不等式常见题型归纳和经典例题讲解

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高一基本不等式题型及解题方法

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。

掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。

在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。

1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。

它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。

解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。

以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。

解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。

2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。

接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。

2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。

因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。

2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。

解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。

以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。

解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。

2）3x - 4 < 5，解得x < 3。

然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。

因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点基本不等式（均值不等式）一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22Sy x =+,∴xy ≤42S .）和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,xx 4+≥44242==⋅x x ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab b a 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2ba +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=xx x x y ≥3142142=-=-⋅x x ,即y ≥3.当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立. ∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当yxx y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立.∴yx11+的最小值为223+.点评本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是【】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【】（A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为【】（A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为【】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722. ∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x . ∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x . ∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=xx x x y ≥()638621623222-=-+⋅+x x . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xa x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()xa x x f +=4≥a x a x 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a ,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y 当且仅当yx x y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x .∵y x m m 222+<+恒成立∴只需()min 222y x m m +<+即可∴822<+m m ,解之得:24<<-m .∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值. 分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111*********+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0. 注意使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若m m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解: ()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+m m m m . 当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴mm 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴311132++=++x x x x x ≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴xa x 29+≥a x a x 6922=⋅. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当ba ab 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴ab b a 92231322=⋅≤13132=+ba ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xy y x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当xy y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xyy x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是【】（A ）80元（B ）120元（C ）160元（D ）240元解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x 4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元）当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>yxz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyzxyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为【】（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x yy x x y 3321313312≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.点评在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值. 例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值.分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,xx y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42maxx y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216xx +≥816222=⋅x x .当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y .（当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立）当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4.证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()ba b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立.∴ba b a -+22≥4.例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()ba ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a .∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+baa b . 当且仅当baa b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件. 证明: ∵10<<x ,∴01>-x .∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a xx a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()x x a x x b -=-1122,即b a ax +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数∴ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+ 33223332213231232132-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++-++-+=c b b c c a a c b a a b cb c a b c b a a c a b≥336332232332222=-=-⋅+⋅+⋅cb bc c a a c b a a b . 当且仅当cbb c c a a c b a a b 3223,33,22===,即c b a 32==时,等号成立. ∴c c b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 例38. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为【】（A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4分析: 注意到02>+y x ,根据题目所给条件的特点可先求出()[]min22y x +,然后开方即可得到()min 2y x +,而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x y x y x 81222.解: ∵y yx x -=-812,∴y x y x 812+=+.∵0,0>>y x ,∴02>+y x .∴()()y x y x +=+222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 81x y y x x y y x ++=+++=16108162 ≥1816210=⋅+xyy x . 当且仅当xyy x =16,即22,22==y x （x y 4=）时,等号成立. ∴()22y x +的最小值为18. ∴y x +2的最小值为2318=. ∴选择答案【 C 】.例39. 已知0,0>>b a ,且8=+b a ,则ba ab43+的最大值是_________. 解: ∵0,0>>b a ,8=+b a∴()a b b a a b b a b a b a b a ab b a b a ab 452414424148131434343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+=+ ≤38924452442524==+=⋅+abb a . 