8格与布尔代数
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
16312486312411倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B，故此S ⊆2B；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A)，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。
对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
格和布尔代数
分三步： 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b = glb(a,b)。 3）a,bL, {a,b}的上确界存在，且 lub(a,b) a∨b 具体证法见后面
1) 证明’≤’是L上的偏序关系 自反性：aL 由等幂律 a∧a=a, a≤a 反对称性：a,bL, 若a≤b, b≤a 则 a∧b=a, b∧a=b a = a∧b = b∧a = b 传递性：a,b,cL, 若 a≤b,b≤c 则a∧b=a, b∧c=b a∧c=(a∧b)∧c = a∧(b∧c)= a∧b=a a≤c
2、格的对偶原理
① 集合S的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关 系，若AS, 其中 ≤的glb(A) 对应于 ≥的lub(A), ≤的lub(A) 对应于 ≥的glb(A), 所以，若<S,≤>是格，则<S,≥>也是格， 称这两个格互为对偶。
2、格的对偶原理
② 因为<S,≤>的交是<S,≥>的并， <S,≤>的并是<S,≥>的交，
一般格只满足分配不等式： a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
一、定义
设<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c), (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c), 则称 <L,∧,∨> 为分配格。
注：(1)(2)是互相等价的，由对偶原理，从一式可推
2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b=glb(a,b)。
a) 因为 (a∧b)∧a =(a∧a)∧b=a∧b a∧b≤a 同理a∧b≤b a∧b 是a,b的下界。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
第六章 格代数
格是一种特殊的代数系统，特殊在:在代数系统中 引入了次序关系,让一个代数系统的载体具有序结构。 1847年由英国数学家G.Boole创立的布尔代数， 最初的设想是利用代数学的方法研究人类的思维规 律。经过后继者的研究，使得它与许多数学分支发 生了联系，如集合论、数理逻辑、代数系统、图论 与组合学。而到上世纪30年代突然发现它与工程技 术又有着意想不到的联系，1950年苏联的 M.A.aBрИЛoB发表了“继电器接点网络原理”，把 基于布尔代数的演算系统发展成为接点网络实用中 的通用理论。目前布尔代数已成为计算机科学的最 重要基础理论之一。
再证a≤b a∨b=b 设a≤b，而b≤b从而a∨b≤b∨b(=b) 而b≤a∨b,故a∨b=b(由≤的反对称性) 反之，设a∨b=b，而a≤a∨b 从而a≤b.
#
15
(11)定理6-1.7 a≤c a∨(b∧c) ≤(a∨b) ∧c Proof:设a≤c 则 a∨c=c Def6-2.2 而 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) 故 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧c 反之，设 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧c， 而 a≤ a∨(b∧c)， (a∨b)∧c ≤c 故 a ≤c（由≤的传递性） # (12)推论 (a∧b)∨(a∧c) ≤a∧(b∨(a∧c)) a∨(b∧(a∨c)) ≤(a∨b) ∧(a∨c) Proof:在(11)中因a∧c≤a可得第一式(以a∧c代替a,a 代c);因a≤a∨c可得第二式(以a代a，以a∨c代c). #
13
(9) 定理6-1.5 a∨(b∧c) ≤(a∨b) ∧(a∨c) (a∧b)∨(a∧c) ≤ a∧(b∨c)(分配不等式) Proof:a≤a∨b a≤a∨c 故a∧a≤(a∨b) ∧(a∨c) 而a= a∧a 故a ≤(a∨b) ∧(a∨c) 另外 b∧c≤b, b≤a∨b故b∧c≤a∨b(传递性) b∧c≤c, c≤a∨c故b∧c≤a∨c(传递性) 故b∧c =(b∧c) ∧(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 从而 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c)
全国计算机等级考试(四级)考试大纲
⑺ 谓词公式与解释。
⑻ 谓词公式的分类。
⑼ 谓词逻辑等值演算与前束范式。
⑽ 谓词逻辑推理理论。
2.集合论:
⑴ 集合基本概念。
⑵ 集合的运算。
⑶ 基本的集合恒等式。
⑷ 有序对与卡氏积。
⑸ 二元关系。
⑹ 关系的逆、限制及象。
⑺ 关系的性质。
⑻ 关系的闭包。
⑵ 插入排序方法。
⑶ 选择排序方法。
⑷ 起泡排序方法。
⑸ 希尔排序方法。
⑹ 快速排序方法。
⑺ 堆排序方法。
