2020年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(文科)

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东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试理科数学试卷文字版含答案

东北三省三校哈师大附中 2020年高三第三次模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22- B ．42-C ．42D ．22 3．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．14．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．函数x x y cos 3sin +=的图象向右平移32π个单位长度得到函数)(x f 的图象，则下列说法不正确．．．的是A ．函数)(x f 的最小正周期2πB ．函数)(x f 的图象关于直线65π=x 对称 C ．函数)(x f 的图象关于)0,3(π对称中心 D ．函数)(x f 在]61165[ππ，上递增8．如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=AB=2，∠BAD=60° ，M 是BB 1的中点，则异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为A ．510-B ．51- C ．51 D ．510 9．已知圆M ：1222=+y x ，过圆M 内一点E(1，2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为A ．26B ．212C ．312D ．32410．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=-0,110,1)(1x x x x x f ，若函数12)(2)(--=kx x f x g 有三个零点，则实数k 的取值范围为A ．)21,1[- B ．),21()161,(+∞--∞Y C ．)21,161[- D ．)21,0[ 11．已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x C ：的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且AF BF 3=，则双曲线C 的离心率取值范围为A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(3， +∞)D ．[2， +∞)12．若对任意x ∈(0， +∞) ，不等式0ln ln 22≥--x a a a e x 恒成立，则实数a 的最大值为A ．eB ．eC ．2eD ．2e第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民．中国之光——中国女排，一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力．一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是．。

东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020届高三数学第二次联合模拟试题文含解析

【详解】对于A选项，关于（0,1）中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称，
其次不恒等于2，所以A错误；
对于B选项，∵ ，
∴ ，
令，有或。
当时，有，
当时，两边平方可得，，
此时 ,
所以的极小值不可能为，所以B错误；
对于C选项， ,
所以π不是的最小正周期，所以C错误；
【答案】700
【解析】
【分析】
设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数。
【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4。
由题意可得 ,∴ .
设我校高三年级的学生人数为N,再根据，求得N＝700
故答案为：700.
【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.
14。已知实数a、c满足 ,关于x的不等式的解集为_____。
【答案】或。
【解析】
【分析】
由已知可转化为二次不等式即可求解。
【详解】由题意可得且，
因，
所以或，
故不等式的解集为或。
故答案为：或 .
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用.
∵ ,故，
∴
故选：D。
【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想,平行向量的运算,对数的计算,逻辑思维能力和数学运算能力。本题属中档题.
7.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为( ）

东北三省三校哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020届高三数学三模考试试题文含解析

【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有某某均第一.某某均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.
【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线为 .
曲线的一个对称中心为 .
.
，注意到
故的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
（1）求证： .
（2）若点在轴的上方，，求面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，求得点的坐标，求得点的坐标，通过计算得到，由此证得 .
（2）求得，由此求得三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值.
14. 春节即将来临之际，3位同学各写一X贺卡，混合后每个同学从中抽取一X，且抽取其中任意一X都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率.
【详解】设三X贺卡编号为，则每个同学从中抽取一X，

东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)含答案

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【附28套精选模拟试卷】东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)

东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1=0,0.1.2.31x A xB x ⎧+⎫≤=⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（） A.{}-10.1， B ．{}01， C ．{}-10，D ．{}0 2.已知复数21-2)2i z i=+（，则复数z 的模为（）A ．5B ．310D A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.154.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11,3;a Sn S ==，则4a （）A ．2B C.4 D ．1 5.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =（ ) A ．7-25 B ．725 C.1-5 D ．156.非零向量,a b r r满足;()0a b a a b -=•-=r r r r r ,则a b -r r 与b r 夹角的大小为（）A ．135°B ．120° C.60° D ．45° 7.下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A ．73 B ．83 C. 93 D ．1038.已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤,则函数()321f x x ax bx =-++存在极值的概率为（） A ．19 B ．13 C.25 D ．899.执行下面的程序框图，若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为（）A ．37m <≤B ．715m <≤ C.1531m <≤ D ．3163m <≤10.已知点12F F 分别是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>，b>0),的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上122F F OP =,12PF F ∆的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22122x y -=B ．22144x y -= C.2284x y - D ．22124x y -= 11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（）A ．5 B．D ．612.已知函数()2(1)043,0e xf x x x x x ⎧+⎪=≤⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为（）A ．[)4,5B ．(]4,5 C.[)4+∞， D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线与抛物线C 交于.A B 两点，若弦.A B 中点到x 轴的距离为5,则AB = ．14.设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则z x y =-的最小值为．15..已知数列{}n a 满足1121,2n n n a a a a +==+.记2nnCn a =，则数列{}Cn 的前n 项和12...C C Cn +++= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()11,f x f x +=-在[)1,+∞上为增函数;若1,12x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()()1f ax f x <-成立，则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知(2,),(cos cos )),01a sin x sin x cos x b x x x ωωωωωωω=+=-<<r r 函数()f x a b =•r r ,直线56x π=是函数()f x 图像的一条对称轴。