当且仅当a b b a 4=,即38,316==b a 时,等号成立. ∴b a ab 43+的最大值是38. 例40. 已知93,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 3+的最小值为_________. 解: ∵93=++xy y x ,∴39+-=x xy . ∵0,0>>y x ∴()()633633336336333933-+++=-++=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x ≥()6612633632=-=-+⋅+x x . 当且仅当3363+=+x x ,即1,3==y x 时,等号成立. ∴y x 3+的最小值为 6. 点评: 上面的方法为消去元y 后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知x 为正实数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值. 解: ∵x 为正实数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+22122212112222222y x y x y x y x≤423221122221222=+⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯y x .当且仅当22122y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 另解: ∵1222=+y x ,∴2222=+y x .∵x 为正实数∴()()()22222221222122111y x y x y x y x +=+⋅=+=+ ≤()4232122221222212222222=+⨯=++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯y x y x . 当且仅当2212y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 例42. 求函数131-++-=x x x y 的最大值.解: 设1-=x t ,则t ≥0,∴12+=t x . ∴41312++=-++-=t t tx x x y .当0=t ,即1=x 时,0=y ; 当0>t ,即1>x 时,141++=t t y ≤511421=+⋅tt . 当且仅当tt 4=,即5,2==x t 时,取等号. ∴当1>x 时,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.综上所述,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.例43. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,代数式zy x 212-+的最大值为【】（A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3 解: ∵04322=-+-z y xy x ,∴2243y xy x z +-=.∵z y x ,,为正实数 ∴341431432222-+=+-=+-=x y y x xy y xy x y xy x xy z xy ≤13421=-⋅xy y x .当且仅当xyy x 4=,即y x 2=时,等号成立,此时22y z =. ∴1112122122212222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=-+y y y y y y z y x ≤1 ∴当1=y 时,zy x 212-+的最大值为1. ∴选择答案【 B 】.例44. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是【】（A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）45解: ∵xy y x 39422++≥xy xy xy xy y x 153123322=+=+⋅⋅∴xy 15≤30,∴xy ≤2. ∴xy 的最大值是2. ∴选择答案【 C 】.例45. 设0,0>>b a ,且ba kb a +++11≥0恒成立,则实数k 的最小值等于【】（A ）0 （B ）4 （C ）4- （D ）2-解: ∵ba kb a +++11≥0恒成立∴k ≥()abb a 2+-恒成立.（这里,注意0>+b a ）只需k ≥()max2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a 即可,此时()ab b a 2+取得最小值. ∵0,0>>b a ∴()abb a 2+≥()4422==ababab ab ,当且仅当b a =时,等号成立. ∴()abb a 2+-≤4-,∴()4max2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a ∴k ≥4-,即k 的最小值为4-. ∴选择答案【 C 】.例46. 设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; 解: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a .∵c b b a -+-11≥ca m-恒成立 ∴c b ca b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可.∵cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+cb ba b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.例47. 对于任意∈x R ,不等式031222>++-x a x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解: ∵031222>++-x a x 恒成立∴13222++<x x a 恒成立,只需<a min 22132⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 即可.()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=+++=++12112111*********2222222x x x x x x x x . 设t x =+12,则[)+∞∈,1t ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++t t x x 21213222. ∵[)+∞∈,1t ,且()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t f 212在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22上单调递增 ∴()()321121min=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==f t f ,即3132min22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . ∴3<a ,即实数a 的取值范围是()3,∞-.注意本题不能用基本不等式求最值.当111222+=+x x 时,方程无解.例48. 设0,0>>b a ,5=+b a ,则31+++b a 的最大值为_________. 解: ∵()()()()()31293124312+++=+++++=+++b a b a b a b a≤()()18319=++++a a . 当且仅当31+=+b a ,即23,27==b a 时,取等号. ∴()231+++b a 的最大值为18.∵031>+++b a∴31+++b a 的最大值为2318=.例49. 已知3,2>>y x ,()()432=--y x ,则y x +的最小值是【】（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x ∴()()232-+-y x ≥()()2432==--y x∴25-+y x ≥2,∴y x +≥9. ∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】.另解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x∴()()532+-+-=+y x y x ≥()()95425322=+⨯=+--y x .∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】. 例50. 若关于x 的不等式ax x -+4≥5在()+∞∈,a x 上恒成立,则实数a 的最小值为_________.解: ∵()+∞∈,a x ,∴0>-a x .∵ax x -+4≥5恒成立 ∴只需min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ≥5即可. ∵a ax a x a x x +-+-=-+44≥()a a a x a x +=+-⋅-442 当且仅当ax a x -=-4,即2+=a x 时,等号成立. ∴a a x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+44min ∴a +4≥5,解之得:a ≥1.∴实数a 的最小值为1.例51. 已知0,0>>y x ,且121=+yx ,则y x xy ++的最小值为_________. 解: ∵121=+yx ∴xy y x =+2∴y x y x y x y x xy 232+=+++=++.∵0,0>>y x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x 2123()y xx y y x x yy x 627462323++=+++=+≥3476227+=⋅+y xx y. 当且仅当y x x y 62=,即23,3323+=+=y x 时,等号成立.∴y x 23+,即y x xy ++的最小值为347+.例52. 已知0,0>>y x ,且053=+-+xy y x ,求xy 的最小值.解: ∵053=+-+xy y x∴xy y x 35=++.∵0,0>>y x∴5++y x ≥52+xy ,即xy 3≥52+xy ∴523--xy xy ≥0 ∴()()531-+xy xy ≥0解之得:xy ≥35.∴xy ≥925,当且仅当35==y x 时,等号成立.∴xy 的最小值为925.例53. 已知z y x ,,为正数,则222z y x yzxy +++的最大值为【】（A ）1 （B ）2 （C ）22（D ）2解: ∵z y x ,,为正数 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++222222222z y y x yz xy z y x yz xy ≤yz xy yz xy 222222⨯+⨯+ ()22212==++=yz xy yzxy . 当且仅当y z x 22==时,等号成立. ∴222z y x yz xy +++的最大值为22. ∴选择答案【 C 】.例54. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是【】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ∵0>>b a ,∴0>-b a .∴()()()()ab ab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++ ≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a . 当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立. ∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.例55. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy .（1）求xy 的最小值;（2）求y x +的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵()1=+-y x xy ∴xy y x =++1. ∵y x ,都是正数 ∴y x ++1≥xy 21+,即xy ≥xy 21+. ∴12--xy xy ≥0. 解之得:xy ≥21+. ∴xy ≥()223212+=+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为223+;（2）由（1）知:xy y x =++1. ∵y x ,都是正数∴xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. （当且仅当21+==y x 时取等号） ∴()42y x +≥y x ++1,()()142-+-+y x y x ≥0. ∴()()442-+-+y x y x ≥0. 解之得:y x +≥222+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+.。

