论?)(4)青山隔送行,,.(|||王实甫?西厢记?)(5)人生得意须尽欢,莫使金樽空对月.,.(李白?将进酒?) 答案：1.(1)士不可以不弘毅仁以为己任(2)鱼鳖不可胜食也材木不可胜用也(3)其黄而陨三岁食贫(4)觉宇宙之无穷识盈虚之有数(5)望尽天涯路山长水阔知何处2.(1)谁悲失路之人尽是他乡之客(2)以赂秦之地封天下之谋臣以事秦之心礼天下之奇才(3)举匏尊以相属渺沧海之一粟(4)应是良辰好景虚设便纵有千种风情(5)是可忍也孰不可忍也3.(1)任重而道远仁以为己任(2)穷睇眄于中天极娱游于暇日(3)执手相看泪眼竟无语凝噎(4)何不淈其泥而扬其波何不饣甫其糟而歠其醨(5)奔流到海不复回朝如青丝暮成雪4.(1)丰草绿缛而争茂木遭之而叶脱(2)故不积跬步无以至|||千里(3)昨夜西风凋碧树欲寄彩笺兼尺素(4)后人哀之而不鉴之亦使后人而复哀后人也(5)?诗?三百篇大底圣贤发愤之所为作也5.(1)淡烟暮霭相遮蔽禾黍秋风听马嘶(2)别有幽愁暗恨生银瓶乍破水浆迸(3)飞湍瀑流争喧豗砯崖转石万壑雷(4)不悱不发举一隅不以三隅反(5)匪来贸丝来即我谋6.(1)远人不服而不能来也邦分崩离析而不能守也(2)历职郎署不矜名节(3)且矫诏纷出不敢复有株治(4)泣涕涟涟载笑载言(5)聒碎乡心梦不成故园无此声7.(1)梧桐更兼细雨怎一个愁字了得(2)骐骥一跃驽马十驾(3)多情应笑我一尊还酹江月(4)钟鸣鼎食之家舸舰迷津(5)发愤忘食乐以忘忧8.(1)故不积跬步无以至|||千里(2)酾酒临江横槊赋诗(3)?诗?三百篇大底圣贤发愤之所为作也(4)疏林不做美禾黍秋风听马嘶(5)小楫轻舟梦入芙蓉浦9.(1)不在颛臾而在萧墙之内也(2)杜鹃啼血猿哀鸣春江花朝秋月夜(3)激昂大义蹈死不顾(4)上有六龙回日之高标猿猱欲度愁攀援(5)塞上长城空自许出师一表真名世10.(1)如切如磋如琢如磨(2)金就砺那么利君子博学而日参省乎己(3)曲终收拨留神画东船西舫悄无言(4)激昂大义蹈死不顾(5)多情应笑我一尊还酹江月11.(1)谨而信泛爱众而亲仁(2)新沐者必弹冠新浴者必振衣(3)苟以天下之大下而从六国破亡之故事(4)疏林不做美淡烟暮霭相遮蔽(5)天生我材必有用千金散尽还复来。

新课标高考二轮专题复习基础训练试题修订稿

新课标高考二轮专题复习基础训练试题Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】高一语文基础训练（三）小说阅读：魔盒（英）大卫洛契佛特（1）在一抹缠绵而又朦胧的夕照的映衬下，我四周高耸着的伦敦城的房顶和烟囱，似乎就像监狱围墙上的雉堞。

从我三楼的窗户鸟瞰，景色并不令人怡然自得——庭院满目萧条，死气沉沉的秃树刺破了暮色。

远处，有口钟正在铮铮报时。

（2）这每一下钟声仿佛都在提醒我：我是初次远离家乡。

这一年，我刚从爱尔兰的克尔克兰来伦敦碰运气。

眼下，一阵乡愁流遍了我全身——这是一种被重负压得喘不过气来的伤心的感觉。

（3）这是我一生中最沮丧的时刻。

接着突然响起敲门声。

（4）来人是女房东贝格斯太太。

刚才她带我上楼看房时，我们只是匆匆见过一面。

她身材纤细，银丝满头；我开门时她举目望了望我，又冲没有灯光的房间扫了一眼。

（5）“就坐在这样一片漆黑中，是吗”我这才想起，我居然懒得开灯。

“瞧，还套着那件沉甸甸的外衣！”她带着母亲般的慈爱拉了拉我的衣袖，一边嗔怪着，“你就下楼来喝杯热茶吧。

噢，我看你是喜欢喝茶的。

”（6）贝格斯太太的客厅活像狄更斯笔下的某一场景……她一边准备茶具一边说，“你进屋时我注意到了你手提箱上的标签。

我这一辈子都在接待旅客。

我看你的心境不佳。

”（7）当我坐下和这位旅客的贴心人交谈时，我的忧郁感渐渐被她那不断地殷勤献上的热茶所驱散了。

（8）随后，我告诉贝格斯太太我必须告辞了。

然而她却坚持临走前给我看一样东西。

她在桌上放了一只模样破旧的纸板盒——有鞋盒一半那么大小，显然十分“年迈”了，还用磨损的麻绳捆着。

“这就是我最宝贵的财产了，”她一边向我解释，一边几乎是带有敬意地抚摸着盒子，“对我来说，它比皇冠上的钻石更为宝贵。

真的！”（9）我估计，这破盒里也许装有什么珍贵的纪念品。

是的，连我自己的手提箱里也藏有几件小玩意——它们是感情上的无价之宝。

（10）“这盒子是我亲爱的母亲赠给我的，”她告诉我，“那是在1912年的某个早上，那天我第一次离家。

全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十九)(含答案详析)

专题限时集训(十九)[第19讲分类与整合思想、化归与转化思想](时间：45分钟)1.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g （x ），x<0为奇函数，则f(g(－1))＝( )A ．－20B ．－18C ．－15D ．173．已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5x ＋btan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5x (a ，b 为常数)，若f(1)＝1，则不等式f(31)>log 2x的解集为________．4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．5．“a ≤0”是“函数f(x)＝|(ax －)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f(x ＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f(x 1)<f(x 2)；③y ＝f(x ＋2)的图像关于y 轴对称．下列结论中，正确的是( )A ．f(4.5)<f(6.5)<f(7)B ．f(4.5)<f(7)<f(6.5)C ．f(7)<f(4.5)<f(6.5)D ．f(7)<f(6.5)<f(4.5)7．若函数f(x)＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)8．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，且△ABC ，△ACD ，△ADB的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．2πB ．6πC ．4 6πD ．24π9．已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一个确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意β，m －n 的最小值是( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 10．已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设 H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．1611．设函数f(x)＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．12．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x .若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f(x ＋a)≥f 2(x)恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .14．已知函数f(x)＝ln x －ax(a ∈R )． (1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（0<x ≤1），ax －1（－1≤x ≤0），且g(x)≤1恒成立，求实数a 的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为12.过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.过定点M(0，3)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点(点G 在点M ，H 之间)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m ，0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．专题限时集训(十九)1．C [解析] sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.2．C [解析] 由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x 2＋2x ，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.3．{x|0<x<2} [解析] 函数f(x)为奇函数且周期为10，f(31)＝f(1)＝1>log 2x ，得0<x<2.4．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)．故函数f(x)的值域为(－∞，2)．5．C [解析] 由题意，得f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax 2－x|.若a ＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a<0，且x ＝0时y＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax 2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的．反之若a>0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间(0，12a)上y<0，此时f(x)＝|ax 2－x|在区间(0，12a )上单调递增，在区间[12a ，1a]上单调递减．故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．6．B [解析] 由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，则函数y ＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y ＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．7．C [解析] 由f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a 满足a<1<6－a 2且f(a)＝a 3－3a ≥f(1)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a 2<5，（a －1）2（a ＋2）≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<1，－5<a<5，a ≥－2，故实数a 的取值范围是[－2，1)．8．B [解析] 设侧棱AB ，AC ，AD 的长度分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.9．A [解析] 方法一，设α＝(1，0)，β＝⎝⎛⎭⎫12，t ，γ＝(x ，y)，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x －1，y)·⎝⎛⎭⎫x －12，y －t ＝0，即x 2－32x ＋12＋y 2－ty ＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x －342＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝116＋t 24.|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离，其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径，最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径，最大值与最小值之差为圆的直径，故m－n ＝2 116＋t 24≥12，当且仅当t ＝0时等号成立，此时β＝⎝⎛⎭⎫12，0. 方法二，将向量α，β，γ的起点放在点O ，终点分别记作A ，B ，C.由|α－β|＝|β|可知点B 在OA 的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C 在以AB 为直径的圆上，则m －n 为圆的直径．又因为OB ＝AB ，故只要OB 最小即得，结合图形，在点B 为OA 的中点时取得，即m －n 的最小值为12.10．C [解析] 不等式f(x)≥g(x)2≥－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4≥0，解得x ≤a －2或x ≥a ＋2.根据定义，H 1(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）≤g （x ），H 2(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）≥g （x ）.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 1(x)＝f(x)，此时H 1(x)min ＝f(a ＋2)＝－4a －4；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 1(x)＝g(x)，此时H 1(x)min ＝g(a ＋2)＝－4a －4，即函数H 1(x)min ＝－4a －4.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 2(x)＝g(x)，此时H 2(x)max ＝g(a －2)＝－4a ＋12；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 2(x)＝f(x)，此时H 2(x)max ＝f(a －2)＝－4a ＋12.综上所述，A ＝－4a －4，B ＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.11.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [解析] 由f(x)＝x －1x ，f(2mx)＋2mf(x)<0，可得4mx 2<1＋4m 22m.若m>0，则x 2<1＋4m 28m 2不恒成立；若m<0，则x 2>1＋4m 28m 2，当x ∈[1，＋∞)时，若要使不等式恒成立，则1＋4m 28m 2<1，即m 2>14，所以m<－12.综上可知m<－12. 12.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 [解析] 根据题意知函数f(x)＝2|x|，若f(x ＋a)≥f 2(x)，则2|x ＋a|≥(2|x|)2＝22|x|，所以|x ＋a|≥2|x|，即3x 2－2ax －a 2≤0对任意的x ∈[a ，a ＋2]恒成立．令g(x)＝3x 2－2ax －a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）≤0，g （a ＋2）≤0，解得a ≤－32，即a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 13．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n－1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，此时，T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1.当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，（2n －1）b n －1，n ≥2，此时，T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1，①两端同时乘以b ，得bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n .②①－②，得(1－b)T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n ＝ 2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…b n－1)－(2n －1)·b n －b ＝2（1－b n ）1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2（1－b n ）（1－b ）2－（2n －1）b n 1－b －b1－b.综上所述，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2（1－b n）（1－b ）2－（2n －1）b n1－b －b1－b ，b ≠1.14．解：(1)f′(x)＝1x －a ＝1－ax x(x>0)，当a ≤0时，f ′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1a ，若f′(x)<0，则x>1a ，故此时f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)令h(x)＝ax －1(－1≤x ≤0)，当a ＝0时，h(x)＝－1，g(x)max ＝f(1)＝0≤1，符合题意．当a<0时，h(x)max ＝h(－1)＝－a －1，f(x)max ＝f(1)＝－a ， ∴g(x)max ＝－a ≤1，结合a<0，可得－1≤a<0. 当a>0时，h(x)max ＝h(0)＝－1. 若1a≥1，即0<a ≤1，f(x)max ＝f(1)＝－a ≥－1， ∴g(x)max ＝－a ≤1，结合0<a ≤1，可得0<a ≤1.若1a <1，即a>1，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1<－1， ∴g(x)max ＝－1≤1，符合题意．综上所述，当g(x)≤1恒成立时，a ≥－1.15．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由离心率e ＝c a ＝12，△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 1的方程为y ＝kx ＋3(k>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋3得(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，① Δ＝(24k)2－4×24×(3＋4k 2)>0，解得k>62. 设椭圆的弦GH 的中点为N(x 0，y 0)，则“在x 轴上是否存在点P(m ，0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x 轴上是否存在点P(m ，0)，使得PN ⊥l 1”．设G(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，则x 0＝x 1＋x 22＝－12k 3＋4k 2，所以y 0＝kx 0＋3＝93＋4k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3＋4k 2，93＋4k 2，k PN ＝－912k ＋m （3＋4k 2）. 从而－912k ＋m （3＋4k 2）·k ＝－1，解得m ＝－3k 3＋4k2⎝⎛⎭⎫k>62. 又因为m′(k)＝3（2k －3）（2k ＋3）（3＋4k 2）2>3（6－3）（6＋3）（3＋4k 2）2>0，所以函数m ＝－3k 3＋4k2在定义域⎝⎛⎭⎫62，＋∞上单调递增，且m min ＝m ⎝⎛⎭⎫62＝－66，即m ∈⎝⎛⎭⎫－66，＋∞.故存在满足条件的点P(m ，0)，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－66，＋∞.。