2020年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)(内)(含答案解析)

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)

在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG

2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<，由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=，解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(文科)解析版

高考数学三模试卷（文科）
题号得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则 A∩B=（）
A. {-1，1}
B. {0}
C. {-1，0，1}
D. [-1，1]
2. 设 z=（1-i）（2+i），则|z|=（）
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完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少 N？（Ⅱ）实验过程中测得时间 t（分）与 10 名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数 y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立 y 关于时间 t 的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入劳状态，根据（Ⅱ）中 9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，△ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 AB=BC= ，PA=2．（Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD；（Ⅱ）若点 M 是棱 PC 的中点，求直线 PD 与 BM 所成角的余弦值．
19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10 名实验对象进行 160 分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为 180 次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10 名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376 实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361

2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2020届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析

东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为，则由题意得，∴.由题意得，∴．故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可．【详解】由题意得复数可化为，所以．故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．【详解】（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴．取的中点，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴点共线，从而得，又，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴底面，∴两两垂直．以为原点如图建立空间直角坐标系，则，∴,设平面的法向量为，由，得，令，得．设，则，∴，∴当时，有最小值，且，此时．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数，（为自然对数的底数）（I）若在上单调递减，求的最大值；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且，故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．【详解】（Ⅰ）由，得．∵在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立.则，∴，当时，，且单调递增，，∴当，，单调递减；当，，单调递增．∴，即恒成立，∴的最大值为2．（Ⅱ）当时，单调递减，且，当时，，即，∴，∴，①下面证明，②令，则，∴在区间上单调递增，∴，故②成立．由①+②得成立．【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解．本题综合性较强、难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I ）求动点对应参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积. （Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。

东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试理科综合带答案

东北三省三校第三次模拟考试(内)理科综合试卷考生注意：1．本试卷满分300分，考试时间150分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Na23S32K39Zn65一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞代谢的过程需要酶的催化，下列叙述正确的是A．激素都是通过影响细胞内酶活性来调节细胞的代谢活动B．探究pH对酶活性的影响时，酶与底物混合前要调节pHC．在线粒体的基质中存在着大量的分解葡萄糖的酶D．在真核细胞中，核外没有DNA合成酶与RNA合成酶2．研究发现，来自胎盘的称为Cdk2细胞的干细胞能够在心脏病发作后再生健康的心脏细胞，Cdk2细胞除了具有胚胎干细胞的所有蛋白，还具有其他的蛋白，这使得它们能够直接迁移到损伤部位。

下列叙述错误的是A．Cdk2细胞仍然保留有分裂和分化的能力B．Cdk2细胞中蛋白质的合成需多种核酸—蛋白质复合物参与C．Cdk2细胞的迁移过程可能与细胞骨架有关系D．肌细胞能代替Cdk2细胞培养出健康的心脏细胞3．下列关于正常人体生命活动调节与内环境及稳态关系的叙述，正确的是A．如果内环境中的血浆、淋巴、组织液等成分稳定，则机体一定处于稳态B．寒冷环境中机体通过多种途径减少散热、增加产热来维持体温相对恒定C．人体免疫系统中的吞噬细胞只参与特异性免疫，不参与非特异性免疫D．注射等渗透压的5%葡萄糖溶液，血浆中胰岛索/胰高血糖素的比值将减小4．取某动物(XY型，2n=8)的一个精原细胞，在含3H标记的胸腺嘧啶的培养基中完成一个有丝分裂周期后形成两个相同的精原细胞，将所得子细胞全部转移至普通培养基中完成减数分裂(不考虑染色体片段交换、实验误差和质DNA)。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理数学含评分细则

