【高三总复习】2013高中数学技能特训：5-2等比数列(人教B版) 含解析

5-2等比数列 基础巩固强化1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692 B ．69 C ．93 D ．189 [答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)， 又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3×(1－32)1－2＝93.(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5、a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1、a ＋1、a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1 B ．4×(23)n C ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.3．(2012·北京文，6)已知数列{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2[答案] B[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a 1<0，q <0时，a 1<0，a 2>0，a 3<0，所以A 错误；而当q ＝－1时，C 错误；当q <0时，由a 3>a 1得a 3q <a 1q ，即a 4<a 2，与D 项矛盾，所以B 项正确．[点评] B 选项可证明如下：设{a n }的公差为q ，则a 21＋a 23＝a 21(1＋q 4)≥a 21·2q 2＝2a 22.4．(2011·四川文，9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．44＋1[答案] A[解析] ∵a n ＋1＝3S n ，① ∴a n ＝3S n －1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ， 即a n ＋1＝4a n ， ∴a n ＋1a n＝4(n ≥2)．当n ＝2时，a 2＝3a 1＝3，∴a 2a 1＝3≠4，∴a n 为从第2项起的等比数列，且公比q ＝4， ∴a 6＝a 2·q 4＝3·44.5．(文)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29[答案] C[解析] 运用等比数列的性质 a 1a 4＝a 2a 3＝2a 1⇒a 4＝2，① a 4＋2a 7＝2×54，②由①②得⎩⎨⎧a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝16[1－(12)5]1－12＝31.(理)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n －1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴a n＝2n－1(n∈N*)．设b n＝a2n，则b n＝(2n－1)2＝4n－1，∴数列{b n}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{b n}的前n项和T n＝1×(4n－1)4－1＝13(4n－1)．6．(2012·深圳二调)已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝() A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案] C[解析]设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵a5·a2n－5＝a1q4·a1q2n－6＝22n，即a21·q2n－2＝22n⇒(a1·q n－1)2＝22n⇒a2n＝(2n)2，∵a n>0，∴a n＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝1＋(2n－1)2·n＝n2，故选C.7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2.若a n＝64，则n的值为________．[答案]7[解析]a n＝a1q n－1＝2n－1＝64，∴n＝7.(理)等比数列{a n}的公比q>0.已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝______.[答案]15 2[解析]∵a n＋2＋a n＋1＝6a n，∴a3＋a2＝6a1.∵a2＝1，a2·q＋a2＝6a2 q，∴q ＋1＝6q ，∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152.8．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， 又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35， ∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12.数列{b n }满足b n ＝1a n.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为数列{a n }为等比数列且a 2a 5＝32，所以a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 4＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 4＝4.(由{a n }是递增数列知不合题意，舍去)所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，即b n ＝12n －1. (2)由(1)知，∴nb n ＝n2n －1. 设S n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，②由①－②得，12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n2n＝1－(12)n 1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ＝2－n ＋22n ， 所以，S n ＝4－n ＋22n －1.能力拓展提升11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7. ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n ，其值与n 有关，故选D.12．(文)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 数列{a n }前9项的和为S 9＝5113×9＝1533，即a 1(1－29)1－2＝1533，解得a 1＝3.又知a m ＝S 9－14378×8＝96，而a m ＝3·2m －1，即3·2m －1＝96，解得m ＝6.13．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋cy ＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ， ∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b q b q ＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，(a －2)b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n －1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.15．(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n－3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1. 又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设数列{c n }满足c n ＝1S n，求{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎨⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.∴b 2＋b 2q ＝12，∴b 1q ＋b 1q 2＝12，∵b 1＝1，∴q ＋q 2＝12，∵b n >0，∴q >0，∴q ＝3，∴b 2＝3，S 2＝9， 又a 1＝3，∴a 2＝6，公差d ＝3， ∴a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)S n ＝n (3＋3n )2＝3n (n ＋1)2， ∴C n ＝1S n＝23n (n ＋1)＝23(1n －1n ＋1)，∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝23(1－1n ＋1)＝2n 3(n ＋1). (理)(2012·浙江绍兴质量调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，0.(n ≥2).此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列．1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，令T n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，则T n 等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )[答案] C[解析] a n a n ＋1a n －1a n＝q 2，即数列{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列．由a 2＝2，a 5＝14得q ＝12，∴a 1＝4，a 1a 2＝8，所以T n ＝8[1－(14)n]1－14＝323[1－(14)n]．2．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152C.13D.133[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0， ∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.3．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1、a 3、a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在[答案] A[解析] 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2.4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92， ∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9，又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.5．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．7[答案] D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．7．(2011·山东临沂一模)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a2n＋log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.[解析](1)设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，由已知得a1＋a1q＝2(1a1＋1a1q)，a1q2＋a1q3＝32(1a1q2＋1a1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋(n －1)， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2. 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2) ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1， 而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. (2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ， ∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2② ①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n )－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.9．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4， S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12.(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∵b n ＋1b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列．所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。