2024年高考数学19题新模式新结构新题型数学与阅读理解解析版

2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2 ，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2 ∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为b a．【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．【答案】解：(1)由题意，得f'(x)=1x+1,f''(x)=-1x2,g'(x)=12x-12,g''(x)=-14x-32，∴K1=f''(1)1+f'(1)232=-11+2232=1125,K2=g''(1)1+g'(1)232=-141+12232=1412564=2125，∴K1<K2；(2)由h(x)=sin x(x∈R)，得h'(x)=cos x,h''(x)=-sin x，则K=-sin x1+cos2x32，K2=sin2x1+cos2x3=sin2x2-sin2x3，令t=2-sin2x，则t∈1,2,K2=2-tt3，设p t =2-tt3,t∈1,2，则p't =-t3-32-tt2t6=2t-6t4，所以p't <0，p t 在1,2上单调递减，则p(t)max=p1 =1，即当sin2x=1,cos x=0时，即x=nπ+π2,n∈Z时，K2取最大值1．【解析】本题考查了导数的运算、指数幂运算、三角函数的性质、利用导数求函数的最值，属于中档题．(1)利用曲率的定义分别求出K1，K2，然后比较即可；(2)利用曲率的定义求出K，再求出K2，然后利用正弦函数的性质结合利用导数求最值即可求解．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)【答案】解：记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，则离散曲率为1-θ2π，θ越大离散曲率越小．(1)对于正四面体而言，每个面都是正三角形，所以∠Q1PQ2=∠Q2PQ3=∠Q3PQ1=60°，所以离散曲率为1-1 2ππ3×3=12；(2)P在底面ABCD的投影记为H，通过直观想象，当H点在平面ABCD中逐渐远离正方形ABCD的中心，以至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0.所以当H点正好位于正方形ABCD的中心时，θ最大，离散曲率最小．此时HA=HB=22=PH，所以PA=PB=1=AB，所以∠APB=60°，θ=4π3，离散曲率为1-12π×4π3=13；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，故区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是区域α．【解析】本题考查空间几何体的性质以及新定义，正四面体的几何特征和曲率的计算公式，考查分析问题的能力以及空间想象能力，综合性较强，属于较难题．(1)利用离散曲率为1-θ2π，以及三角形的内角和公式求解；(2)记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，于是θ越大离散曲率越小，进而求得结果；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，进而得答案．14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有：D -L +M =2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．【答案】解：(1)四棱锥有5个顶点，4个三角形面，1个凸四边形面，故其总曲率为2π×5-4×π-2π=4π.(2)设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,⋯,M 号.设第i 号(1≤i ≤M )多边形有L i 条边．则多面体共有L =L 1+L 2+⋯+L M2条棱．由题意，多面体共有D =2-M +L =2-M +L 1+L 2+⋯+L M2个顶点．i 号多边形的内角之和为πL i -2π，故所有多边形的内角之和为π(L 1+L 2+⋯+L M )-2πM ,故多面体的总曲率为2πD -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM=2π2-M +L 1+L 2+⋯+L M2 -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM =4π所以满足题目要求的多面体的总曲率为4π．【解析】本题考查棱锥与简单组合体的结构特征，属于较难题．(1)利用总曲率定义即可得到结果；（1）利用总曲率定义及欧拉定理即可证明其为常数．。

2018浙江省高考语文二轮专题温习组合训练19Word版含答案

小题组合训练19语言知识+语言表达+默写(历时:20分钟)1.以下各句中,没有错别字且加点字的注音全都正确的一项为哪一项( )A.我在琢磨中再次抬起头,仰望古塔上的一团绿荫和遨翔在它周围的鸟儿,我分明感觉飞鸟才是给这树、这塔以生存的施与者。

因为塔内堆积的鸟粪给盘根错结的根蔓．(wàn)提供了必要的养分,使宛假设蛇虬．(qiú)的根茎不断延伸。

B.从建康村再往前走几千米,即是骆驼城了。

它孤零零地矗．(chù)立在荒漠当中,落寞而沧桑,暴风咆哮着卷起尘土,使得这座屠城迷离在风沙当中。

眼下,晚风咆哮,帐篷摇曳．(yè),四野看不到一个行人。

C.行人安详自假设地在马路中间行走,车就不敢开快。

自行车紧按着铃,也白搭,人们置假设罔闻。

只是,切莫以为那个地址都是些俚．(lí)俗的生活,在那些低檐窄户的后头,僻静的弄．(lòng)堂里,也蜇居着一些高雅的狷介的人一辈子。

D.流动的瀑布结冰后,一改旧日倾泻直下的风格,而是层层叠叠,“流动”似．(sì)的蔓延到了石壁周围,有的凝铸成玉琢的佛塔,有的变幻成冲天的利剑,有的绽放成水晶的莲花,令人砰然心动。

当气温渐降,冰河渐封,美好的冰瀑奇景便应．(yīng)运而生了。

阅读下面的文字,完成第2~3题。

沙漠滩以其简单的灰褐色顽固地撞击．．着我的视线,举目所见处,是一片苍茫辽阔．．的灰暗。

单调的色彩,令人无聊厌倦,昏昏欲睡。

【甲】亨导把我从迷蒙中震醒,把总想结合在一路的上下眼睑毫不客气地撑开;车窗外,偶然有漠风夹杂着沙尘奔驰而来,绝尘而去,卷起几片梭梭草的残枝在空中翻着跟头从眼前飘过。

合法一双眼睛被灰蒙蒙的色调折磨得疲惫不堪时,一汪绿色的泉水就如此不经意间突兀地出此刻我的眼前,如戴着黄色面具的少女,只露出一只水汪汪的大眼睛。

我这双疲惫无神的眼睛,碰到这碧绿清澈的眼睛时,刹时敞亮了起来。

【乙】眼睛锁定目标,心无旁骛．．．．,大步流星地走近,只想靠近沙漠大漠中那独特的泉,那让无数游人顶礼膜拜的泉上,那引无数摄影家魂牵梦萦的泉,那令无数文人雅士咏之记之的泉。

2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(解析版)