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数）根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析：（Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−，令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>，由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=；令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=．又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=3．（5分）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m βB ．若αβ⊥，则m β⊥C ．若//m β，则//αβ D ．若m β⊥，则αβ⊥4．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是( ) A ．9B ．10C ．11D ．125．（5分）已知3a ln =，3log b e =，log c e π=（注:e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( ) A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．（5分）已知在边长为3的等边ABC ∆的中，12BD DC =u u u r u u u r ，则(AD AC =u u u r u u u r g )A ．6B ．9C ．12D ．6-7．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则四面体A BEF -的体积为( )A．13B．23C．1D．438．（5分）已知函数()sin23cos2f x x x=+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，其图象关于y轴对称，则(ϕ=)A．12πB．6πC．3πD．512π9．（5分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为(,0)F c，上顶点为(0,)A b，直线2axc=上存在一点P满足()0FP FA AP+=u u u r u u u r u u u rg，则椭圆的离心率取值范围为() A．1[,1)2B．2[,1)C．51[,1)-D．2(0,] 10．（5分）已知定义在R上的函数()f x，满足(1)(1)f x f x+=-，当[1x∈，)+∞时，1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-，7]上所有交点的横坐标之和为()A．5B．6C．7D．911．（5分）已知数列{}na的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A．10112020B．20192020C．20202021D．1010202112．（5分）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且12120F PF ∠=︒，12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，则||(PA = )A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．（5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为． 14．（5分）已知函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上不单调，则实数a 的取值范围为．15．（5分）数列{}n a 满足11a =，2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…，则n a = ． 16．（5分）已知函数222()()3|1|f x x a xb =----，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a -„②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2a =，D 为AC 的中点，且BD =c ．18．（12分）如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）证明：//DE 平面11C BA ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为13，求二面角1F BA A --的余弦值．19．（12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 20()P K k …0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（12分）已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切，与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点． 21．（12分）已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈．（Ⅰ）设()f x '为函数()f x 的导函数，求函数()f x '的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)∞上有最大值，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x xy yϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值． [选修4-5：不等式选讲] 23．设函数()|2||3|f x x x =++- （Ⅰ）求不等式()9f x >的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解，求实数m 的取值范围．2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞【解答】解：集合2{|230}(1,3)A x x x =--<=-， 1|1(0,1)B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，A B B =U ，则()(R A B =-∞U ð，1][3-U ，)+∞ 故选：B ．2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【解答】解：由(,)z a bi a b R =+∈，得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-，由题意，0b a -=．故选：B ．3．（5分）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m βB ．若αβ⊥，则m β⊥C ．若//m β，则//αβ D ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误．对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误．对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确．