完整版)基本不等式知识点和基本题型

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

专题：基本不等式常见题型归纳

变式 1．在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1，0) ， B(0，1) ，C(a，b) ， D(c，d) ，若不等式
2
CD
≥ (m
2)OC
OD
m(OC
OB)
(OD
OA)
对任意实数
a ，b ，c ，d
都成立，则实数
m 的最大值是
．
【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：
练习 1．已知对满足 x y 4 2xy 的任意正实数 x, y ，都有
x2 2xy y2 ax ay 1 0 ，则实数 a 的取值范围为
.
2．若不等式 x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值为
．
4
1a 1b
最小值为
．
练习 1．设实数 x，y 满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2 的最小值是
．
2．已知正实数 x，y 满足
，则 x + y 的最小值为．
3．已知正实数 x, y 满足 (x 1)( y 1) 16 ，则 x y 的最小值为
．
4.若 a 0,b 2 ，且 a b 3，则使得 4 1 取得最小值的实数 a =
专题：基本不等式
基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
（2）a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号．（3）a，b∈R，a2＋2 b2≤(a＋2 b)2，当且仅当 a＝b 时取等号．
将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

不等式常见题型及解析题

不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。

2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。

（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。

此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。

（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。

此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。

（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。

二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。

2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。

（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。

-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。

-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。

经典不等式例题汇总

□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、题型分析：题型一：不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。

可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。

答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。

A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。

或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。

A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。

答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。

正确的有（）。

'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。

不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)

不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析]　解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案]　A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析]　|a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案]　B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析]　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案]　C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]　利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案]　－2≤a ≤4考点一　含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导]　切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析]　(1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案]　(1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解]　(1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二　利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导]　切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析]　(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案]　(1)　(2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解]　(1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三　不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导]　切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明]　(1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明]　(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析]　|2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案]　(－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析]　∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案]　23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析]　当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案]　(－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析]　∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案]　(－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析]　|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案]　(－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析]　当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案]　－6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析]　∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案]　(－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析]　若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案]　(－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析]　∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案]　210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析]　由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案]　511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析]　∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案]　312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析]　只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案]　(－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解]　(1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解]　(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解]　(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解]　(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。

20道不等式组带解答过程

20道不等式组带解答过程篇一：不等式组是数学中非常重要的一个概念,用于求解具有不等性质的数列或不等式。

下面列出了20道不等式组题目,并附带解答过程。

1. 某项数列{a1, a2, a3, ...}的公差为2,首项为a1,求该数列的第10个数是多少?2. 已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{bn}的前n项和Sn"。

3. 某项数列{a1, a2, a3, ...}的前n项和为Sn,第n+1个数是a1,求数列{an}的前n+1个数是多少?4. 已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{bn}的前n+1项和Sn"。