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q -数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q 是非零实数，对任意n ∈N *，定义“q -数”(n )q =1+q +⋯+q n -1利用“q -数”可定义“q -阶乘”n !q =(1)q (2)q ⋯(n )q ,且0 !q =1.和“q -组合数”，即对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ，n kq =n !qk !q n -k !q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k ,n ∈N *,k +1≤n ，n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)证明：对于任意k ,m ∈N ,n ∈N *,k +1≤n ，n +m +1k +1 q -n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq.【解】(1)由定义可知，532=5 !23 !22 !2=(1)2(2)2(3)2(4)2(5)2(1)2(2)2(3)2 (1)2(2)2=(4)2(5)2(1)2(2)2=1+2+22+23 1+2+22+23+24 1×1+2=155.(2)因为n kq =n !qk !q n -k !q =(n )q ⋅n -1 !q k !q n -k !q，n -1k -1q +q k n -1kq =n -1 !q k -1 !q n -k !q +q k ⋅n -1 !q k !q n -k -1 !q=n -1 !q k !q n -k !q(k )q +q k⋅(n -k )q .又(k )q +q k ⋅(n -k )q =1+q +⋯+q k -1+q k 1+q +⋯+q n -k -1=1+q +⋯+q n -1=(n )q ,所以n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)由定义得：对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ,n k q =nn -kq.结合(2)可知n k q =n n -kq =n -1n -k -1q +q n -k n -1n -kq=n -1kq +q n -kn -1k -1q即n k q =n -1kq +q n -k n -1k -1q，也即n k q -n -1k q =q n -k n -1k -1q.所以n +m +1k +1q -n +m k +1 q =q n +m -k n +mkq，n +m k +1 q -n +m -1k +1q =q n +m -1-k n +m -1kq，⋯⋯n +1k +1 q -n k +1 q =q n -k nkq.上述m +1个等式两边分别相加得：n +m +1k +1q -n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和，得到方程x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2024①，称五元有序数组x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 为方程①的解，对于上述的五元有序数组x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ，当1≤i ,j ≤5时，若max (x i -x j )=t (t ∈N )，则称x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 是t -密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ，使得x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S =5i =1x 2i ，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.【解】(1)若x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数，根据等差数列的定义可得x i 构成等差数列，所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=5x 3=2024，解得x 3=20245，与x 3∈N *矛盾，所以不存在一组解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ，使得x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数；(2)因为x =15x 1+x 2+x 3+x 4+x 5 =20245=404.8，依题意t =1时，即当1≤i ,j ≤5时，max (x i -x j )=1，所以max x i =405，min x j =404，设有y 个405，则有5-y 个404，由405y +4045-y =2024，解得y =4，所以x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.(3)因为平均数x =15x 1+x 2+x 3+x 4+x 5 =20245=404.8，又方差σ2=155i =1x i -x 2 ，即5σ2=5i =1x i -x 2 =5i =1x 2i -5x 2，所以S =5σ2+5x 2，因为x 为常数，所以当方差σ2取最小值时S 取最小值，又当t =0时x 1=x 2=x 3=x 4=x 5，即5x 1=2024，方程无正整数解，故舍去；当t =1时，即x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 是1-密集时，S 取得最小值，且S min =4×4052+4042=819316.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D 四点的交比，记为(A ，B ；C ，D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l 1，l 2，l 3，l 4为平面上过定点P 且互异的四条直线，L 1，L 2为不过点P 且互异的两条直线，L 1与l 1，l 2，l 3，l 4的交点分别为A 1，B 1，C 1，D 1，L 2与l 1，l 2，l 3，l 4的交点分别为A 2，B 2，C 2，D 2，证明：(A 1，B 1；C 1，D 1)=(A 2，B 2；C 2，D 2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG 与△E ′F ′G ′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG 与△E ′F ′G ′对应边的交点在一条直线上．【解】证明：(1)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用，设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D 四点的交比，记为(A ，B ；C ，D )．1-(D ,B ;C ,A )=1-DC ⋅BA BC ⋅DA =BC ⋅AD +DC ⋅BABC ⋅AD =BC ⋅(AC +CD )+CD ⋅AB BC ⋅AD，=BC ⋅AC +BC ⋅CD +CD ⋅AB BC ⋅AD =BC ⋅AC +AC ⋅CD BC ⋅AD =AC ⋅BD BC ⋅AD =1(B ,A ;C ,D )；(2)(A1,B 1;C 1,D 1)=A 1C 1⋅B 1D 1B 1C 1⋅A 1D 1=S △PA 1C 1⋅S △PB 1D 1S △PB 1C 1⋅S △PA 1D 1=12⋅PA 1⋅PC 1⋅sin ∠A 1PC 1⋅12⋅PB 1⋅PD 1⋅sin ∠B 1PD 112⋅PB 1⋅PC 1⋅sin ∠B 1PC 1⋅12⋅PA 1⋅PD 1⋅sin ∠A 1PD 1=sin ∠A 1PC 1⋅sin ∠B 1PD 1sin ∠B 1PC 1⋅sin ∠A 1PD 1=sin ∠A 2PC 2⋅sin ∠B 2PD 2sin ∠B 2PC 2⋅sin ∠A 2PD 2=S △PA 2C 2⋅S △PB 2D 2S △PB 2C 2⋅S △PA 2D 2=A 2C 2⋅B 2D 2B 2C 2⋅A 2D 2=(A 2,B 2;C 2,D 2)；(3)设EF 与E ′F ′交于X ，FG 与F ′G ′交于Y ，EG 与E ′G ′交于Z ，连接XY ，FF ′与XY 交于L ，EE ′与XY 交于M ，GG ′与XY 交于N ，欲证X ，Y ，Z 三点共线，只需证Z 在直线XY 上，考虑线束XP ，XE ，XM ，XE ′，由第(2)问知(P ，F ；L ，F ′)=(P ，E ；M ，E ′)，再考虑线束YP ，YF ，YL ，YF ′，由第(2)问知(P ，F ；L ，F ′)=(P ，G ；N ，G ′)，从而得到(P ，E ；M ，E ′)=(P ，G ；N ，G ′)，于是由第(2)问的逆命题知，EG ，MN ，E ′G ′交于一点，即为点Z ，从而MN 过点Z ，故Z 在直线XY 上，X ，Y ，Z 三点共线．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m,n,t都有c m≠c n，且不等式S m+S n>λS t恒成立，求实数λ的最大值．【解】(1)因为a n=n3，所以Δa n=a n+1-a n=n+13-n3=3n2+3n+1，因为Δa1=7，Δa2=19，Δa3=37，故Δa2-Δa1=12，Δa3-Δa2=18，显然Δa2-Δa1≠Δa3-Δa2，所以Δa n不是等差数列；因为Δ2a n=Δa n+1-Δa n=6n+6，则Δ2a n+1-Δ2a n=6，Δ2a1=12，所以Δ2a n是首项为12，公差为6的等差数列.(2)因为数列log a b n是以1为公差的等差数列，所以log a b n+1-log a b n=1，故b n+1b n=a，所以数列b n是以公比为a的正项等比数列，b n=b1a n-1，所以Δ2b n=Δb n+1-Δb n=b n+2-b n+1-b n+1-b n=b n+2-2b n+1+b n，且对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Δ2b n=b m，即b1a n+1-2b1a n+b1a n-1=b1a m-1，所以a-12=a m-n，因为a>2，所以m-n>0，①若m-n=1，则a2-3a+1=0，解得a=3-52(舍)，或a=3+52，即当a=3+52时，对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Δ2b n=b m=b n+1.②若m-n≥2，则a m-n≥a2>a-12，对任意的n∈N*，不存在m∈N*，使得Δ2b n=b m.综上所述，a=3+5 2.(3)因为Δc n为常数列，则c n是等差数列，设c n的公差为d，则c n=c1+n-1d，若d=0，则c n=c m，与题意不符；若d<0，所以当n>1-c1d时，c n<0，与数列c n的各项均为正数矛盾，所以d>0，由等差数列前n项和公式可得S n=d2n2+c1-d2n，所以S n+S m=d2n2+m2+c1-d2n+m，因为m+n=2t，所以S t=d2n+m22+c1-d2n+m2，因为m≠n，故n2+m22>n+m22，所以S n+S m=d2n2+m2+c1-d2n+m>d2×n+m22+c1-d2n+m=2S t则当λ≤2时，不等式S m +S n >λS t 恒成立，另一方面，当λ>2时，令m =t +1，n =t -1，n ∈N *,t ≥2，则S n +S m =d 22t 2+2 +2t c 1-d 2 ，S t =d 2t 2+c 1-d 2t ，则λS t -S n +S m =d 2λt 2+c 1-d 2 λt -d 22t 2+2 -2t c 1-d2=d2λ-dt 2-t +λ-2 c 1t -d ，因为d2λ-d >0，t 2-t ≥0，当t >dλ-2 c 1时，λS t -S n +S m >0，即S n +S m <λS t ，不满足不等式S m +S n >λS t 恒成立，综上，λ的最大值为2.5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．【解】(1)由a n =3n -1，n ∈N +知：当n =1时，a 1=1；当n ≥2时a n3∈N +，故b n =3n ，n ∈N +，则S n =4∑ni =13n -1=4×1-3n1-3=23n -1 ，n ∈N +；(2)假设存在，由S n 单调递增，不妨设p <q <r ，2S q =S p +S r ，p ，q ，r ∈N +，化简得3p -q+3r -q=2，∵p -q <0，∴0<3p -q<1，∴1<3r -q<2，∴0<r -q <log 23<1，与“q <r ，且q ，r ∈N +”矛盾，故不存在；(3)由题意，e n =nS n 2(3n -1)=n ×2(3n -1)2(3n -1)=n ，则e 3n =3n ，e 3n -2=3n -2，e 3n -1=3n -1，所以保留e 3n -2，e 3n -1，则k 2n -1=3n -2，k 2n =3n -1，n ∈N +，又k 4n +1=6n +1，k 4n +2=6n +2，k 4n +3=6n +4，k 4n +4=6n +5，n ∈N +，将k 4n ，k 4n +1删去，得到p n ，则p 2n +1=6n +2，p 2n +2=6n +4，c 2n +1=6n +2 +2n +1 =8n +3，c 2n +2=6n +4 +2n +2 =8n +6，n ∈N +，即：c 2n -1=8n -5，c 2n =8n -2，n ∈N +，即：c n =4n -1,n =2k -14n -2,n =2k，k ∈N +，记r k =k k +12，下面证明：(2k +1)2=c r k+c r k-1，由r 4m =8m 2+2m ，r 4m +1=8m 2+6m +1，r 4m +2=8m 2+10m +3，r 4m +3=8m 2+14m +6，k =4m 时，r 4m =8m 2+2m ，r 4m +1=8m 2+2m +1，c r 4tm+c r4m -1=48m 2+2m -2 +48m 2+2m +1 -1=64m 2+16m +1=(2×4m +1)2；k =4m +1时，r 4m -1=8m 2+6m +1，r 4m +1=8m 2+6m +2，c r4m -1+c r4m +1-1=48m 2+6m +1 -1 +48m 2+6m +2 -2=64m 2+48m +9=24m +1 +1 2；k =4m +2时，k 4m +2=8m 2+10m +3，k 4m +2+1=8m 2+10m +4，c k4m -2+c k4m -2+1=48m 2+10m +3 -1 +48m 2+10m +4 -2=64m 2+80m +25=24m +2 +1 2；k =4m +3时，r 4m +3=8m 2+14m +6，r 4m +3+1=8m 2+14m +7，c r4m +3+c r4m +3+1=48m 2+14m +6 -2 +48m 2+14m +7 -1=64m 2+112m +49=24m +3 +1 2，综上，对任意的k ∈N +，都有2k +1 2=c r k+c r k+1，原命题得证．