故选：D ．4．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：由题意任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：13n =为奇数，则133140n =⨯+=，第二步，40n =为偶数，则40202n ==，第三步，20n =为偶数，则20102n ==，第四步，10n =为偶数，则1052n ==，第五步，5n =为奇数，则53116n =⨯+=，第六步，16n =为偶数，则1682n ==，第七步，8n =为偶数，则842n ==，第八步，4n =为偶数，则422n ==，第九步，2n =为偶数，则212n ==． ∴取13n =，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A ．5．（5分）已知3a ln =，3log b e =，log c e π=（注:e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( ) A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：331log log a ln b e c e π=>>=>=， a b c ∴>>，故选：B．6．（5分）已知在边长为3的等边ABC∆的中，12 BD DC=u u u r u u u r，则(AD AC=u u u r u u u rg) A．6B．9C．12D．6-【解答】解：Q22222()()333cos1206333AD AC AC CD AC AC CB AC AC AC CB=+=+=+=+⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g；故选：A．7．（5分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，22ED FC==，则四面体A BEF-的体积为()A．13B．23C．1D．43【解答】解：Q四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，22ED FC==，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0E，0，2)，(0F，2，1)，(0BA=u u u r，2-，0)，(2BF=-u u u r，0，1)，(2BE=-u u u r，2-，2)，BA BF=u u u r u u u rg，11||||25522ABFS BA BF∆∴=⨯⨯=⨯=u u u r u u u r，设平面ABF的法向量(n x=r，y，)z，则2020n BA yn BF x z⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1x=，得(1n=r，0，2)，E∴到平面ABF的距离||||5n BEdn==u u u rrgr∴四面体A BEF -的体积为：11253335A BEF E ABF ABF V V S d --∆==⨯⨯=⨯⨯=．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin 232f x x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则(ϕ= ) A ．12πB ．6π C ．3π D ．512π 【解答】解：把函数()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，可得2sin(22)3y x πϕ=-+的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得232k ππϕπ-+=+，k Z ∈．即212k ππϕ=--，再令1k =-，可得512πϕ=，故选：D ．9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u rg ，则椭圆的离心率取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 【解答】解：设2(a P c ，)y ，由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ，则2(a FP FA c c +=-u u u r u u u r ，)(y c +-，2)(2a b c c=-，)y b +，2(a AP c=u u u r ，)y b -，所以由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=g ，可得：4222 22aa b yc--=-„，整理可得：4222222()0a a c a c c---„，即42310e e-+„，解得：23535e-+剟，即5151e-+剟，由于椭圆的离心率小于1，所以511e-<„，故选：C．10．（5分）已知定义在R上的函数()f x，满足(1)(1)f x f x+=-，当[1x∈，)+∞时，1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-，7]上所有交点的横坐标之和为()A．5B．6C．7D．9【解答】解：根据题意，函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-，则()f x的图象关于直线1x=对称，而函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象也关于直线1x=对称，作出函数()f x和()g x图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和3217=⨯+=，故选：C．11．（5分）已知数列{}na的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【解答】解：由题意，设数列{}n a 的前n 项和为n S ． Q 数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，∴数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列． ∴第1行的所有项的和即为：212(1)4232n n n n a a a S n n n -++⋯+==+=+g ．则第2行的所有项的和为：23112()()()n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+；第3行的所有项的和为：34212(2)(2)(2)2n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+；g g g第n 行的所有项的和为：12112[(1)][(1)][(1)](1)n n n n n a a a a n d a n d a n d S n nd +-++⋯+=+-+++-+⋯++-=+-； 12231342121()()()()n n n n n n n b a a a a a a a a a a a a +++-∴=++⋯++++⋯++++⋯++⋯+++⋯+ ()(2)[(1)]n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋯++- [12(1)]n nS n nd =+++⋯+-g2(1)(3)22n nn n n n -=++g g 22(1)n n =+．21111()2(1)2(1)21n n n b n n n n n n ===-+++． ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为122020122020b b b ++⋯+11111111(1)()()22223220202021=-+-+⋯+- 111111(1)222320202021=-+-+⋯+- 11(1)22021=- 10102021=．