5. 已知数列{an}的公比为2,首项为a1,求数列{bn}的前n项和。

6. 某项数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+1,求数列{bn}的前n+2个数是多少?7. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+2,求数列{bn}的前n+3个数是多少?8. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+3,求数列{bn}的前n+4个数是多少?9. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+4,求数列{bn}的前n+5个数是多少?10. 某项数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+5,求数列{bn}的前n+6个数是多少?11. 已知数列{an}的公比为2,首项为a1,求数列{bn}的前n项和。

12. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+6,求数列{bn}的前n+7个数是多少?13. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+7,求数列{bn}的前n+8个数是多少?14. 某项数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+8,求数列{bn}的前n+9个数是多少?15. 已知数列{an}的前n项和为Sn,第n+1个数是an+9,求数列{bn}的前n+10个数是多少?16. 已知数列{an}的公比为2,首项为a1,求数列{bn}的前n项和。

基本不等式题型和例题

第 1 页共 3 页基本不等式题型基础题型一：指数类最值的求法1. 已知3a b +=，求33a b +的最小值。

变式1.已知23a b +=，求39a b +的最小值。

变式2.已知2x y -=，求133x y+的最小值。

变式3.已知23x y -=-，求124x y +的最小值。

变式4.已知点(,)x y 在直线112y x =-上，求139x y +的最小值。

基础题型二：对数类最值的求法 2. 已知0,0x y >>，且24x y +=，求22log log x y +的最大值。

变式1.已知0,0x y >>，且24x y +=，求1122log log 3x y +的最小值。

变式2.已知点(,)x y 是圆226x y +=在第一象限内的任一点，求x y +的最大值。

能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1. 已知2x >,求1()12f x x x =++-的最小值。

变式1.已知3x >,求4()232f x x x =-+-的最小值。

变式2.已知1x <,求4()21f x x x =+-的最大值。

能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知0,0x y >>,且21x y +=，求21x y+的最小值。

2. 变式1.已知0,0x y >>,且23x y +=，求23x y+的最小值。

变式2.已知0,0x y <<,且32x y +=-，求12x y +的最大值。

能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1. 已知0,0x y >>,且2221x y +=，求第 2 页共 3 页变式1.已知0,0x y >>,且2223x y +=，求2变式2.已知0,0a b >>,且223a b +=，求-能力题型四：对勾函数及其应用【对勾函数】1y x x =+，由1x x=得顶点的横坐标为1x =±。

不等式选讲高考常考题型汇总(详解答案)

,1
上恒成立,
x 2 max a x 2 min ,
1 a 5 , 2
a
的取值范围为
1,
5 2
.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.
2
8．已知函数 f (x) x2 1, g(x) | x a | | 2x 1|, a R .
（1）当 a 1 时，解不等式 g(x2 ) 7 ；
2
2
（2）对任意 x1, x2 R ，若不等式 f (x1) ≥ g(x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
试卷第 2页，总 6页
9．选修 4-5：不等式选讲
故 a 的取值范围为 (,5] [7, )
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，考查了计算化简，分析求值的能力，属中档题. 7．【详解】
（2）当 m 1时，函数 g(x) f (x) | x m | 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.
21．设函数 f x 2x 4 1．（1）画出函数 y f x 的图象；（2）若不等式 f x ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
试卷第 6页，总 6页
参考答案
试卷第 5页，总 6页
19．已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
20．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f x 2x 2 5 . （1）解不等式： f x | x 1| ；

不等式知识点总结及题型归纳

不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形：有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

基本不等式典型常见题型

基本不等式典型常见题型基本不等式典型常见题型不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。

考察不等式的题目在各类数学考试中都是常见的。

下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。

一、一次不等式一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。

它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。

其中，a和b是常数，x是未知数。

解一次不等式的关键是找到x的取值范围。

我们可以通过变形和移项来求解。

例题1：解不等式3x + 7 > 4。

解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。

然后，除以3得到x > -1。

所以，不等式的解集为x > -1。

例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。

解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。

然后，除以2得到x ≤ 2。

所以，不等式的解集为x ≤ 2。

二、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。

其中，a、b和c是常数，x是未知数。

解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。

例题3：解不等式|2x - 3| > 4。

解法：我们可以分两种情况讨论：情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。

解得x > 7/2。

情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。

综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。

三、二次不等式二次不等式是含有二次多项式的不等关系。

它的一般形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）或ax² +bx + c ≥ 0（或≤ 0）。