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n=12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．【解】(1)因为f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n =a 1+a 2x +a 3x 2+a 4x 3⋯ b 1+b 2x +b 3x 2+b 4x 3⋯ =⋅⋅⋅+a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1 x 3+⋅⋅⋅，且f m n =m 1+m 2x +m 3x 2+m 4x 3+⋯，所以，由a n ⊗b n =m n 可得m 4x 3=(a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1)x 3，所以m 4=a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1.(2)因为f ({a n }⊗{b n })=f ({a n })⋅f ({b n })，所以f ({a n })⋅f ({b n })⋅f ({c n })=f ({a n }⊗{b n })⋅f ({c n })=f (({a n }⊗{b n })⊗{c n })又因为f a n ⋅f b n ⋅f c n =f a n ⋅f b n ⋅f c n =f ({a n })⋅f ({b n }⊗{c n })=f ({a n }⊗({b n }⊗{c n }))所以f (({a n }⊗{b n })⊗f {c n })=f ({a n }⊗({b n }⊗f {c n }))，所以a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n .(3)对于{a n },{b n }∈S ，因为(a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯)(b 1+b 2x +⋯+b n x n -1+⋯)=d 1+d 2x +⋯+d n x n -1+⋯，所以d n x n -1=a 1(b n x n -1)+⋯+a k x k -1(b n +1-k x n -k )+⋯+a n -1x n -2(b 2x )+a n x n -1b 1，所以d n =a 1b n +a 2b n -1+⋯+a k b n +1-k +⋯+a n -1b 2+a n b 1，所以a n ⊗b n =d n =∑nk =1a kb n +1-k ，d 200=200k =1a k b 201-k =100k =1a k b 201-k +200k =101a k b 201-k =100k =1a k b 201-k =100k =1(k +1)2+1k (k +1)2k +2，所以d 200=∑100k =112k +21+2k -1k +1，=∑100k =112k +2+∑100k =11k ⋅2k +1-1k +1 ⋅2k +2=12-102101×2102<12.7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P ：a 1,a 2,⋯,a n ，定义变换T 1，T 1将数列P 变换成数列T 1P ：n ,a 1-1,a 2-1,⋯,a n -1．对于每项均是非负整数的数列Q :b 1,b 2,⋯,b m ，定义S (Q )=2(b 1+2b 2+⋯+mb m )+b 21+b 22+⋯+b 2m ，定义变换T 2，T 2将数列Q 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T 2Q ．(1)若数列P 0为2，4，3，7，求S T 1P 0 的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P 0，令P k +1=T 2T 1P k ，k ∈N ．(i )探究S T 1P 0 与S P 0 的关系；(ii )证明：S P k +1 ≤S P k ．【解】(1)依题意，P 0:2,4,3,7，T 1P 0 :4,1,3,2,6，S T 1P 0 =2(4+2×1+3×3+4×2+5×6)+16+1+9+4+36=172.(2)(i )记P 0:a 1,a 2,⋯,a n ,(a 1,a 2,⋯,a n ∈N *)，T 1P 0 :n ,a 1-1,a 2-1,⋯,a n -1，S (T 1(P 0))=2[n +2(a 1-1)+3(a 2-1)+⋯+(n +1)(a n -1)]+n 2+(a 1-1)2+(a 2-1)2+⋯+(a n -1)2，S (P 0)=2(a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n )+a 21+a 22+⋯+a 2n ，S (T 1(P 0))-S (P 0)=2n +2a 1+2a 2+⋯+2a n -4-6-⋯-2(n +1)+n 2-2a 1-2a 2-⋯-2a n +n =n 2+3n -(2n +6)⋅n2=0，所以S (T 1(P 0))=S (P 0).(ii )设A 是每项均为非负整数的数列a 1,a 2,⋯,a n ，当存在1≤i <j ≤n ，使得a i ≤a j 时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则S (B )-S (A )=2(ia j +ja i -ia i -ja j )=2(i -j )(a j -a i )≤0，当存在1≤m <n ，使得a m +1=a m +2=⋯=a n =0时，若记数列a 1,a 2,⋯,a m 为C ，则S (C )=S (A )，因此S T 2(A ) ≤S (A )，从而对于任意给定的数列P 0，由P k +1=T 2T 1P k (k =0,1,2,⋯)，S P k +1 ≤S T 1P k ，由(i )知S T 1P k =S P k ，所以S P k +1 ≤S P k .题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s -1e x -1(x >0,s >1，s 为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s ≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s >2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．【解】(1)由f x =x s -1e x -1,x ∈0,+∞ ,1<s ≤2可得fx =s -1 ⋅xs -2⋅e x -1 -x s -1⋅e x e x -1 2=x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1e x -12，令h x =s -1-x ⋅e x -s -1 ，则h x =-e x +s -x -1 ⋅e x =s -x -2 ⋅e x ；又1<s ≤2，x >0，所以s -x -2<0,e x >0，即h x <0恒成立；即函数h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x <h 0 =0，可得fx =x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1e x -12<0恒成立，因此函数f x 在0,+∞ 上单调递减，即当1<s ≤2时，函数f x 在0,+∞ 上单调递减；(2)当s >2时，①由(1)可知令h x =s -x -2 ⋅e x =0，可得x =s -2>0,易知当x ∈0,s -2 时，h x =s -x -2 ⋅e x >0，即函数h x 在0,s -2 上单调递增，当x ∈s -2,+∞ 时，h x =s -x -2 ⋅e x <0，即函数h x 在s -2,+∞ 上单调递减，即函数h x 在x =s -2处取得极大值，也是最大值；注意到h 0 =0，由单调性可得h s -2 >h 0 =0，可知h x 在0,s -2 大于零，不妨取x =2s -2，则h 2s -2 =1-s ⋅e 2s -2-s -1 =1-s e 2s -2+1 <0；由零点存在定理可知h x 存在唯一变号零点x 0∈s -2,+∞ ，所以fx =x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1 e x -12存在唯一变号零点x 0满足f x 0 =0，由h x 单调性可得，当x ∈0,x 0 时，f x >0，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <0；即可得函数f x 在0,x 0 上单调递增，在x 0,+∞ 单调递减；所以f x 有唯一极大值点x 0；②记f x 的唯一极值点为g s ，即可得x 0=g s由h x 0 =s -1-x 0 ⋅e x 0-s -1 =0可得s =x 0⋅e x 0e x 0-1+1，即可得g s 的反函数g -1s =x 0⋅ex 0e x 0-1+1，令φx =x ⋅e x e x -1+1,x ∈s -2,+∞ ，则φx =e x e x -x -1 e x -1 2，构造函数m x =e x -x -1,x ∈0,+∞ ，则m x =e x -1，显然m x =e x -1>0在0,+∞ 恒成立，所以m x 在0,+∞ 上单调递增，因此m x >m 0 =0，即e x >x +1在0,+∞ 上恒成立，而s >2，即s -2>0，所以e x >x +1在s -2,+∞ 上恒成立，即可得φx =e x e x -x -1e x -12>0在s -2,+∞ 上恒成立，因此g -1s 在s -2,+∞ 单调递增；易知函数g s 与其反函数g -1s 有相同的单调性，所以函数g s 在2,+∞ 上单调递增；9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x =0处的n n ∈N * 阶导数都存在时，f x =f 0 +f0 x +f 0 2!x 2+f 30 3!x 3+⋯+f n0 n !x n +⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f nx n ≥3 表示f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯．当x ≥0时，试比较cos x 与1-x 22的大小，并给出证明；(3)设n ∈N *，证明：nk =11(n +k )tan 1n +k>n -14n +2．【解】(1)令f x =sin x，则f (x)=cos x，f (x)=-sin x，f3 x =-cos x，f4 x =sin x，⋯故f0 =0，f (0)=1，f (0)=0，f3 0 =-1，f4 0 =0，⋯由麦克劳林公式可得sin x=x-x33!+x55!-x77!+⋯，故sin 12=12-148+⋯≈0.48.(2)结论：cos x≥1-x22，证明如下：令g x =cos x-1+x22,x≥0，令h x =g x =-sin x+x,h x =-cos x+1≥0，故h x 在0,+∞上单调递增，h x ≥h0 =0，故g x 在0,+∞上单调递增，g x ≥g0 =0，即证得cos x-1+x22≥0，即cos x≥1-x22．(3)由(2)可得当x≥0时，cos x≥1-x22，且由h x ≥0得sin x≤x，当且仅当x=0时取等号，故当x>0时，cos x>1-x22,sin x<x，1n+ktan1n+k =cos1n+kn+ksin1n+k>cos1n+kn+k⋅1n+k=cos1n+k>1-12(n+k)2，而12(n+k)2=2(2n+2k)2<2(2n+2k)2-1=22n+2k-12n+2k+1=12n+2k-1-12n+2k+1，即有1n+ktan1n+k>1-12n+2k-1-12n+2k+1故nk=11(n+k)tan1n+k>n-12n+1-12n+3+12n+3-12n+5+⋯+14n-1-14n+1=n-12n+1+1 4n+1而n-12n+1+14n+1-n-14n+2=14n+1-14n+2>0，即证得nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2.10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)=f(x ) ，f (4)(x )=f (x ) ，f (5)(x )=f (4)(x ) ，⋯；f (n )(x )为f(n -1)(x )的导数)已知f (x )=ln (x +1)在x =0处的1,1 阶帕德近似为R (x )=ax1+bx．(1)求实数a ，b 的值；(2)比较f x 与R (x )的大小；(3)若h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )在(0,+∞)上存在极值，求m 的取值范围．【解】(1)由f (x )=ln (x +1)，R (x )=ax1+bx，有f (0)=R (0)，可知f (x )=1x +1，f (x )=-1(x +1)2，R (x )=a (1+bx )2，R(x )=-2ab (1+bx )3，由题意，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，所以a =1-2ab =-1 ，所以a =1，b =12．(2)由(1)知，R (x )=2x x +2，令φ(x )=f (x )-R (x )=ln (x +1)-2xx +2(x >-1)，则φ(x )=1x +1-4(x +2)2=x 2(x +1)(x +2)2>0，所以φ(x )在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又φ(0)=f (0)-R (0)=0，∴x ≥0时，φ(x )=f (x )-R (x )≥φ(0)=0；-1<x <0时，φ(x )=f (x )-R (x )<φ(0)=0；所以x ≥0时，f (x )≥R (x )；-1<x <0时，f (x )<R (x )．(3)由h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )=1x +m ln (x +1)，∴h(x )=-1x 2ln (x +1)+1x +m 1x +1=mx 2+x -(x +1)ln (x +1)x 2(x +1)．由h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )在(0,+∞)上存在极值，所以h (x )在(0,+∞)上存在变号零点．令g (x )=mx 2+x -(x +1)ln (x +1)，则g (x )=2mx +1-ln (x +1)+1 =2mx -ln (x +1)，g (x )=2m -1x +1．①m <0时，g (x )<0，g (x )为减函数，g (x )<g (0)=0，g (x )在(0,+∞)上为减函数，g (x )<g (0)=0，无零点，不满足条件．②当2m >1，即m >12时，g (x )>0，g (x )为增函数，g (x )>g (0)=0，g (x )在(0,+∞)上为增函数，g (x )>g (0)=0，无零点，不满足条件．③当0<2m <1，即0<m <12时，令g (x )=0即2m =1x +1，∴x =12m-1．