故选：D ．12．（5分）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且12120F PF ∠=︒，12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，则||(PA = )ABCD【解答】解：由题意可得21a =，23b =，在三角形12PF F 中，设P 在右支上，由余弦定理可得22221212121212122cos120()2F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒=-++g gg ，即2212443c a PF PF =+，所以可得222124()4434333c a b PF PF -⨯====，1222PF PF a -==，可得11PF =，21PF =，所以121211sin120422PF F S PF PF =︒=⨯=V g g 因为PA 为角平分线，所以1260F PA F PA ∠=∠=︒，而1212121211(sin 60sin 60)()11)22PF F PF A PF A S S S PF PA PF PA PA PF PF =+=︒+︒=+V V V g g g g ，PA，所以PA =，故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．（5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 717．【解答】解：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P （A ）85100=，35()100P AB =，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为35()357100(|)85()8517100P AB P A B P B ====，故答案为：717． 14．（5分）已知函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上不单调，则实数a 的取值范围为 2(1,)e ．【解答】解：由题意可得，()0x xaf x e e '=-=在[0，1]上有变号零点，故2x a e =在[0，1]上有变号零点，因为2x y e =在[0，1]上单调，2[1x e ∈，2]e ，故21a e <<，故答案为：2(1,)e15．（5分）数列{}n a 满足11a =，2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…，则n a = 21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩… ．【解答】解：2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈Q …， 21()(21)2n n n n S S S S -∴--=，整理得：*112(2,)n n n n S S S S n n N ---=-∈g …， ∴*1112(2,)n n n n N S S --=∈… ∴数列1{}nS 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴11(1)221nn n S =+-⨯=-， 121n S n ∴=-，∴当2n …时，121122123483n n n a S S n n n n --=-=-=---+， 21,12,2483n n a n n n =⎧⎪∴=-⎨⎪-+⎩…．故答案为：21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩…． 16．（5分）已知函数222()()3|1|f x x a x b =----，当 ③1a =，20b -<< 时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a -„②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点【解答】解：可选③1a =，20b -<<，由222()(1)3|1|f x x x b =----，令()0f x =，可得222(1)3|1|b x x =---，即222|1|3|1|b x x =---，可令2|1|t x =-，可得23b t t =-，可设2()3g t t t =-，分别画出()y g t =和2|1|t x =-的图象，由2230t t -<-<，即2232030t t t t ⎧-+>⎨-<⎩．可得01t <<或23t <<，当01t <<时，2|1|t x =-有4个零点；23t <<时，2|1|t x =-有2个零点，则函数()f x 共有6个零点．故答案为：③1a =，20b -<<，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2a =，D 为AC 的中点，且3BD =，求c ．【解答】解：()I 由已知以及正弦定理，可得：2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin 2cos sin sin B C A C B C C BcoC B C C =+=++=++，所以：2cos sin sin 0B C C +=，由于：0C π<<，sin 0C ≠， 1cos 2B =-，因为(0,)B π∈，解得：23B π=；（Ⅱ）如图所示：，D Q 为AC 的中点，∴2BA BC BD +=u u u ru u u ru u u r，两边平方得：22()4||BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ， ∴222||2||4||BA BA BC BC BD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ，∴224cos4433c c π+⨯+=⨯，整理得：2280c c --=，解得：4c =．18．（12分）如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）证明：//DE 平面11C BA ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11ABB A所成角的正弦值为13，求二面角1F BA A --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取?AA 的中点G ，连接DG ，EG ，则//??DG A C ，E ，G 为中点，所以//?EG BA ，DG ⊂/平面??BA C ，??A C ⊂平面??BA C ，故//DG 平面??BA C ，同理//EG 平面??BA C ，又DG EG G =I ，故平面//DEG 平面??BA C ，DE ⊂平面EDG ，所以//??DE BA C ；()II 以B 为原点，BA ，?BB ，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ?(0B ，3，0)，?(2A ，3，0)，(0C ，0，1)，?(0C ，3，1)，设(0F ，a ，1)，(2A ，0，0)，(2,,1)AF a =-u u u r，平面11ABB A 所的法向量为(0,0,1)BC =u u u r，由21cos ,35AF BC a <>==+u u u r u u u r，2a =，故(0F ，2，1)，(0BF =u u u r ，2，1)，1(2BA =u u u r，3，0)，设平面?FBA 的法向量为(,,)m x y z =r，由120230m BF y z m BA x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得(3,2,4)m =-r ，由429cos ,29m BC <>==u u ur r ，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为429-．