高一数学不等式知识点总结及例题

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

不等式练习题及解析

不等式练习题及解析不等式是数学中常见的一种运算关系，通过比较两个数的大小关系来描述数的大小范围。

在解不等式的过程中，需要灵活运用数学知识和运算规则。

本文将为您提供一些常见的不等式练习题，并给出详细的解析过程。

一、简单不等式1. 解方程组：{ x + 3 ≥ 5, 2x - 4 < 6 }解析：首先解第一个不等式：x + 3 ≥ 5将不等式两边同时减去3，得到：x ≥ 2然后解第二个不等式：2x - 4 < 6将不等式两边同时加上4，得到：2x < 10再将不等式两边同时除以2，得到：x < 5所以，该方程组的解为x ≥ 2 且 x < 5。

2. 解不等式：3x - 7 > 5解析：首先将不等式两边同时加上7，得到：3x > 12然后将不等式两边同时除以3，得到：x > 4所以，该不等式的解为 x > 4。

二、复合不等式1. 解不等式：2 < 4 - x ≤ 7解析：首先解第一个不等式：2 < 4 - x将不等式两边同时减去4，得到：-2 < -x然后将不等式两边同时取相反数并改变不等号方向，得到：2 > x 然后解第二个不等式：4 - x ≤ 7将不等式两边同时减去4，得到：-x ≤ 3再将不等式两边同时取相反数并改变不等号方向，得到：x ≥ -3所以，该复合不等式的解为 -3 ≤ x < 2。

2. 解不等式组：{ x - 2 > 0, 3x + 5 < 8 }解析：首先解第一个不等式：x - 2 > 0将不等式两边同时加上2，得到：x > 2然后解第二个不等式：3x + 5 < 8将不等式两边同时减去5，得到：3x < 3再将不等式两边同时除以3，得到：x < 1所以，该不等式组的解为 x > 2 且 x < 1。

三、绝对值不等式1. 解不等式：|2x - 1| ≥ 5解析：首先解第一个不等式：2x - 1 ≥ 5将不等式两边同时加上1，得到：2x ≥ 6再将不等式两边同时除以2，得到：x ≥ 3然后解第二个不等式：2x - 1 ≤ -5将不等式两边同时加上1，得到：2x ≤ -4再将不等式两边同时除以2，得到：x ≤ -2所以，该不等式的解为x ≤ -2 或 x ≥ 3。

高中数学解解不等式的常用技巧和方法

高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。

解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。

我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。

解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。

然后解这个一元一次方程，得到x > 2。

所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。

这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。

这是解一元一次不等式的常用技巧。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。

以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。

然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。

绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。

将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。

根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。

这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

(完整版)不等式常见题型分析

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法规： a ba cbc ； a b,c da c bd ( 同向可加 )(4) 乘法法规： ab, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c dacbd ( 同向同正可乘 )(5)倒数法则：a b, ab1 1(6)乘方法则：baa b 0a nb n (n N * 且 n 1)(7) 开方法规： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c0 a 0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况以下表：y ax 2bxcy ax 2bx cyax 2 bx c二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cx 1 x 2b a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2 bx c 0x x 1 x x 2(a0)的解集2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f (x)f ( x) f ( x) g(x) 0f ( x) g(x) 0;g(x)g ( x)g( x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地域二元一次不等式 Ax +By +C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面地域 . （虚线表示地域不包括界线直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面地域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特别点（ x 0, y 0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面地域 . （特别地，当 C ≠ 0 时，常把原点作为此特别点） 3、线性规划的有关看法：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数：关于 x 、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、 y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性拘束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的会集叫做可行域．使目标函数获取最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（ 1）搜寻线性拘束条件，列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地域做出可行域；（ 3）依照线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式ab ab21．若 a,b ∈ R ,则 a 2+b 2≥ 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .ab b 时取 " " 号).2．若是 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a2变形：有 :a+b ≥ 2 ab ；ab ≤a b2,当且仅当 a=b 时取等号 .23．若是 a,b ∈ R+,a ·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;若是 a,b ∈ R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值S 2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式有：（1） a 2 b 2a bab2( 依照目标不等式左右的运算结构2211a b采纳 ) ；（ 2） a 、b 、 c R ， a 2 b 2 c 2 ab bc ca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则bb m（糖水的浓度问题）。