当0<x <12m -1时，g (x )<0，g (x )为减函数；x >12m -1时，g (x )>0，g (x )为增函数，∴g min (x )=g 12m -1=2m 12m -1 -ln 12m-1+1 =1-2m +ln2m ；令H (x )=1-x +ln x ，0<x <1，H (x )=-1+1x ，H (x )=-1+1x>0在0<x <1时恒成立，H(x)在0,1上单调递增，H(x)<H(1)=0，∴g12m-1=(1-2m)+ln2m<0恒成立；∵x>0，0<m<1，∴x(m-1)<0，则mx2-1>mx2-1+mx-x=x+1mx-1，∴mx2-1x+1>mx-1，∴1+mx2-1x+1-ln(x+1)>mx-ln(x+1)；∵g(x)=(x+1)mx2+xx+1-ln(x+1)，令l(x)=mx2+xx+1-ln(x+1)=1+mx2-1x+1-ln(x+1)>mx-ln(x+1)=m(x+1)-ln(x+1)-m，令F x =ln(x+1)-2x+1x>0，F x =1x+1-1x+1=1-x+1x+1<0，则F x 在0,+∞是单调递减，F x <F0 =-2，所以ln(x+1)<2x+1，∴l(x)>m(x+1)-2x+1-m=m2(x+1)-m+m2(x+1)-2x+1，令x=16m2-1，则x+1=16m2，∴m2(x+1)-2x+1≥0，m2(x+1)-m=8m-m>00<m<12．∴l(x)>0，即l16m2-1>0．由零点存在定理可知，l(x)在12m-1,+∞上存在唯一零点x0∈12m-1,16m2-1，又由③知，当0<x<12m-1时，g (x)<0，g (x)为减函数，g (0)=0，所以此时，g (x)<0，在0,12m-1内无零点，∴g(x)在(0,+∞)上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为0,12．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.【解】(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P、Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3；(2)若经过2秒机器人位于区域Q，则经过1秒时，机器人必定位于B2，P有三个相邻区域，故由P→B2的概率为p1=13，B2有两个相邻区域，故由B2→Q的概率为p2=12，则经过2秒机器人位于区域Q的概率为p1p2=13×12=16；(3)机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→⋯，设经过n秒机器人位于区域Q的概率P n，则当n为奇数时，P n=0，当n为偶数时，由(2)知，P2=16，由对称性可知，经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等，亦为P n，故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2P n，若第n秒机器人位于区域P，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1 6，若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1 6，若第n秒机器人位于区域Q，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1-2×1 6=23，则有P n+2=23P n+16P n+161-2P n，即P n+2=16+12P n，令P n+2+λ=12P n+λ，即P n+2=12P n-12λ，即有λ=-13，即有P n+2-13=12P n-13，则P n+2-13P n-13=12，故有P n-13P n-2-13=12、P n-2-13P n-4-13=12、⋯、P4-13P2-13=12，故P n-13P n-2-13×P n-2-13P n-4-13×⋯×P4-13P2-13×P2-13=P n-13=12 n2-1×16-13=-13⋅12 n2，即P n=13-13⋅12n2，综上所述，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0，当n为偶数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为13-13⋅12n2.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)【解】(1)依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有A44=24种情况，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有A33=6种情况；②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有2A22=4种情况，所以所求概率为6+424=512.(2)记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件B i表示最大的番石榴排在第i个，则P B i=1 n，由全概率公式知：P(A)=ni=1P(A|B i)P(B i)=1nni=1P(A|B i) ，当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k个中，不会被摘到，此时P(A|B i)=0；当k+1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i-1个番石榴中的最大一个在前k个之中时，此时P A|B i)=ki-1，因此P(A)=1nkk+kk+1+⋯+kn-1=k n ln n k，令g(x)=xnln nx(x>0)，求导得g (x)=1nln nx-1n，由g(x)=0，得x=ne，当x∈0,n e时，g (x)>0，当x∈n e,n时，g (x)<0，即函数g(x)在0,n e上单调递增，在n e,n上单调递减，则g(x)max=gne=1e，于是当k=n e时，P(A)=k n ln n k取得最大值1e，所以P的最大值为1e，此时t的值为1e.13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)①由椭圆定义可知AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a，所以△ABF2的周长L=4a=8，所以a=2，因为离心率为12，故ca=12，解得c=1，则b2=a2-c2=3，由题意，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为x24+y23=1，直线l:y-0=tan π3⋅x+1，即l:y=3x+1，联立x24+y23=1得15x2+24x=0，解得x=0或-85，当x=0时，y=3×0+1=3，当x=-85时，y=3×-85+1=-335，因为点A在x轴上方，所以A0,3,B-85,-335，故AO⊥F1F2，折叠后有A O⊥F1F2，因为二面角A-F1F2-B为直二面角，即平面A F1F2⊥F1F2B ，交线为F1F2，A O⊂平面A F1F2，所以A O⊥平面F1F2B ，因为F 2B ⊂平面F 1F 2B ，所以A O ⊥F 2B ；②以O 为坐标原点，折叠后的y 轴负半轴为x 轴，原x 轴为y 轴，原y 轴正半轴为z 轴，建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ,A 0,0,3 ,B 335,-85,0,F 20,1,0 ，A F 2 =0,1,-3 ,BF 2 =-335,135,0 ，其中平面A F 1F 2的法向量为n 1=1,0,0 ，设平面A B F 2的法向量为n 2=x ,y ,z ，则n 2 ⋅AF 2 =x ,y ,z ⋅0,1,-3 =y -3z =0n 2 ⋅B F 2 =x ,y ,z ⋅-335,135,0 =-335x +135y =0，令y =3得x =133,z =1，故n 2 =133,3,1 ，设平面A B F 2与平面A F 1F 2的夹角为φ，则cos φ=cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 ⋅n 2 =1,0,0 ⋅133,3,1 1699+3+1=13205205，故平面A B F 2与平面A F 1F 2的夹角的余弦值为13205205；(2)设折叠前A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，折叠后对应的A x 1,y 1,0 ,B x 2,0,-y 2 ，设直线l 方程为my =x +1，将直线l 与椭圆方程x 24+y 23=1联立得，3m 2+4 y 2-6my -9=0，则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，在折叠前可知AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，折叠后，在空间直角坐标系中，A B=x 1-x 22+y 21+y 22，，由A F 2 +B F 2 +A B =152，AF 2 +BF 2 +AB =8，故AB -A B =12，所以AB -A B =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12①，分子有理化得-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=-4y 1y 2②，由①②得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=my 1-1-my 2+1 2+y 1-y 2 2=m 2+1y 1-y 2 ，故14-2y 1y 2=m 2+1y 1-y 2 ，即14-2y 1y 2=m 2+1y 1+y 2 2-4y 1y 2，将y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4代入上式得14+183m 2+4=m 2+16m3m 2+42+363m 2+4，两边平方后，整理得2295m 4+4152m 2-3472=0，即45m 2-28 51m 2+124 =0，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514.14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F(t )=[x(t )]2+[y(t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.【解】(1)依题意，y =1-cos t ,|OB |=BM=t ，则x =|OB |-sin t =t -sin t ，所以x =t -sin t ,y =1-cos t .(2)由复合函数求导公式yt=y x⋅x t及(1)得y x=y x ⋅x t x t =y t x t=sin t 1-cos t ，因此tan θ=sin t 1-cos t ，而1+cos2θ=2cos 2θ=2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ+1=2sin t 1-cos t 2+1=2(1-cos t )22-2cos t =1-cos t =y 0，所以1+cos2θy 0为定值1.(3)依题意，F (t )=(1-cos t )2+sin 2t =2-2cos t =2sin t 2.由0≤t 2≤π，得sin t 2≥0，则F (t )=2sin t 2，于是F (t )=-4cos t2+c (c 为常数)，则F (2π)-F (0)=(-4cosπ+c )-(-4cos0+c )=8，所以OE 的长度为8.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n 2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．【解】(1)函数f x 的定义域为0,+∞ ，fx =1x -ax =1-ax 2x ，①若a ≤0，f x >0恒成立，f x 在0,+∞ 上单调递增．②若a >0，x ∈0,1a时，fx >0，f x 单调递增；x ∈1a,+∞时，f x <0，f x 单调递减．综上，当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递增；当a >0时，f x 在0,1a上单调递增，在1a,+∞ 上单调递减．(2)证明：令F x =f x -f x 2 -f x 1x 2-x 1，x >0则F x =1x -ax -ln x 2-12ax 22-ln x 1+12ax 12x 2-x 1=1x -ax -ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1因为a >0，所以，F x =1x -ax -ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1 在区间x 1,x 2 上单调递减．F x 1 =1x 1-ax 1-ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1 =1x 1-ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2-x 1=1x 2-x 1x 2x 1-1-ln x 2x 1+12a x 2-x 1令g t =t -1-ln t ，t >0，则g t =1-1t =t -1t，所以，t ∈0,1 时，g t <0，g t 单调递减，t ∈1,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增，所以，g t min =g 1 =0，又0<x 1<x 2，所以，x 2x 1>1，所以g x 2x 1=x 2x 1-1-ln x 2x 1>0恒成立，又因为a >0，x 2-x 1>0，所以，F x 1 >0．同理可得，F x 2 =1x 2-x 11-x 1x 2-ln x 2x 1+12a x 1-x 2 ，由t -1-ln t ≥0(t =1时等号成立)得，1t -1-ln 1t ≥0，即1-1t -ln t ≤0(t =1时等号成立)，又0<x 1<x 2，所以0<x 1x 2<1，所以1-x1x 2-ln x 2x 1<0恒成立，又因为a >0，x 1-x 2<0，x 2-x 1>0，所以，F x 2 <0，所以，区间x 1,x 2 上存在唯一实数ξ，使得F ξ =0，所以对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f ξ =f x 2 -f x 1x 2-x 1成立；(3)证明：当a =1时，由(1)可得，f x =ln x -12x 2+12在1,+∞ 上单调递减．所以，x >1时，f x <f 1 =0，即ln x -12x 2+12<0．令x =n +1n ，n ∈N *，则ln n +1n -12n +1n 2+12<0，即n +1n2-1>2ln n +1 -2ln n ，即2n +1n 2>2ln n +1 -2ln n 令b n =2ln n +1 -2ln n ，n ∈N *，则a n >b n ，a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n >b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n=2ln2-2ln1+2ln3-2ln2+⋯+2ln n +1 -2ln n =2ln n +1 所以，S n >2ln n +1 .。