19．（12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解答】解：（Ⅰ）设{A =出现A 症状的人}，{B =出现B 症状的人}，{C =出现C 症状的人}，card 表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知() 1.8card A B =I 万，()1card A C =I 万，()2card B C =I 万，()0.5card A B C =I I 万，所以()[()()()]()8.59.3 6.5(1.812)0.520card A B C cardA cardB cardC card A B card A C card B C card A B C =++-+++=++-+++=U U I I I I I 万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，22⨯列联表如下：所以2100(573157) 4.001 3.84112888020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．（12分）已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切，与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点．【解答】解：（Ⅰ）定圆221:(1)4F x y -+=e ，圆心(1,0)F ，半径为12，设点(,)P x y ，由动圆P 既与直线1:2l x =-相切，又与定圆F 相外切，知12x >-，∴1122x =++，化简得：24y x =，∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：24y x =；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为：(0)y kx m k =+≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨设点M 在x 轴上方，点N 在x 轴下方，联立方程24y kx my x=+⎧⎨=⎩，消去y 得，222(24)0k x km x m +-+=，∴12242kmx x k -+=，2122m x x k =，22121212124()()()my y kx m kx m k x x km x x m k∴=++=+++=， 11111()22S y x =⨯⨯+Q ，32211()()22S y x =⨯-⨯+，131212114()()()22S S y y x x ∴=-++1212411[()]24m x x x x k =-⨯+++ 22244844m m km k k k +-+=-⨯322316321644m m km mk k --+-=， Q 直线MN 的方程为：y kx m =+，设直线MN 与x 轴的交点为点B ，令0y =得，m x k =-，(mB k∴-，0)， 21211()()22m S y y k ∴=⨯-+⨯-，∴22221211()()42m S y y k =-+- 222211222144(2)44k m mk y y y y k+-=⨯⨯-+ 2221122144[4()2]44k m mk x x y y k +-=⨯⨯+- 2222144161644k m mk km k k +--=⨯⨯ 232322444161616164k k m m km mk k m k -+--+=，22134S S S =Q ，232322322344161616161632164k k m m km mk k m km km k m k m ∴-+--+=--+-， 22416160k m mk ∴++=，即22440k m km ++=，2(2)0k m ∴+=， 2k m ∴=-，∴直线MN 的方程为：122()2y mx m m x =-+=--， ∴直线MN 过定点1(2，0)．21．（12分）已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈．（Ⅰ）设()f x '为函数()f x 的导函数，求函数()f x '的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)∞上有最大值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()(1)()f x ln x ax g x '=+-=，((1,))x ∈-+∞． 1()1g x a x '=-+， 0a …时，()0g x '>，函数()f x '在(0,)+∞上单调递增．0a >时，1()()1aa x a g x x ---'=+， ()f x '∴在1(1,1)a --上单调递增；在1(1,)a-+∞上单调递减；（Ⅱ）函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，可得()f x 在(0,)+∞上不单调，有极大值点．由()I 可得：0a >，(0)0f '=．令(1)0ln x ax +-=，化为：(1)()ln x a h x x+==， 2(1)(1)()(1)x x ln x h x x x -++'=+．令()(1)(1)u x x x ln x =-++，(0,)x ∈+∞．(0)0u =． ()1(1)1(1)0u x ln x ln x '=-+-=-+<． ()(0)0u x u ∴<=． ()0h x ∴'<，函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0x +→时，11()11x h x +→=．x →+∞时，()0h x →． 01a ∴<<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+= （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线22:14x C y +=；曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+0x y +-=；（Ⅱ）设点(2cos ,sin )P θθ到直线0x y +-=的距离d ==，当sin()1θα+=时，min d =．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|2||3|f x x x =++-（Ⅰ）求不等式()9f x >的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）21,3()|2||3|5,2321,2x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟．()9f x >Q ，∴2193x x ->⎧⎨>⎩或2192x x -+>⎧⎨<-⎩， 5x ∴>或4x <-， ∴不等式的解集为{|5x x >或4}x <- （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()5min f x =． Q 不等式()|32|f x m -„有解， |32|()5min m f x ∴-=…， 325m ∴-…或325m --„， ∴713m m -或剠， m ∴的取值范围为7(,1][,)3-∞-+∞U。

