现代科学工程计算基础课后习题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1.(2)证明: 由题意有������������ (x) =
(x;������0 )···(x;������������−1 )(x;������������+1 )···(x;������������ ) (������������ ;������0 )···(������������ ;������������−1 )(������������ ;������������+1 )···(������������ ;������������ )
,
1, ������ = ������ 以及������������ (������������ ) = ������������������ = { (������, ������ = 0,1,···, n). 0, ������ ≠ ������ 考察a0 ������0 (x) + a1 ������1 (x) +··· +a������;1 ������������;1 (x) + a������ ������������ (x) = 0 的系数, 代入x0 得:a0 ������0 (x0 ) =0,又������0 (x0 ) = 1,可得a0 = 0 · · · · · · 代入x������ 得:a������ ������������ (x������ ) =0,又������������ (x������ ) = 1,可得a������ = 0 由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������ (x)+(������ = 0,1,···, n)线 性无关.
������ (������) 2! 2! ������ (������) 2!
(������ − ������)(������ − ������),
(������ − ������)(������ − ������),
������:������ 2 2
������:������ 2 2
/ + ������������ − .
2.(1)证明: 令f(x) = ������ ������ ,则f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式������������ = ∑������ ������<0 ������������ ������������ (������), 讨论其插值余项R ������ (x) = f(x) − ������������ = 因为k = 0,1,···, n
4 ������3 (������) 3! 1
3
������3 (������)
������3 (144) 3!
|(115 − 100)(115 −
121)(115 − 144)| = 0 001748167。
使用内插法,f(x)在 x=100,121 两点的一次插值多项式为 L1 (x) = √100 × 代入 x=115 得f(115)
������ (������) 2!
考察插值余项R1 (x) = f(x) − ������1 (������) = 又L1 (x) = 0,可得f(x) = ∵ (������ − ������)(������ − ������) = .������ − ∴ ������(������) = |������(������)| = |
1 3!
考察函数g(t) = ������(������ − 1)(������ − 2), g ’ (t) = 3t 2 − 6t + 2. 令g ’ (t) = 0, 得t=1±
√3 。 3
g(t)在闭区间[0,2]内先增后减再增,其中 g(0)=g(2)=0。g(t)的 两个极值点及对应的值分别为:g .1 − 则0 |g(t)|
最后代入x������ 得: a0 ������0 (xk ) + a1 ������1 (x������ ) +··· +a������ ������������ (x������ ) = 0, 可得a������ = 0 由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������ (x)+(������ = 0,1,··· , n)线性无关.
2 √3 9 1 3! √3 / 3
=
2 √3 9
, g .1 +
√3 / 3
=−
2√3 9
。 ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)| 10;5 ������
R 2 (x) = =
f (ξ) (������ − ������0 )(������ − ������1 )(������ − ������2 ) 3!
f (ξ) · ������������ · (������ − 1)������ · (������ − 2)������ 3! | f (ξ) 3 · ������ · ������(������ − 1)(������ − 2)| 3! ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)| ,t ∈ ,0,2-
������2 (������) 2!
(x − 121) (x − 100) + √121 × (100 − 121) (121 − 100)
������1 (115) = 10.714。误差限R1 (x) =
������2 (������)
������2 (121) 2!
|(115 − 100)(115 − 121)| = 0 01690。结果不同
= (x − x)������ (二项式定理) = 0 则∑������ ������<0(������������ − ������) ������������ (������)
������
0, (������ = 1,2,···, n),原命题得证.
3.解: f(x)在 x=100,121,144 三点的二次插值多项式为 L2 (x) = √100 × × × 代入 x=115 得f(115) − ������ ,误差限R 2 (x) =
8 3
5 ; 2
(x − 121)(x − 144) + √121 (100 − 121)(100 − 144)
(x − 100)(x − 144) + √144 (121 − 100)(121 − 144) (x − 100)(x − 121) (144 − 100)(144 − 121) ������2 (115) = 10.735。f (x) = − ������ ;2 , f (x) =
显然是由于使用了不同的数学模型,精确度有所不同。
4.证明: 对 f(x)在 x=a,b 两处进行插值,则插值多项式为 L1 (x) = f(a) ������ − ������ ������ − ������ ������(������)<������(������)<0 + f(b) ⇒ L1 (x) = 0 ������ − ������ ������ − ������
现代科学工程计算基础课后习题 <Version 1.0 >
第一章 绪论
基本上不会考,略
第二章 函数的插值与逼近
1.(1) 证明: 由题意有������������ (x) = (x − ������0 )(x − ������1 ) ··· (x − ������k;1 ),则有以下式子: ω0 (������) = 1 ω1 (������) = 0, (������ = ������0 ) ω2 (������) = 0, (������ = ������0 , ������1 ) · · · · · · ω������;1 (������) = 0, (������ = ������0 , ������1 ,···, ������������;2 ) ω������ (������) = 0, (������ = ������0 , ������1 ,···, ������������;2 , ������������;1 ) 考察a0 ������0 (x) + a1 ������1 (x) +··· +a������;1 ������������;1 (x) + a������ ������������ (x) = 0 的系数, 依次代入x0 , x1 ,···, x������;1 得: a0 ������0 (x0 ) = 0, 又 ω0 (������) = 1, 可得a0 = 0 a0 ������0 (x1 ) + a1 ������1 (x1 ) = 0, 可得a1 = 0 · · · · · · a0 ������0 (xk;1 ) + a1 ������1 (x������;1 ) +··· +a������;1 ������������;1 (x������;1 ) = 0, 可得a������;1 = 0
/
(������;������)2 4
(������
������
������),
(������ − ������)(������ − ������),两边同时取绝对值得: |
������ (������) 2
������ (������)
(������ − ������)(������ − ������)|
2.(2)证明: 原式 = ∑������ ������<0(������������ − ������) ������������ (������)
������ ������;������ ������ (−������)������ ������������ (������)- (二项式定理) = ∑������ ������<0,∑������<0( ������ )������������ ������ ������;������ ������ (−������)������ ������������ (������)= ∑������ ������<0,∑������<0( ������ )������������ ������ ������;������ ������ ������ = ∑������ ������������ (������)- (交换符号顺序) ������<0,( ������ )(−������) ∑������<0 ������������ ������ ������ ������;������ = ∑������ - (2.1 中结论,其中k − i = 0,1,···, n) ������<0,( ������ )(−������) ������ ������
(������;������)2 max |������ ������≤������≤������ 8
·
(������;������)2 4
|对x ∈ ,a, b-恒成立。
max 则������≤������≤������ |������(������)|
(������Leabharlann Baidu|,原命题得证。
5.解: 考察函数 f(x) = sinx, 由于 x ∈ ,−π, π-, 则f (x) = −������������������������ ∈ ,−1,0- 。 在三点节点x = x0 , x0 + ������, x0 + 2������(������ 为步长)上进行插值,设插值区 间上某点x = x0 + ������������(0 ������ 2),则插值余项为
������������+1 (������) (������:1)!
������������:1 (������),
������! )!
n, f(x)的 n 阶导数: f ������ (x) = (k;
������ ������;������ (k
n),
所以有 f ������:1 (x)=0,可得f(x) − ������������ =R ������ (x) =0,f(x)= ������������ . 则有������������ f(x) ∑������ ������<0 ������������ ������������ (������) ������ ������ ,原命题得证.