高考语文(福建专用)二轮复习滚动练19Word版含解析

滚动练19 基础知识＋默写＋诗歌鉴赏＋文学类文本阅读一、基础知识1．下列词语中，字形和加点字的读音都正确的一项是()A．纤．维(xiān)人才济．济(jì)硫璃瓦冠冕堂皇B．抨．击(pēng) 短小精悍．(hàn) 脉搏食不果腹C．服役．(yù) 提纲挈．领(qiè) 明信片万事具备D．粗犷．(kuàng) 恪．守不渝(kè) 宣泄人情世故答案B[A项，“济”读jǐ，硫—琉。

C项，“役”读yì，具—俱。

D项，“犷”读guǎng。

] 2．下列各组词语中，没有错别字的一组是()A．按揭震撼发唠骚唉声叹气B．缉私驰名佼佼者事过境迁C．安份赃款消声器着手成春D．精粹飙车报不平和颜悦色答案B[A项，唠—牢；C项，份—分；D项，报—抱。

]3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一项是()网站在首页的醒目位置推出“爱心驿站”“好人推荐”两个互动栏目，鼓励广大网民积极________日常生活中身边的好人，________社会力量帮助生活困难的群众，大力________平凡生活中那些助人为乐、见义勇为的凡人善举，铸就强大的“爱心磁场”。

A．推荐聚合宣扬B．推荐聚焦弘扬C．推见聚合弘扬D．推见聚焦宣扬答案A[推荐：把好的人或事物向人或组织介绍，希望任用或接受。

推见：推想出。

聚合：聚集到一起。

聚焦：比喻视线、注意力等集中于某处。

宣扬：广泛宣传，使大家知道；传布。

弘扬：发扬光大。

]4．下列各句中，加点成语使用恰当的一句是()A．内贾德跑到拉丁美洲访问，跟委内瑞拉的查韦斯称兄道弟，叫板美国，又到古巴跟卡斯特罗密谈多时，如此纵横捭阖．．．．，也算是一道风景。

B．鲧治水一生，最终徒劳无功，触犯天条；而他的儿子大禹却疏浚百川，名垂青史。

面对肆虐的洪水，一堵一疏，一截一导，异曲同工．．．．。

C．这几个人面对菩萨一一行礼，口中还振振有词．．．．地念叨着：“菩萨饶恕我们吧。

2024年高考新课标Ⅱ卷语文试题和答案(官方)

2024年全国高考新课标Ⅱ卷一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：土星5号火箭升空了！它一点一点上升，庞大的身躯稳健有力。

阿姆斯特朗、柯林斯和奥尔德林被巨大的推力紧紧摁在座位上。

火箭在他们身下持续上升，各级火箭按照预定程序点火，第一级火箭、逃逸塔、第二级火箭一一分离。

绕地球轨道飞行一周后，宇航员检查了火箭和飞船状况。

第三级火箭再次点火，把飞船推向更远的高空。

当地球被甩到身后，就是船箭分离的时候：第三级火箭前端打开，哥伦比亚号从顶端弹出。

鹰号（登月舱）在火箭顶端继续待命，这艘小飞船外形奇特，像一只蜷缩着的蜘蛛。

哥伦比亚号的驾驶员柯林斯，让飞船慢慢转身。

“哥伦比亚”与“鹰”对接成功。

宇航员告别土星5号的最后一级火箭，乘坐合成一体的两艘小飞船继续飞行。

终于抵达月球上空。

阿姆斯特朗和奥尔德林驾驶鹰号离开，向着月球越飞越近。

柯林斯驾驶着哥伦比亚号孤独地环绕月球飞行。

此时此刻，那些远在地球上的人，不管是朋友还是陌生人，都时刻关注着、期待着……预定着陆区在哪儿？宇航员们全力搜寻。

但是意外忽然发生：当他们发现着陆区，鹰号已经飞过了头！数英里一闪而过，舷窗外的月球变得崎岖不平。

家园远在万里之外，更无法奢望什么援手。

此时此刻，他们能做的，只有保持镇定，平稳驾驶，继续飞行。

看到了，就在不远处，那里平整而干净！鹰号慢慢减速、缓缓下降，登月舱越来越低、越来越低……直到平稳落地！此时此刻，在遥远的地球，人们鸦雀无声、屏息聆听。

一个声音从遥远的太空传来，那是阿姆斯特朗从月球发出的声音：“这里是静海基地，‘鹰’着陆成功。

”他异常平静，地球上的人们却爆发出欢呼的声音。

随后，阿姆斯特朗和奥尔德林沿着舷梯爬下登月舱。

陌生、寂静、壮丽的月球从此有了生命。

（摘编自布莱恩·弗洛卡《登月》，袁玮译）材料二：今年6月，联合国外层空间事务办公室举行会议，中国科学家介绍了“嫦娥四号”探月任务，表示将于2018年底前将中继卫星发射至月球背面上空一个引力稳定的位置，即地—月L2点，这颗中继卫星将执行为期三年的任务、新华社的报道没有透露“嫦娥四号”发射的具体时间，只是说将在2020年之前发射。