⑻ 二路归并排序方法。
三、离散数学
1.数理逻辑:
⑴ 命题、联结词及其命题符号化。
⑵ 命题公式及其分类。
⑶ 命题逻辑等值演算。
⑷ 析取范式与合取范式。
⑸ 命题逻辑推理理论。
⑵ 软件工程定义。
⑶ 软件生命周期。
⑷ 软件过程模型。
2.结构化分析与设计:
⑴ 问题定义与可行性研究。
⑵ 软件需求分析。
⑶ 数据流程图与数据字典。
⑷ 软件体系结构设计。
⑸ 概要设计与详细设计。
⑹ 模块结构设计与数据结构设计。
⑺ 用户界面设计。
3.原型化开发方法:
⑴ 原型化开发的基本原理。
2.笔试的试题包括选择题和论述题两种类型，其中在五分之一的选择题用英文书写，其余选择题和论述题用中文书写。
08年全国计算机等级考试二级C++考试大纲
基本要求:
1. 掌握C++语言的基本语法规则。
2. 熟练掌握有关类与对象的相关知识。
3. 能够阅读和分析C++程序。
中北大学 离散数学第六章 格和布尔代数
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
3
§6.1 格的概念
例：以下均为偏序集合格（D为整除关系，Sn为n的因 子集合）。
4
§6.1 格的概念
2.代数系统格 L, [定义]设 是一个格，如果在A上定 义两个二元运算和，使得对于任意的a，bA， ab等于a和b的最小上界，ab等于a和b的最大 下界，那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格 L, [定义]格是一个偏序集合 ，其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用 a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即： GLB{a, b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。
20
§6.3 有补格
[定理]在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。 证明：
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§6.4 布尔代数
[定义]一个有补分配格称为布尔格。
[定义]一个格<L,≤>如果它既是有补格，又是分配格， 则它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元 素a的唯一补元记为a。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义L上的一个一元运算，称为补运算， 记为“-”。
布尔代数
第五章布尔代数布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究出现的。
英国哲学家George Boole于1847年的论文“逻辑之数学分析”及“思维法则之研究”中引入了布尔代数。
本世纪30年代C.E. Shannon发表了“继电器和开关电路的符号分析”一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路。
50年代苏联科学家把布尔代数发展成为接点网络实用中的通用理论，从而使布尔代数成为计算机科学中的重要基础理论。
从逻辑上讲，布尔代数是一个命题演算系统;从抽象代数观点讲，布尔代数是一个代数系统;从集合的观点讲，它是一个集合代数;从工程技术的观点讲，布尔代数是电路代数，电子线路的设计离不开它;5.1 布尔代数的基本定义和性质定义5.1.1给定一个具有三个运算的代数结构<S，⊕，⊙，′>，其中，⊕，⊙是S上的二元运算，′是S上的一元运算，0，1∈S。
若对于 x，y，z∈S(1) x⊕y=y⊕x，x⊙y=y⊙x (交换律)(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z，x⊙(y⊙z)=(x⊙y)⊙z(结合律)(3)x⊕(y⊙z)=(x⊕y)⊙(x⊕z)，x⊙(y⊕z)=(x⊙y)⊕(x⊙z)(分配律)(4)x⊕0=x，x⊙1=x (同一律)(5)x⊕x′=1，x⊙x′=0(有补律)则称<S，⊕，⊙，′>称为布尔代数(Boolean Algebra)，⊕，⊙，′分别称为它的并(布尔和)，交(布尔积)和补运算，0和1分别称为它的零元和么元。
一个布尔代数通常记为<S，⊕，⊙，′，0，1>。
例5.1.1二值（元）布尔代数<B，⊕，⊙，′，0，1>，其中B={0，1}1⊕1=1⊕0=0⊕1=1，0⊕0=0，1=0′1⊙1=1，1⊙0=0⊙1=0⊙0=0，0=1′例5.1.2集合代数<P(A)，∪，∩，′，Φ，A>例5.1.3*命题代数定理5.1.1在一个布尔代数中，0和1 都是唯一的;定理5.1.2在一个布尔代数中，任一元素的补元是唯一的;证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.3在一个布尔代数中<S，⊕，⊙，′0，1>中，则对∀x∈S，(x′) ′=x定理5.1.4条件同上，则0′=1，1′=0;定理5.1.5条件同上，则对∀x∈S，x⊕x=x，x⊙x=x(幂等律)证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.6条件同上，则对∀x∈S，x⊕1=1，x⊙0=0(零一律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.7条件同上，则对∀x，y∈S，x⊕(x⊙y)=x，x⊙(x⊕y)=x(吸收律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.8条件同上，则对∀x，y∈S，(x⊙y)′=x′⊕y′，(x⊕y) ′=x′⊙y′(De