东北师范大学附属中学2020级高三上学期第三次摸底考试数学答案

一、选择题三、填空题13．6π；14．15．1545；16．1ee.四、解答题17．解：（1）由2()sin cosf x x x x=+得1cos21()sin222xf x x-=+=sin(2)3xπ-+当222,232k x k k Zπππππ-≤-≤+∈时，5,1212k x k k Zππππ-≤≤+∈所以函数()f x的单调增区间为5,1212k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知()sin()3g x xπ=-，当sin()13xπ-=-，即2,32x k k Zπππ-=-∈，2,6x k k Zππ=-∈时函数()g x取到最小值－1，所以，()g x的最小值为－1，函数()g x取得最小值时的x的取值集合为2,6x x k k Zππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭18．解：（1）2()363(2)f x x ax x x a'=-=-，由()0fx'=得：120,2x x a==①当0a<时，由()0f x'>得：2x a<或0x>；由()0f x'<得：20a x<<所以()f x在(,2)a-∞，(0,)+∞递增，在(2,0)a递减；②当0a=时，2()30f x x'=≥，()f x在R上递增；拼搏一年成就梦想Endeavor a year Achieve your dream第三次摸底考试数学答案满分：150分时长：120分钟命题：高三数学备课组③当0a >时，由()0f x '>得：0x <或2x a >；由()0f x '<得：02x a <<所以()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞递增，在(0,2)a 递减；综上，当0a <时，()f x 在(,2)a -∞，(0,)+∞递增，在(2,0)a 递减；当0a =时， ()f x 在R 上递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞递增，在(0,2)a 递减（2）由题意，切点坐标为(1,1)由(1)3,(1) 1.f f '=-⎧⎨=⎩即363,13 1.a a b -=-⎧⎨-+=⎩，解得1,3.a b =⎧⎨=⎩所以32()33f x x x =-+，()3(2)f x x x '=-当[0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 在[0,2)递减；当(2,3]x ∈时，()0f x '>，()f x 在(2,3]递增所以()f x 在2x =处取值极（最）小值，min ()(2)1f x f ==-；又(0)3,(3)3f f ==，所以max ()3f x = 19．解：（1）选①：因为11n n b b +-=，又11111S b a ===. 所以，{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列. 所以，()111n b n n =+-⨯=. 所以，2n S n =.当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()211n S n -=-.所以，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，21n a n =-也成立.所以21n a n =-.选②：由1(1)n n S na n n +=-+得：2121a S -==，故23a = 当2n ≥时，1(1)(1)n n S n a n n -=---.所以，11(1)[(1)(1)]n n n n n a S S na n n n a n n -+=-=-+---- 化简得：12n n a a +-=，又因为212a a -=满足12n n a a +-=. 综上：对所有的n *∈N ，均有12n n a a +-=.所以{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，故21n a n =-.选③：24n n a a +-=只能说明数列{}n a 的奇数项和偶数项分别构成等差数列，已知11a =，数列的奇数项可以确定，但2a 未知，故数列的偶数项不确定，因此数列{}n a 不确定，题设的两个条件均无法求解. （2）由（1）可知(21)2nn n a c n =-⋅123123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯. 23412123252(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯.所以，2341222222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⋅21122(12)2(21)212n n n -+⨯-=+--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅.所以，16(23)2n n T n +=+-⋅.20．解：（1）cos sin 0b C C a c --=，∴sin cos sin sin sin B C B C C A =+，又()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，sin cos sin sin B C B C C -=，()0,,sin 0C C π∈∴≠，cos 1B B -=，1sin 62B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.5666B πππ-<-<,,663B B πππ∴-==.故tanB =（2）由b =3B π=及正弦定理得sin sin sin a c bAC B==== ,a A c C ∴==，且23C A π=-，)121)sin 2sin 21)sin 2sin()3))4a c A C A A A A A ππ⎤+=+⎦⎤=+-⎥⎦==+ 当4A π=时)12a c +取到最大值21．