高考语文二轮复习之小题精做系列19Word版含答案.doc

1．(2011·大纲全国卷)下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是（）A．逾．越（yú）鸟瞰．（kàn）一丘之貉．（ｌｕò）栩．栩如生（xǔ）B．溃．败（kuì）凹．陷（wā）贻．笑大方（ｙí）兢．兢业业（ｊīｎɡ）C．咀．嚼（zǔ）桧．柏（ɡuì）罄．竹难书（qìnɡ）饕餮．大餐（ｔｉè）D．觊．觎（jì）攻讦．（jié）光阴荏苒．（rǎn）心怀叵测．（pǒ）2．(2012·四川卷)下列词语中加点的字,读音全都正确的一组是()A．折．(zhé)耗绰．(chuò)约水泵．(bènɡ) 流水淙．(cónɡ)淙B．募．(mù)集缜．(zhěn)密慰藉．(jiè) 风驰电掣．(chè)C．露．(lòu)面纤．(xiān)细抚恤．(xù) 弦．(xuán)外之音D．栅．(zhà)栏蜷．(juǎn)缩款识．(zhì) 敷衍塞．(sè)责3．(2011·大纲全国卷)下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是（）A．我读过弗莱的著作，很喜欢他那高屋建瓴．．．．的气势和包罗万象的体系，更欣赏他努力摆脱主观印象式品评的文学批评方法。

B．奚羽先生指导弟子写论文时强调，学术论文要有的放矢，论证严密，语言准确而简洁，不能模棱两可，也不能繁文缛节．．．．。

C．这是一家国家级出版社，近几年来，出版了很多深受读者尤其是在校大学生喜爱的精品图书，不少作家都对它趋之若鹜．．．．D．虽然已经是晚上了，但候车大厅里依然人来人往，热闹非凡，大喇叭的广播声、商贩的叫卖声、孩子的哭泣声不绝如缕．．．．。

4．（2013•新课标Ⅱ卷）下列各句中，没有语病的一句是( )A．很多企业都认识到，为了应对消费需求和竞争格局的变化，必须把改进服务提到与研发新产品同等重要的位置上。

2023年全国新课标卷数学二卷第19题解法

2023年全国新课标卷数学二卷第19题解法一、题目要求2023年全国新课标卷数学二卷第19题是一个涉及到函数与极限的问题。

题目要求解函数f(x)在x=1处的极限，要求利用夹逼准则进行证明。

本题考察了同学们对函数极限、夹逼准则的理解与运用能力。

二、题目分析1. 我们需要对函数f(x)在x=1处的极限进行计算，根据题目给出的函数表达式，我们可以利用极限定义或者常用的极限性质进行计算。

2. 题目要求利用夹逼准则进行证明，说明我们需要构造两个函数序列，并证明它们的极限为同一个值。

三、解题思路1. 计算极限：我们可以利用函数f(x)的表达式，直接代入x=1，计算出f(1)的值。

我们可以利用导数的概念进行计算，求得f(x)在x=1处的导数值。

我们可以利用极限定义，结合夹逼准则，计算得出f(x)在x=1处的极限值。

2. 夹逼定理证明：我们可以构造两个函数序列，使它们分别逼近待求极限的值，然后利用夹逼定理进行证明。

四、解题步骤1. 我们计算函数f(x)在x=1处的极限。

根据题目给出的函数表达式，我们可以将f(x)进行化简、分解，然后代入x=1，得到极限的结果。

2. 我们利用夹逼准则进行证明。

构造两个函数序列，利用它们分别逼近待求极限的值，然后运用夹逼定理进行证明。

五、个人观点和理解在解答这道题目时，我深刻体会到对函数极限、夹逼准则的理解和运用至关重要。

通过解答这道题目，我对夹逼定理的理解更加深入，同时也发现了一些解题的技巧和方法，这对我今后的数学学习和应试能力都有很大的帮助。

总结回顾：通过本文的解析，我们首先对题目的要求进行了分析，然后给出了解题的思路和步骤，最后通过个人观点和理解进行了总结。

希望这篇文章能够对你有所帮助，同时也祝你在数学学习中取得更大的进步！2023年全国新课标卷数学二卷第19题是一道涉及到函数与极限的问题。

题目要求解函数f(x)在x=1处的极限，要求利用夹逼准则进行证明，这是一道考察同学们对函数极限、夹逼准则的理解与运用能力的题目。

2022高三语文二轮复习课时作业19

课时作业十九一、语言基础知识1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A．朔．风huò堆砌．qiè创．伤chuānɡ博闻强识．hìB．浸渍．ì 氛．围fèn 下巴颏．é 寡廉鲜．耻iǎnC．商贾．ɡǔ 殒．身ǔn 庇．护权ì 否．极泰来ǐD．贿赂．ù 股．肱ɡōnɡ 应．声虫ìnɡ 栉．风沐雨hì解析：A．砌qì；；ì。

答案： D2．下列词语中，没有错别字的一组是A．瑕疵编篡馏馒头沧海一栗B．暮蔼蹊跷势力眼为虎作伥C．俯瞰倾泄擦边球磬竹难书D．辩驳桀骜座右铭名列前茅解析：A．编纂，沧海一粟；B暮霭，势利眼；C倾泻，罄竹难书。

答案： D3．依次填入下面各句横线上的词语，最恰当的一组是①我想靠迅速抓紧时间，去留住稍纵即逝的日子；我想凭时间的有效利用去弥补匆匆________的光阴。

②政府的房市调控效益没有马上显现，于是有人把房地产市场看作间歇性发作的精神病人，认为其不可________。

③北京目前规划发展11个新城，都是为了缓解中心城的人口、交通、居住等压力，并形成新的产业聚集区。

新城基础设施、配套设施________要完善，这既要靠政策引导，也要靠市场的力量。

A．流逝捉摸必须B．流逝琢磨必需C．流失捉摸必需D．流失琢磨必须答案： A4．下列语句中，加点的成语使用恰当的一项是A．尽管近年采取了加开临时客车等措施，但春运出行难的问题一直未能有效解决，各大火车站万头攒动，众多旅客重足而立．．．．，交通场面拥挤不堪。