morgan律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.9条件同上，若对x，y，z∈S，x⊙y=x⊙z，x⊕y=x⊕z，则y=z (消去律)证明(利用集合中类似证明方法)定理5.1.10 条件同上，则对∀x，y∈S，x⊙y=x⇔x⊕y=y证明(利用吸收律)对偶原理: 在布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>中，若P是某个已经得到证明的定理，将定理中的条件和结论(1)⊕与⊙互换; (2) 0与1 互换则由此而得的新定理仍然成立;5.2 格定理5.2.1设<S，⊕，⊙，′，0，1>为一个布尔代数，则集合≤={<x，y>| x⊙y=x∧x∈S∧y∈S}称为S上的偏序关系。
离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
离散数学讲义(第6章)
18
6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
26
离散数学9-格与布尔代数
17
定理4: 设<A, ∨, ∧>是格，对任意a, b, cA，有 (1)若a≤b和c≤d，则a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d (2)若a≤b，则a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
18
证明：(1)如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d,这说明b∨d是{a, c}的上界，而a∨c是{a, c}的最小上界，所以a∨c≤b∨d。类似可证 a∧c≤b∧d。
则称b是a的补元，记为a′。若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 一般说来，一个元素可以有其补元 ，未必唯一，也可能无补元。0′=1和1′=0。
37
定义12: 在有界格中，如果每个元素都有补元，则称格是有 补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是 有界格。
38
定理11: 在有界分配格中，如果某元素有补元，则补元是唯 一的。
34
定理9: 设<A, ∧,∨, 0, 1>是有界格，则对于A中任意元素 a 都有 a∨1 = 1 a∧1 = a a∨0 = a a∧0 = 0
1称为全上界或最大元，0称为全下界或最小元。
图9-6中(a)(b)(c)都有最大元和最小元，所以都是有界格。
35
定理10: 有限格必定是有界格。
36
定义11: 设<A,∨,∧>是有界格，aA，如果存在bA使得 a∨b = 1 a∧b = 0
31
定义8: 设<A,∨,∧>是格，如果A中存在元素a,使得对于A中 任意元素x 都有a≼x，则称a为格(A , ≤)的全下界，用0表 示。如果L中存在元素 a, 使得对于L中任意元素 x 都有 x≼a则称a为格(A , ≤)的全上界，用1表示。全下界即是格 的最小元，是唯一的。全上界即是格的最大元，是唯一的 。
第6章 格与布尔代数
借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+；(4)0改为1；(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础，在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的，后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究，在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文，为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
格与布尔代数
布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的，
格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。
<A,≤>是偏序集:≤是A上自反,反对称和传递关系(偏序).
偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.
例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上整除关系 其Hasse图如图所示，B A B≠Φ
3. B的下界与上界
24。 36。 12。
６。 ２。 ３。
１。
y是B的下界 y∈A∧ x(x∈B y≤x)
y是B的上界 y∈A∧ x(x∈B x≤y)
{2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,36
4. B的最大下界(下确界)与最小上界(上确界)
y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。
例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e
a
4. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是由
<A,≤>诱导的代数系统。B是A的非空子
集，如果∧和∨在B
上封闭，则称<B, ≤>
a
是<A, ≤>的子格。
b
cb
d
e
fe
b
cd
e a
c
a
b
c
f
<C,≤>是<A,≤>的
g
g
子格。而<B,≤>不是.