解：（1）222()22a x x af x x x x-+'=-+=，若()f x 在1(,)4+∞上有两个极值点，则方程2220x x a -+=在1(,)4+∞上有两个不等根，所以2480112()2044a a ∆=->⎧⎪⎨⨯-⨯+>⎪⎩，解得：3182a << （2）由（1）知：12121,2a x x x x +==，且111(,)42x = 若21()f x x λ>恒成立，即21()f x x λ>恒成立，则只需：2min 1()[]f x x λ> 222221*********()(1)ln 2ln(1)2(1)ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x -++-===+-- 11111112(1)ln(1)1,()42x x x x =-+--+<<，令11t x =-，则1324t <<．设13()2ln 1,()24g t t t t t =-++<<，则()12ln g t t '=+，由()12ln 0g t t '=+=得t =，当1(2t ∈时，()0g t '<；当3)4t ∈时，()0g t '> 所以()g t在t =处取得极（最小值），所以()1g t g ≥=，即21()1f x x ≥所以1λ>22．解：（1）由21()n n a T n *+=∈N ，111231a T a +==，113a =， 121(2)n n n T T n T -+=≥，1211n nT T -+=，11112(1)n n T T -+=+， 12n n b b -=(2)n ≥，11114b T =+=，数列{}n b 是以4为首项，以2为公比的等比数列，12n n b +=．（2）由（1）知1112n n nb T +=+=，1121n n T +=-，1121221n n n n T a +--==-，先证左边：方法1：设11ln(1)223n n n n Q T S =++--， 11111111111122111ln ln ln(1)2212212122121n n n n n n n n n n T Q Q a T +-++++-⎛⎫+-⎡⎤-=+-=+=+- ⎪⎢⎥+----⎣⎦⎝⎭ 设112221n n t ++-=-，(01)t <<则11121n t +=--，设()ln 1(01)f t t t t =+-<<，1()10f t t'=->，所以()f t 在(0,1)上单调递增，所以()ln 1(1)0f t t t f =+-<=，即111122ln 02121n n n +++-+<--，10n n Q Q --<，数列{}n Q 为递减数列，111411ln 022333n Q Q ≤=+--<，所以11ln(1)223n n n T S ++-<成立．证毕．方法2：分析：1111111ln(1)2233P T a =++-<=显然成立，要证11ln(1)223n n n n P T S =++-<，只需证11111112221ln (2)222121n n n n n n n n n P P S S a n +--++---=+<-==≥--成立，即111122221ln 2121n n n n ++++--+<--，设112221n n t ++-=-，(01)t <<则只需证ln 1t t +<．下面给出证明：设()ln 1(01)f t t t t =+-<<，1()10f t t'=->，所以()f t 在(0,1)上单调递增，所以()ln 1(1)0f t t t f =+-<=，设112221n n t ++-=-，则111122221ln 2121n n n n ++++--+<--，所以1111121ln (2)22121n n n n n T a n T +-+-+<=≥+-111211121ln 22121n n n n n T a T ----+-+<=+-， 2223111121ln 22121T a T +-+<=+- 又111111ln(1)2233T a ++-<=，累加得11ln(1)223n n n T S ++-<．证毕．【说明：方法1与方法2本质相同写法不同】方法3：1111211131141112212621262232n n n n n n n T a +++--===-⨯≥-⨯=-⨯--所以11(1)232n n n S ≥--，要证11ln(1)223n n n S T >++-，只需证111ln(1)322n n T ⨯>+，即111412ln 3221n n n +++⨯>-，设11221n n t ++=-，4(1,]3t ∈，则11112n t +=-，设41()(1)ln 3h t t t =--，4(1,]3t ∈，2244113()03th t t t t -'=-=≥，()h t 单调递增，()(1)0h t h >=，所以41(1)ln 3t t ->，即111412ln 3221n n n +++⨯>-，所以11ln(1)223n n n S T >++-．证毕．再证右边：1121211111(1)22122122n n n n n n T a +++--===-<---，342211111111()()()222222242n n n n S ++<-+-++-=-+只需证1211112ln(1)ln 22221n n n n T +++<+=-，即11111112121ln ln 22122n n n n n n ++++++-<⇔->- 设1121(0,1)2n n t ++-=∈，则1112n t +-=-，设()ln 1(01)f t t t t =+-<<，1()10f t t'=->，所以()f t 在(0,1)上单调递增，所以()ln 1(1)0f t t t f =+-<=，即111121ln 22n n n +++-->，即11112ln 221n n n +++<-，所以11ln(1)224n n n S T <++-．证毕．。