B．黔东南从党扭村至加榜乡所在地绵延25公里的山路两旁，线条优美的梯田一片连着一片，层层叠叠，美不胜．．．收。

C．3月11日，日本东北部地区发生的里氏级强烈地震导致福岛核电站发生核泄漏，令许多欲前往日本的游客退避三舍．．．．。

D．目前，引进版图书翻译质量参差不齐，有的不忍卒读．．．．，不仅对阅读造成伤害，也不利于市场的正常运作与健康发展。

2022版高考数学二轮复习课时作业19

课时作业(十九)一、选择题1．(2021·全国高三模拟)双曲线x 24-y 2＝2的焦点为( D )A ．(±217，0)B ．(±3，0)C ．(±5，0)D ．(±10，0)【解析】双曲线x 24-y 2＝2化标准方程为：x 28-y 22＝1，所以焦点在x 轴上，可得a ＝22，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝10，c ＝10，所以双曲线的焦点坐标：(10，0)，(-10，0)．故选D.2．(2021·陕西高三模拟)抛物线y ＝ax 2(a >0)上点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12到其准线l 的距离为1，则a 的值为( B )A ．14B ．12C ．2D ．4【解析】抛物线y ＝ax 2(a >0)即x 2＝1a y (a >0)，可得准线方程y ＝-14a，抛物线y ＝ax 2(a >0)上点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12到其准线l 的距离为1，可得：12＋14a ＝1，解得a ＝12.故选B.3．(2021·龙岩期末)已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为F (-3，0)，则这个椭圆的方程是( C )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 24＋y 22＝1C.x 25＋y 22＝1 D ．x 26＋y 22＝1【解析】 ∵椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为F (-3，0)，∴b 2＝2，c ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝3＋2＝5， ∴椭圆方程为x 25＋y 22＝1.故选C.4．(2021·全国高三模拟)若双曲线y 2a 2-x 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x【解析】由题意知2b ＝2，2c ＝23，所以b ＝1，c ＝3，由a 2＝c 2-b 2＝2，解得a ＝2，该双曲线的焦点在y 轴上，所以渐近线方程为y ＝±a bx ＝±2x .故选A ．5．(2021·黑龙江哈师大附中高三月考)椭圆x 24p 2＋y 2p 2＝1(p >0)的焦点是双曲线x 2p -y 22p＝1的焦点，则p ＝( D )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】椭圆x 24p 2＋y 2p 2＝1(p >0)中，a 2＝4p 2，b 2＝p 2，所以c 2＝3p 2，在双曲线x 2p -y 22p＝1中，a 2＝p ，b 2＝2p ，所以c 2＝3p ，所以c 2＝3p 2＝3p ，解得p ＝1.故选D.6．(2021·全国高三模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，B是虚轴的一个端点，若点F 到直线AB 的距离为54b ，则双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±5xB ．y ＝±15xC ．y ＝±55x D ．y ＝±1515x 【解析】因为双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1，所以F (-c ，0)，A (a ，0)，取B (0，b )，所以直线AB 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay -ab ＝0，所以点F 到直线AB 的距离为|-bc -ab ∣a 2＋b 2＝54b ，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＋a ＝54c ，即c ＝4a ，所以b a ＝15.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±15x .故选B.7．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，准线为l ，点A (0，82)，线段AF 的中点B 在C 上，则点B 到直线l 的距离为( C )A ．3 2B ．4 2C ．6D ．8【解析】求得B 点的坐标，代入抛物线方程，由此求得p ，进而求得点B 到直线l 的距离．焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段AF 的中点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，42，将点B 代入C 得32＝2p ·p4，解得p＝8，点B 到直线l 的距离为d ＝|BF |＝p 4＋p 2＝34p ＝6.故选C.8．(2021·全国高三模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( C )A ．33B ．22C ．23D ．32【解析】由题知，直线l 的方程为y ＝x -c ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x -c x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2-2a 2cx ＋a 2c 2-a 2b 2＝0，则x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2-b 2）a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，则(c -x 1，-y 1)＝2(x 2-c ，y 2)，则x 1＋2x 2＝3c ，结合韦达定理知，x 1＝a 2c -3b 2c a 2＋b 2，x 2＝a 2c ＋3b 2c a 2＋b2，则x 1x 2＝a 2c -3b 2c a 2＋b 2·a 2c ＋3b 2c a 2＋b 2＝a 2（c 2-b 2）a 2＋b 2，整理得2a 2＝9c 2，则离心率e ＝c a ＝23，故选C. 二、填空题9．(2021·贵州贵阳一中高三月考)抛物线x ＝14m y 2(m >0)上一点A (2，y )到焦点的距离为3，则m ＝__1__.【解析】抛物线x ＝14my 2(m >0)的标准形式为y 2＝4mx ，则焦点为(m ，0)，准线方程为x ＝-m ，所以点A (2，y )到焦点的距离为2＋m ＝3，所以m ＝1.10．(2021·上海高三模拟)双曲线x 2-y 2＝1的焦点到其渐近线的距离为__1__.【解析】由题得：其焦点坐标为(-2，0)，(2，0)．渐近线方程为y ＝±x ，所以焦点到其渐近线的距离d ＝|±2|12＋（±1）2＝1.11．(2021·江苏高三二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点P 在直线x ＝a 上，直线PA 交椭圆于点Q ，若AQ →＝2QP →，AQ →·QF →＝0，则椭圆C 的离心率为4【解析】由题意可得：A (-a ，0)，F (c ，0)，设P (a ，m )，Q (x 0，y 0)，由AQ →＝2QP →，可得x 0＝-a ＋2a 1＋2＝a 3，代入可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32a 2＋y 2b 2＝1，解得y 20＝89b 2，AQ →·QF →＝43a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c -a 3-y 20＝43a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c -a 3-89b 2＝0，整理可得：2c 2＋3ac -3a 2＝0，所以2e 2＋3e -3＝0，所以e ＝-3＋334或e ＝-3-334(舍)12．(2021·合肥一六八中学高三模拟)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若△AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围【解析】由题意知：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，-b 2a ，不妨假设A (0，b )， ∵△AMN 是锐角三角形， ∴∠MAN <π2，即AM →·AN →＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a -b ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a -b ＝c 2＋b 2-b 4a 2>0，且b <b 2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c 2-a 2-c 4-2a 2c 2＋a 4a 2>0c 2-a 2a 2>1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧e 4-4e 2＋2<0e 2>2，解得e ∈(2，2＋2)．三、解答题13．(2021·全国高三专题练习)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点．且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】 (1)因为F 为C 1的焦点，所以F (c ，0) 因为AB ⊥x 轴，所以A 点横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b2a.设C 2的标准方程为y 2＝2px (p >0)，因为F (c ，0)为C 2的焦点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，因为CD ⊥x 轴，将x ＝p2代入y 2＝2px (p >0)可得y ＝±p ，所以|CD |＝2p .因为|CD |＝43|AB |，C 1与C 2焦点重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝p 22p ＝43×2b 2a a 2＝b 2＋c2.消去p 得：4c ＝8b 23a ，所以3ac ＝2b 2即3ac ＝2a 2-2c 2，设C 1的离心率为e ，则2e 2＋3e -2＝0，所以e ＝12或e ＝-2(舍)，故C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，p ＝2c ，所以椭圆方程为：C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1，抛物线C 2：y 2＝4cx .联立两曲线方程，消去y 得3x 2＋16cx -12c 2＝0，所以(3x -2c )(x ＋6c )＝0，所以x ＝23c 或x ＝-6c (舍)，从而|MF |＝x ＋p 2＝23c ＋c ＝53c ＝5.可得c ＝3.∴C 1与C 2的标准方程分别为x 236＋y 227＝1，y 2＝12x .14．(2021·重庆一中高三月考)过点A (-1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于P 、Q 两点．(1)求线段PQ 的中点B 的轨迹方程；(2)抛物线C 的焦点为F ，若∠PFQ ≤120°，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，B (x ，y )，代入得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2⇒(y 1＋y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，⇒2y ·yx ＋1＝4⇒y 2＝2(x ＋1)，又⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y 2＝2x ＋2⇒x ＝1，所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为y 2＝2x ＋2(x >1)．(2)设直线l ：x ＝ty -1，与抛物线联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty -1y 2＝4x ⇒y 2-4ty ＋4＝0，Δ＝16t 2-16>0，得t 2>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4ty 1y 2＝4，又cos ∠PFQ ＝FP →·FQ→|FP →|·|FQ →|＝（x 1-1）·（x 2-1）＋y 1y 2（x 1＋1）·（x 2＋1）＝（t 2＋1）y 1y 2-2t （y 1＋y 2）＋4t 2y 1y 2＝8-4t 24t 2＝2-t 2t 2，又∠PFQ ≤120°⇒2-t2t 2≥-12⇒t 2≤4，又1<t 2≤4⇒t ∈[]-2，-1）∪（1，2，所以直线l 的斜率k ∈⎝⎛⎦⎥⎤-1，-12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.15．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆上动点P 到右焦点最小距离为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点M ，N 是曲线C 上的两点，O 是坐标原点，|MN |＝22，求△MON 面积的最大值．【解析】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12a -c ＝1a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当MN 斜率不存在时，即直线MN ⊥x 轴，不妨设M (x 0，2)，则|x 0|＝233，∴S △MON ＝12|MN |·|x 0|＝12×22×233＝263；②当直线MN 斜率存在时，设直线MN 方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2-12＝0，则Δ＝(8km )2-4(4k 2＋3)·(4m 2-12)＝48(4k 2-m 2＋3)>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝-8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2-124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2-4x 1x 2，＝1＋k2⎝ ⎛⎭⎪⎫-8km 4k 2＋32-4（4m 2-12）4k 2＋3＝22，即m 2＝4k 2＋3-（4k 2＋3）26（k 2＋1）. 记原点O 到直线MN 的距离为d ，则d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |k 2＋12＝4k 2＋3k 2＋1-（4k 2＋3）26（k 2＋1）2＝（4k 2＋3）·（2k 2＋3）6（k 2＋1）2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3＋2k 2＋3226（k 2＋1）2＝32. (当4k 2＋3＝2k 2＋3，即k ＝0时取等，验证满足题意) 所以S △MON ＝12|MN |·d ≤12·22·32＝3，又因为3>263，所以S △MON 取最大值为 3.注：求d 2的最大值还可以这样处理，设t ＝4k 2＋3k 2＋1＝4-1k 2＋1∈[3，4)，则d 2＝t -t 26＝-16(t -3)2＋32≤32(当t ＝3，即k ＝0时取等)．。

(新课标全国版)高考语文总复习课时作业19 图文转换

建议用时60分钟满分60分(每小题6分)实际用时得分1.(2012合肥质检)下面的表格是对中学生偶像崇拜的相关情况的抽样调查结果。

请仔细阅读，用简明的语言完成后面的题目。

中学生偶像崇拜在性别上的差异性别偶像类总计著名人士影视歌明星体育明星其他男生 6 12 6 1 25女生 2 20 2 1 25总数8 32 8 2 50(1)由表得出结论：_________________________________(2)这种差异表明：___________________________答案：(1)女生崇拜影视歌明星的人数明显高于男生，男生崇拜著名人士和体育明星的人数明显高于女生。

(2)在偶像崇拜上，女生更带有感性色彩——这与其感情细腻、易感性强等特点有关，而男生则表现得更为理性。

2．(2012潍坊模拟)请根据下面四个省份经济发展的数据统计表，在语段的横线处填上合适的内容，使语意完整，语句连贯。

省份项目广东省江苏省河北省福建省国民生产总值(亿元)30 073.71 25 560.1 13 803.5 8 075.10增幅(%) 14.5 14.8 15.0 15.1工业增加总值(亿元)13 079.22 12 473.55 4 652.6 3 980.73增幅(%) 18.3 18.9 18.9 19.3 固定资产投资总值(亿元)9 959.01 9 163.03 5 682.9 3 863.01增幅(%) 18.0 22.5 28.2 39.7______________________，所以，有人认为广东省应适当____________________________，__________________，促进国民生产总值的增长。

答案：在增幅上落后于各兄弟省份加大固定资产投资加快工业的发展3．(2012惠州模拟)仔细观察下面这幅漫画，按要求作答。

(1)请用一句话简要说明你对漫画寓意的理解。

(2)为漫画拟定一个标题。