<A,≤>
<B,≤>
因b∧c=d B, (判定子格：看去掉的元素是否影响封闭)
d <C,≤>
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二. 格的对偶原理
设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
布尔代数
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Boolean Algebra 布尔代数
进一步思考
1、卡诺图/Karnaugh Maps 布尔表达式的图示方法
2、布尔表达式的标准化描述 表达、分类、判定、应用
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Boolean Algebra 布尔代数
布尔代数的抽象定义：
半序集（A，） 格/Lattics:半序集（A，）对任意a,bA,a,b 的上 确界c和下确界d存在，记a b=c, a b=d 有界格：格中存在最大元素1和最小元素0。 有界格中元素的余元： aA，若存在bA使得 a b=1, a b=0， 称b是 a的一个余元。
限定性命题公式： 最多仅含有否定、析取、合取 逻辑联结词的命题公式。
命题公式P的对偶公式（Dual）：将P中的 析取联结词换成合取联结词， 合取联结词换成析取联结词， T换成F，F换成T（如果存在的话）。
记为P*
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Boolean Algebra 布尔代数
练习
PP 624 9, 10(a)(c)
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Table 6
Boolean Algebra 布尔代数
p∨q T p∧q F
p ∨ (p ∧ q) p p ∧ (p ∨ q) p
§8.5 布 尔 代 数
证毕。
还可以证明：公理H1～H4是独立的（参看 “Boolean Algebra”, R.L.Goodstein）。
布尔代数的例
8.5.2 有限布尔代数的表示理论
基底
定义. 设（B，·，+，¯，0，1）是布尔代数， e1，…，en是B中有如下性质的一组元素
对任意a∈B，都可唯一地表示为 a =1e1+ 2e2+…+ nen
其中i或为0，或为1，（i = 1，…，n）。 则称e1，…，en为布尔代数B的一组基底，并称 此布尔代数为n维的。
结论1 设e1，…，en为布尔代数B的一组基底， 则对于 i∈{1,…,n}, ei≠0。 证明： 用反证法。若有ei = 0，则一方面，
ei = 0e1 + 0e2 + …+0ei + …+ 0en， 另一方面，
ei = 0e1 + 0e2 + …+1ei + …+ 0en， 而ei∈B，且表示方法不唯一。这与定义中任意 a∈B,都可唯一地表示为1e1+ 2e2+… + nen矛 盾。因此，ei≠0，i=1，…，n。
布尔代数的性质
（二） 因为（B，·，+）是分配格，所以有 5) a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， 5’)a+(b·c)=(a+b)·(a+c)。 6）(a·b)+(a·c)+(b·c)=(a+b)·(a+c)·(b+c)。 左=(a·(b+c))+(b·c)=(a+(b·c))·((b+c)+(b·c))
离散数学几个典型的代数系统
{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
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全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
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格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
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格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
4
零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.
布尔代数讲义
1 格？
1 格？
格的基本性质
12） 分配不等式
a(bc)≤(ab)(ac) 对偶 a(bc)≥(ab)(ac)
证:
a≤ab, a≤ac a≤(ab)(ac)
b≤ab, c≤ac bc≤(ab)(ac)（性质10） a(bc)≤(ab)(ac)
i) 下界存在,其一为ab： 由(ab)a=(aa)b=ab 有：ab≤a 同理，ab≤b 从而，ab 是a,b的下界。
ii) ab为最大下界： 设c 是a,b 的任一下界， 即c≤b, c≤a, 由c(ab)= (ca)b=cb=c 有：c≤ab
所以，ab 是a,b的最大下界。
2 格是代数结构
3) 同理可证? a,bL, {a,b}的最小上界存在，且lub(a,b)=ab
反对称性： a,bL, 若a≤b, b≤a，即ab=a,ba=b， 于是由交换律，有a=ab=ba=b
传递性： a,b,cL,若a≤b,b≤c，即ab=a, bc=b 于是，由ac=(ab)c = a(bc)= ab=a
得a≤c
2 格是代数结构
2)证明 a,bL,{a,b}的最大下界存在，且glb(a,b)=ab
（a） （b）
3 布尔代数
例7 设<S；, >是一个分配格, 对于任意 的 a,b,c∈S, 如 果 ab=ac, ab=ac, 则有b=c。
证明 b=b(ba)=b(ca) =(bc)(ba)=(cb)(ca) =c(ba)=c(ca)=c。
有界格
3 布尔代数
设<S；, >是一个格, 如果存在一个元素 a∈S, 对于任意的x∈S, 均有x≤a (或a≤x), 则称a是格S的一个最大(或最小)元。当一个格中 最大元、最小元均存在时, 则称S是个有界格。
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。